2020-2021学年新教材人教B版必修第一册 函数 单元测试(word版含答案解析）

章末测试(三)　函数
一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝＋的定义域是(　　)
A.
B.∪
C.
D.
2．函数f(x)＝|x－1|的图像是(　　)
3．设函数f(x)＝若f(α)＝4，则实数α＝(　　)
A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
4．若函数f(x)＝x2＋4x＋6，x∈[－3,0)，则f(x)的值域为(　　)
A．[2,6] B．[2,6)
C．[2,3] D．[3,6]
5．函数f(x)＝－x＋5的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
6．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
(1)如果不超过200元，则不给予优惠；
(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．
某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他去一次购买上述同样的商品，则应付款是(　　)
A．413.7元 B．513.7元
C．548.7元 D．546.6元
7．函数f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减，若f(2－a)＋f(4－a)<0，则a的取值范围是(　　)
A．a<1 B．a<3　
C．a>1 D．a>3
8．设函数f(x)＝x2－23x＋60，g(x)＝f(x)＋|f(x)|，则g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝(　　)
A．56　 B．112　
C．0 D．38
二、多项选择题(本题共4小题，毎小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知f(2x－1)＝4x2，则下列结论正确的是(　　)
A．f(3)＝9 B．f(－3)＝4
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝(x＋1)2
10．已知函数f(x)＝ax2－2x＋1，若对一切x∈，f(x)>0都成立，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
11．关于定义在R上的函数f(x)，下列命题正确的是(　　)
A．若f(x)满足f(2 018)>f(2 017)，则f(x)在R上不是减函数
B．若f(x)满足f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数
C．若f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，在区间[0，＋∞)也是减函数，则f(x)在R上是减函数
D．若f(x)满足f(－2 018)≠f(2 018)，则函数f(x)不是偶函数
12．德国数学家狄里克雷(Dirichlet, PeterGustavLejeune,1805～1859)在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格等形式表示，例如狄里克雷函数D(x)，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0.下列关于狄里克雷函数D(x)的性质表述正确的是(　　)
A．D(π)＝0
B．D(x)的值域为{0,1}
C．D(x)的图像关于直线x＝1对称
D．D(x)的图像关于直线x＝2对称
三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．某批发商批发某种商品的单价P(单位：元/千克)与数量Q(单位：千克)之间的函数关系如图所示，现此零售商仅有现金2 700元，他最多可购买这种商品________千克．
14．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是________．
15．设函数f(x)＝f(5)＝________，使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为________．(本题第一空2分，第二空3分)
16．对任意的实数x1，x2，min{x1，x2}表示x1，x2中较小的那个数，若f(x)＝2－x2，g(x)＝x，则min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知函数f(x)＝
(1)求f(f(－2))的值；
(2)若f(a)＝，求a.
18.(12分)已知函数f(x)＝ax＋b，且f(1)＝2，f(2)＝－1.
(1)求f(m＋1)的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明．
19．(12分)已知f(x)＝2x2＋mx＋n(m，n为常数)是偶函数，且f(1)＝4.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)＝kx有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围．
20．(12分)已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的值域．
21．(12分)通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)的值越大，表示学生的接受能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可用以下公式：
f(x)＝
(1)讲课开始后5 min和讲课开始后20 min比较，何时学生的注意力更集中？
(2)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中，能持续多久？
(3)一道数学难题，需要讲解13 min，并且要求学生的注意力至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由．
22．(12分)已知函数y＝x＋有如下性质：
如果常数t>0，那么该函数在(0, ]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
(1)已知f(x)＝，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．
章末测试(三)　函数
1．解析：由题意得解得－3≤x<且x≠－，故选B.
答案：B
2．解析：因为f(x)＝|x－1|＝由分段函数的作图方法可知B正确．
答案：B
3．解析：当α>0时，有α2＝4，∴α＝2；当α≤0时，有－α＝4，∴α＝－4.因此，α＝－4或2.
答案：B
4．解析：f(x)＝(x＋2)2＋2，当x＝－2时，f(x)min＝2，又f(－3)＝3，f(0)＝6，所以f(x)的值域为[2,6)．
答案：B
5．解析：令f(x)＝0，得＝x－5，∵函数y＝与函数y＝x－5的图像有两个交点，∴函数f(x)＝－x＋5有两个零点．
答案：B
6．解析：因为168<200×0.9＝180，所以第一次购物原价为168元，因为200×0.9＝180<423<500×0.9＝450，所以第二次购物原价为470元，两次购物原价的和为168＋470＝638元，若合一次付款，应付500×0.9＋(638－500)×0.7＝546.6元，故选D.
答案：D
7．解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减，又由f(2－a)＋f(4－a)<0，得f(2－a)<－f(4－a)＝f(a－4)，所以2－a>a－4，即a<3.故选B.
答案：B
8．解析：由二次函数图像的性质，得当3≤x≤20时，f(x)＋|f(x)|＝0，∴g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝g(1)＋g(2)＝112.
答案：B
9．解析：f(2x－1)＝(2x－1)2＋2(2x－1)＋1，故f(x)＝x2＋2x＋1，故选项C错误，选项D正确；f(3)＝16，f(－3)＝4，故选项A错误，选项B正确．
答案：BD
10．解析：因为对一切x∈，f(x)>0都成立，
所以a>＝－＝－2＋1，
又－2＋1≤1，所以a>1，
答案：CD
11．解析：由题意，对于A中，由2 018>2 017，而f(2 018)>f(2 017)，由减函数定义可知，f(x)在R上一定不是减函数，所以A正确；对于B中，若f(x)＝0，定义域关于原点对称，则f(－2)＝f(2)＝－f(2)，则函数f(x)可以是奇函数，所以B错误；对于C中，由分段函数的单调性的判定方法，可得选项C不正确；对于D中，若f(x)是偶函数，必有f(－2 018)＝f(2 018)，所以D正确．
答案：AD
12．解析：由题意可得D(x)＝，
由于π为无理数，则D(π)＝0，故A正确；结合函数的定义及分段函数的性质可知，函数的值域{0,1}，故B正确；结合函数可知，当x∈Q时，D(x)＝1关于x＝1，x＝2都对称，当x为无理数时，D(x)＝0关于x＝1，x＝2都对称．
故选ABCD.
答案：ABCD
13．解析：由题意可得批发这种商品所需费用y(元)与数量Q(千克)之间的函数关系式为
y＝
从而易得30×50<2 700<30×100，故该零售商购买这种商品的数量应在50与100之间，故所购商品的数量最多为＝90千克．
答案：90
14．解析：因为函数f(x)的增区间为，函数在区间[－2，＋∞)上是增函数，
所以≤－2，m≤－16，－m≥16.
f(1)＝4－m＋5≥4＋16＋5＝25.
答案：[25，＋∞)
15．解析：f(5)＝4－＝2.
∵f(x)是分段函数，∴f(x)≥1应分段求解．
当x＜1时，f(x)≥1?(x＋1)2≥1?x≤－2或x≥0，
∴x≤－2或0≤x＜1.
当x≥1时，f(x)≥1?4－≥1，即≤3，
∴1≤x≤10.
综上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0,10]．
答案：2　(－∞，－2]∪[0,10]
16．解析：不妨设h(x)＝min{f(x)，g(x)}，
当2－x2>x，即－2当2－x2≤x，即x≥1或x≤－2时，h(x)＝2－x2.
故h(x)＝
其图像如图中实线部分，当x≤－2或x≥1时，为抛物线的一部分，当－2由图像可知，当x取1时，h(x)取最大值1.
所以min{f(x)，g(x)}的最大值为1.
答案：1
17．解析：(1)因为－2<－1，所以f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，
所以f(f(－2))＝f(－1)＝2.
(2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，所以a＝2>1；
当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，
所以a＝±∈[－1,1]；
当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，
所以a＝－>－1(舍去)．
综上，a＝2或a＝±.
18．解析：(1)由f(1)＝2，f(2)＝－1，
得
解得a＝－3，b＝5，故f(x)＝－3x＋5，
f(m＋1)＝－3(m＋1)＋5＝－3m＋2.
(2)函数f(x)在R上单调递减，证明如下：
任取x1则f(x2)－f(x1)＝(－3x2＋5)－(－3x1＋5)
＝3x1－3x2＝3(x1－x2)，
因为x1所以f(x2)－f(x1)<0，
即f(x2)所以函数f(x)在R上单调递减．
19．解析：(1)因为f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)(x∈R)，
即2(－x)2－mx＋n＝2x2＋mx＋n(x∈R)，
解得m＝0.
又f(1)＝4，所以2×12＋n＝4，解得n＝2.
所以f(x)＝2x2＋2.
(2)由(1)知f(x)＝2x2＋2，方程f(x)＝kx有两个不相等的实数根，
转化为方程2x2－kx＋2＝0有两个不相等的实数根，
由Δ＝k2－16>0，解得k<－4或k>4.
所以实数k的取值范围为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
20．解析：(1)由题意得：0∈(－1,1)，
∴f(0)＝b＝0，∴f(x)＝
∴f＝＝＝，∴a＝1
∴a＝1，b＝0
(2)由f(x)＝＝y，
则yx2＋y＝x，即yx2－x＋y＝0这个方程一定有解，
当y＝0时，x＝0，
当y≠0时，Δ＝1－4y2≥0，－≤y≤且y≠0，，
综上所述：y∈.
21．解析：(1)f(5)＝53.5，f(20)＝47<53.5，所以讲课开始后5 min学生的注意力更集中．
(2)当0所以f(x)max＝f(10)＝59，
当16所以，讲课开始后10 min注意力最集中，能持续6 min.
(3)当0当1622．解析：(1)y＝f(x)＝＝2x＋1＋－8，
设u＝2x＋1，x∈[0,1]，则1≤u≤3，
则y＝u＋－8，u∈[1,3]．
由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f(x)单调递减；
当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)单调递增，
所以f(x)的单调递减区间为，
单调递增区间为；
由f(0)＝－3，f ＝－4，f(1)＝－，
得f(x)的值域为[－4，－3]．
(2)g(x)＝－x－2a为减函数，
故g(x)∈[－1－2a，－2a]，x∈[0,1]．
由题意得，当x∈[0,1]时，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，
所以
所以a＝.