第2课时
等腰三角形的判定
【知识与技能】
1.理解掌握等腰三角形的判定.
2.运用等腰三角形判定进行证明和计算.
【过程与方法】
通过推理证明等腰三角形的判定定理,发展学生的推理能力,培养学生分析、归纳问题的能力.
【情感态度】
引导学生观察,发现等腰三角形的判定方法,获得成功的感受，并在这个过程中体验学习的乐趣.
【教学重点】
等腰三角形的判定定理.
【教学难点】
等腰三角形判定定理的证明.
一、情境导入，初步认识
先请学生回忆等腰三角形的性质,再向学生提出下列问题.
问题1
如图,位于海上A,B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警,当时测得∠A=∠B.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪因素).
引导学生作如下思考:
(1)应该能同时赶到出事地点,因为两艘救生船的速度相同,同时出发,在相同的时间内走过的路程应该相同,也就是OA=OB,所以两船能同时赶到出事地点.
(2)能同时赶到O点位置的一个很重要的因素是∠A=∠B,也就是说如果∠A不等于∠B,那么同时以同样的速度出发就不能同时赶到出事地点.
【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
问题2
根据上述探究,考虑:“在一个三角形中，如果两个角相等，那么它们所对的边也相等”，并证明这个结论.
1.指导学生表述结论并写出证明过程.
2.指出表述要严谨,如不能说成：“如果一个三角形的两个底角相等，那么它是等腰三角形”.
二、思考探究，获取新知
例1
求证：如果一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
【教学说明】本题是文字叙述的证明题,先应将文字语言转化为相应的数学语言,再根据题意画出相应的几何图形.
要证明这个问题,由特征结论联想“等角对等边”，而等角由已知的平行线和角平分线可推得.
例2
如图,标杆AB高5m,为了将它固定,需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D,E两点拉两条绳子,使得D,B,E在一条直线上,量得DE=4m,绳子CD和CE要多长?
【教学说明】
这是一个与实际生活相关的问题,要解决这类问题,需要将实际问题抽象为数学模型.本题的实质是已知等腰三角形的底边和底边上的高,求腰长的问题.
解：如图(2),选取比例尺为1∶100.
①作线段DE=4cm.
②作线段DE的垂直平分线MN,与DE交于点B.
③在MN上截取BC=2.5cm.
④连接CD,CE,△CDE就是所求的等腰三角形,量出CD的长,就可以计算出要求的绳长.
例3
如图,已知△ABC中,AB=AC,BD,CE分别是两腰上的中线.求证:BD=CE.
证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵CD=AC,BE=AB,
∴CD=BE.
在△BEC和△CDB中,
∵BE=CD,∠ABC=∠ACB,BC=CB,
∴△BEC≌△CDB(SAS).
∴BD=CE.
三、运用新知，深化理解
1.如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,分别计算∠1,∠2的度数,并说明图中有哪些等腰三角形.
2.如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠,重合部分是一个等腰三角形吗?为什么?
3.如图,AC和BD相交于点O,AB∥DC,OA=OB.求证:OC=OD.
4.如图,在△ABD中,C是BD上的一点,且AC⊥BD,AC=BC=CD.(1)求证:△ABD是等腰三角形.(2)求∠BAD的度数.
【教学说明】上述习题要引导学生边做题边总结,熟悉等腰三角形的性质与判定常与哪些知识在一起应用,等腰三角形性质与判定间有什么区别与联系,并鼓励学生探究一题多解的方法.
【答案】
1.∠1=72°,∠2=36°;等腰三角形有:△ABC、△ABD、△BCD
2.是等腰三角形,可证得∠1=∠2
3.∵OA=OB,∴∠A=∠B.又∵AB∥DC,∴∠A=∠C,∠B=∠D.∴∠C=∠D,∴OC=OD(等角对等边).
4.(1)证明:∵AC⊥BD,∴∠ACB=∠ACD=90°.又∵AC=AC,BC=CD,∴△ACB≌△ACD(SAS).∴AB=AD(全等三角形的对应边相等).∴△ABD是等腰三角形.(2)由(1)可知AB=AD,∴∠B=∠D.又∵AC=BC,∴∠B=∠BAC,∴AC=CD.∴∠D=∠DAC.在△ABD中,∠B+∠D+∠BAC+∠DAC=180°.∴2(∠BAC+∠DAC)=180°,∴∠BAC+∠DAC=90°,即∠BAD=90°.
四、师生互动，课堂小结
利用问题指导学生总结:
问题1
你学会了几种判定等腰三角形的方法?
问题2
等腰三角形性质与判定有哪些联系和区别?
【总结】本节课主要探究了等腰三角形判定定理,并对判定定理的简单应用有了一定的认识,在利用定理的过程中体会定理的重要性.在直观的探索和抽象的证明中养成一定的逻辑推理能力.
1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
利用等腰三角形的性质定理与判定定理的互逆关系来学习等腰三角形的判定是很重要、很常见的研究问题的方法，本节之前线段垂直平分线的知识的学习及以后学习平行四边形等特殊四边形的知识时会反复用到这种方法.13.3.2
等边三角形
第1课时
等边三角形的性质与判定
【知识与技能】
1.掌握等边三角形的定义.
2.理解等边三角形的性质与判定定理.
【过程与方法】
经过应用等边三角形的性质与判定的过程培养学生分析问题、解决问题的能力.
【情感态度】
通过对等边三角形的学习，了解等边三角形的对称美,增强应用数学知识解决实际问题的信心.
【教学重点】
等边三角形的性质和判定方法.
【教学难点】
等边三角形性质的应用.
一、
情境导入，初步认识
在等腰三角形中,有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形,它叫等边三角形.请大家画图并结合等腰三角形的知识探讨等边三角形具有哪些特征,同学间互相交流.教师归纳总结如下:
1.等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴.
2.等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°.
3.三角都相等的三角形是等边三角形.
4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
其中,前两个是等边三角形性质,后两个是等边三角形的判定.
【教学说明】学生的发言会是多方位多角度的,教师应从边、角、对称性等类型归纳.同时强调,作为特殊的等腰三角形,等边三角形首先具备等腰三角形的所有性质.教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.
二、思考探究，获取新知
例1
如图,已知P,Q是△ABC的边BC上两点,且PB=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的大小.
【分析】由已知显然可知△APQ是等边三角形,每个角都是60°.又知△APB与△AQC都是等腰三角形,两底角相等,由三角形外角性质即可推得∠PAB=30°.
解:∵AP=AQ=PQ,
∴△APQ是等边三角形.
∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°.
又∵AP=PB,
∴∠PAB=∠PBA.
又∵∠APQ=∠PBA+∠PAB,
∴∠PAB=30°.
同理∠QAC=30°.
∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=120°.
【教学说明】本例综合应用等边三角形与等腰三角形在角方面的性质,要求解题要规范,表述要有条理,言必有据,可让学生说出过程中每一步的依据.
例2
在等边△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，BO，CO的垂直平分线分别交BC于点E和点F.求证：△OEF是等边三角形.
【分析】由角平分线得∠OBC=∠OCB=30°,再根据线段垂直平分线的性质可得OE=BE,OF=CF.据此可计算出∠OEF及∠OFE的度数，进而可证得△OEF是等边三角形.
【证明】∵E,F分别是BO,CO的垂直平分线上的点，
∴OE=BE,OF=CF.
∵△ABC是等边三角形，且OB,CO分别平分∠ABC,∠ACB,
∴∠OBE=∠BOE=∠OCF=∠COF=30°.
∴∠OEF=∠OFE=60°.
∴∠EOF=60°.
∴△OEF是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）.
【教学说明】
证明一个三角形是等边三角形，要灵活运用判定方法，根据已知提供的条件灵活选择，本题可用多种方法证明.
三、运用新知，深化理解
1.△ABC中,AB=BC,∠B=∠C,则∠A=
.
2.下列说法不正确的是(
).
A.有两个角为60°的三角形是等边三角形
B.有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
C.有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形
D.三个外角都相等的三角形是等边三角形
3.已知∠AOB=30°,点P在∠AOB内部,P1与P关于OB对称,P2与P关于OA对称,则△P1OP2是(
)三角形.
A.直角
B.钝角
C.等腰
D.等边
4.如图,在等边△ABC中,D为BC上一点,BD=2CD,DE⊥AB于E,CE交AD于P.求∠APE的度数.
【教学说明】用多媒体(或小黑板)出示以上问题,学生可在老师指导下完成,巩固所学知识.
【答案】1.60°
2.C
3.D
4.解：∵△ABC为等边三角形.
∴∠B=∠ACB=60°，AC=BC，
又∵DE⊥AB，∠B=60°，
∴∠BDE=30°.
∴BE=BD，而BD=2CD
∴BE=CD.
在△BCE和△CAD中
∴△BCE≌△CAD，
∴∠BCE=∠DAC
而∠BCE+∠ACE=60°，
∴∠DAC+∠ACE=60°.
∴∠APC=120°，
∴∠APE=60°.
四、师生互动，课堂小结
教师指导学生回忆本节所学知识点,学生间交流,互相查漏补缺.
1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.
2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.
本课时学习特殊的等腰三角形——等边三角形，可让学生先自主探索再合作交流，小组内、小组间充分交流后概括所得结论，这既巩固等腰三角形的应用知识，又类比探索等腰三角形性质和判定定理的方法，加深了对等腰三角形与等边三角形联系与区别的理解.第2课时
含30°角的直角三角形的性质
【知识与技能】
1.熟练掌握含30°角的直角三角形的性质.
2.会利用性质解题.
【过程与方法】
通过直尺量取得到直观结论，然后加以证明。
【情感态度】
本节课使学生经历了“实验——猜想——证明”的过程，使同学们初步体验了自然科学的一般研究方法，提高了学生研究和学习的兴趣.
【教学重点】
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【教学难点】
巧妙运用性质解题.
一、情境导入，初步认识
用两个全等的含30°角的直角三角尺，试着把它们拼在一起，看能否拼成一个等边三角形，然后以小组为单位一起讨论可从中发现什么结论，并予以证明.
老师指导拼图，得出结论，并一起证明结论.
（1）在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
（2）在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为30°.
【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
例1
在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°,∠BAC的平分线AM的长为15cm，求BC的长.
【分析】要求BC的长，可分别求出BM和CM的长.利用等腰三角形的判定得出BM=AM，利用含30°角的直角三角形的性质得CM=AM,将所求线段转化为已知线段进行求解.
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°,
∠BAC=60°,
∴∠B=30°.
∵AM平分∠BAC,
∴∠CAM=∠BAM=30°.
∴∠B=∠BAM,∴AM=BM=15cm.
∴在Rt△ACM中，∠CAM=30°.
∵CM=AM=7.5cm.
∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5cm.
【教学说明】
在直接求一条线段不易求的情况下，可以将其转化为求易求的两条线段的和或差进行计算.
例2
在Rt△ABD中，∠ADB=90°,∠A=60°,作DC∥AB,且∠DBC=∠BDC,DC与BC交于点C，已知CD=4cm.
（1）求∠CBD的度数；
（2）求AB的长.
【分析】(1)根据直角三角形的两个锐角互余，可知∠DBA的度数，再由DC∥AB及等腰三角形的性质即可计算∠CBD的度数；（2）可作等腰三角形CBD底边上的高，延长交AB于点E.根据等腰三角形“三线合一”，可以得出CE平分BD且平分∠DCB,由此可知△BCE是等边三角形，所以BE=4,则DE=BE=4.再证明△ADE是等边三角形即可.
解：（1）在Rt△ADB中，∵∠A=60°,∠ADB=90°,
∴∠ABD=30°.
又∵AB∥CD,∴∠CDB=∠ABD=30°.
∴∠CBD=∠CDB=30°.
（2）过点C作CM⊥BD于点M，交AB于点E，连接DE,则DE=EB,
∴∠EDB=∠EBD=30°.
∵∠CDM=30°,∠CMD=90°,
∴CM=CD=2.
又∵∠EBM=∠CBM=30°,BM=BM,
∠EMB=∠CMB=90°,
∴△CBM≌△EBM(ASA),
∴EM=CM=2.
∴DE=2EM=4.
∵∠DEA=∠EDB+∠EBD=60°,
∠A=60°,
∴AD=DE=4.
又∵∠ADB=90°,∠ABD=30°,
∴AB=2AD=8.
【教学说明】
直角三角形30°角的性质常与直角三角形的两个锐角互余同时运用，此性质是求线段长度和证明线段间倍分问题的重要依据.
例3
如图所示，在△ABC中，AB=AC,D为BC边上的点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F，∠BAC=120°.求证：DE+DF=BC.
【分析】∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.又DE⊥AB,DF⊥AC,可以构造两个含30°角的直角三角形.
【证明】∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=(180°-120°)=30°.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°.
在Rt△BDE中，∵∠B=30°,
∴DE=BD.
同理，在Rt△CDF中，DF=CD.
∴DE+DF=BD+CD=
(BD+CD)=
BC.
例4
如图所示，在四边形ABCD中，AD=4,BC=1,∠A=30°,∠ADC=120°,试求CD的长.
【分析】由于CD不是特殊三角形的边长，所以无法利用已知条件直接求出，延长AD、BC，将题中已知条件集中在两个特殊的三角形中.
解：延长AD、BC交于点E,
在Rt△ABE中，∠E=180°-90°-30°=60°,
又∵∠CDE=180°-120°=60°,
∴∠DCE=60°.
∴△CED是等边三角形.
设CD=x,则BE=1+x,AE=4+x,
在Rt△ABE中，∵∠A=30°,
∴AE=2BE.
即4+x=2(1+x),解得x=2,即CD的长为2.
三、运用新知，深化理解
1.若三角形的三个内角的比为1∶2∶3,则它的最短边与最长边的比为（
）.
A.1∶3
B.1∶2
C.2∶3
D.1∶4
2.如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60°,那么这个三角形是____.
【答案】1.B
2.等边三角形
四、师生互动，课堂小结
特殊直角三角形，运用性质先判断，30°所对的直角边，长度恰为斜边一半.
1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、实验、归纳等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观.13.3
等腰三角形
13.3.1
等腰三角形
第1课时
等腰三角形的性质
【知识与技能】
1.理解掌握等腰三角形的性质.
2.运用等腰三角形性质进行证明和计算.
3.观察等腰三角形的对称性、发展形象思维.
【过程与方法】
1.通过实践、观察、证明等腰三角形的性质,发展学生推理能力.
2.通过运用等腰三角形的性质解决有关问题,提高运用知识和技能解决问题的能力.
【情感态度】
引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中取得成功的体验.
【教学重点】
等腰三角形的性质及应用.
【教学难点】
等腰三角形的证明.
一、情境导入，初步认识
问题1
让学生根据自己的理解,做一个等腰三角形.要求学生独立思考,动手做图后,再互相交流评价.
可按下列方法做出:
作一条直线l,在l上取点A,在l外取点B,作出点B关于直线l的对称点C,连接AB,AC,CB,则可得到一个等腰三角形.
问题2
老师拿出事先准备好的长方形纸片,按下图方式折叠剪裁.
观察并讨论:△ABC有什么特点?教师指导,并介绍等腰三角形的相关概念,及等腰三角形是轴对称图形.
【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
教师依据学生讨论发言的情况,归纳等腰三角形的性质:
①∠B=∠C→两个底角相等.
②BD=CD→AD为底边BC上的中线.
③∠BAD=∠CAD→AD为顶角∠BAC的平分线.
∠ADB=∠ADC=90°→AD为底边BC上的高.
指导学生用语言叙述上述性质.
性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成:“等边对等角”).
性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线,底边上的高重合(简记为:“三线合一”).
教师指导对等腰三角形性质的证明.
1.证明等腰三角形底角的性质.
教师要求学生根据猜想的结论画出相应的图形,写出已知和求证.在引导学生分析思路时强调:
(1)利用三角形全等来证明两角相等.为证∠B=∠C,需证明以∠B,∠C为元素的两个三角形全等,需要添加辅助线构造符合证明要求的两个三角形.
(2)添加辅助线的方法可以有多种方式:如作顶角平分线,或作底边上的中线,或作底边上的高等.
2.证明等腰三角形“三线合一”的性质.
【教学说明】在证明中,设计辅助线是关键,引导学生用全等的方法去处理,在不同的辅助线作法中,由辅助线带来的条件是不同的,重视这一点，要求学生板书证明过程,以体会一题多解带来的体验.
例
如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
解:∵AB=AC,BD=BC=AD,
∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角).
设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,
解得x=36°
于是在△ABC中,有∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
【教学说明】等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”性质，可以实现由边到角的转化，从而可求出相应角的度数.要在解题过程中,学会从复杂图形中分解出等腰三角形,用方程思想和数形结合思想解决几何问题.
三、运用新知，深化理解
第1组练习:
1.如图,在下列等腰三角形中,分别求出它们的底角的度数.
2.如图，△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,∠BAC=90°,AD是底边BC上的高,标出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数,指出图中有哪些相等线段.
3.如图,在△ABC,AB=AD=DC,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数.
第2组练习:
1.如果△ABC是轴对称图形,则它一定是(
)
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
2.等腰三角形的一个外角是100°,它的顶角的度数是(
)
A.80°
B.20°
C.80°和20°
D.80°或50°
3.已知等腰三角形的腰长比底边多2cm,并且它的周长为16cm.求这个等腰三角形的边长.
4.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E.求证:AE=CE.
【教学说明】
等腰三角形解边方面的计算类型较多,引导学生见识不同类型,并适时概括归纳,帮学生形成解题能力,注意提醒学生分类讨论思想的应用.
【答案】
第1组练习答案:
1.(1)72°;(2)30°
2.∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°;AB=AC,BD=DC=AD
3.∠B=77°,∠C=38.5°
第2组练习答案:
1.C
2.C
3.设三角形的底边长为xcm,则其腰长为(x+2)cm,根据题意,得2(x+2)+x=16.解得x=4.∴等腰三角形的三边长为4cm,6cm和6cm.
4.延长CD交AB的延长线于P,在△ADP和△ADC中,∠PAD=∠CAD,AD=AD,∠PDA=∠CDA,∴△ADP≌△ADC.∴∠P=∠ACD.又∵DE∥AP,∴∠CDE=∠P.∴∠CDE=∠ACD,∴DE=EC.同理可证:AE=DE.∴AE=CE.
四、师生互动，课堂小结
这节课主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.请学生表述性质,提醒每个学生要灵活应用它们.
学生间可交流体会与收获.
1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时应把重点放在逐步展示知识的形成过程上，先让学生通过剪纸认识等腰三角形；再通过折纸猜测、验证等腰三角形的性质；然后运用全等三角形的知识加以论证.由特殊到一般、由感性上升到理性，逻辑演绎，层层展开，步步深入.
