空间向量与立体几何
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
(教师独具)
空间向量的线性运算和数量积
【例1】 (1)如图，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．
(2)已知正四面体OABC的棱长为1，如图．求：
①·；
②(＋)·(＋)；
③|＋＋|.
[思路探究] (1)利用向量共线定理证明．
(2)利用数量积的定义及运算法则进行．
[解] (1)证明：∵E，H分别是边AB，AD的中点，∴＝，＝.
则＝－＝－＝(－)＝.
∵＝－＝－＝(－)＝，
∴∥且||＝||≠||.
又F不在EH上，故四边形EFGH是梯形．
(2)在正四面体OABC中，||＝||＝||＝1.
〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°.
①·＝||||·cos∠AOB＝1×1×cos
60°＝.
②(＋)·(＋)
＝(＋)·(－＋－)
＝(＋)·(＋－2)
＝＋2·－2·＋2－2O·
＝12＋2×1×1×cos
60°－2×1×1×cos
60°＋12－2×1×1×cos
60°＝1＋1－1＋1－1＝1.
③|＋＋|＝＝＝.
1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．
2．空间向量的数量积
(1)空间向量的数量积的定义表达式a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉及其变式cos〈a，b〉＝是两个重要公式．
(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a2＝|a|2，a在b上的投影＝|a|·cos
θ等．
[跟进训练]
1.如图，已知ABCD?A′B′C′D′是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点，设＝α＋β＋γ，则α＋β＋γ＝________.
[连接BD，则M为BD的中点，
＝＋＝＋＝(＋)＋
(＋)＝(－＋)＋(＋)
＝＋＋.
∴α＝，β＝，γ＝.
∴α＋β＋γ＝.]
空间向量基本定理
【例2】 (1)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三个向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为( )
A．0 B． C．9 D．
(2)如图，已知空间四边形OABC，对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，用基底向量，，表示向量.
(1)D [∵a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，a，b，c三个向量不能构成空间的一个基底，
∴a与b不平行，且a，b，c三个向量共面，
∴存在实数X，Y，使得c＝Xa＋Yb，
即解得λ＝.]
(2)[解] ＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋(＋)－
＝＋＋.
基底的判断方法
判断给出的三个向量能否构成基底，关键是要判断这三个向量是否共面．首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．
[跟进训练]
2.如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量；
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
[解] (1)＝＋＋＝＋＋＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c.
(2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，
∴|a＋b＋c|＝，∴||＝|a＋b＋c|＝，即MN＝.
空间向量的坐标表示
【例3】 (1)已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是________．
(2)已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
①当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值；
②当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求实数λ的值．
[思路探究] (1)利用|a|＝构建函数关系，再利用二次函数求最小值；
(2)利用向量共线和垂直的充要条件，由坐标运算求解．
(1) [由已知，得
b－a＝(2，t，t)－(1－t,1－t，t)＝(1＋t,2t－1,0)．
∴|b－a|＝
＝＝.
∴当t＝时，|b－a|的最小值为.]
(2)[解] ①∵a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，
∴a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa＋b＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)．
∵(λa＋b)∥(a－3b)，
∴＝＝，
解得λ＝－.
②∵(a－3b)⊥(λa＋b)，∴(7，－4，－16)·(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)＝0，即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得λ＝.
熟记空间向量的坐标运算公式
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
(1)加减运算：a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)．
(2)数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
(3)向量夹角：cos〈a，b〉＝.
(4)向量长度：设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，
则||＝.
(5)a∥b?x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2.
提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算．
[跟进训练]
3．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时Q的坐标为( )
A．
B．
C．
D．
C [设＝λ，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝OB－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以·＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(4,3)))－\f(1,3))).
所以当λ＝时，·最小，此时＝＝，即点Q的坐标为.]
利用空间向量证明平行、垂直问题
【例4】 在四棱锥P?ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．
(1)求证：BM∥平面PAD；
(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由．
[思路探究] (1)证明向量垂直于平面PAD的一个法向量即可；
(2)假设存在点N，设出其坐标，利用⊥，⊥，列方程求其坐标即可．
[解] (1)证明：以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，则B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1，1,1)，
∴＝(0,1,1)，
平面PAD的一个法向量为n＝(1,0,0)，
∴·n＝0，即⊥n，
又BM?平面PAD，∴BM∥平面PAD.
(2)＝(－1,2,0)，＝(1,0，－2)，
假设平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD.
设N(0，y，z)，则＝(－1，y－1，z－1)，
从而MN⊥BD，MN⊥PB，
∴即
∴∴N，∴在平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD.
利用空间向量证明空间中的位置关系
线线平行
证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量.
线线垂直
证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直.
线面平行
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示.
线面垂直
①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.
面面平行
①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题.
面面垂直
①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题.
[跟进训练]
4.如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)平面PMC⊥平面PDC.
[证明] (1)如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A?xyz.设PA＝AD＝a，AB＝b.
P(0,0，a)，A(0,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，B(b,0,0)．
因为M，N分别为AB，PC的中点，
所以M，N.
所以＝，又＝(0,0，a)，
＝(0，a,0)，
所以＝＋.
又因为MN?平面PAD，所以MN∥平面PAD.
(2)由(1)可知P(0,0，a)，C(b，a,0)，M，D(0，a,0)．
所以＝(b，a，－a)，＝，
＝(0，a，－a)．
设平面PMC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则故
所以
令z1＝b，则n1＝(2a，－b，b)
.
设平面PDC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则故
所以
令z2＝1，则n2＝(0,1,1)．
因为n1·n2＝0－b＋b＝0，所以n1⊥n2.
所以平面PMC⊥平面PDC.
用空间向量求空间角和空间距离
[探究问题]
1．用法向量求直线与平面所成的角时，直线的方向向量和平面的法向量的夹角与线面角有什么关系？
[提示] 不是线面角，而是它的余角(或补角的余角)，即设线面角为θ，直线与平面的法向量的夹角为〈a，n〉，则θ＝－〈a，n〉(〈a，n〉为锐角)或θ＝〈a，n〉－(〈a，n〉为钝角)．应注意到线面角为锐角或直角．
2．平面与平面的夹角一定是锐角吗？
[提示] 不一定，可以是锐角，也可以是直角．
【例5】 长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中点，求：
(1)M到直线PQ的距离；
(2)M到平面AB1P的距离．
[解] 如图，建立空间直角坐标系B?xyz，则A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)，Q(4,6,2)．
(1)∵＝(－2，－3,2)，＝(－4，－2，－2)，
∴在上的射影的模＝＝
＝＝.
故M到PQ的距离为eq
\r(|\o(QM,\s\up8(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(6),6))))＝＝.
(2)设n＝(x，y，z)是平面AB1P的某一法向量，则n⊥，n⊥，
∵＝(－4,0,4)，＝(－4,4,0)，∴
因此可取n＝(1,1,1)，由于＝(2，－3，－4)，那么点M到平面AB1P的距离为d＝＝＝，故M到平面AB1P的距离为.
1．本例中，把条件“∠BAD＝120°”改为“∠BAD＝90°，且PA＝1”，其它条件不变，求点A到平面PCB的距离．
[解] 如图，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,1)，C(1,1,0)，B(0,2,0)，
∴＝(0,0,1)，＝(0，－2,1)，＝(1，－1,0)．
设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，
则即.
令y＝1，则x＝1，z＝2.
∴n＝(1,1,2)，∴A点到平面PCB的距离为
d＝＝＝.
2．在本例条件中加上“PA＝1”，求直线PA与平面PCB所成角．
[解] 根据题目所建立的平面直角坐标系可知A(0,0,0)，P(0,0,1)，C，B(0,2,0)，
∴＝(0,0,1)，＝
＝(0，－2,1)，
设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，
∴令y＝1，则
m＝(，1,2)，设PA与平面PCB的夹角为θ，则sin
θ＝|cos〈m，〉|＝＝＝，∴θ＝45°.
故直线PA与平面PBC所成的角为45°.
用向量法求空间角的注意点
(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．
(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cos〈n，a〉，易知θ＝〈n，a〉－或者－〈n，a〉．
(3)平面与平面的夹角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补．
[培优层·素养升华]
【例】 如图，在三棱锥P?ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角M—PA—C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
[思路探究] (1)首先利用等腰三角形的性质可得PO⊥AC，利用勾股定理可证得PO⊥OB，然后结合线面垂直的判定定理即可证得结果；(2)根据(1)中的垂直关系建立空间直角坐标系，设出点M(含有参数)的坐标，根据已知条件求得此参数，然后求解即可．
[解] (1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.
如图，连接OB.因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，
且OB⊥AC，OB＝AC＝2.
由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.
由OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.
(2)如图以O为坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O?xyz.
由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，＝(0,2,2)．取平面PAC的一个法向量＝(2,0,0)．
设M(a,2－a,0)(0＜a≤2)，则＝(a,4－a,0)．
设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z)．
由·n＝0，·n＝0得
取y＝a，则z＝－a，x＝(a－4)，可得n＝((a－4)，a，－a)为平面PAM的一个法向量，
所以cos〈，n〉＝.
由已知可得|cos〈，n〉|＝，
所以＝，
解得a＝，所以n＝.
又＝(0,2，－2)，
所以cos〈，n〉＝.
所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.
利用向量方法求空间角问题是每年高考的热点问题，无论是二面角、直线与平面所成的角，还是异面直线所成的角，最终都利用空间向量的夹角公式来求解．不同的是求二面角时，所取的两个向量为两个平面的法向量；求直线与平面所成的角时，所取的向量为直线的方向向量与平面的法向量；求异面直线所成的角时，则只需取两条直线的方向向量即可．
[跟进训练]
如图，长方体ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
(1)证明：BE⊥平面EB1C1；
(2)若AE＝A1E，求二面角B?EC?C1的正弦值．
[解] (1)证明：由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.
又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，
所以BE⊥平面EB1C1.
(2)由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝45°，故AE＝AB，AA1＝2AB.
以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz，则C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，
E(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(1，－1,1)，＝(0,0,2)．
设平面EBC的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
所以可取n＝(0，－1，－1)．
设平面ECC1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则
即
所以可取m＝(1,1,0)．
于是cos〈n，m〉＝＝－.
所以，二面角B?EC?C1的正弦值为.
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-1.4.2 用空量研究距离、夹角问题
学
习
目
标
核
心
素
养
1.会用向量法求线线、线面、面面的夹角以及距离问题．(重点、难点)2.正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系．(易错点)
通过利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角和距离的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养.
(1)已知a，b为非零向量，它们的夹角为θ，那么cos
θ＝cos〈a，b〉＝.
(2)空间中有三种角：异面直线所成的角，直线与平面所成的角和两个平面的夹角．
(3)空间中的三种基本距离：点点距、点线距和点面距．利用直线的方向向量和平面的法向量可以判断线线、线面和面面的平行、垂直问题，能否利用它们求出三种空间角和空间距离呢？
1．空间角的向量求法
角的分类
向量求法
范围
两异面直线l1与l2所成的角为θ
设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos|＝
直线l与平面α所成的角为θ
设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin
θ＝|cos|＝
平面α与平面β的夹角为θ
设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos
θ＝|cos|＝
思考：直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？
[提示] 设n为平面α的一个法向量，a为直线a的方向向量，直线a与平面α所成的角为θ，则
θ＝
2．空间距离的向量求法
分类
向量求法
两点距
设A、B为空间中的任意两点，则d＝|AB|
点线距
设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P?l，设＝a，则点P到直线l的距离d＝
点面距
已知平面α的法向量为n，A∈α，P?α，则点P到平面α的距离为d＝
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．
( )
(2)直线l与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角．
( )
(3)平面α和β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则θ＝〈n1，n2〉．
( )
[提示] (1)× (2)× (3)×
2．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为( )
A．30°
B．60°
C．150°
D．120°
B [设l与α所成的角为θ，则sin
θ＝|cos〈m，n〉|＝，又0°≤θ≤90°，∴θ＝60°，应选B.]
3．两平行平面α，β分别经过点O(0,0,0)和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是________．
[两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，＝(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，∴两平面间的距离d＝＝.]
4．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面的夹角的大小为________．
45° [cos
θ＝＝＝，由于θ∈，∴θ＝45°.]
距离问题
【例1】 如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.求点A到平面MBC的距离．
[思路探究]
→→
利用点到平面的距离公式求解
[解] 取CD的中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD.
以O为坐标原点，分别以直线OC，BO，OM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O?xyz，如图所示．
因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，所以OB＝OM＝，则O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)，所以＝(1，，0)，＝(0，，)，＝(0,0,2)．
设平面MBC的法向量为n＝(x，y，z)，
由得
即取x＝，可得平面MBC的一个法向量为n＝(，－1,1)．
又＝(0,0,2)，所以所求距离d＝＝.
求点到平面的距离的四步骤
[跟进训练]
1．在长方体OABC?O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离．
[解] 法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，过O1作O1D⊥AC于点D，设D(x，y，0)，＝(x－2，y，0)，＝(x，y，－2)，
∵＝(－2,3,0)，⊥，
∥，∴
解得∴D，
∴||＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,13)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))＋?－2?2)＝.
即O1到直线AC的距离为.
法二：建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，
∴＝(－2,0,2)，
＝(－2,3,0)，
∴·＝(－2,0,2)·(－2,3,0)＝4，
∴在方向上的投影为
＝，∴O1到直线AC的距离
d＝eq
\r(\o(|\o(AO1,\s\up8(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AO1,\s\up8(→))·\o(AC,\s\up8(→)),|\o(AC,\s\up8(→))|)))))＝.
求两条异面直线所成的角
【例2】 如图，在三棱柱OAB?O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．
[思路探究] 建立空间直角坐标系→用坐标表示向量和→运用向量法求A1B与AO1的夹角
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，
∴＝(－，1，－)，
＝(，－1，－)．
∴|cos〈，〉|＝
＝＝.
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.
用坐标法求异面直线所成角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；
(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；
(4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角．
[跟进训练]
2.如图，在三棱锥V?ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．
[解] 因为AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．
在Rt△VCD中，CD＝，∠VDC＝，故V(0,0，)．
所以＝(－2,0,0)，＝(1,1，－)．
所以cos〈，〉＝＝＝－.
所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为.
直线与平面所成的角
【例3】 如图，已知三棱柱ABC?A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．
(1)证明：EF⊥BC；
(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．
[思路探究] 连接A1E，先证明A1E⊥面ABC，再以E为原点建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标，利用向量的坐标运算证明EF⊥BC，再利用向量法求直线与平面所成角的余弦值．
[证明] (1)连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以，A1E⊥平面ABC.
如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E?xyz.
不妨设AC＝4，则A1(0,0,2)，B(，1,0)，B1(，3，2)，F，C(0,2,0)．
因此，＝，＝(－，1,0)．
由·＝0得EF⊥BC.
(2)设直线EF与平面A1BC所成角为θ，
由(1)可得＝(－，1,0)，＝(0,2，－2)，设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，
由，得，
取n＝(1，，1)，故sin
θ＝|cos〈，n〉|＝＝.
因此直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为.
求直线与平面的夹角的思路与步骤
思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．
思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤．
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的方向向量；
(3)求平面的法向量n；
(4)计算：设线面角为θ，则sin
θ＝.
[跟进训练]
3.如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
[解] 如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{，，}为基底，建立空间直角坐标系O?xyz.
因为AB＝AA1＝2，所以A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1，2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)．
(1)因为P为A1B1的中点，
所以P，
从而＝，＝(0,2,2)，
故|cos〈，〉|＝＝＝.
因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.
(2)因为Q为BC的中点，所以Q，
因此＝，＝(0,2,2)，＝(0,0,2)．
设n＝(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，
则即
不妨取n＝(，－1,1)．
设直线CC1与平面AQC1所成的角为θ，
则sin
θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，
所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.
平面与平面的夹角
[探究问题]
1．二面角与平面的夹角范围一样吗？
[提示] 不一样．二面角的范围为[0，π]，而两个平面的夹角是不大于直角的角，范围是.
2．两平面的夹角与二面角的两个半平面的法向量所成的角有怎样的关系？
[提示] 两平面的法向量分别为u，v，若〈u，v〉为锐角时，两平面的夹角等于〈u，v〉，若〈u，v〉为钝角时，两平面的夹角等于π－〈u，v〉．
【例4】 如图，四棱柱ABCD?A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
(1)证明：O1O⊥底面ABCD；
(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面DOB1的夹角的余弦值．
[思路探究] 建立空间直角坐标系，根据∠CBA＝60°，建立棱长之间的关系，写出相关点的坐标和向量的坐标，再求两平面的夹角．
[解] (1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，
又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，
因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD.
(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直．如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
设棱长为2，因为∠CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1，
所以O(0,0,0)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，
平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0,1,0)，
设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)，
则由m⊥，m⊥，所以
取z＝－，则x＝2，y＝2，
所以m＝(2,2，－)，
所以cos〈m，n〉＝＝＝.
所以平面C1OB1与平面DOB1的夹角的余弦值为.
1．[变设问]本例条件不变，求面BA1C与面DA1C的夹角的余弦值．
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，则A1(0，－1,2)，
B(，0,0)，C(0,1,0)，
D(－，0,0)．
所以＝(－，1,0)，＝(0,2，－2)，＝(－，－1,0)．
设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
取x1＝，则y1＝z1＝3，
故n1＝(，3,3)．
设平面A1CD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即
取x2＝，则y2＝z2＝－3，
故n2＝(，－3，－3)．
所以cos〈n1，n2〉＝＝－＝－.
所以面BA1C与面DA1C的夹角的余弦值为－.
2．[变条件、变设问]本例四棱柱中，∠CBA＝60°改为∠CBA＝90°，设E，F分别是棱BC，CD的中点，求平面AB1E与平面AD1F的夹角的余弦值．
[解] 以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设此棱柱的棱长为1，则A(0,0,0)，B1(1,0,1)，E，D1(0,1,1)，F，＝，＝(1,0,1)，＝，＝(0,1,1)．
设平面AB1E的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
令y1＝2，则x1＝－1，z1＝1，所以n1＝(－1,2,1)．
设平面AD1F的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
则
即
令x2＝2，则y2＝－1，z2＝1.
所以n2＝(2，－1,1)．
所以平面AB1E与平面AD1F的夹角的余弦值为＝＝.
利用向量法求两平面夹角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；
(3)求两个法向量的夹角；
(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角)．
1．向量法求空间角的一般步骤
(1)向量表示
法一：选不共面的三个向量为基底，进行基底表示；法二：建立适当的坐标系进行坐标表示．求出直线a、b的方向向量a、b，平面α、β的法向量m、n.
(2)向量运算
①求直线a、b所成的角，计算cos〈a，b〉；
②求直线a与平面α所成的角，计算cos〈a，m〉；
③求两个平面的夹角的大小，计算cos〈m，n〉．
(3)解释结论
①由于直线a、b所成角θ∈，故cos
θ＝|cos〈a，b〉|.
②直线a与平面α所成角θ∈，由图形知〈a，m〉与θ的余角相等或互补，故sin
θ＝|cos〈a，b〉|.
③两个平面的夹角为不大于直角的角，范围θ∈，故cos
θ＝|cos〈m，n〉|.
2．向量法求空间中的距离
(1)点A，B间的距离．
d＝||
(2)点A到直线a的距离
d＝eq
\r(|\o(AB,\s\up8(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up8(→))·a,|a|))))，其中B∈a，a是直线a的方向向量．
(3)点A到平面α的距离．
d＝，其中B∈α，n是平面α的法向量．
1．下列说法中不正确的是( )
A．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量
B．一个平面的所有法向量互相平行
C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D．如果a、b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量
D [选项A，B，C的命题显然是正确的．只有当a、b不共线且a∥α，b∥α时，D才正确．故答案为D.]
2．已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．45°
B [由于＝＋＋，
∴·＝(＋＋)·＝||＝1.
所以cos〈，〉＝＝?〈，〉＝60°.]
3．正方体ABCD?A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为( )
A．
B．
C．
D．
B [设正方体的棱长为1，依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)
∴＝(－1,0,1)，＝(－1，1,0)
设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，
∴
令x＝1，∴n＝(1,1,1)，
又∵＝(0,0,1)，
∴BB1与平面ACD1所成角的正弦值为＝.]
4．如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为________．
[如图所示，取AB的中点M，连接CM，C1M，过点C作CD⊥C1M，垂足为D.
∵C1A＝C1B，M为AB中点，
∴C1M⊥AB.
∵CA＝CB，M为AB中点，
∴CM⊥AB.
又∵C1M∩CM＝M，∴AB⊥平面C1CM
又∵AB?平面ABC1，
∴平面ABC1⊥平面C1CM，平面ABC1∩平面C1CM＝C1M，CD⊥C1M，∴CD⊥平面C1AB，
∴CD的长度即为点C到平面ABC1的距离，即点B1到平面ABC1的距离，在Rt△C1CM中，C1C＝1，CM＝，C1M＝，∴CD＝，即点B1到平面ABC1的距离为.]
5.如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3.E为PD的中点，点F在PC上，且＝.
(1)求证：CD⊥平面PAD；
(2)求二面角F?AE?P的余弦值．
[解] (1)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.
又因为AD⊥CD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.
(2)过A作AD的垂线交BC于点M，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD，如图建立空间直角坐标系A?xyz，则A(0,0,0)，B(2，－1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，因为E为PD的中点，
所以E(0,1,1)．
所以＝(0,1,1)，＝(2,2，－2)，＝(0,0,2)．
所以＝＝，＝＋＝.
设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则，
即.
令z＝1，则y＝－1，x＝－1.
于是n＝(－1，－1,1)．
又因为平面PAD的法向量为p＝(1,0,0)，
所以cos〈n，p〉＝＝－.
因为二面角F?AE?P为锐角，所以其余弦值为.
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1
-第2课时 空间向量与垂直关系
学
习
目
标
核
心
素
养
1.能利用平面法向量证明线面和面面垂直．(重点)2．能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．(重点、难点)
借助空间向量证明线面垂直和面面垂直的学习，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.
因为方向向量和法向量可以确定直线和平面的位置，那么我们就可以利用空间直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线：平面间的平行和垂直问题．上节课我们研究了平行问题，下面我们来研究一下垂直问题．
1．空间中有关垂直的向量关系
一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直．
2．空间中垂直关系的向量表示
线线垂直
设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2?u·v＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
线面垂直
设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?u∥n?u＝λn?(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R)
面面垂直
设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β
?
n1⊥n2
?n1·n2＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？
[提示] 垂直．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)同一个平面的法向量均为共线向量．
( )
(2)若a，b是平面α内的向量，且n·a＝0，n·b＝0，那么n可以作为平面α的一个法向量．
( )
(3)若点A、B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则·n＝0.
( )
[提示] (1)√ (2)× (3)√
2．设直线l的方向向量u＝(－2,2，t)，平面α的一个法向量v＝(6，－6,12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于( )
A．4
B．－4
C．2
D．－2
B [因为直线l⊥平面α，所以u∥v，则＝＝，解得t＝－4，故选B.]
3．若直线l1的方向向量为u1＝(1,3,2)，直线l2上有两点A(1,0，1)，B(2，－1,2)，则两直线的位置关系是______．
l1⊥l2 [＝(1，－1,1)，u1·＝1×1－3×1＋2×1＝0，
因此l1⊥l2.]
4．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是________．
垂直 [由于a·b＝(2，－1,0)·(－1，－2,0)＝－2＋2＝0，所以α⊥β.]
利用空间向量证明线线垂直
【例1】 在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为AC的中点．求证：(1)BD1⊥AC；
(2)BD1⊥EB1.
[解] 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，则B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，
E，B1(1,1,1)．
(1)∵＝(－1，－1,1)，＝(－1,1,0)，
∴·＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0，
∴⊥，即BD1⊥AC.
(2)∵＝(－1，－1,1)，＝，
∴·＝(－1)×＋(－1)×＋1×1＝0，
∴⊥，
即BD1⊥EB1.
利用向量法证明线线垂直的方法
用向量法证明空间中两条直线l1，l2相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量a，b相互垂直，只需证明a·b＝0即可，具体方法如下：
(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，计算出其数量积为0即可．
(2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为0.
[跟进训练]
1．在棱长为a的正方体OABC?O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.
[证明] 以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．
设AE＝BF＝x，则E(a，x,0)，
F(a－x，a,0)．
∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)．
∴·＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，
∴⊥，即A1F⊥C1E.
用空间向量证明线面垂直
[探究问题]
1．利用空间向量证明线面垂直时，一般有哪几种思路？
[提示] 利用基向量的办法和建立空间坐标系的方法，但往往都是求直线的方向向量与平面的法向量共线．
2．证明线面垂直，能否不求平面的法向量？
[提示] 可以，这时只需证明直线的方向向量分别与平面内两个不共线的向量的数量积为零即可．
【例2】 如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE⊥平面A1D1F.
[思路探究] 建立空间直角坐标系，得到有关向量的坐标，求出平面A1D1F的法向量，然后证明与法向量共线．
[证明] 如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则A(1,0,0)，E，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，F，
∴＝，＝(－1,0,0)，＝.
设平面A1D1F的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即解得
令z＝1，得y＝2，则n＝(0,2,1)．又＝，
∴n＝2.
∴n∥，即AE⊥平面A1D1F.
1．把本例“正方体”改为“长方体”，其中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点，如图，求证：直线PB1⊥平面PAC.
[证明] 依题设，以D为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系D?xyz，则C(1,0,0)，P(0,0,1)，A(0，1,0)，B1(1,1,2)，
于是＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，＝(1,1,1)，
∴·＝(－1,1,0)·(1,1,1)＝0，
·＝(－1,0,1)·(1,1,1)＝0，
故⊥，⊥，即PB1⊥CP，PB1⊥CA，
又CP∩CA＝C，且CP?平面PAC，CA?平面PAC.
故直线PB1⊥平面PAC.
2.在本例中，把F改为“是B1D1的中点”，其他条件不变，求证：EF⊥平面B1AC.
[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系，令正方体的棱长为1，
则A(1,0,0)，C(0,1,0)，B1(1,1,1)．
E，F.
∴＝(－1,1,0)，(0,1,1)，
＝.
由·＝－＝0，
·＝－＋＝0，得
⊥，⊥
也就是EF⊥AC，EF⊥AB1，
又因AC，AB1?面AB1C，且AC∩AB1＝A，
故EF⊥平面AB1C.
1．坐标法证明线面垂直的两种方法
法一：(1)建立空间直角坐标系；
(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；
(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.
法二：(1)建立空间直角坐标系；
(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)求出平面的法向量；
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用法二，否则常常选用法一解决．
利用空间向量证明面面垂直
【例3】 如图所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
[思路探究] 要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n1，n2，证明n1·n2＝0.
[解] 由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E，
则＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)，＝.
设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．
则?
令x1＝1，得y1＝1.∴n1＝(1,1,0)．
设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
则?
令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴n2＝(1，－1,4)．
∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0.
∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.
1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．
2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．
[跟进训练]
3.如图，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.
[解] 设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，
S(0,0,1)，E.
法一：如图，连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为.易知＝(0,0,1)，＝，∴＝，∴OE∥AS.
又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.
又OE?平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.
法二：设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)．
易知＝(－1,1,0)，＝，
由
得
令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1,1,0)．
∵AS⊥底面ABCD，∴平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0,0,1)．
∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD.
空间垂直关系的解决策略
几何法
向量法
线线垂直
(1)证明两直线所成的角为90°.(2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直
两直线的方向向量互相垂直
线面垂直
对于直线l，m，n和平面α(1)若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，m与n相交，则l⊥α.(2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α
(1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量
面面垂直
对于直线l，m和平面α，β(1)若l⊥α，l?β，则α⊥β.(2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β.(3)若平面α与β相交所成的二面角为直角，则α⊥β
证明两个平面的法向量互相垂直
1．已知直线l1的方向向量a＝(1,2，－2)，直线l2的方向向量b＝(－2,3，m)．若l1⊥l2，则m＝( )
A．1
B．2
C．
D．3
B [由于l1⊥l2，所以a⊥b，故a·b＝－2＋6－2m＝0，即m＝2.]
2．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于( )
A．3
B．6
C．－9
D．9
C [∵l⊥α，v与平面α平行，∴u⊥v，即u·v＝0，
∴1×3＋3×2＋z×1＝0，∴z＝－9.]
3．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,2,3)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则x＝________.
－5 [∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝x－4＋9＝0，∴x＝－5.]
4．已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．
0 [∵a·b＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，a·c＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，b·c＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0，∴a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直．]
5．如图所示，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
求证：AB1⊥平面A1BD.
[证明] 如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1，以O为原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)．
所以＝(1，2，－)，＝(－1，2，)，＝(－2，1，0)．
因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0.
·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0.
所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD.
又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD.
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10
-1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间向量与平行关系
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解空间中点、直线和平面的向量表示．2．掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法．(重点)3．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)
1.通过空间中点、直线和平面的向量表示的学习，培养学生直观想象和逻辑推理的核心素养．2．通过直线的方向向量和平面法向量的学习，培养学生数学运算的核心素养．3．借助利用空间向量解决平行问题的学习，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.
(1)如何确定一个点在空间的位置？
(2)在空间中给一个定点A和一个定方向(向量)，能确定一条直线在空间的位置吗？
(3)给一个定点和两个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗？
(4)给一个定点和一个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗？
1．空间中点、直线和平面的向量表示
点P的位置向量
在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量表示，我们把向量称为点P的位置向量.
空间直线的向量表示式
a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，也可以表示为＝＋t.这两个式子称为空间直线的向量表示式.
空间平面ABC的向量表示式
设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb.那么取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y，这就是空间平面ABC的向量表示式.
2.直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量的定义
直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．
(2)平面的法向量的定义
直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？
[提示] 不唯一，直线的方向向量(平面的法向量)
有无数个，它们分别是共线向量．
3．空间中平行关系的向量表示
线线平行
设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2?u1∥u2?(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
线面平行
设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α?u·n＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
面面平行
设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β?n1∥n2?(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线l的方向向量a一定是单位向量．
( )
(2)直线l的一个方向向量为a＝(－1,2,1)，平面α的一个法向量为n＝(－1，－1,1)，l?α，则l∥α.
( )
(3)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2?α∥β.
( )
(4)若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的向量参数方程可以为＝t.
( )
[提示] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．已知向量a＝(2,3,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2则( )
A．x＝，y＝15
B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15
D．x＝，y＝
D [由l1∥l2，得a∥b，
即＝＝.
解得x＝，y＝，故选D.]
3．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6,8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________．
l?α或l∥α [∵μ·a＝－12＋16－4＝0，
∴μ⊥a，∴l?α或l∥α.]
4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________.
4 [由α∥β得＝＝，解得k＝4.]
求平面的法向量
【例1】 四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.
在如图所示的坐标系A?xyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量．
[解] A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)．∵AD⊥平面SAB，∴＝(1,0,0)是平面SAB的一个法向量．设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)，则n·＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0，
∴y＝－.又n·＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0，∴z＝.∴n＝即为平面SCD的一个法向量．
求平面法向量的步骤
(1)设法向量n＝(x，y，z)；
(2)在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；
(3)建立方程组
(4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量．
[跟进训练]
1．已知三点A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量．
[解] 设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由题意得＝(－1,1,0)，＝(1,0，－1)．
因为n⊥，n⊥，
所以
令x＝1，得y＝z＝1，所以平面ABC的一个法向量n＝(1,1,1).
利用空间向量证明线线平行
【例2】 (1)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( )
A．2，
B．，
C．－3,2
D．2,2
(2)在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．
求证：PQ∥RS.
[思路探究] (1)利用空间向量共线的充要条件求值．(2)可采用两种方法：一是向量法，二是坐标法，要证PQ∥RS，只要证∥，也就是要证＝λ即可．
(1)A [若a∥b，则2μ－1＝0且＝，解得μ＝且λ＝2或λ＝－3，故选A.]
(2)[证明] 法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz.
则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，＝(－3,2,1)，＝(－3,2,1)，
∴＝，∴∥，即PQ∥RS.
法二：＝＋＝－＋，
＝＋＝＋－，
∴＝，∴∥，即RS∥PQ.
证明两直线平行的方法
法一：平行直线的传递性
法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量m，n，证明m∥n，即m＝λn.
法三：坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即证明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2.
[跟进训练]
2.如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．
[证明] 以点D为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E，C1(0,1,1)，F，
∴＝，
＝，＝，＝，
∴＝，＝，
∴∥，∥，
又∵F?AE，F?EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，
∴四边形AEC1F是平行四边形.
利用空间向量证线面、面面平行
[探究问题]
1．在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？
[提示] 可设几何体的棱长为1或a，再求点的坐标．
2．依据待定系数法求出的平面法向量唯一吗？
[提示] 不唯一．利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，只需取一个较简单的非零向量作为法向量即可．
3．求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？
[提示] 根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意一条直线，因此，求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了．
【例3】 在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
[思路探究]
[证明] 法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M，N，
于是＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，
＝.
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则即取x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n.∴MN∥平面A1BD.
法二：＝－＝－＝(－)＝，∴∥，∴MN∥平面A1BD.
法三：＝－＝－＝－＝－＝－.
即可用与线性表示，故与，是共面向量，故MN∥平面A1BD.
1．本例中条件不变，试证明平面A1BD∥平面CB1D1.
[证明] 由例题解析知，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，
则＝(0，－1,1)，＝(1,1,0)，
设平面CB1D1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则，即
令y1＝1，可得平面CB1D1的一个法向量为m＝(－1,1,1)，
又平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．
所以m＝－n，所以m∥n，故平面A1BD∥平面CB1D1.
2．本例条件不变，证明：是平面A1BD的一个法向量．
[证明] 根据例题建立的空间直角坐标系知D(0,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，A(1,0,0)，C1(0,1,1)．
则＝(－1,1,1)，＝(1,1,0)，＝(1,0,1)．
由于·＝－1＋1＋0＝0，
·＝－1＋0＋1＝0，
∴⊥且⊥.
所以是平面A1BD的一个法向量．
1．向量法证明线面平行的三个思路
(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.
(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．
(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
2．证明面面平行的方法
设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β?μ∥v.
1．应用向量法证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．
(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．
2．证明面面平行的方法
设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β?n1∥n2?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．
3．直线的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有无数个，且直线的方向向量都是共线向量，平面的法向量也都是共线向量．
1．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面( )
A．xOy平行
B．xOz平行
C．yOz平行
D．yOz相交
C [＝(0,5，－3)，坐标平面yOz的一个法向量为n＝(1,0,0)，因为·n＝0，所以⊥n.
故线段AB与坐标平面yOz平行．]
2．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，且l∥α，则m＝________.
－8 [∵l∥α，∴l的方向向量与α的法向量垂直．
∴(2，m,1)×＝2＋m＋2＝0.
解得m＝－8.]
3．与向量a＝(2，－1,3)共线的单位向量是________．
或 [∵|a|＝＝，所以与a共线的方向向量为±(2，－1,3)＝±，?，±.与向量a共线的方向向量为或.]
4．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，求平面α的一个法向量．
[解] 因为A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，所以＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则有即
得z＝0，x＝2y，令y＝1，则x＝2，所以平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．
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1
-1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解空间直角坐标系的建立过程．2．掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定．(重点)3．掌握空间向量的坐标表示(重点、难点)
1.通过建立空间直角坐标系，确定点的坐标，提升学生直观想象的核心素养．2．通过空间向量的坐标表示，培养学生直观想象和数学建模的核心素养.
(1)数轴Ox上的点M，用代数的方法怎样表示呢？
数轴Ox上的点M，可用与它对应的实数x表示；
(2)直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？
直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数(x，y)表示．
(3)如果我们也能建立一个空间直角坐标系，又该怎样表示空间的点呢？
1．空间直角坐标系
空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系
坐标轴
x轴、y轴、z轴
坐标原点
点O
坐标向量
i，j，k
坐标平面
Oxy平面、Oyz平面和Oxz平面
右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，如果中指指向z轴正方向，则称坐标系为右手直角坐标系
2.空间向量的坐标表示
空间直角坐标系中A点坐标
在空间直角坐标系中，i，j，k为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．记作A(x，y，z)，其中x叫点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标
在空间直角坐标系中，给定向量a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系中的坐标，简记作a＝(x，y，z)
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间直角坐标系中x轴上点的横坐标x＝0，竖坐标z＝0.( )
(2)空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z＝0.
( )
(3)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵、竖坐标不变，横坐标相反．
( )
[提示] (1)× (2)× (3)√
2．已知i，j，k是空间直角坐标系O?xyz的坐标向量，并且＝－i＋j－k，则B点的坐标为( )
A．(－1,1，－1)
B．(－i，j，－k)
C．(1，－1，－1)
D．不确定
D [向量确定时，终点坐标随着起点坐标的变化而变化，本题中起点没固定，所以终点的坐标也不确定．]
3．已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，若以{，，}为基底，则＝________，的坐标是________．
＋＋
(1,1,1) [若以{，，}为基底，∵＝＋＝＋＋＝＋＋
∴的坐标为(1,1,1)．]
求空间点的坐标
【例1】 如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；
(2)求点N的坐标．
[思路探究] 将各个点在坐标上的射影求出，即可写出空间各点的坐标．
[解] (1)显然D(0,0,0)，
因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|＝3，
所以A(3,0,0)．同理，可得C(0,4,0)，D1(0,0,5)．
因为点B在坐标平面xOy内，BC⊥CD，BA⊥AD，所以B(3,4,0)．同理，可得A1(3,0,5)，C1(0,4,5)，与B的坐标相比，点B1的坐标中只有竖坐标不同，|BB1|＝|AA1|＝5，则B1(3,4,5)．
(2)由(1)知C(0,4,0)，C1(0,4,5)，
则C1C的中点N为，
即N.
坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点
x轴上
(x,0,0)
xOy平面上
(x，y,0)
y轴上
(0，y,0)
yOz平面上
(0，y，z)
z轴上
(0,0，z)
xOz平面上
(x,0，z)
坐标原点
(0,0,0)
[跟进训练]
1．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则E，F的坐标分别为________．
[答案] E，F
求对称点的坐标
【例2】 在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．
[思路探究] 求对称点的坐标，可以过该点向对称平面或对称轴作垂线并延长，使得垂足为所作线段的中点，再根据有关性质即可写出对称点坐标．
[解] (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．
(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点．由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．
1．求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反．”
在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下：
对称轴或对称中心
对称点坐标
P(a，b，c)
x轴
(a，－b，－c)
y轴
(－a，b，－c)
z轴
(－a，－b，c)
xOy平面
(a，b，－c)
yOz平面
(－a，b，c)
xOz平面
(a，－b，c)
坐标原点
(－a，－b，－c)
2.在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标为.
[跟进训练]
2．点P(－3,2，－1)关于平面xOz的对称点是________，关于z轴的对称点是________，关于M(1,2,1)的对称点是________．
(－3，－2，－1) (3，－2，－1) (5,2,3) [点P(－3,2，－1)关于平面xOz的对称点是(－3，－2，－1)，关于z轴的对称点是(3，－2，－1)．设点P(－3,2，－1)关于M(1,2,1)的对称点为(x，y，z)．
则解得
故点P(－3,2，－1)关于点M(1,2,1)的对称点为(5,2,3)．]
空间向量的坐标表示
[探究问题]
1．在正三棱柱ABC?A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，如何建立适当的空间直角坐标系？
[提示] 分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．
2．若＝(a，b，c)，则的坐标是多少？
[提示] ＝(－a，－b，－c)．【例3】 如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．
[思路探究] 以点C为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN，，分别用，，表示出来，再写出它们的坐标．
[解] 法一：由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C?xyz，如图所示．
∴＝－＝＋－＝－＋，∴的坐标为(1，－1,1)，
而＝－＝－＋，
∴的坐标为(1，－1,2)．
又∵＝－，∴的坐标为(－1,1，－2)．
法二：建系同法一，则B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1)，
∴＝(1，－1,1)，＝(1，－1,2)，＝(－1,1，－2)．
[变条件]本例中，若把条件“AA1＝2”改为“AA1＝1”，结果怎样？
[解] 建系方式与例题相同，建系，＝－＋，因为{，，}为单位正交基底，
∴＝.
又＝－＋，∴＝(1，－1,1)．
所以＝－＝(－1,1，－1)．
用坐标表示空间向量的步骤
[跟进训练]
3.已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，如图所示建立空间直角坐标系．
(1)写出各顶点的坐标；
(2)写出向量，，的坐标．
[解] (1)由题图知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0，0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，
(2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，
由中点坐标公式，得E(2,2,1)，F(0,1,0)．
所以＝(－2，－1，－1)，＝(－2，－1，－2)，＝(0,2，－1)．
1．在空间直角坐标系中，确定点的坐标或求对称点坐标时，要记住规律：“在谁的轴上，谁属于R，其它为零；在谁的平面上，谁属于R，其它为零．”“关于谁对称谁不变，其余变成相反数．”
2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．
1．设点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点为P1，则点P1关于z轴的对称点P2的坐标是( )
A．(1,1，－1)
B．(－1，－1，－1)
C．(－1，－1,1)
D．(1，－1,1)
B [由条件知，P1(1,1，－1)，P1关于z轴的对称点为(－1，－1，－1)．]
2．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(1,1,1)
B．
C．(3,2,5)
D．(3,2，－5)
C [＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k，∴向量在基底{i，j，k}下的坐标是(3,2,5)．]
3．已知点A(1,2,2)，B(1，－3,1)，则AB的中点M的坐标为________．
[AB的中点坐标为，即.]
4.已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且AB＝AP＝1，分别以，，为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标．
[解] 设＝e1，＝e2，＝e3，则＝＝e2，
＝＋＋
＝＋＋
＝＋＋(＋＋)
＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2)
＝－e1＋e3，
∴＝，＝(0,1,0)．
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1
-1.2 空间向量基本定理
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解．(难点)3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(重点)
1.通过基底概念的学习，培养学生数学抽象的核心素养.2.借助基底的判断及应用，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.
(1)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb.
(2)共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使得＝x＋y，或对于空间任意一定点O，有＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)．
今天我们将对平面向量基本定理加以推广，应用上面的几个公式我们可以解决与四点共面有关的问题，得出空间向量基本定理．
1．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋y
b＋zc.
其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？
(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x，y，z)是否唯一？
[提示] (1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面．
(2)唯一确定．
2．正交分解
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i，j，k}表示．
(2)正交分解
把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若{，，}不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面．
( )
(2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．
( )
(3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．
( )
[提示] (1)√ (2)√ (3)×
2．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是( )
A．a
B．b
C．a＋2b
D．a＋2c
[答案] D
3．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是( )
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
C [由题意知，，，不共面，可以作为空间向量的一个基底．]
4．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.
1 －1 [由m与n共线，得＝＝，
∴x＝1，y＝－1.]
基底的判断
【例1】 (1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的向量组有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．
(1)C [如图所示，令a＝，b＝，c＝，
则x＝，y＝，z＝，
a＋b＋c＝.由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选C.]
(2)[解] 假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使＝x＋y成立，
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，
即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面．
∴此方程组无解．
即不存在实数x，y使得＝x＋y，
所以，，不共面．
所以{，，}能作为空间的一个基底．
基底判断的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a＝λb＋μ
c，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
[跟进训练]
1．设向量{a，b，c}是空间一个基底，则一定可以与向量p＝a＋b，q＝a－b，构成空间的另一个基底的向量是( )
A．a
B．b
C．c
D．a或b
C [由题意和空间向量的共面定理，
结合p＋q＝(a＋b)＋(a－b)＝2a，
得a与p，q是共面向量，
同理b与p，q是共面向量，
所以a与b不能与p，q构成空间的一个基底；
又c与a和b不共面，
所以c与p，q构成空间的一个基底．]
用基底表示向量
【例2】 如图，四棱锥P?OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC，PB的中点，试用a，b，c表示：，，，.
[思路探究] →
→
[解] 连接BO(图略)，则＝＝(＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋c.
＝＋＝＋＝＋(＋)＝－a－b＋c.
＝＋＝＋＋(＋)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c.＝＝＝a.
基向量的选择和使用方法
(1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底．
(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．
[跟进训练]
2．点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝，＝，则满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值分别为( )
A．－，，
B．，－，
C．－，，－
D．－，－，
D [如图所示，取PC的中点E，连接NE，则＝－＝－(－)＝－＝－＝－－(－＋＋)＝－－＋，比较知x＝－，y＝－，z＝，故选D.]
正交分解在立体几何中的应用
[探究问题]
1．取单位正交基底比一般的基底的优点有哪些？
[提示] 若取单位正交基底{i，j，k}，那么|i|＝|j|＝|k|＝1.且i·j＝j·k＝i·k＝0，这是其他一般基底所没有的．
2．正方体ABCD?A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为基底，如何表示向量AC′.
[提示] ＝＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋.
【例3】 如图，已知平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，求异面直线BD1和AC所成角的余弦值．
[思路探究] →
→
→→
[解] {，，}可以作为空间的一个基底，且||＝a，||＝a，||＝b，
〈，〉＝90°，〈，〉＝120°，〈，〉＝120°.
又＝＋－，＝＋，
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·－2·－2·＝a2＋b2＋a2＋2abcos
120°－0－2abcos
120°＝2a2＋b2，
||2＝||2＋2·＋||2＝2a2，
∴||＝，||＝a.
∴·＝(＋－)·(＋)＝·＋||2＋·＋·－||2－·＝0＋a2＋abcos
120°＋abcos
120°－a2－0＝－ab.
∴|cos〈，〉|＝＝＝.
∴异面直线BD1和AC所成角的余弦值为.
1．[变结论]在本例条件不变的前提下，求||.
[解] 由条件可知||＝||＝a，||＝b，
且〈，〉＝〈，〉＝120°，⊥.
∴||2＝|＋＋|2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝a2＋a2＋b2＋0＋4×a×b×cos
120°
＝2a2＋b2－2ab.
∴||＝.
2．[变结论]在本例条件不变的前提下，证明BD⊥面AA1C1C.
[解] 由条件知，＝－，
∵·＝·(－)＝·－·
＝a×b×cos
120°－a×b×cos
120°＝0.
∴BD⊥AA1.
又因四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD.∴BD⊥面AA1C1C.
基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤
(1)设出基向量．
(2)用基向量表示出直线的方向向量．
(3)用|a|＝求长度，用a·b＝0?a⊥b，用cos
θ＝求夹角．
(4)转化为线段长度，两直线垂直及夹角问题．
1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量．
2．空间向量基本定理说明，用空间三个不共面的向量构成的向量组{a，b，c}可以表示空间任意一个向量，并且表示结果是唯一的．
3．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．
1．若{a，b，c}为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是( )
A．a，a＋b，a－b
B．b，a＋b，a－b
C．c，a＋b，a－b
D．a＋b，a－b，a＋2b
C [空间基底必须不共面．A中a＝，不可为基底；B中b＝[(a＋b)－(a－b)]，不可为基底；D中(a＋b)－(a－b)＝a＋2b，不可为基底．]
2．O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则( )
A．，，共线
B．，共线
C．，共线
D．O，A，B，C四点共面
D [由题意知，向量，，共面，从而O，A，B，C四点共面．]
3．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．
x＝y＝z＝0 [由于{a，b，c}是空间的一个基底，所以当xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0.]
4．正方体ABCD?A1B1C1D1中，取{，，}为基底，若G为面BCC1B1的中心，且＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.
2 [如图，＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋.
由条件知x＝1，y＝，z＝.
∴x＋y＋z＝1＋＋＝2.]
5．若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底．
[解] 假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c.
∵{a，b，c}是空间的一个基底，∴a，b，c不共面．
∴此方程组无解．
即不存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．
故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间的一个基底．
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-1.1.2 空间向量的数量积运算
学
习
目
标
核
心
素
养
1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)3.掌握投影向量的概念．(重点)4.能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)
1.通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养.2.借助投影向量概念的学习，培养学生直观想象和逻辑推理的核心素养.3.借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.
已知两个非零向量a与b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
如果a与b的夹角为90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把a·b＝|a||b|cos
θ叫做a与b的数量积(或内积)
类比探究一下：两个空间向量的夹角以及它们的数量积能否像平面向量那样来定义呢？
1．空间向量的夹角
(1)夹角的定义
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)夹角的范围
空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量垂直，记作a⊥b.
2．空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积为0.
(2)常用结论(a，b为非零向量)
①a⊥b?a·b＝0.
②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.
③cos〈a，b〉＝.
(3)数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
思考：(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？
(2)若a·b>0，则〈a，b〉一定是锐角吗？
[提示] (1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0.
(2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b>0，故当a·b>0时，〈a·b〉不一定是锐角．
3．投影向量
(1)投影向量
在空间，向量a向向量b投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，则向量c称为向量a在向量b上的投影向量，同理向量b在向量a上的投影向量是|b|cos〈a，b〉.
(2)向量a在平面β上的投影向量
向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，则向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
[提醒] (1)两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零；
(2)向量数量积的运算不满足消去律、作商和乘法的结合律
，即a·b＝a·c?b＝c，a·b＝k?b＝，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等．
( )
(2)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)．
( )
(3)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c．
( )
(4)(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2．
( )
[提示] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材P8练习T1改编)在正三棱柱ABC?A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
B [令底面边长为1，则高也为1，＝＋，＝B＋，∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＝1×1×cos
120°＋12＝，
又||＝||＝.
∴cos〈AB1，BC1〉＝＝.故选B.]
3．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
A [由题意知，p·q＝0，p2＝q2＝1.
所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3－2＝1.]
4．设a⊥b，〈a，c〉＝，〈b，c〉＝，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a＋b＋c的模是________．
[因为|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2
＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋a·c＋b·c)
＝1＋4＋9＋2＝17＋6，
所以|a＋b＋c|＝.]
空间向量数量积的运算
【例1】 (1)如图，三棱锥A?BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则·等于( )
A．－2 B．2
C．－2
D．2
(2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，求·(＋＋)的值．
(1)A [∵＝－，∴·＝·(－)＝·－·＝0－2×2×cos
60°＝－2.]
(2)[解] ＝＋＝＋(＋)
＝＋[(－)＋(－)]
＝＋＋.
∴·(＋＋)＝·(＋＋)
＝2＋2＋2
＝×22＋×32＋×12＝.
在几何体中求空间向量的数量积的步骤
?1?首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
?2?利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.
?3?根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.
?4?代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.
[跟进训练]
1．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点，求下列向量的数量积：
(1)·；(2)·.
[解] 如图，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·＝·(＋)＝b·(c－a)＋b＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝(＋)·(＋)＝c－a＋b·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
利用数量积证明空间垂直关系
【例2】 已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.
[思路探究] 首先把向量和均用、、表示出来，通过证明·＝0来证得OG⊥BC.
[证明] 连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
又＝(＋)
＝
＝(a＋b＋c)，＝c－b.
∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)
＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝(|a|2·cos
θ－|a|2·cos
θ－|a|2＋|a|2)＝0.
∴⊥，即OG⊥BC.
用向量法证明垂直关系的步骤
(1)把几何问题转化为向量问题；
(2)用已知向量表示所证向量；
(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；
(4)将向量问题回归到几何问题．
[跟进训练]
2.如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.证明：PA⊥BD.
[证明] 由底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD知，DA⊥BD，则·＝0.
由PD⊥底面ABCD知，PD⊥BD，则·＝0.
又＝＋，∴·＝(＋)·＝·＋·＝0，即PA⊥BD.
夹角问题
【例3】 (1)已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则向量a与b之间的夹角〈a，b〉为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．以上都不对
(2)如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值．
[思路探究] (1)根据题意，构造△ABC，使＝c，＝b，＝a，根据△ABC三边之长，利用余弦定理求出向量a与b之间的夹角即可．
(2)求异面直线OA与BC所成的角，首先来求与的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化．
(1)D [∵a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，
∴以这三个向量首尾相连组成△ABC；
令＝c，＝b，＝a，则△ABC三边之长分别为BC＝2，CA＝3，AB＝4；
由余弦定理，得：cos∠BCA＝＝＝－，
又向量和是首尾相连，
∴这两个向量的夹角是180°－∠BCA，
∴cos〈a，b〉＝，
即向量a与b之间的夹角〈a，b〉不是特殊角．]
(2)[解] ∵＝－，∴·＝·－·＝||·||·cos〈，〉－||·||·
cos〈，〉＝8×4×cos
135°－8×6×cos
120°
＝24－16.
∴cos〈，〉＝＝＝，∴异面直线OA与BC的夹角的余弦值为.
利用向量数量积求夹角问题的思路
(1)求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求出cos〈a，b〉的值，最后确定〈a，b〉的值．
(2)求两条异面直线所成的角，步骤如下：
①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；
②将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；
③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；
④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值，从而求出异面直线所成的角的大小．
[跟进训练]
3.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，求与夹角的大小．
[解] 不妨设正方体的棱长为1，则·
＝(＋)·(＋)
＝(＋)·(＋)
＝·＋2＋·＋·
＝0＋＋0＋0＝＝1，
又∵||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝.
即与夹角的大小为.
距离问题
[探究问题]
1．用数量积解决的距离问题一般有哪几种？
[提示] 线段长度即点点距、点线距、点面距．
2．求模的大小常用哪些公式？
[提示] 由公式|a|＝可以推广为|a±b|＝＝.
3.如图，已知线段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在平面α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，试求A，D两点间的距离．
[提示] ∵＝＋＋，∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·CD＋2·＝12＋2(2·2·cos
90°＋2·2·cos
120°＋2·2·cos
90°)＝8，
∴||＝2，即A，D两点间的距离为2.
【例4】 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．
[思路探究] ―→
注意对〈，〉的讨论，再求出B，D间距离．
[解] ∵∠ACD＝90°，∴·CD＝0，同理可得·＝0.∵AB与CD成60°角，∴〈，〉＝60°或〈，〉＝120°.又＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉．
∴当〈，〉＝60°时，||2＝4，此时B，D间的距离为2；当〈，〉＝120°时，||2＝2，此时B，D间的距离为.
求两点间的距离或线段长的方法
(1)将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．
(2)因为a·a＝|a|2，所以|a|＝，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a±b|＝＝.
(3)可用|a·e|＝|a||cos
θ|(e为单位向量，θ为a，e的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影．
[跟进训练]
4.如图所示，在平面角为120°的二面角α?AB?β中，AC?α，BD?β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，求线段CD的长．
[解] ∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴·＝0，·＝0.
∵二面角α?AB?β的平面角为120°，∴〈，〉＝180°－120°＝60°.
∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos
60°＝144，∴CD＝12.
1．空间两向量的数量积与平面向量的数量积类似，由于数量积不满足结合律，因此在进行数量积运算时，一次、二次式与实数运算相同，运算公式也相同，三次及以上必须按式中的运算顺序依次进行运算．
2．空间向量数量积运算的两种方法
(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．
(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．
3．在几何体中求空间向量数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
4．空间向量中求两向量夹角与平面向量中的求法完全相同，都是应用公式cos〈a，b〉＝，解题的关键就是求a·b和|a|、|b|.求模时注意|a|2＝a·a的应用．
1.如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则·＝( )
A． B．
C．
D．
B [由题意可得＝，∴·＝×1×1×cos
60°＝.]
2．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
B [设向量a，b的夹角为θ，则cos
θ＝＝－，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.]
3．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝________.
0 [原式＝·＋·＋·(－)
＝·(－)＋·(＋)
＝·＋·＝0.]
4.如图所示，在一个直二面角α?AB?β的棱上有两点A，B，AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．
2 [∵＝＋＋＝－＋，
∴2＝(－＋)2
＝2＋2＋2－2·＋2·－2·＝16＋36＋64＝116，
∴||＝2.]
5.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M，N分别是边AB，CD的中点．
(1)求证：MN为AB和CD的公垂线；
(2)求MN的长；
(3)求异面直线AN与MC所成角的余弦值．
[解] 设＝p，＝q，＝r.
由题意，可知|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.
(1)证明：＝－＝(＋)－
＝(q＋r－p)，
∴·＝(q＋r－p)·p
＝(q·p＋r·p－p2)
＝(a2·cos
60°＋a2·cos
60°－a2)＝0
∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD.
∴MN为AB与CD的公垂线．
(2)由(1)可知＝(q＋r－p)，
∴||2＝()2＝(q＋r－p)2＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－q·p－r·p)]
＝(a2＋a2＋a2＋2]＝×2a2＝.
∴||＝a，
∴MN的长度为a.
(3)设向量与的夹角为θ，
∵＝(＋)＝(q＋r)，＝－＝q－p，
∴·＝(q＋r)·
＝
＝
＝＝.
又∵||＝||＝a，
∴·＝||·||·cos
θ＝a·a·cos
θ＝.
∴cos
θ＝.
∴向量与的夹角的余弦值为.
从而异面直线AN与MC所成角的余弦值为.
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1
-1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解空间向量的概念．(难点)2.掌握空间向量的线性运算．(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)
1.通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养.2.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养.
国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？
图1 图2
如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：空间向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||.
2．几类常见的空间向量
名称
方向
模
记法
零向量
任意
0
0
单位向量
任意
1
相反向量
相反
相等
a的相反向量：－a的相反向量：
相等向量
相同
相等
a＝b
3.空间向量的线性运算
(1)向量的加法、减法
空间向量的运算
加法
＝＋＝a＋b
减法
＝－＝a－b
加法运算律
①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
(2)空间向量的数乘运算
①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
当λ>0时，λa与向量a方向相同；
当λ<0时，λa与向量a方向相反；
当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．
②运算律
a．结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.
b．分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？
[提示] 没有关系．
4.共线向量
(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.
(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.
(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa.
5．共面向量
(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x
a＋y
b.
(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),
使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y.
思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？
(2)若空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足＝＋＋，则点P与点A，B，C是否共面？
[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．
(2)由＝＋＋得－＝(－)＋(－)
即＝＋，因此点P与点A，B，C共面．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间向量a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c．
( )
(2)相等向量一定是共线向量．
( )
(3)三个空间向量一定是共面向量．
( )
(4)零向量没有方向．
( )
[提示] (1)× 若b＝0时，a与c不一定平行．
(2)√ 相等向量一定共线，但共线不一定相等．
(3)× 空间两个向量一定是共面向量，但三个空间向量可能是共面的，也可以是不共面的．
(4)× 零向量有方向，它的方向是任意的．
2．如图所示，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1所有的棱中，可作为直线A1B1的方向向量的有( )
A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
D [共四条AB，A1B1，CD，C1D1.]
3．点C在线段AB上，且|AB|＝5，|BC|＝3，＝λ，则λ＝________.
－ [因为C在线段AB上，所以与方向相反，又因|AB|＝5，|BC|＝3，故λ＝－.]
4．在三棱锥A?BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为________．
0 [延长DE交边BC于点F，连接AF，则有＋＝，＋＝＋＝，故＋－－＝0.]
空间向量的有关概念
【例1】 (1)给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；
③在正方体ABCD?A1B1C1D1中，＝；
④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.
其中正确命题的序号是________．
(2)如图所示，在平行六面体ABCD?A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有________；与向量相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)
(1)②③④ (2)，， ，，， [(1)对于①，向量a与b的方向不一定相同或相反，故①错；
对于②，根据相反向量的定义知|a|＝|b|，故②正确；
对于③，根据相等向量的定义知，＝，故③正确；
对于④，根据相等向量的定义知正确．
(2)根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，.与向量相反的向量有，，，.]
解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点
(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．
(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．
①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．
②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.
③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量.
[跟进训练]
1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( )
①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
②平行且模相等的两个向量是相等向量；
③若a≠b，则|a|≠|b|；
④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
A．0 B．1 C．2 D．3
B [根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，④不正确．综上可知只有①正确，故选B.]
空间向量的线性运算
【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的有( )
①(＋)＋；
②(＋)＋；
③(＋)＋；
④(＋)＋.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
(2)已知正四棱锥P?ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值．
①＝＋y＋z；
②＝x＋y＋.
[思路探究] (1)合理根据向量的三角形和平行四边形法则，以及在平行六面体中，体对角线向量等于从同一起点出发的三条棱向量的和．如＝＋＋.
(2)根据数乘向量及三角形或平行四边形法则求解．
(1)D [对于①，(＋)＋＝＋＝；
对于②，(＋)＋＝＋＝；
对于③，(＋)＋＝＋＝；
对于④，(＋)＋＝＋＝.]
(2)[解] ①如图，∵＝－＝－(＋)
＝－－，
∴y＝z＝－.
②∵O为AC的中点，Q为CD的中点，
∴＋＝2，＋＝2，
∴＝2－，＝2－，
∴＝2－2＋，∴x＝2，y＝－2.
1．空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
2．利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．
[跟进训练]
2．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋等于( )
A． B．3
C．3
D．2
B [－＋＝－(－)＝－
＝＋＝＋2＝3.]
共线问题
【例3】 (1)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________.
(2)如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．
[思路探究] (1)根据向量共线的充要条件求解．
(2)根据数乘向量及三角形法则，把表示成λ的形式，再根据向量共线的充要条件求解．
(1)1 [＝＋＋＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2.
设＝λ，则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，
所以，解得k＝1.]
(2)[解] 法一：因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形，所以＝＋＋＝＋＋.
又因为＝＋＋＋＝－＋－－，以上两式相加得＝2，
所以∥，即与共线．
法二：因为四边形ABEF为平行四边形，所以连接AE时，AE必过点N.
∴＝－＝2－2
＝2(－)＝2.
所以∥，即与共线．
证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．
(1)存在实数λ，使＝λ成立．
(2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)．
(3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．
[跟进训练]
3.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.
求证：E，F，B三点共线．
[证明] 设＝a，＝b，＝c，
因为＝2，＝，
所以＝，＝，
所以＝＝b，
＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c，所以＝－＝a－b－c＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
所以＝，所以E，F，B三点共线.
向量共面问题
[探究问题]
1．什么样的向量算是共面向量？
[提示] 能够平移到同一个平面内的向量称为共面向量．
2．能说明P，A，B，C四点共面的结论有哪些？
[提示] (1)存在有序实数对(x，y)，使得＝x＋y.
(2)空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数组(x，y，z)使得＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)．
(3)四点中任意两点的方向向量与另外两点的方向向量共线，如∥.
3．已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，试判断p，m，n是否共面．
[提示] 设p＝xm＋yn，即3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋
y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c.
因为a，b，c不共面，所以
而此方程组无解，所以p不能用m，n表示，
即p，m，n不共面．
【例4】 已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若点M满足＝＋＋.
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断M是否在平面ABC内．
[思路探究] (1)根据向量共面的充要条件，即判断是否＝x＋y；(2)根据(1)的结论，也可以利用＝x＋y＋z中x＋y＋z是否等于1.
[解] (1)∵＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)，
∴＝＋＝－－，
∴向量，，共面．
(2)由(1)知向量，，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．
1．[变条件]若把本例中条件“＝＋＋”改为“＋2＝6－3”，点P是否与点A、B、C共面．
[解] ∵3－3＝＋2－3＝(－)＋(2－2)，
∴3＝＋2，即＝－2－3.
根据共面向量定理的推论知：点P与点A，B，C共面．
2．[变条件]若把本例条件变成“＋＝4－”，点P是否与点A、B、C共面．
[解] 设＝＋x＋y(x，y∈R)，则
＋x＋y＋＝4－，
∴＋x(－)＋y(－)＋＝4－，
∴(1－x－y－4)＋(1＋x)＋(1＋y)＝0，
由题意知，，均为非零向量，所以x，y满足：
显然此方程组无解，故点P与点A，B，C不共面．
3．[变解法]上面两个母题探究，还可以用什么方法判断？
[解] (1)由题意知，＝＋＋OC.
∵＋＋＝1，∴点P与点A、B、C共面．
(2)∵＝4－－，而4－1－1＝2≠1.
∴点P与点A、B、C不共面．
解决向量共面的策略
?1?若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z?x＋y＋z＝1?，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.
?2?证明三个向量共面?或四点共面?，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.
1．一些特殊向量的特性
(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的．
(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.
(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．
2.＝＋x＋y称为空间平面ABC的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
3．证明(或判断)A，B，C三点共线时，只需证明存在实数λ，使＝λ(或＝λ)即可，也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)”来证明A，B，C三点共线．
4．空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y，满足这个关系式的点都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．
5．直线的方向向量是指与直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无穷多个，它们的方向相同或相反．
6．向量p与向量a，b共面的充要条件是在a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立．
1．下列条件中使M与A，B，C一定共面的是( )
A．＝2－－
B．＝＋＋
C．＋＋＝0
D．＋＋＋＝0
C [由＋＋＝0得＝－－，故M，A，B，C共面．]
2．已知正方体ABCD?A1B1C1D1，若点F是侧面CD1的中心，且＝＋m－n，则m，n的值分别为( )
A．，－
B．－，－
C．－，
D．，
A [由于＝＋＝＋(＋)＝＋＋，所以m＝，n＝－，故答案为A.]
3．化简：(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝________.
a＋b－c [原式＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c＝a＋b＋c＝a＋b－c.]
4．给出下列四个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b；
③不相等的两个空间向量的模必不相等；
④对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.
其中正确命题的序号为________．
④ [对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，向量是不能比较大小的，故不正确；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．]
5．设两非零向量e1，e2不共线，且ke1＋e2与e1＋ke2共线，求k的值．
[解] ∵两非零向量e1，e2不共线，且ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴ke1＋e2＝t(e1＋ke2)，则(k－t)e1＋(1－tk)e2＝0.
∵非零向量e1，e2不共线，∴k－t＝0,1－kt＝0，解得k＝±1.
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