2020-2021学年新教材人教B版必修第一册 等式与不等式 单元测试(word版含答案解析）

章末测试(二)　等式与不等式
一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．方程x2＋50x－600＝0的解集为(　　)
A．{－10,60} B．{10，－60}
C．{－20,30} D．{20，－30}
2．不等式|x－1|≤1的解集为(　　)
A．[0,2] B．(0,2)
C．(－1,1) D．[－1,1]
3．已知x1，x2是关于x的方程x2－ax－2＝0的两根，下列结论一定正确的是(　　)
A．x1≠x2 B．x1＋x2>0
C．x1x2>0 D．x1<0，x2<0
4．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式成立的是(　　)
A.< B．a2>b2
C.> D．a|c|>b|c|
5．不等式x2－3x＋2<0的解集是(　　)
A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(1,2)
D．(－2，－1)
6．方程组的解集为(　　)
A．{(4，－2)} B．{(4,2)，(4，－2)}
C．{(－2,4)} D．{(2，4)，(－2，4)}
7．已知x>1，则x＋＋5的最小值为(　　)
A．－8　 B．8　
C．16 D．－16
8．若关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
B．[－2,2]
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,2)
二、多项选择题(本题共4小题，毎小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列说法中正确的有(　　)
A．不等式a＋b≥2恒成立
B．存在a，使得不等式a＋≤2成立
C．若a，b∈(0，＋∞)，则＋≥2
D．若正实数x，y满足x＋2y＝1，则＋≥8
10．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
11．已知a、b、c、d均为实数，则下列命题中正确的是(　　)
A．若ab<0，bc－ad>0，则－>0
B．若ab>0，－>0，则bc－ad>0
C．若bc－ad>0，－>0，则ab>0
D．若<<0，则<
12．不等式组的解集记为D，下列四个命题中真命题是(　　)
A．?(x，y)∈D，x＋2y≥－2
B．?(x，y)∈D，x＋2y≥2
C．?(x，y)∈D，x＋2y≤3
D．?(x，y)∈D，x＋2y≤－1
三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．分解因式x3－1＝________.
14．已知集合M＝{x|－2≤x－1≤2，x∈R}，P＝，则M∩P等于________．
15．若关于x的一元二次方程x2－2mx－4m＋1＝0有两个相等的实数根，则(m－2)2－2m(m－1)的值为________．
16．已知－1四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)求下列式子的解集：
(1)
(2)
18．(12分)已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B.
(1)求A∩B；
(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求a，b的值．
19.(12分)已知a，b，c为不等正数，且abc＝1，求证：＋＋<＋＋.
20．(12分)设函数y＝ax2＋bx＋3(a≠0)．
(1)若不等式ax2＋bx＋3>0的解集为(－1,3)，求a，b的值；
(2)若a＋b＝1，a>0，b>0，求＋的最小值．
21．(12分)已知不等式>0(a∈R)．
(1)解这个关于x的不等式；
(2)若当x＝－a时不等式成立，求a的取值范围．
22．(12分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为.
现假设甲生产A，B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A，B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A，B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙．
(1)求h甲和h乙关于mA，mB的表达式；当mA＝mB时，求证：h甲＝h乙；
(2)设mA＝mB，当mA，mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
(3)记(2)中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA，mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．
章末测试(二)　等式与不等式
1．解析：原方程可变为(x－10)(x＋60)＝0，即其解集为{10，－60}．故选B.
答案：B
2．解析：由绝对值不等式的解法可知－1≤x－1≤1，所以0≤x≤2，所以选A.
答案：A
3．解析：由根与系数的关系与已知，可得x1＋x2＝a，x1x2＝－2，所以x1与x2异号，又Δ＝(－a)2－4×1×(－2)＝a2＋8>0恒成立，即a取任意值且x1与x2不等．故选A.
答案：A
4．解析：根据不等式的性质，知C成立；若a>0>b，则>，则A不成立；若a＝1，b＝－2，则B不成立；若c＝0，则D不成立．故选C.
答案：C
5．解析：不等式x2－3x＋2<0可变为(x－1)(x－2)<0，即其解集为(1,2)．故选C.
答案：C
6．解析：由已知
把①代入②整理得x2－2x－8＝0，即(x－4)(x＋2)＝0，∴x1＝4，x2＝－2，∵y2＝2x≥0，∴x2＝－2舍去，∴x＝4，把x＝4代入①得y1＝2，y2＝－2，所以方程组的解为或即其解集为{(4,2)，(4，－2)}．故选B.
答案：B
7．解析：∵x>1，∴x－1>0，x＋＋5＝x－1＋＋6≥2 ＋6＝2＋6＝8，当且仅当x＝2时等号成立．故选B.
答案：B
8．解析：原不等式可化为2＋1－≥0，即2≥－1的解集为R，所以－1≤0，即－2≤m≤2.故选B.
答案：B
9．解析：不等式a＋b≥2恒成立的条件是a≥0，b≥0，故A不正确；当a为负数时，不等式a＋≤2成立．故B正确；由基本不等式可知C正确；对于＋＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2 ＝8，
当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，故D正确．
答案：BCD
10．解析：设y＝x2－6x＋a，其图像为开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示．
若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为x＝3，则
解得5又a∈Z，故a可以为6,7,8.
答案：ABC
11．解析：对于A：∵ab<0，∴<0，又∵bc－ad>0，∴－＝·(bc－ad)<0，即－<0，故A不正确；对于B：∵ab>0，－>0，∴ab·>0，所以ab·(bc－ad)>0，即bc－ad>0，故B正确；对于C：∵－>0，∴>0，又∵bc－ad>0，∴ab>0，故C正确；对于D：由<<0，可知b0，∴<成立，故D正确．
答案：BCD
12．解析：作出图形如下：
由图知，区域D为直线x＋y＝1与x－2y＝4相交的上部角型区域，
A：区域D在x＋2y≥－2 区域的上方，故：?(x，y)∈D，x＋2y≥－2成立；
B：在直线x＋2y＝2的右上方和区域D重叠的区域内，?(x，y)∈D，x＋2y≥2，故p2：?(x，y)∈D，x＋2y≥2正确；
C：由图知，区域D有部分在直线x＋2y＝3的上方，因此p3：?(x，y)∈D，x＋2y≤3错误；
D：x＋2y≤－1的区域(左下方的虚线区域)恒在区域D下方，故p4：?(x，y)∈D，x＋2y≤－1错误；故选：AB.
答案：AB
13．答案：(x－1)(x2＋x＋1)
14．解析：∵M＝{x|－1≤x≤3}，P＝{x|－1答案：{x|－115．解析：由已知可得Δ＝(－2m)2－4××(－4m＋1)＝0，即m2＋2m－＝0，m2＋2m＝，故所求(m－2)2－2m(m－1)＝－m2－2m＋4＝－＋4＝.
答案：
16．解析：∵－1∴－3<－y<－2，
∴－4由－1∴1<3x＋2y<18.
答案：(－4,2)　(1,18)
17．解析：(1)由已知
将①代入②得2x2＋5x＋2＝0，解得x1＝－，x2＝－2，将所得x值代入①有或即所求方程组解集为.
(2)由已知
由①＋②×2得x2＋2xy＋y2＝49.
∴x＋y＝±7，将x，y看作m2－7m＋12＝0或m2＋7m＋12＝0的两解，则m1＝3，m2＝4或m3＝－4，m4＝－3，
∴或或或所求解集为{(3,4)，(4,3)，(－4，－3)，(－3，－4)}．
18．解析：(1)A＝{x|－1＜x＜3}, B＝{x|－3＜x＜2}，
∴A∩B＝{x|－1(2)－1,2为方程x2＋ax＋b＝0的两根
∴，∴.
19．证明：证法一：∵a，b，c为不等正数，且abc＝1，
∴＋＋＝＋ ＋
<＋＋＝＋＋.
故原不等式成立．
证法二：∵a，b，c为不等正数，且abc＝1，
∴＋＋＝bc＋ca＋ab
＝＋＋
> ＋＋
＝＋＋.
故原不等式成立．
20．解析：(1)∵不等式ax2＋bx＋3>0的解集为(－1,3)，
∴－1和3是方程ax2＋bx＋3＝0的两个实根，
从而有解得
(2)∵a＋b＝1，又a>0，b>0，
∴＋＝(a＋b)
＝5＋＋≥5＋2 ＝9，
当且仅当即时等号成立，
∴＋的最小值为9.
21．解析：(1)原不等式等价于(ax－1)(x＋1)>0.
①当a＝0时，由－(x＋1)>0，得x<－1.
②当a>0时，不等式可化为(x＋1)>0，
解得x<－1或x>.
③当a<0时，不等式可化为(x＋1)<0.
若<－1，即－1若＝－1，即a＝－1，则不等式的解集为空集；
若>－1，即a<－1，则－1综上所述，当a<－1时，不等式的解集为；
当a＝－1时，不等式解集为?；
当－1当a＝0时，不等式的解集为(－∞，－1)；
当a>0时，不等式的解集为(－∞，－1)∪.
(2)∵当x＝－a时不等式成立，
∴>0，即－a＋1<0，
∴a>1，即a的取值范围为(1，＋∞)．
22．解析：设mA＝x，mB＝y.
(1)甲买进产品A的满意度：h1甲＝；
甲卖出产品B的满意度：h2甲＝；
甲买进产品A和卖出产品B的综合满意度：
h甲＝ ；
同理，乙卖出产品A和买进产品B的综合满意度：
h乙＝ .
当x＝y时，h甲＝
＝ ＝ ，
h乙＝ ＝
＝ ，
故h甲＝h乙．
(2)当x＝y时，
由(1)知h甲＝h乙＝ ，
因为＝≤，当且仅当y＝10时，等号成立．当y＝10时，x＝6.
因此，当mA＝6，mB＝10时，甲、乙两人的综合满意度均最大，且最大的综合满意度为.
(3)由(2)知h0＝.
因为h甲h乙＝
＝ ≤，
所以，当h甲≥，h乙≥时，有h甲＝h乙＝.
因此，不能取到mA，mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立．