人教版八年级数学上册 11.3.2 多边形的内角和教案
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册 11.3.2 多边形的内角和教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 149.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-15 09:16:16 | ||
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文档简介
11.3.2
多边形的内角和
【知识与技能】
1.掌握多边形的内角和定理、外角和定理.
2.运用多边形的内角和、外角和定理进行证明或计算.
【过程与方法】
通过证明四边形内角和定理的方法启示，求五边形、六边形的内角和，从而求n边形的内角和，依此推出多边形的外角和定理.最后运用这两个定理进行简单的证明或计算.
【情感态度】
通过本节课的学习，使同学们掌握“由特殊到一般”及“化未知为已知”的科学学习方法提高学习的兴趣和效率.
【教学重点】
多边形的内角和定理、外角和定理.
【教学难点】
探求多边形的内角和定理、外角和定理及这两个定理的灵活运用.
一、情境导入，初步认识
问题1
从五边形的一个顶点出发，可以引
条对角线，它们将五边形分为
个三角形，五边形的内角和等于180°×
.
从六边形的一个顶点出发，可以引
条对角线，它们将六边形分为
个三角形，六边形的内角和等于180°×
.
……
从n（n≥3且为整数）边形的一个顶点出发，可以引
条对角线；它们将n边形分为
个三角形，n边形的内角和等于180°×
.
问题2
如图，∠1，∠2，∠3，…，∠n是n边形ABCD…的外角，求∠1+∠2+∠3+…∠n.
【教学说明】对问题1，全班同学独立完成，5分钟后请学生上黑板写出各自的答案，然后引导同学们得出多边形的内角和定理.
对问题2，可作如下提示：∠1+∠1′=？，∠2+∠2′=？，∠3+∠3′=？，……，∠n+∠n′=？，∠1′+∠2′+∠3′+…∠n′=？教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
思考
n边形的内角和、外角和分别是多少？
【归纳结论】n边形的内角和等于（n-2）×180°.
多边形的外角和等于360°.
三、运用新知，深化理解
1.一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是（
）
A.正六边形
B.正七边形
C.正八边形
D.正九边形
2.如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后左转40°，再沿直线前进10米后又左转40°，……照这样走下去，他第一次回到出发点时，一共走了
米.
3.已知一个多边形，它的外角和等于内角和的，求这个多边形的边数.
4.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.
（提示：连AE，得五边形ABCDE）
5.一个多边形，除去一个内角α，其余各角之和为2750°，求∠α的度数和这个多边形的边数.
6.某同学计算多边形内角和时，得到的答案是5243°，老师指出他把某一个外角也加了进去，他计算的是几边形的内角和？这个多边形一定有一个内角是多少度？
7.一个正多边形至多有几个锐角，为什么？
【教学说明】本环节可由教师根据实际教学进行选择性讲解.
【答案】1.C
解析：设该多边形为正n边形，则有45°×n=360°,解得n=8.
2.90
解析：依题意知小明所走的路线是一个正n边形，则每个外角都是40°，则有40°×n=360°，解得n=9,所以小明一共走了10×9=90米.
3.解：多边形的外角和为360°,所以该多边形的内角和为360°×4=1440°.由多边形内角和定理得（n-2）×180°=1440°解得n=10,即这个多边形的边数为10.
4.解：如图，连结AE.
在△AHE中，∠HAE+∠HEA+∠AHE=180°，
在△FGH中，∠G+∠F+∠FHG=180°，
又∠AHE=∠FHG
∴∠HAE+∠HEA=∠F+∠G
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠BAG+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠HAE+∠HEA=∠BAE+∠B+∠C+∠D+∠DEA
即为五边形的内角和
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（5-2）×180°=540°
5.解：设这个多边形边数为n，
因为2750°=15×180°+50°，
所以n-2=16，
50°+α=180°
∴∠α=130°，n=18.
6.解：5243°=29×180°+23°
由（n-2）×180°=29×180°得n=31
180°-23°=157°
所以他计算的是31边形的内角和，其中一定有一个内角是157°.
7.解：一个正多边形至多有3个锐角，理由是因为正多边形的外角和为360°，所以外角中至多3个钝角.
四、师生互动，课堂小结
1.n边形的内角和等于（n-2）×180°.
2.多边形的外角和等于360°.
3.多边形内角和定理证明的思想方法是将多边形的内角和问题转化为三角形内角和的问题.除教材介绍的方法外，还可以用下面的方法：
（1）如图（1），点P在多边形内部，辅助线将n边形分成n个三角形，再减去一个周角，即n×180°-360°=（n-2）×180°.
（2）如图（2），点P在多边形边上，辅助线将n边形分成（n-1）个三角形，再减去以P为顶点的一个平角即为多边形的内角和，故多边形内角和为（n-1）×180°-180°=（n-2）×180°.
（3）如图（3），点P在n边形的外部，辅助线将n边形分成了（n-1）个三角形，再减去外面那个三角形的内角和即为多边形的内角和，故n边形的内角和为：（n-1）×180°-180°=（n-2）×180°.
4.多边形的内角和与边数有关，外角和与边数无关，多边形每增加一边，它的内角和增加180°，而外角和不变.
1.布置作业：从教材“习题11.3”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比较观察、交流和表述，激发学生学习兴趣，强调分组讨论，学生与学生之间很好地交流与合作，利用师生的双边活动，适时调度，查漏补缺，从而顺利达到教学目的.
多边形的内角和
【知识与技能】
1.掌握多边形的内角和定理、外角和定理.
2.运用多边形的内角和、外角和定理进行证明或计算.
【过程与方法】
通过证明四边形内角和定理的方法启示，求五边形、六边形的内角和，从而求n边形的内角和，依此推出多边形的外角和定理.最后运用这两个定理进行简单的证明或计算.
【情感态度】
通过本节课的学习，使同学们掌握“由特殊到一般”及“化未知为已知”的科学学习方法提高学习的兴趣和效率.
【教学重点】
多边形的内角和定理、外角和定理.
【教学难点】
探求多边形的内角和定理、外角和定理及这两个定理的灵活运用.
一、情境导入，初步认识
问题1
从五边形的一个顶点出发，可以引
条对角线，它们将五边形分为
个三角形，五边形的内角和等于180°×
.
从六边形的一个顶点出发，可以引
条对角线，它们将六边形分为
个三角形，六边形的内角和等于180°×
.
……
从n（n≥3且为整数）边形的一个顶点出发，可以引
条对角线；它们将n边形分为
个三角形，n边形的内角和等于180°×
.
问题2
如图，∠1，∠2，∠3，…，∠n是n边形ABCD…的外角，求∠1+∠2+∠3+…∠n.
【教学说明】对问题1，全班同学独立完成，5分钟后请学生上黑板写出各自的答案，然后引导同学们得出多边形的内角和定理.
对问题2，可作如下提示：∠1+∠1′=？，∠2+∠2′=？，∠3+∠3′=？，……，∠n+∠n′=？，∠1′+∠2′+∠3′+…∠n′=？教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
思考
n边形的内角和、外角和分别是多少？
【归纳结论】n边形的内角和等于（n-2）×180°.
多边形的外角和等于360°.
三、运用新知，深化理解
1.一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是（
）
A.正六边形
B.正七边形
C.正八边形
D.正九边形
2.如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后左转40°，再沿直线前进10米后又左转40°，……照这样走下去，他第一次回到出发点时，一共走了
米.
3.已知一个多边形，它的外角和等于内角和的，求这个多边形的边数.
4.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.
（提示：连AE，得五边形ABCDE）
5.一个多边形，除去一个内角α，其余各角之和为2750°，求∠α的度数和这个多边形的边数.
6.某同学计算多边形内角和时，得到的答案是5243°，老师指出他把某一个外角也加了进去，他计算的是几边形的内角和？这个多边形一定有一个内角是多少度？
7.一个正多边形至多有几个锐角，为什么？
【教学说明】本环节可由教师根据实际教学进行选择性讲解.
【答案】1.C
解析：设该多边形为正n边形，则有45°×n=360°,解得n=8.
2.90
解析：依题意知小明所走的路线是一个正n边形，则每个外角都是40°，则有40°×n=360°，解得n=9,所以小明一共走了10×9=90米.
3.解：多边形的外角和为360°,所以该多边形的内角和为360°×4=1440°.由多边形内角和定理得（n-2）×180°=1440°解得n=10,即这个多边形的边数为10.
4.解：如图，连结AE.
在△AHE中，∠HAE+∠HEA+∠AHE=180°，
在△FGH中，∠G+∠F+∠FHG=180°，
又∠AHE=∠FHG
∴∠HAE+∠HEA=∠F+∠G
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠BAG+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠HAE+∠HEA=∠BAE+∠B+∠C+∠D+∠DEA
即为五边形的内角和
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（5-2）×180°=540°
5.解：设这个多边形边数为n，
因为2750°=15×180°+50°，
所以n-2=16，
50°+α=180°
∴∠α=130°，n=18.
6.解：5243°=29×180°+23°
由（n-2）×180°=29×180°得n=31
180°-23°=157°
所以他计算的是31边形的内角和，其中一定有一个内角是157°.
7.解：一个正多边形至多有3个锐角，理由是因为正多边形的外角和为360°，所以外角中至多3个钝角.
四、师生互动，课堂小结
1.n边形的内角和等于（n-2）×180°.
2.多边形的外角和等于360°.
3.多边形内角和定理证明的思想方法是将多边形的内角和问题转化为三角形内角和的问题.除教材介绍的方法外，还可以用下面的方法：
（1）如图（1），点P在多边形内部，辅助线将n边形分成n个三角形，再减去一个周角，即n×180°-360°=（n-2）×180°.
（2）如图（2），点P在多边形边上，辅助线将n边形分成（n-1）个三角形，再减去以P为顶点的一个平角即为多边形的内角和，故多边形内角和为（n-1）×180°-180°=（n-2）×180°.
（3）如图（3），点P在n边形的外部，辅助线将n边形分成了（n-1）个三角形，再减去外面那个三角形的内角和即为多边形的内角和，故n边形的内角和为：（n-1）×180°-180°=（n-2）×180°.
4.多边形的内角和与边数有关，外角和与边数无关，多边形每增加一边，它的内角和增加180°，而外角和不变.
1.布置作业：从教材“习题11.3”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比较观察、交流和表述，激发学生学习兴趣，强调分组讨论，学生与学生之间很好地交流与合作，利用师生的双边活动，适时调度，查漏补缺，从而顺利达到教学目的.