沪科版
数学
九年级上册
课时训练（十八）
【23.2
第二课时
解直角三角形应用】
基础闯关
务实基础
达标检测
一、选择题
1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向上，距离灯塔P为2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，那么该海轮航行的距离AB的长是( )
A．2海里
B．2sin55°海里
C．2cos55°海里
D．2tan55°海里
2.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )
A．斜坡AB的坡度是10°
B．斜坡AB的坡度是tan10°
C．AC＝1.2tan10°米
D．AB＝米
3.如图所示，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点M、N分别为OB、OC的中点，则cos∠OMN的值为(
)．
A．
B．
C．
D．1
4.如图所示，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距(
)．
A．30海里
B．40海里
C．50海里
D．60海里
二、填空题
5.如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝6
米，背水坡CD的坡度i＝1∶(i为DF与FC的比值)，则背水坡CD的坡长为________米．
6.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图所示)，那么，由此可知B、C两地相距___________m．
7.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8.则(1)BE的长为
.
(2)∠CDE的正切值为
.
三、解答题
8.如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的．测得坡长AB＝600米，BC＝200米，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝45°.求山峰的高度．(结果保留根号)
9.为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是水坝加高2
m(即CD＝2
m)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图37－K－11所示，已知AE＝4
m，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC.(结果精确到1
m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2)
10.如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截．红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方．求拦截点D处到公路AB的距离．(结果不取近似值)
能力提升
思维拓展
探究重点
1.如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．
（1）求点D到BC的距离DH的长；
（2）求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；
（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
2.如图所示，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．
（1）MN是否穿过原始森林保护区?为什么?(参考数据：≈1.732)
（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25％，则原计划完成这项工程需要多少天?
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九年级上册
课时训练（十八）
【23.2
第二课时
解直角三角形应用】
基础闯关
务实基础
达标检测
一、选择题
1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向上，距离灯塔P为2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，那么该海轮航行的距离AB的长是( )
A．2海里
B．2sin55°海里
C．2cos55°海里
D．2tan55°海里
解析：如图，由题意可知∠NPA＝55°，AP＝2海里，∠ABP＝90°.
∵AB∥NP，
∴∠A＝∠NPA＝55°.
在Rt△ABP中，
∵∠ABP＝90°，∠A＝55°，AP＝2海里，
∴AB＝AP·cosA＝2cos55°海里．故选C.
2.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )
A．斜坡AB的坡度是10°
B．斜坡AB的坡度是tan10°
C．AC＝1.2tan10°米
D．AB＝米
解析：斜坡AB的坡度是tan10°＝，故B项正确．
3.如图所示，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点M、N分别为OB、OC的中点，则cos∠OMN的值为(
)．
A．
B．
C．
D．1
解析：由题意知MN∥BC，∠OMN＝∠OBC＝45°，∴．故选B
4.如图所示，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距(
)．
A．30海里
B．40海里
C．50海里
D．60海里
解析：连接AC，∵AB＝BC＝40海里，∠ABC＝40°+20°＝60°，
∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝40海里．故选B
二、填空题
5.如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝6
米，背水坡CD的坡度i＝1∶(i为DF与FC的比值)，则背水坡CD的坡长为________米．
解析：
根据题意可知AE＝6
×sin45°＝6(米)．又∵背水坡CD的坡度i＝1∶(i为DF与FC的比值)，∴tanC＝＝，∴∠C＝30°，则CD＝2DF＝2AE＝12米．
6.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图所示)，那么，由此可知B、C两地相距___________m．
解析：由已知∠BAC＝∠C＝30°，所以BC＝AB＝200.
7.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8.则(1)BE的长为
.
(2)∠CDE的正切值为
.
解析：（1）由题意得△BFE≌△DFE，∴DE=BE.
又∵在△BDE中，∠DBE=45°，
∴∠BDE=∠DBE=45°，即DE⊥BC.
∵在等腰梯形ABCD中，AD=2，BC=8，
∴EC=(BC-AD)=3，BE=5.
（2）由(1)得DE=BE=5，
在△DEC中，∠DEC=90°，DE=5，EC=3，
∴tan∠CDE=
三、解答题
8.如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的．测得坡长AB＝600米，BC＝200米，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝45°.求山峰的高度．(结果保留根号)
解析：如图所示，过点B作BG⊥AF于点G，则BG＝EF，BE＝GF.
∵AB＝600米，
∠BAF＝30°，
∴EF＝BG＝AB＝300米．
在Rt△BCE中，
∵BC＝200米，∠CBE＝45°，
∴CE＝BC·sin∠CBE＝200×＝100
(米)，
∴CF＝EF＋CE＝(300＋100
)米，
∴山峰的高度是(300＋100
)米．
9.为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是水坝加高2
m(即CD＝2
m)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图37－K－11所示，已知AE＝4
m，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC.(结果精确到1
m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2)
解析：设BC＝x
m.
在Rt△ABC中，∠CAB＝180°－∠EAC＝50°，
∴AB＝≈＝＝x(m)．
在Rt△BDE中，∵iDE＝DB∶EB＝1∶1，
∴DB＝EB，
∴CD＋BC＝AE＋AB，即2＋x≈4＋x，
解得x≈12，故BC≈12
m.
答：水坝原来的高度BC约为12
m.
10.如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截．红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方．求拦截点D处到公路AB的距离．(结果不取近似值)
解析：如图，过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F.
由题意知∠ABC＝30°，∠FCD＝45°，CD＝CB＝1000米．
在Rt△BCE中，CE＝BC·sin30°＝1000×＝500(米)．
在Rt△DCF中，DF＝CD·sin45°＝1000×＝500
(米)．
易证得四边形AFCE是矩形，
∴AF＝CE，∴AD＝AF＋DF＝CE＋DF＝(500＋500
)米．
故拦截点D处到公路AB的距离为(500＋500
)米．
能力提升
思维拓展
探究重点
1.如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．
（1）求点D到BC的距离DH的长；
（2）求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；
（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
解析：解：(1)∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝10．
∵点D为AB中点，∴BD＝AB＝3．∵∠DHB＝∠A＝90°，∠B＝∠B．
∴△BHD∽△BAC，∴，∴．
(2)∵QR∥AB，∴△RQC∽△ABC，
∴，∴，
即y关于x的函数关系式为：．
(3)存在，分三种情况：
①当PQ＝PR时，过点P作PM⊥QR于M，如图所示，则QM＝RM．
∵∠1+∠2＝90°．∠C+∠2＝90°，∴∠1＝∠C．
∴，∴，∴，
∴，∴．
②当PQ＝RQ时，如图28—46所示，则有，∴x＝6．
③当PR＝QR时，则R为PQ中垂线上的点，如图所示．
于是点R为EC的中点，∴．
∵，∴，∴．
综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形．
2.如图所示，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．
(1)MN是否穿过原始森林保护区?为什么?(参考数据：≈1.732)
(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25％，则原计划完成这项工程需要多少天?
解析
：
(1)过C点作CH⊥AB于H．设CH⊥AB．
由已知有∠EAC＝45°，∠FBC＝60°，
则∠CAH＝45°，∠CBA＝30°．
在Rt△ACH中，AH＝CH＝x，
在Rt△HBC中，tan∠HBC＝．
∴，
∵AH+HB＝AB，∴，
解得≈220(米)＞200(米)．
∴
MN不会穿过森林保护区．
(2)设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要(y-5)天．
根据题意得：，解得：y＝25．
经检验知：y＝25是原方程的根．
答：原计划完成这项工程需要25天．
学习让生活更美好！
