沪科版
数学
九年级上册
课时训练（十六）
【23.1
锐角三角函数】
基础闯关
务实基础
达标检测
一、选择题
1.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanB的值为( )
A.
B.
C.
D.
2.一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为( )
A．1∶2
B.∶2
C．1∶
D.∶1
3.如图31－K－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA的值为( )
A.
B.
C.
D.
4.在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cosA的值为( )
A.
B.
C.或
D.或
5.在△ABC中，已知∠A，∠B都是锐角，|sinA－|＋(1－tanB)2＝0，那么∠C的度数为( )
A．75°
B．90°
C．105°
D．120°
6.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝，则点B的坐标为( )
A．(，1)
B．(1，)
C．(＋1，1)
D．(1，＋1)
二、填空题
7.在直角三角形ABC中，AB＝10，BC＝6，则tanA的值为________．
8.
如图3，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处．如果AB∶AD＝2∶3，那么
tan∠EFC的值是________．
9.如图，已知CD是Rt△ABC斜边上的高，且AB＝10，cos∠ACD＝，则BC＝________．
三、解答题
10.已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图30－K－12所示，AB＝6，BC＝8，求tanα的值．
11.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为E.已知AC＝15，cosA＝.
（1）求线段CD的长；
（2）求sin∠DBE的值．
12.数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现在一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等．于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角尺的直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．
13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AD平分∠BAC，AD＝，求∠B的度数及边AB，BC的长．
能力提升
思维拓展
探究重点
1.
如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作cotα，即
cotα＝＝，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）cot30°＝________；
（2）已知tanA＝，其中∠A为锐角，试求cotA的值．
2.
规律探索阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
sin30°＝，cos30°＝，则sin230°＋cos230°＝__________；①
sin45°＝，cos45°＝，则sin245°＋cos245°＝________；②
sin60°＝，cos60°＝，则sin260°＋cos260°＝________；③…
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝________．④
（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
（2）已知∠A为锐角(cosA>0)且sinA＝，求cosA的值．
3.类似在直角三角形中研究三角函数，我们新定义：等腰三角形中腰与底边的比叫做底角的邻对(can)，如图①，在△ABC中，AB＝AC，底角B的邻对记作canB，这时canB＝＝＝.容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：
（1）分别计算can30°，can45°和can60°的值；
（2）如图②，已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝.若△ABC的周长为50，求△ABC的面积．
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九年级上册
课时训练（十六）
【23.1
锐角三角函数】
基础闯关
务实基础
达标检测
一、选择题
1.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanB的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：设小正方形的边长为1，由图形可知在Rt△ACB中，BC＝4，AC＝3，∴tanB＝＝.故选B
2.一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为( )
A．1∶2
B.∶2
C．1∶
D.∶1
解析：设斜坡的铅直高度h＝k.∵坡角为30°，∴斜坡的坡面长为2k，
∴斜坡的水平长度l＝＝k，∴这个斜坡的坡度为＝＝1∶.故选C.
3.如图31－K－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：在Rt△ABC中，∵AB＝10，AC＝8，
∴BC＝＝＝6，∴sinA＝＝＝.故选A.
4.在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cosA的值为( )
A.
B.
C.或
D.或
解析：当△ABC为直角三角形时，存在两种情况：
①若AB为斜边，则∠C＝90°.∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，∴cosA＝＝＝.
②若AC为斜边，则∠B＝90°.由勾股定理，得AB＝＝＝2
，
∴cosA＝＝＝.综上所述，cosA的值为或.故选C.
5.在△ABC中，已知∠A，∠B都是锐角，|sinA－|＋(1－tanB)2＝0，那么∠C的度数为( )
A．75°
B．90°
C．105°
D．120°
解析：∵|sinA－|＋(1－tanB)2＝0，
∴|sinA－|＝0，(1－tanB)2＝0，∴sinA＝，tanB＝1，∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C的度数为180°－30°－45°＝105°.故选C.
6.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝，则点B的坐标为( )
A．(，1)
B．(1，)
C．(＋1，1)
D．(1，＋1)
解析：由菱形的性质和锐角三角函数值易知，选C
二、填空题
7.在直角三角形ABC中，AB＝10，BC＝6，则tanA的值为________．
解析：当AB为斜边时，由勾股定理，得AC＝8，此时tanA＝，当AB为直角边时，tanA＝.
8.
如图3，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处．如果AB∶AD＝2∶3，那么
tan∠EFC的值是________．
解析：设AB＝2k.∵AB∶AD＝2∶3，∴AD＝AF＝3k.在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF＝＝＝k.∵∠D＝∠EFA＝90°，∠B＝∠C＝90°，∴∠EFC＋∠AFB＝∠BAF＋∠AFB＝90°，∴∠EFC＝∠BAF，∴tan∠EFC＝tan∠BAF＝BF∶AB＝∶2.
9.如图，已知CD是Rt△ABC斜边上的高，且AB＝10，cos∠ACD＝，则BC＝________．
解析：∵CD是Rt△ABC斜边上的高，∴CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠B，∴cos∠ACD＝cosB＝，∴＝，∴BC＝8.
三、解答题
10.已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图30－K－12所示，AB＝6，BC＝8，求tanα的值．
解析：如图，过点C作CE⊥l4于点E，延长EC交l1于点F，则CF⊥l1.
∵∠α＋∠BCE＝90°，∠BCE＋∠DCF＝180°－90°＝90°，
∴∠DCF＝∠α.
又∵∠BEC＝∠CFD＝90°，
∴△BEC∽△CFD，
∴＝，
即＝，
∴BE＝h.
在Rt△BCE中，
∵∠BEC＝90°，∴tanα＝＝＝.
11.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为E.已知AC＝15，cosA＝.
（1）求线段CD的长；
（2）求sin∠DBE的值．
解析：（1）∵在Rt△ABC中，AC＝15，cosA＝＝＝，∴AB＝25.
∵D是边AB的中点，∴CD＝.
（2）在Rt△ABC中，BC＝＝＝20.
又∵AD＝BD＝CD＝，∴设DE＝x，EB＝y，则
在Rt△BDE中，x2＋y2＝，①
在Rt△BCE中，＋y2＝202，②
联立①②，解得x＝.∴sin∠DBE＝＝＝
12.数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现在一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等．于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角尺的直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．
解析：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，
∴AC＝＝2
.
则EF＝AC＝2
.
∵∠E＝45°，∴FC＝EF·sinE＝，
∴AF＝AC－FC＝2
－.
13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AD平分∠BAC，AD＝，求∠B的度数及边AB，BC的长．
解析：在Rt△ACD中，∵cos∠CAD＝＝＝，∠CAD为锐角，
∴∠CAD＝30°，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，即∠CAB＝60°，
∴∠B＝90°－∠CAB＝30°.
∵sinB＝，∴AB＝＝＝16.
又∵cosB＝，
∴BC＝AB·cosB＝16×＝8
.
能力提升
思维拓展
探究重点
1.
如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作cotα，即
cotα＝＝，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）cot30°＝________；
（2）已知tanA＝，其中∠A为锐角，试求cotA的值．
解析：（1）设BC＝1，在Rt△ABC中，
若∠α＝30°，则AB＝2，
由勾股定理，得AC＝，
∴cot30°＝＝.故答案为.
（2）∵tanA＝＝，∴可设BC＝3x，AC＝4x，∴cotA＝＝.
2.
规律探索阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
sin30°＝，cos30°＝，则sin230°＋cos230°＝__________；①
sin45°＝，cos45°＝，则sin245°＋cos245°＝________；②
sin60°＝，cos60°＝，则sin260°＋cos260°＝________；③
…
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝________．④
(1)如图31－K－13，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
(2)已知∠A为锐角(cosA>0)且sinA＝，求cosA的值．
解析：(1)证明：如图所示，过点B作BH⊥AC于点H，
BH2＋AH2＝AB2，
则sinA＝，cosA＝，
∴sin2A＋cos2A
＝＋
＝＝1.
(2)∵sin2A＋cos2A＝1，sinA＝，
∴cos2A＝1－＝.
∵cosA>0，∴cosA＝.
3.类似在直角三角形中研究三角函数，我们新定义：等腰三角形中腰与底边的比叫做底角的邻对(can)，如图①，在△ABC中，AB＝AC，底角B的邻对记作canB，这时canB＝＝＝.容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：
（1）分别计算can30°，can45°和can60°的值；
（2）如图②，已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝.若△ABC的周长为50，求△ABC的面积．
解析：（1）如图，∠B＝∠C＝30°，AD是BC边上的高，设AB＝AC＝2，则BD＝CD＝，∴BC＝2
.
根据邻对的定义，得can30°＝canB＝＝＝.
若∠B＝∠C＝45°，
则△ABC是等腰直角三角形，
则can45°＝canB＝＝.
若∠B＝∠C＝60°，
则△ABC是等边三角形，则can60°＝canB＝1.
（2）过点A作AD⊥BC于点D.
设AB＝AC＝13x，
则由邻对的定义，得BC＝AB＝24x，
∴13x＋13x＋24x＝50，
解得x＝1，则AB＝AC＝13，BC＝24，BD＝CD＝12，
∴AD＝＝＝5，
∴S△ABC＝BC·AD＝×24×5＝60.
学习让生活更美好！
