沪科版
数学
九年级上册
课时训练（十七）
【23.2
第一课时
解直角三角形】
基础闯关
务实基础
达标检测
一、选择题
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，sinA＝，则斜边上的高为( )
A.
B.
C.
D.
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD的正切值是(
)
A.
B.
C.
D.
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( )
A.
B．4
C．8
D．4
4.已知等腰三角形的腰长为2
，底边长为6，则底角的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
5.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，且BE＝2AE，已知AD＝3
，tan∠BCE＝，那么CE的长等于( )
A．2
B．3
－2
C．5
D．4
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为(
)．
A．7sin35°
B．
C．7cos35°
D．7tan35°
二、填空题
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sinA＝，则DE＝________．
9.在△ABC中，AB＝8，∠B＝30°，AC＝5，则BC＝________．
三、解答题
10.如图，AC⊥BC于点C，点D在BC上，cos∠ADC＝，tanB＝，AD＝10，求AC和BD的长．
11.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝15
cm，CD＝3
cm，请据此解答如下问题：
（1）求四边形ABCD的周长和面积(结果保留整数．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)；
（2）求∠ACD的余弦值．
12
.
如图，已知
tanC＝，点P在边CA上，CP＝5，点M，N在边CB上，PM＝PN.若MN＝2，求PM的长．
13.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，cosC＝，sinB＝，AD＝1.
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
能力提升
思维拓展
探究重点
1.我们知道：sin30°＝，cos30°＝，可得sin230°＋cos230°＝＋＝1，那么对于任意的锐角A，是否都有sin2A＋cos2A＝1呢？
（1）如图34－K－10所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，可得sinA＝，cosA＝，求证：sin2A＋cos2A＝1；
（2）若已知sinA＝，利用(1)的结论求cosA的值；
（3）用以上探究的方法你能得出sinA，cosA，tanA三者之间的关系吗？请直接写出答案．
2.一副三角尺按图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12
，求CD的长．
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数学
九年级上册
课时训练（十七）
【23.2
第一课时
解直角三角形】
基础闯关
务实基础
达标检测
一、选择题
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，sinA＝，则斜边上的高为( )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意可知BC＝3，则AC＝＝4，∴斜边上的高为＝.故选D
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD的正切值是(
)
A.
B.
C.
D.
解析：∵在Rt△ABC中，CD是AB边上的中线，
∴CD＝AD，∴∠A＝∠ACD.
∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴tanA＝＝＝，∴tan∠ACD的值为.故选D.
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( )
A.
B．4
C．8
D．4
解析：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，
∴cosB＝，即cos30°＝，∴BC＝8×＝4
.故选D.
4.已知等腰三角形的腰长为2
，底边长为6，则底角的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
解析：如图，在△ABC中，AB＝AC＝2
，BC＝6，过点A作AD⊥BC于点D，则BD＝3.在Rt△ABD中，cosB＝＝＝，∴∠B＝30°，即等腰三角形的底角为30°.
5.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，且BE＝2AE，已知AD＝3
，tan∠BCE＝，那么CE的长等于( )
A．2
B．3
－2
C．5
D．4
解析：∵tan∠BCE＝，∴∠BCE＝30°，∴∠B＝90°－∠BCE＝60°.在Rt△ABD中，AD＝3
，∴BD＝＝3，∴AB＝6.∵BE＝2AE，∴BE＝4，AE＝2.在Rt△BEC中，BE＝4，∠BCE＝30°，∴CE＝4
.
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为(
)．
A．7sin35°
B．
C．7cos35°
D．7tan35°
解析：在Rt△ABC中，．∴BC＝ABcosB＝7cos
35°．故选C
二、填空题
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sinA＝，则DE＝________．
解析：∵BC＝6，sinA＝，
∴AB＝6÷＝10，因此AC＝8.
由于D是AB的中点，故AD＝5.
根据三角形相似得出DE＝＝＝.
9.在△ABC中，AB＝8，∠B＝30°，AC＝5，则BC＝________．
解析：由于∠C可能是锐角也可能是钝角，因此要分类求解．如图，过点A作BC边的垂线，设垂足为D.首先在Rt△ABD中，求出AD的长，进而可在两个直角三角形中求出CD，BD的长．答案：4
±3
三、解答题
10.如图，AC⊥BC于点C，点D在BC上，cos∠ADC＝，tanB＝，AD＝10，求AC和BD的长．
解析：在Rt△ACD中，CD＝cos∠ADC·AD＝×10＝8，
则AC＝＝＝6.
在Rt△ACB中，BC＝＝6
.
故BD＝BC－CD＝6
－8.
11.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝15
cm，CD＝3
cm，请据此解答如下问题：
（1）求四边形ABCD的周长和面积(结果保留整数．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)；
（2）求∠ACD的余弦值．
解析：(1)∵AB＝BC＝15
cm，∠B＝90°，
∴AC＝15
cm.
又∵∠D＝90°，
∴AD＝＝＝12
(cm)，
∴四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋DA＝30＋3
＋12
≈30＋4.23＋20.76≈55(cm)．
四边形ABCD的面积＝S△ABC＋S△ADC＝×15×15＋×12
×3
＝＋18
≈157(cm2)．
(2)cos∠ACD＝＝＝.
12
.
如图，已知
tanC＝，点P在边CA上，CP＝5，点M，N在边CB上，PM＝PN.若MN＝2，求PM的长．
解析：如图，过点P作PD⊥MN于点D.
∵tanC＝＝，
∴设PD＝4x，则CD＝3x.
∵CP＝5，
∴由勾股定理，得(3x)2＋(4x)2＝52，
解得x＝1或x＝－1(舍去)，∴PD＝4.
∵MN＝2，PM＝PN，PD⊥MN，∴MD＝1，
∴PM＝＝.
13.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，cosC＝，sinB＝，AD＝1.
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
解析：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵cosC＝，
∴∠C＝45°.
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝1，∠C＝45°，∴CD＝AD＝1.
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝＝，AD＝1，∴AB＝＝3，
∴BD＝＝2
，
∴BC＝BD＋CD＝2
＋1.
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BC＝＋，
∴DE＝CE－CD＝－，
∴tan∠DAE＝＝－.
能力提升
思维拓展
探究重点
1.我们知道：sin30°＝，cos30°＝，可得sin230°＋cos230°＝＋＝1，那么对于任意的锐角A，是否都有sin2A＋cos2A＝1呢？
（1）如图34－K－10所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，可得sinA＝，cosA＝，求证：sin2A＋cos2A＝1；
（2）若已知sinA＝，利用(1)的结论求cosA的值；
（3）用以上探究的方法你能得出sinA，cosA，tanA三者之间的关系吗？请直接写出答案．
解析：（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴a2＋b2＝c2.
又∵sinA＝，cosA＝，
∴sin2A＋cos2A＝()2＋()2＝＝1.
（2）∵sin2A＋cos2A＝1，sinA＝，
∴cos2A＝1－()2＝，
∴cosA＝(锐角的正弦、余弦都是正数)．
（3）∵sinA＝，cosA＝，tanA＝，
∴cosA·tanA＝·＝＝sinA，
即sinA＝cosA·tanA.
2.一副三角尺按图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12
，求CD的长．
解析：如图，过点B作BM⊥FD于点M.
在△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
AC＝12
，∴BC＝AC＝12
.
∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝45°，
∴BM＝BC·sin45°＝12
×＝12，
∴CM＝BM＝12.
在△EFD中，∵∠F＝90°，∠E＝30°，
∴∠EDF＝60°，∴MD＝＝4
，
∴CD＝CM－MD＝12－4
.
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