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第五章
相交线与平行线
5.1.1
相交线（第1课时）
A.双基导学导练
知识点1
邻补角的定义及其性质
1.两个角有一条__________，它们的另一条边互为_________，具有这种关系的__________，________邻补角.
2.邻补角与补角的主要区别是：补角只反映两个角之间的数量关系，即__________________；而邻补角是补角的特殊情况，邻补角既有数量关系：_________________，又要有位置关系：_________________________.
3.如图1，直线AB、CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠AOM=42°，则∠BOC的度数为______.
4.如图2，已知直线AB、CD交于点O，且OE平分∠BOC.
（1）直接写出∠AOC的邻补角；（2）写出∠EOA的补角，并说明理由；
（3）若∠AOC=42°，求∠BOE的度数.
知识点2
对顶角的定义及其性质
5.下列说法：①有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角；②相等的两个角是对顶角；③如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；④如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角.其中正确的个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
6.在下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（
）
A.
B.
C.
D.
7.图3中是对顶量角器，它测量角的原理是__________________.
8.如图4，直线a、b、c两两相交，∠1=2∠3，∠2=64°，求∠4的度数.
知识点3
邻补角，对顶角性质的运用
9.如图5，直线AB、CD、EF都经过点O，若∠2=80°，则∠1+∠3的度数为______________.
10.如图6，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠3：∠2=8：1，求∠AOC的度数.
11.（2018武汉十一初）如图7，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠3：∠2=8：1，求∠AOC的度数.
B.真题检测反馈
12.如图8，直线AB、CD、EF相交于点O，则∠BOE的对顶角是________，∠COF的邻补角是__________；若∠AOC：∠AOE=2：3，∠EOD=130°，则∠BOC=_________.
13.如图9，已知∠AOB与∠BOE互为邻补角，且∠BOC＞∠AOB，OD平分∠AOB，射线OE使∠BOE=∠EOC，当∠DOE=72°时，则∠EOC的度数为_________.
14.将一张长方形纸片按如图10所示的方式折叠（射线经过点），BC、BD为折痕，求∠CBD的度数.
C.创新拓展提升
15.（1）两条直线相交于一点有_____组不同的对顶角；（2）三条直线相交于一点有_____组不同的对顶角；（3）四条直线相交于一点有_______组不同的对顶角；（4）n条直线相交于一点有________组不同的对顶角.
16.一条直线最多将平面分成两部分，两条直线最多将平面分成4部分，三条直线最多将平面分成7部分，四条直线最多将平面分成_____部分，...，则8条直线最多将平面分成______部分.
5.1.2
垂线（第2课时）
A.双基导学导练
知识点1
垂直的定义
1.垂线：当两条直线相交所构成的四个角中有一个角是______时，叫做两条直线互相垂直；其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做______.
2.如图1，垂直定义的几何语言：
（1）∵AB⊥CD于点E
∴___________________________________；
（2）∵∠CEB=90°
∴____________________________________.
3.如图2，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，∠COB=145°，则∠DOE=
_____
.
4.如图3，AO⊥BO，CO⊥DO，∠AOC：∠BOC=1：4，则∠AOC=______，∠BOD=
______
.
知识点2
垂线的画法
5.如图4所示，分别过P画AB的垂线PH，H为垂足.
6.下列各个图形中，过A作线段BC所在直线垂线段，其中画法正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
知识点3
垂线的性质
7.（1）已知点P在直线l上（如图5），经过点P画直线的垂线，_____（填“能”或“不能”）画且_________直线；（2）已知点P在直线外（如图6），经过点P画直线的垂线，
能
（填“能”或“不能”）画且_________直线；（3）综合（1）和（2）可得到垂线的一条性质：______________________.
8.如图7，AB⊥MN，BC⊥MN，垂足都是N，那么A、B、C三点在一条直线上，其依据是______________
.
知识点4
点到直线的距离
9.直线外一点与直线上各点连点的所有线段中，_______
最短；点到直线的距离：从直线外一点到直线的
__________.
10.如图8，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB＞AC的依据是
，
AC+BC＞AB的依据是
.
11.体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（
）
A.垂直的定义
B.两点之间线段最短
C.垂线段最短
D.两点确定一条直线
B.真题检测反馈
12.如图9，点P到直线的距离是（
）
A.线段PA的长度
B.线段PB的长度
C.线段PC的长度
D.线段PD的长度
13.如图10是一跳远运动员跳落沙坑时留下的痕迹，则表示该运动员成绩的是（
）
A.线段的长
B.线段的长
C.线段的长
D.线段的长
14.如图11，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，CF⊥AB与点F，AE、BD、CF交于点O，则图中能表示点A到直线OC的距离的线段长是（
）
A.AO
B.AF
C.AD
D.OD
15.如图12，AB交CD于O，OE⊥AB.
（1）若∠EOD=20°，求∠AOC的度数；
（2）若∠AOC：∠BOC=1：2，求∠EOD的度数.
16.如图13，∠AOB=90°，在∠AOB的内部有一条射线OC.
（1）画射线OD⊥OC；
（2）写出图中∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由.
C.创新拓展提升
17.如图14，P是直线外一点，A、B、C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC=90°，则下列结论：①线段AP的长是点A到直线PC的距离；②线段BP的长是点P到直线的距离；③PA、PB、PC三条线段中，PB最短；④PA·PC=PB·PA.其中正确的是（
）
A.②③
B.①②③
C.③④
D.①②③④
5.1.3
同位角、内错角、同旁内角（第3课时）
A.双基导学导练
知识点
“三线八角”
1.下列8个图形（可以统称为“F”型），每个图形中∠1和∠2是什么角？答：_______.
2.下列8个图形（可以统称为“N”型或“Z”型），每个图形中∠1和∠2是什么角？答：_______.
3.下列8个图形（可以统称为“U”型），每个图形中∠1和∠2是什么角？答：________.
4.根据图1所示的图形填空：
（1）∠1与∠2是直线______和______被直线
BC
所截而得的__________；
（2）∠1与∠3是直线______和______被直线
BC
所截而得的__________；
（3）∠3与∠4是直线______和______被直线
DE
所截而得的__________；
（4）∠1与∠2是直线______和______被直线
DE
所截而得的__________；
（5）∠4与∠5是直线______和______被直线
DE
所截而得的__________；.
5.根据图2所示的图形填空：
（1）∠1与∠2是直线______和______被直线_____
所截得的______角；
（2）∠3与∠4是直线______和______被直线______所截得的______角；
（3）∠DAB与∠D是直线______和______被直线______所截得的______角；
（4）∠B与∠DAB是直线______和______被直线______所截得的______角；
B.真题检测反馈
6.如图，∠1与∠2是同位角的是（
）
A.②③
B.①②③
C.①②④
D.①④
7.如图3，下列说法不正确的是（
）
A.∠AFE与∠EGC是同位角
B.∠AFE与∠FGC是内错角
C.∠C与∠FGC是同旁内角
D.∠DFB与∠B是内错角
8.如图4，以下说法正确的是（
）
A.∠1与∠C是同位角
B.∠1与∠3是同旁内角
C.∠3与∠C是内错角
D.∠1与∠3是对顶角
9.如图5，图中与∠1是同位角的角有（
）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
10.如图6，∠D的同旁内角分别是
___________________
.
11.两条直线被的三条直线所截，如果一对同位角相等，那么内错角也相等，同旁内角也互补.
C.创新拓展提升
12.如图8，关于图中∠1至∠9之间的9个角，下列判断正确的是（
）
A.4对同位角，4对内错角，4对同旁内角
B.4对同位角，4对内错角，2对同旁内角
C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角
D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角
13.如图9，点E、F分别在BA、BC的延长线上.
（1）图中的同位角有哪几对？
答：_______________________.
（2）图图中的内错角有哪几对？
答：________________________.
（3）中的同旁内角有哪几对？
答：________________________.
（4）若∠1=∠B，∠B+∠3=180°，求证：∠1=∠4.请完成如下证明，并在括号内填上各步的推理依据.
微专题1
相交线所成的角计算
1.如图1，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=70°，EF平分∠COB，求∠COE的度数.
2.如图2，直线AB和CD相交于O点，∠DOE是直角，OF平分∠AOE，∠BOD=22°，求∠COF的度数.
3.如图3，直线AB交直线BD于点O，OE⊥AB.
（1）若∠EOD=∠BOD-50°，求∠AOC的度数；
（2）若∠AOC：∠EOD=5：1，求∠BOC的度数.
4.已知点O为直线AB与直线CF的交点，∠BOC=.
（1）如图4甲，若=40°，OD平分∠APC，∠DOE=90°，求∠EOD的度数；
（2）如图4乙，若∠AOD=∠AOC，∠DOE=60°，求∠EOF的度数（用含的式子表示）
5.如图5，直线EF、CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF.
（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOE=，求∠BOD的度数（用含的代数式表示）；
（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？
6.如图6，直线AB交CD于点O，∠BOD=56°，由点O引射线OG、OE、OF，使OC平分∠EOG，∠AOG=∠FOE，求∠FOC.
7.如图7，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，∠AON=∠AOD+15°，求∠DOM的度数.
5.2.1平行线(第1课时)
A双基导学导练
知识点1
平行线
1.平行线:在同一平面内，_____________的两条直线叫做平行线.
2..小明列举生活中几个例子，你认为是平行线的是
__(填序号).
①马路上斑马线；
②火车铁轨；
③直跑道线；
④长方形门框上下边.
3.(2018硚口)在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是(
)
A.
平行
B.
相交
C.
垂直
D.
平行或相交
4.下列说法正确的是(
)
A.
同一个平面内，不相交的两条线段是平行线
B.
同一个平面内，两条直线不相交就重合
C.
同一个平面内，没有公共点的两条直线是平行线
D.
不相交的两条直线是平行线
知识点2 画平行线
5.根据下列要求画图.
(1)
如图1，过点A画MN∥BC;
(2)
如图2，过点P画PE∥OA，交OB于点E，过点P画PH∥0B，交0A于点H;
(3)
如图3，过点C画CE∥DA与AB交乎点E，过点C画CF∥DB，与AB的延长线交于点F
知识点3
平行线的基本事实
6.
(1)经过直线外一点，有且只有
条直线与这条直线平行；
(2)平行于同一直线的两条直线___________.
7.下列说法正确的是(
)
A.
经过一点有一条直线与已知直线平行
B.
经过一点有无数条直线与已知直线平行
C.
经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D.
经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
8.在同一平面内有三条直线，若其中有两条且只有两条直线平行，则它们交点的个数为(
)
A.
0个
B.
1个
C.
2个
D.
3个
9.如图4，已知直线a，点B，点C.
(1)
过点B画直线a的平行线b，能画几条？
(2)
过点C画直线a的平行线c，它与直线b平行吗？
B真题检测反馈
10.下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②如果a∥b，b∥c，那么a∥c;③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂线三种.其中错误的说法有(
)
A.
3个
B.
2个
C.
1个
D.
0个
11.如图5，已知A，B，C三点及直线EF，已知AB∥EF，BC∥EF，那么A，
B，C三点一定在同一条直线上，依据是
.
12.如图6，与AB平行的棱有
条，与AA′平行的棱有
条.
13.
平面内有三条直线，它们的交点个数为多少？甲生：如图7所示，只有1个或0个.你认为甲生回答对吗?
为什么？
C创新拓展提升
14.同一平面内，有10条直线无任意3条直线交于同一点，共有31个交点，请分析后画出示意图.
5.2.2平行线的判定(1)(第2课时)
A双基导学导练
知识点1
用同位角判定两直线平行
1．如图1，
∠1
=
∠2，则直线a与直线b的关系是(
)
A.
平行
B.
相交
C.
垂直
D.
不能确定
2.
(2018德州)如图2，利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线的平行线的方法，其理由是
.
3.(2018青山)根据图3填空，并在括号内注明理由依据.
解：∵∠1=30°，∠2=30°，∴∠1=
∠2，
∴
(
)
又∵AC丄AE(已知），∴∠EAC=
90°(
)
∴∠EAB=∠EAC＋∠1=
120°，
同理：∠FBG=
∠FBD＋∠2=
°
∴∠EAB=∠FBG，∴
(
)
知识点2
用同旁内角判定两直线平行
4．(2018阜阳)如图4，
下列条件能判定AD∥BC的是(
)
A.
∠C
=∠CBE
B.
∠C
＋∠ABC=180°
C.
∠FDC=∠C
D.
∠FDC=∠A
5.
(2018蔡甸)如图5，
AB与CD相交于点O，∠C
=
∠AOC，
∠D
=
∠BOD.
求证:AC∥BD
知识点三
用同旁内角判定两直线平行
6.如图6，如果∠B=65°，∠C=115°，那么
，理由是
7.
(2017江夏)完成下面证明：如图7，
BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且α＋β=90°，求证：AB∥CD.
B真题检测反馈
8.
(2018黄陂)如图8，点E在BC的延长线上，则下列条件中，不能判定AB∥CD的是(
)
A.
∠3=∠4
B.
∠B=∠DCE
C.
∠1=∠2
D.
∠D
＋∠DAB=180°
9.
(2017汉阳)如图9，下列条件中，不能判定直线a∥b的是(
)
A.
∠1
=
∠3
B.
∠2=∠3
C.
∠4
=
∠5
D.
∠2
＋∠4=180°
10.
(2017青山)如图10，不添加辅助线，请写出一个能判定DE∥BC的条件
.
11.
(2017汉阳)如图11，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=
50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由.
12.
(2017黄冈)如图12，已知AB丄BC，BC丄CD，∠1=∠2，试判断BE与CF关系，并说明你的理由.
Ｃ创新拓展提升
13.如图13，已知∠B＋∠D=∠BED，试说明AB∥CD.
5.2.2平行线的判定(2)
(第3课时)
Ａ双基导学导练
知识点 用同位角、内侧角、同旁内角判定两直线平行
1.如图1，下列四组条件中，能判定AB∥CD的是(
)
A.
∠1=∠2
B.
∠BAD＋∠ADC=180°
C.
∠3
=∠4
D.
∠BAD－∠ABC=180°
2.如图2，下列条件中不能判定DE∥BC的是()
A.
∠1
=
∠C
B.
∠2
=
∠3
C.
∠1
=∠2
D.
∠2＋∠4=
180°
3.如图3下列说法中正确的是(
)
A.
∵∠A＋∠D=
180°，∴AD∥BC
B.
∵∠C＋∠D=
180°，∴AB∥CD
C.
∵∠A＋∠D=
180°，∴AB∥CD
D.
∵∠A＋∠C=
180°，∴AB∥CD
4.
如图4，下列判断错误的是(
)
A.
∵∠1＋∠2=
180°，∴AE∥BD
B.
∵∠3＋∠4=
180°，∴AB∥CD
C.
∵∠1＋∠2=
180°，∴AB∥DE
D.
∵∠5=∠BDC，∴AE∥BD
5.
如图5能判断AB∥CD的条件是(
)
A.
∠1=
∠.2
B.
∠1
＋
∠2=
180°
C.
∠3
=
∠4
D.
∠1
=
∠3
6.
如图6，推理填空.
解：∵∠B=∠D(已知)，
∴AB∥CD.
(
)
∵∠DGF=∠F(已知)，
∴CD∥EF.
(
)
∴AB∥EF.
(
)
7.如图
7，推理填空.
∠DAB=∠DCB，
AF平分∠DAB，CE平分∠DCB，∠FCE=∠CEB，试说明：AF∥CE
解：∵∠DAB=∠DCB
(已知)，AF平分∠DAB，∴
∠
=∠DAB
(角平分线的性质)
又∵CE平分∠DCB，∴∠FCE=∠
(角平分线的性质)，∴∠FAE=∠FCE，
∵∠FCE=∠CEB
，
∴∠
=
∠
，
∴AF∥CE
(
)
B真题检测反馈
8.
(2017洪山)如图8，能判定乂AD∥BC的条件是()
A.
∠3
=
∠2
B.
∠1=
∠2
C.
∠B=
∠D
D.
∠B=∠1
9.如图9，请写出能判定CE∥AB的一个条件
.
10.
—副直角三角尺叠放如图10(1)所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行.如图10(2)，当∠BAD=
15°时，BC∥DE.则当∠BAD
(0°＜∠BAD＜
180°)的度数为____________________时，两块三角尺至少有一组边互相平行.
11.
如图11，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行？并说明判定的依据.
(1)∠1
=∠C，
(2)∠2
=∠4，
(3)∠3
=∠5
，(4)∠6=∠2.
12.
如图12，一束光线在两面垂直的玻璃墙内进行传播，路径为A一B—C—D.若∠1=
∠2=30°，∠3=
∠4=60°
探究直线AB与CD是否平行？为什么？
C创新拓展提升
13.
如图12，已知MG是∠BME的平分线，NH是∠CNF的平分线，且∠BME=∠CNF，.求证:(1)
AB∥CD;
(2)MG∥NH.
微专题2利用角度关系证平行综合
如图
1，下列条件：①∠1
=∠B，②∠2
=∠5，③∠3
=
∠4，④∠BCD＋∠D=180°，⑤∠B＋∠BCD=180°.其中能够得到AB∥CD的条件有
(填序号).
2.如图2，直线AB、
CD，EF被直线GH所截，∠1=70°，∠2=110°，∠3=70°，求证：AB∥CD
3.如图3，已知∠OEB=130°，OF平分∠EOD，∠FOD=
25°，AB∥CD吗？试说明理由.
4.如图4，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1＋∠2
=
90°，直线AB、CD有何位置关系？请说明理由.
5.如图5，点A在射线BG上，∠GAE=∠B，∠GAE＋∠E=180°，∠EAB=∠BCD.求证：EF∥CD.
6.如图6，∠BAF=46°，∠ACE=136°，CE丄CD于C，问CD∥AB吗？为什么？
7.如图
7，已知∠D=∠B＋∠BCD，求证：AB∥DE.
8.如图
8，已知∠C=30°，∠CEF=70°，∠EFB=50°，∠B=10°，试说明：AB∥CD
9.
(选做)如图9，在六边形ABCDEF中，AB∥ED，∠B=∠E，
∠F=∠C，求证:
AF∥CD
5.3.1平行线的性质(1)(第
1课时)
A双基导学导练
知识点1
两条平行线被第三条直线所截，同位角相相等，这个性质可简述为：两直线平行同位角相等
1.
(2017
蔡甸)如图
1，a∥6，∠2:∠3=
1:5，则∠1的度数为______.
2.
(2017武昌)如图2，梯子的各条横档互相平行，若∠1=80°，则∠2的度数是(
)
A.
80°
B.
100°
C.
120°
D.
150°
3.
(2017硚口)完成下面的推理填空.
已知：如图3，E、F分别在AB和CD上，∠1=∠D，∠2与互余，AF丄CE于G.求证：∠3
=∠C
知识点2
两条平行线被第三条直线所截.
内错角相等，这个性质可简述为:两直线平行，内错角相等
4.
(2017武昌)如图4，
AB∥CD，∠CDE=140°，则∠A的度数为(
)
A.
70°
B.
65°
C.
50°
D.
40°
5.
(2017东西湖）如图5，
—把长方形直尺沿直线断开并错位，点E，D，B，F在同一条直线上，若
∠ADE
=125°，则∠DBC的度数为
.
6.
(2017江汉)如图6，E点是AD延长线上一点，已知BC∥AE，则可推出相等的角有______.
知识点3
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.这个性质可简述为：两直线平行，同旁内角互补.
7.
(2017
汉阳)如图
7，
CD∥AB，AC丄BC，∠ACD=
40°，则∠B的度数为(
)
A.
40°
B.
50°
C.
60°
D.
70°
8.
(2017
硚口）如图
8，∠1
=∠2，且∠3=
108°，则∠4的度数是
.
真题检测反馈
9.(2018北京)如图9,AB∥CD,一副三角尺按如图所示放置,∠AEG=20°,则∠HFD为
度.
10.(2017江夏)如图10,已知AB∥CD,EF平分∠CEG,∠1=80°,则∠2的度数为(
)
A.20°
B.40°
C.50°
D.60°
11.(2018汉阳)如图11,如果AB∥CD,CD∥EF,那么∠BCE等于(
)
A.∠1+∠2
B.∠2－∠1
C.180°－∠2+∠1
D.180°－∠1+∠2
12.(2017江汉)如图12,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试说明DE∥BC?下面是部分推导过程,请你在括号内填上推导依据或内容.
证明:∵∠1+∠2=180°(已知)
∠1=∠4(
)∴∠2+∠4=180°(
)
∴EH∥AB(同旁内角互补,两直线平行)
∴.∠B＝
(
)
∵∠3=∠B(已知)
∴∠3=∠EHC(等量代换)∴DE∥BC（
)
13.(2018赣州)如图13,已知OA∥BE,OB平分∠AOE,∠4=∠1,∠2与∠3互余
求证：(1)DE/OB；
(2)DE⊥CD
创新拓展提升
14.(2018江夏)如果一个角的两边分别平行于另外一个角的两边,那么这两个角的数量关系
是
.
15.(2018武昌)如图14,AB∥CD,∠B=138°,∠C=18°,求∠BEC的度数.
周测(一)
一、选择题
1.下面四个图形中,∠1与∠2是对顶角的是(
)
2.在同一平面内,两条直线可能的位置关系是(
)
A.平行或垂直
B.相交或垂直
C.平行或相交
D.平行、相交或垂直
3.如图1,AB⊥AC,AD⊥BC,垂足分别为A,D.则图中能表示点到直线距离的线段共有(
)
A.2条
B.3条
C.4条
D.5条
4.(2018河南)如图2,下列判断正确的是(
)
A.若∠1=∠2,则AB∥CD
B.若∠1=∠2,则AD∥BC
C.若∠D=∠3,则AD∥BC
D.若∠BAD+∠ADC=180°,则AD∥BC
5.如图3,将长方形纸条ABCD沿EF折叠后,ED与BF交于G点,若∠EFC=130°,则∠AED的度数为(
)
A.55°
B.70°
C.75°
D.80°
6.如图4,AB∥CD,∠ABE=120°,∠C=25°,则∠BEC的度数为(
)
A.60°
B.75°
C.85°
D.80°
二、填空题
7.如图5,体育课上老师要测量学生的跳远成绩,其测量时主要依据是
.
8.如图6,直线AB、CD、EF相交于O,则∠AOC的对顶角是
，∠AOE的邻补角是
.
9如图7,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC,∠EOC：∠EOD=2:3,则∠BOD的度数
为
.
10.如图8,三组互相垂直的线段,则点B到AC的距离是
,若AD=2,BC=8,BF=4,则AC的长度是
.
1l若∠A的两边与∠B的两边分别平行,且3∠A－∠B=60°,则∠B的度数为
.
三、解答题
12.如图9,DC平分∠ACB,∠B=70°,∠ACB=50°,DE∥BC.求∠EDC与∠BDC的度数.
13.完成下列推理过程，如图10，已知点D、E、F分别在三角形ABC的边BC、CA、AB上，
DE∥BA，DF∥CA，求证:∠A+∠B+∠C=180°
14.如图11,已知∠AED=∠C,∠3=∠B,求证：DE∥BC,AB∥EF,∠1+∠2=180°
15.(2018青山如图12,已知∠A=∠AGE,∠D=∠DGC.
(1)求证：AB∥CD
(2)若∠2+∠1=180°,且∠BEC=2∠B+30°,求∠C的度数
5.3.1平行线的性质(2)(第2课时)
双基导学导练
知识点
平行线的判定与性质的综合运用
1.(2018襄阳)如图1,
BD∥AC,BE平分∠ABD,交AC于点E.若∠A=50°,则∠ABD的度数
为
.
∠BEC的度数为
.
2.(2017荆州)一把直尺和一块三角板ABC(含30°、60°角)摆放位置如图2所示,直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、点E,另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点M,且∠CDE=40°,则∠BFM的度数为
.
3.(2018十堰)如图3,AB∥DE,FG⊥BC于F,∠CDE=40°,则∠FGB的度数为(
)
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
4.如图4,AD∥BC,BO,CO分别平分∠ABC,∠DCB,若∠A+∠D=220°,则∠BOC的度数为(
)
A.110°
B.120°
C.130°
D.140°
5.(2017江岸)填空并完成推理过程.
如图5,E点为DF上的点,B点为AC上的点,∠1=∠2,∠C=∠D,试说明:AC∥DF.
6.(2018黄陂)如图6,∠AOB内有一点P
(1)过点P作PC∥OA交OB于点C,作PD∥OB交OA于点D,作PE⊥OB于点E
(2)在(1)的条件下,若∠AOB=40°,求∠CPE的度数
真题检测反馈
7.(2017武昌)若∠A与∠B的两边分别平行,若∠A=60°,则∠B的度数为(
)
A.120°
B.60°
C.30°或150°
D.60°或120°
8.(2018江西如图7,将一副三角板和张对边平行的纸条按下列方式摆放,两个三角板的直角边重合,含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合,含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上,则∠1的度数是
。
9.(2017洪山)把一张长方形纸片按图8中那样折叠后,若得到∠B’GD=40°,则∠BEF=
.
10.(2017硚口)如图9,已知∠ABC=180°—∠A,BD⊥CD于D,EF⊥CD于E。
(1)求证:AD∥BC;
(2)若∠ADB=36°,求∠EFC的度数
11.如图10,直线EF分别交AB、CD于点E,F,且∠AEF=66°,∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P
1)求∠PEF的度数
(2)若已知直线AB∥CD,求∠P的度数.
创新拓展提升
12.(2017青山)如图11,已知∠A=∠ABC,∠DBC=∠D,BD平分∠ABC,点E在BC的延长线上
(1)求证:
CD∥AB
(2)若∠A=∠ACB+30°,求∠D的度数
5.3.2命题、定理、证明(第3课时)
双基导学导练
知识点1命题的定义及结构
1.命题的定义与结构:
一件事情的语句叫做命题,命题常写成“如果…那么…”的形式“如果后接的部分是
，“那么”后接的部分是
2.下列语句不是命题的是(
)
A.
对顶角相等
B.
连接AB并延长至C点
C.
内错角相等
D.
同角的余角相等
3.下列句子中,是命题的是(
)
A.今天的天气好吗
B.画线段
AB∥CD
C.连接A、B两点
D.正数大于负数
4.“等角的余角相等”改为“如果…那么…”的形式是(
)
A.如果是等角,那么余角相等
B.如果是等角的余角,那么相等
C.如果两个角相同,那么这两个角相等
D.如果两个角相等,那么这两个角的余角也相等
知识点2命题的分类
5.命题可以分为
和
。如果命题是假命题只需要举出一个
就可以了
6.下列命题中,是真命题的是(
)
A.同旁内角互补
B.同位角相等,两直线平行
C.互补的两个角必有一条公共边
D.一个角的补角大于这个角
7.下列命题:①对顶角相等;②在同平面内,重直于同一条直线的两条直线平行;③相等的角是对顶角;④内错角相等.其中是假命题的是(
)
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
8.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例。
(1)两条平行线被第三条直线所截，则同旁内角的平分线互相垂直；
(2)和为180°的两个角互为邻补角。
知识点3定理与证明
9.有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.推理的过程叫做证明
10.请根据“两直线平行,同旁内角互补”这个命题画出图形,再将它的“题设”填在“已知”里面,将它的“结论”填在“求证”里面,然后写出其证明过程
11.如图,AB∥CD,EF与AB、CD分别交于M,N,MQ平分∠AMN,NH平分∠END.求证:MQ∥NH
真题检测反馈
12.(2018武汉十一初)下列语句,不是命题的是(
)
A.两点之间线段最短
B.两直线不相交就是平行
C.延长线段AB
D.武汉是2019年世界军人运动会举小城市
13.(2017黄陂)下列命题中真命题是(
)
A.互补的两个角是邻补角
B.邻补角一定互为补角
C.两角相等,一定是对顶角
D.两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补
14.(2017东西湖)交换下列命题的题设和结论,得到的新命题是假命题的是(
)
A.两直线平行,内错角相等
B.相等的角是对顶角
C.所有的直角都是相等的
D.若a=b,则a-1=b-1
15.(2018河南)下列命题:①同旁内角互补;②两点确定条直线;③同一平面内,不重合的两条直线相交,有且只有一个交点;④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行,那么这两个角相等.其中属于真命题的有(
)
A.1个
B.
2个
C.3
个
D.4个
16“同平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行”是真命题,其中,题设是
,·结论是
。
17.把下列命题写成“如果……那么……”的形式,并判断其真假
(1)等角的补角相等;
(2)不相等的角不是对顶角;
(3)相等的角是内错角
创新拓展提升
18.证明:两条平行线被第三条直线所截,则同旁内角的平分线互相垂直.(要求画图,写已知、求证,然后写出证明过程)
5.4平移(第1课时)
双基导学导练
知识点1平移的定义
1.把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,这种移动,叫做
，
简称
。
2.将图中所示的图案平移后得到的图案是(
)
A
B
C
D
3.(2017黄陂)下列四幅图案可以看作是以图案中某部分为基本图形平移得到的是(
)
A
B
C
D
知识点2平移的性质
4.图形经过平移后,
图形的位置,
图形的形状,
图形的大小.(填改变”或“不改变”)
5.平移前后的两个图形中,对应线段
,对应角
6.新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点就对应点连接各组对应点的线段
。
7.如图1,在长方形ABCD中,AD=2AB,E,F分别为AD及BC的中点,扇形FBE的半径FB=1cm,则阴影部分的面积为
cm2.
8.(2017蔡甸)如图2,将△ABE向右平移2cm得到△DCF,如果△ABE的周长是15cm,则四边形ABFD的周长是(
)
A.
17cm
B.
19cm
C.
21cm
D.
22cm
知识点3
平移作图
9.在如图3的方格纸中,画出将图中的△ABC向右平移5格后的△A1B1C1,然后再画出将△A1B1C1向上平移2格后的△A2B2C2.
△A2B2C2是否可以看成是△ABC经过一次平移而得到的呢？
10．（2018广西）如图4，将△ABC平移到△A1B1C1的位置，连接BB1，AA1，CC1，平移的方向是点
到点
的方向，平移的距离是线段
的长度．
图4
真题检测反馈
11．（2017江岸）如图5，在3×3的网格中，将左上方的正方形平移到右下方（规定只能向右、向下平移），共有（
）种方法（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
图5
图6
图7
12．（2017汉阳）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图6所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（
）
A．甲种方案所用铁丝最长
B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长
D．三种方案所用铁丝一样长
13．（2017硚口）如图7所示，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路（图中阴影部分），宽均为1米，其他部分均种植花草，则道路的面积是
平方米．
创新拓展提升
14．（2017硚口）如图8，将线段AB平移至DC，使点A与点D对应，点B与点C对应，连接AD、BC．
图8
图9
（1）AB与CD的关系为
，BC与AD的关系为
；
（2）如图9，若G、E为射线DC上的点，∠FAG=30°，∠AGE=∠GAE，AF平分∠DAE交直线CD于F．求∠B的度数．
微专题3
巧作一条平行线
1．如图1是赛车跑道的一段示意图，其中AB//DE，测得∠B=140°，∠D=120°，则∠C的度数为（
）
A．90°
B．100°
C．120°
D．140°
图1
2．（2018广西）如图2，直线a//b，∠1=85°，∠2=35°，则∠3的度数为
．
图2
3．如图3，CD//AE，AB⊥AE，求∠ABC+∠BCD的度数．
图3
4．如图4，已知AB//ED，∠4=125°，∠ACD=80°，求∠D的度数．
图4
5．如图5，已知AB//DE，求∠B、∠BCD、∠D三者之间的数量关系．
图5
6．如图6，已知点A在DB上，∠EAC=90°，∠1=∠C，∠2=∠E．求证：DE//BC．
图6
7．已知AB//DE．
（1）如图7，猜想∠BAC+∠ACD+∠CDE的度数为
，并证明你的结论；
图7
（2）如图8，若∠BAC的平分线、∠CDE的平分线相交于点G，猜想∠ACD与∠G的数量关系，并证明你的结论．
图8
8．问题：已知线段AB//CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．
图9
图10
图11
图12
（1）端点A、C同向．
如图9，点P在直线AC右侧时，∠APC－（∠A+∠C）=
度；
如图10，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）=
度；
（2）端点A、C反向．
如图11，点P在直线AC右侧时，∠APC与（∠A－∠C）有怎样的等量关系？写出结论并证明；
如图12，点P在直线AC左侧时，∠APC－（∠A－∠C）=
度．
微专题4
巧作两条平行线（选做）
1．（2017洪山）如图1，已知AB//CD，∠EBF=2∠ABE，∠EDF=2∠CDE，则∠E与∠F之间满足的数量关系是（
）
A．∠E=∠F
B．∠E+∠F=180°
C．3∠E+∠F=360°
D．2∠E－∠F=90°
图1
2．如图2，已知AB//EF，∠C=90°，则a、与的关系是
．
图2
3．如图3，直线AB//CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠C=145°，求∠CHG的度数．
图3
4．如图4，AB//DE，AF平分∠BAC，DF平分∠CDE，试猜想∠ACD与∠AFD的数量关系，并证明你的结论．
图4
5．（2017青山）如图5，已知AB//CD，∠B=30°，∠D=120°．
（1）若∠E=60°，则∠F=
；
（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由．
图5
微专题5
易错题
1．如图1，长方形ABCD中，AB=20，BC=12，IL//JK//DC，EF=HG=LK=IJ=3，则空白部分的面积是
．
图1
2．如图2，有三条两两相交的公路AB、BC、CA，从A地测得公路AB的走向是北偏东48°，从B地测得公路BC的走向是北偏西42°，若AB、BC、CA的长分别为c千米、a千米、b千米，点P是直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为
．
图2
3．（2018硚口）如图3，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB//CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE=，∠DCE=．下列各式：①+，②－，③－，④360°－－，∠AEC的度数可能是（
）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
图3
4．如图4（1），点E、F分别为长方形纸带ABCD的边AD、BC上的点，∠DEF=19°，将纸带沿EF折叠成图4（2）（G为ED和BF的交点），再沿BF折叠成图4（3）（H为EF和DG的交点），则图4（3）中∠DHF的度数为
．
图4（1）
图4（2）
图4（3）
5．（2018江岸）如图5，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则图中满足条件的点C个数是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
图5
6．（2018洪山）如图6，△ABC中，D、E、F三点分别在AB，AC，BC三边上，过点D的直线与线段EF的交点为点H，∠1+∠2=180°，∠3=∠C．
（1）求证：DE//BC；
（2）在以上条件下，若△ABC及D，E两点的位置不变，点F在边BC上运动使得∠DEF的大小发生变化，保证点H存在且不与点F重合，探究：要使∠1=∠BFH成立，请说明点F应该满足的位置条件，在图7中画出符合条件的图形并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠C=a，直接写出∠BFH的度数为
．
图6
图7
周测（二）
一、选择题
1．下列结论正确的是（
）
A．内错角没有公共边
B．内错角一定相等
C．同位角一定有公共顶点
D．在△ABC中，∠A、∠B、∠C任意两个角都是同旁内角
2．∠1与∠2互为对顶角的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．下列命题中，是假命题的是（
）
A．同角的补角相等
B．等角的余角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．内错角相等
4．如图1所示，直线AB、CD被直线EF所截，∠1=70°，下列结论正确的是（
）
A．若∠2=70°，则AB//CD
B．若∠5=70°，则AB//CD
C．若∠3=110°，则AB//CD
D．若∠4=70°，则AB//CD
图1
5．（2018安徽）如图2，a//b，AB//CD，CE⊥b，FG⊥b，E、G为垂足，则下列说法错误的是（
）
A．CE//FG
B．CE=FG
C．A、B两点的距离就是线段AB的长
D．直线a、b间的距离就是线段CD的长
图2
二、填空题
6．如图3，直线AB、CD、EF相交于O，则∠AOE的对顶角是
，∠AOC的邻补角是
．
图3
7．如图4，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在，的位置．若∠EFB=65°，则∠AED等于
．
图4
8．如图5，已知AB//CD，BC//DE，则∠B+∠D的度数是
．
图5
9．如图6，由三角形ABC平移得到的三角形有
个．
图6
10．（2017洪山）如图7，已知EF//GH，A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点，延长AM至点C，AB平分∠DAC，DB平分∠FBC．若∠ACB=100°，则∠DBA的度数为
．
图7
三、解答题
11．如图8，已知△ABC，按要求作图．
（1）过点A作BC的垂线段AD；
（2）过C作AB、AC的垂线分别交AB于点E、F；
（3）AB=15，BC=7，AC=20，AD=12，求点C到线段AB的距离．
图8
12．已知，如图，AB与CD交于点O．
（1）如图9，若AC//BD，求证：∠A+∠C=∠8+∠D；
（2）如图10，若AC不平行BD，（1）中的结论是否仍然成立？请判断并证明你的结论．（注：不能用三角形内角和定理）
图9
图10
13．已知直线EF//MN，点A、B分别为EF、MN上的动点，且∠ACB=90°，BD平分∠CBN交EF于D．
（1）若∠FDB=120°，如图11，求∠MBC与∠EAC的度数；
（2）延长AC交直线MN于G，如图12，GH平分∠AGB交DB于H，问∠GHB是否为定值，若是，请求值，若不是，请说明理由．
图11
图12
(
1
)
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第五章
相交线与平行线
5.1.1
相交线（第1课时）
A.双基导学导练
知识点1
邻补角的定义及其性质
1.两个角有一条__________，它们的另一条边互为_________，具有这种关系的__________，________邻补角.
答案：公共边；反向延长线；两个角；互为
2.邻补角与补角的主要区别是：补角只反映两个角之间的数量关系，即__________________；而邻补角是补角的特殊情况，邻补角既有数量关系：_________________，又要有位置关系：_________________________.
答案：两角之和等于180度；两角之和等于180度；两角有公共的顶点和公共的边且另一半互为反向延长线
3.如图1，直线AB、CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠AOM=42°，则∠BOC的度数为______.
答案：96°
4.如图2，已知直线AB、CD交于点O，且OE平分∠BOC.
（1）直接写出∠AOC的邻补角；（2）写出∠EOA的补角，并说明理由；
（3）若∠AOC=42°，求∠BOE的度数.
解：（1）∠AOC的邻补角是∠AOD，∠COB
（2）∵∠AOE+∠EOB=180°
∴∠EOA与∠EOB互补
又∵∠EOB=∠COE
∴∠AOE+∠COE=180°
∴∠AOE与∠COE也互补
（3）∵∠AOC+∠BOC=180°
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-42°=138°
又∵OE平分∠COB
∴∠BOE=∠COB=69°
知识点2
对顶角的定义及其性质
5.下列说法：①有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角；②相等的两个角是对顶角；③如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；④如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角.其中正确的个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：B
6.在下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（
）
A.
B.
C.
D.
答案：C
7.图3中是对顶量角器，它测量角的原理是__________________.
答案：对顶角相等
8.如图4，直线a、b、c两两相交，∠1=2∠3，∠2=64°，求∠4的度数.
解：∵∠2=65°，∴∠1=∠2=64°，又∵∠1=2∠3
，∴∠3=∠1=×64°=32°，∴∠4=∠3=32°
知识点3
邻补角，对顶角性质的运用
9.如图5，直线AB、CD、EF都经过点O，若∠2=80°，则∠1+∠3的度数为______________.
答案：100°
10.如图6，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠3：∠2=8：1，求∠AOC的度数.
解：∵OE平分∠BOD
∴∠1=∠2
又∵∠3：∠2=8：1
，∴∠3：∠2：∠1=8：1：1，
设∠1=∠2=x，则∠3=8x，又∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴x+x+8x=180°，∴x=180°，
∴∠AOC=∠1+∠2=36°
11.（2018武汉十一初）如图7，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠3：∠2=8：1，求∠AOC的度数.
解：∵OE平分∠BOD，∴∠1=∠2，又∠3：∠2=8：1，∴∠3：∠2：∠1=8：1：1，设∠1=∠2=x，
则∠3=8x，又∠1+∠2+∠3=180°，∴x+x+8x=180°，∴x=18°，∴∠AOC=∠1+∠2=36°.
B.真题检测反馈
12.如图8，直线AB、CD、EF相交于点O，则∠BOE的对顶角是________，∠COF的邻补角是__________；若∠AOC：∠AOE=2：3，∠EOD=130°，则∠BOC=_________.
答案：∠AOF；∠COE；∠DOF；160°
13.如图9，已知∠AOB与∠BOE互为邻补角，且∠BOC＞∠AOB，OD平分∠AOB，射线OE使∠BOE=∠EOC，当∠DOE=72°时，则∠EOC的度数为_________.
答案：72°
14.将一张长方形纸片按如图10所示的方式折叠（射线经过点），BC、BD为折痕，求∠CBD的度数.
解：由题意∠ABC=∠，∠EBD=∠，又∵∠ABC+∠+∠EBD+∠=180°，
∴2∠+2∠=180°，∴∠CBD=∠+∠=90°
C.创新拓展提升
15.（1）两条直线相交于一点有_____组不同的对顶角；（2）三条直线相交于一点有_____组不同的对顶角；（3）四条直线相交于一点有_______组不同的对顶角；（4）n条直线相交于一点有________组不同的对顶角.
答案：
2；
6；
12；
n（n-1）
16.一条直线最多将平面分成两部分，两条直线最多将平面分成4部分，三条直线最多将平面分成7部分，四条直线最多将平面分成_____部分，...，则8条直线最多将平面分成______部分.
答案：11；37
5.1.2
垂线（第2课时）
A.双基导学导练
知识点1
垂直的定义
1.垂线：当两条直线相交所构成的四个角中有一个角是______时，叫做两条直线互相垂直；其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做______.
答案：直角；垂足
2.如图1，垂直定义的几何语言：
（1）∵AB⊥CD于点E
∴___________________________________；
答案：∠CEB=90°或∠AEC=90°或∠AED=90°或∠BED=90°
（2）∵∠CEB=90°
∴____________________________________.
答案：AB⊥CD于点E
3.如图2，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，∠COB=145°，则∠DOE=
_____
.
答案：55°
4.如图3，AO⊥BO，CO⊥DO，∠AOC：∠BOC=1：4，则∠AOC=______，∠BOD=
______
.
答案：30°
；
150°
知识点2
垂线的画法
5.如图4所示，分别过P画AB的垂线PH，H为垂足.
6.下列各个图形中，过A作线段BC所在直线垂线段，其中画法正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
答案：D
知识点3
垂线的性质
7.（1）已知点P在直线l上（如图5），经过点P画直线的垂线，_____（填“能”或“不能”）画且_________直线；（2）已知点P在直线外（如图6），经过点P画直线的垂线，
能
（填“能”或“不能”）画且_________直线；（3）综合（1）和（2）可得到垂线的一条性质：______________________.
答案：能；只能画一条；能；只能画一条；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
8.如图7，AB⊥MN，BC⊥MN，垂足都是N，那么A、B、C三点在一条直线上，其依据是______________
.
答案：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
知识点4
点到直线的距离
9.直线外一点与直线上各点连点的所有线段中，_______
最短；点到直线的距离：从直线外一点到直线的
__________.
答案：垂线段；垂线的长度
10.如图8，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB＞AC的依据是
，
AC+BC＞AB的依据是
.
答案：垂线段最短；两点之间线段最短
11.体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（
）
A.垂直的定义
B.两点之间线段最短
C.垂线段最短
D.两点确定一条直线
答案：C
B.真题检测反馈
12.如图9，点P到直线的距离是（
）
A.线段PA的长度
B.线段PB的长度
C.线段PC的长度
D.线段PD的长度
答案：B
13.如图10是一跳远运动员跳落沙坑时留下的痕迹，则表示该运动员成绩的是（
）
A.线段的长
B.线段的长
C.线段的长
D.线段的长
答案：B
14.如图11，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，CF⊥AB与点F，AE、BD、CF交于点O，则图中能表示点A到直线OC的距离的线段长是（
）
A.AO
B.AF
C.AD
D.OD
答案：B
15.如图12，AB交CD于O，OE⊥AB.
（1）若∠EOD=20°，求∠AOC的度数；
（2）若∠AOC：∠BOC=1：2，求∠EOD的度数.
解：（1）∵AB交CD于O，OE⊥AB
，∴∠EOD+∠BOD=90°，
又∠EOD=20°，
∴∠BOD=70°，∴∠AOC=∠BOD=70°
（2）∵∠AOC：∠BOC=1：2
，∴∠BOC=2∠AOC，∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC+2∠AOC=180°，
∵∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠EOD=90°-∠BOD=30°
16.如图13，∠AOB=90°，在∠AOB的内部有一条射线OC.
（1）画射线OD⊥OC；
（2）写出图中∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由.
解：（1）两种情况，图略；
（2）①∵∠AOD+∠AOC=90°且∠BOC+∠AOC=90°，∴∠AOD=∠BOC，
②∵∠DOB+∠BOC=90°，∠AOC+∠BOC=90°，
∴∠DOB=∠AOC
，
∴∠AOD+∠BOC=2×90°=180°
C.创新拓展提升
17.如图14，P是直线外一点，A、B、C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC=90°，则下列结论：①线段AP的长是点A到直线PC的距离；②线段BP的长是点P到直线的距离；③PA、PB、PC三条线段中，PB最短；④PA·PC=PB·PA.其中正确的是（
）
A.②③
B.①②③
C.③④
D.①②③④
答案：D
5.1.3
同位角、内错角、同旁内角（第3课时）
A.双基导学导练
知识点
“三线八角”
1.下列8个图形（可以统称为“F”型），每个图形中∠1和∠2是什么角？答：_______.
答案：同位角
2.下列8个图形（可以统称为“N”型或“Z”型），每个图形中∠1和∠2是什么角？答：_______.
答案：内错角
3.下列8个图形（可以统称为“U”型），每个图形中∠1和∠2是什么角？答：________.
答案：同旁内角
4.根据图1所示的图形填空：
（1）∠1与∠2是直线______和______被直线
BC
所截而得的__________；
（2）∠1与∠3是直线______和______被直线
BC
所截而得的__________；
（3）∠3与∠4是直线______和______被直线
DE
所截而得的__________；
（4）∠1与∠2是直线______和______被直线
DE
所截而得的__________；
（5）∠4与∠5是直线______和______被直线
DE
所截而得的__________；.
答案：（1）AB；DE；同位角
（2）AB；DE；内错角
（3）BC；EF；内错角
（4）BC、EF；同位角
（5）BC、EF、同旁内角
5.根据图2所示的图形填空：
（1）∠1与∠2是直线______和______被直线_____
所截得的______角；
（2）∠3与∠4是直线______和______被直线______所截得的______角；
（3）∠DAB与∠D是直线______和______被直线______所截得的______角；
（4）∠B与∠DAB是直线______和______被直线______所截得的______角；
答案：（1）DC；AB；AC；内错
（2）DA；BC；AC；内错
（3）AB；DC；AD；同旁内
（4）AD；BC；AB；同旁内
B.真题检测反馈
6.如图，∠1与∠2是同位角的是（
）
A.②③
B.①②③
C.①②④
D.①④
答案：C
7.如图3，下列说法不正确的是（
）
A.∠AFE与∠EGC是同位角
B.∠AFE与∠FGC是内错角
C.∠C与∠FGC是同旁内角
D.∠DFB与∠B是内错角
答案：A
8.如图4，以下说法正确的是（
）
A.∠1与∠C是同位角
B.∠1与∠3是同旁内角
C.∠3与∠C是内错角
D.∠1与∠3是对顶角
答案：C
9.如图5，图中与∠1是同位角的角有（
）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案：B
10.如图6，∠D的同旁内角分别是
___________________
.
答案：∠C、∠CED、∠AED
11.两条直线被的三条直线所截，如果一对同位角相等，那么内错角也相等，同旁内角也互补.
证明如下：如图7，设∠1=∠3，∵∠1+∠2=
180°
（平角的定义），
∴∠3+∠2
=180°，
∴∠2与∠3互补（互补的定义），又∵∠4与
∠3
互补（邻补角定义），
∴∠2=∠4（同角的补角相等）
C.创新拓展提升
12.如图8，关于图中∠1至∠9之间的9个角，下列判断正确的是（
）
A.4对同位角，4对内错角，4对同旁内角
B.4对同位角，4对内错角，2对同旁内角
C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角
D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角
答案：C
13.如图9，点E、F分别在BA、BC的延长线上.
（1）图中的同位角有哪几对？
答：_______________________.
（2）图图中的内错角有哪几对？
答：________________________.
（3）中的同旁内角有哪几对？
答：________________________.
（4）若∠1=∠B，∠B+∠3=180°，求证：∠1=∠4.请完成如下证明，并在括号内填上各步的推理依据.
答案：（1）∠1与∠B，∠B与∠4；
（2）∠D与∠4，∠D与∠1；
（3）∠2与∠B，∠B与∠3，∠3与∠D，∠D与∠2；
（4）证明：∵∠B+∠3=180°（已知），又∵∠
4
+∠3=180°（邻补角的定义），
∴∠B=∠
4
（同角的补角相等），又∠1=∠B（已知），∴∠1=∠4（等量代换）
微专题1
相交线所成的角计算
1.如图1，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=70°，EF平分∠COB，求∠COE的度数.
解：∵∠AOC+∠BOC=180°且∠AOC=70°，∴∠BOC=110°，
∴EF平分∠COB
，∴∠BOF=∠CPB=×110°=55°，∴∠AOE=∠BOF=55°，
∴∠COE=∠AOC+∠AOE=70°+55°=125°
2.如图2，直线AB和CD相交于O点，∠DOE是直角，OF平分∠AOE，∠BOD=22°，求∠COF的度数.
解：∵∠DOE是直角
∴∠COE=180°-90°=90°，
又∠AOC=∠BOD=22°
，∴∠AOE=∠AOC+∠COE=112°，
又OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠AOE=56°，∴∠COF=∠AOF-∠AOC=56°-22°=34°
3.如图3，直线AB交直线BD于点O，OE⊥AB.
（1）若∠EOD=∠BOD-50°，求∠AOC的度数；
（2）若∠AOC：∠EOD=5：1，求∠BOC的度数.
解：（1）∵OE⊥AB
∴∠BOE-90°，∵∠EOD=∠BOD-50°，∠EOB=∠EOD+∠BOD=90°，
即∠BOD-50°+∠BOD=90°，
2∠BOD=140°，
∴∠BOD=70°，
∴∠AOC=∠BOD=70°
（2）设∠AOC=5x，则∠EOD=x，∵∠AOC+∠AOE+∠EOD=180°，
∴5x+90°+x=180°，
∴x=15°，∴∠AOC=75°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=105°
4.已知点O为直线AB与直线CF的交点，∠BOC=.
（1）如图4甲，若=40°，OD平分∠APC，∠DOE=90°，求∠EOD的度数；
（2）如图4乙，若∠AOD=∠AOC，∠DOE=60°，求∠EOF的度数（用含的式子表示）
解：（1）20°
（2）设∠AOD=x，则∠COD=2x，∴∠BOC=α=180°-3x
∴x=60°-，
∵∠DOE=60°，
∴∠AOE=60°-x，
∴∠EOF=∠AOF-∠AOE=α-（60°-α）=α-60°+x=
5.如图5，直线EF、CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF.
（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOE=，求∠BOD的度数（用含的代数式表示）；
（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？
解：（1）∵∠AOE+∠AOF=180°，∠AOE=40°
∴∠AOF=140°，
又∵OC平分∠AOF，
∴∠FOC=∠AOF=70°，∴∠EOD=∠FOC=70°，
而∠BOE=∠AOB-∠AOE=50°，
∴∠BOD=∠EOD-∠BOE=20°
6.如图6，直线AB交CD于点O，∠BOD=56°，由点O引射线OG、OE、OF，使OC平分∠EOG，∠AOG=∠FOE，求∠FOC.
解：∵OC平分∠EOG
∴∠1=∠2，∵∠FOE=∠AOG，∴∠FOE+∠1=∠AOG+∠2，即∠FOC=∠AOC，
又∵AB、CD相交于点O，∴AOC与∠BOD是对顶角，
由对顶角相等，可得∠AOC=∠BOD
∴∠FOC=∠BOD，∵∠BOD=56°
∴∠FOC=56°
7.如图7，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，∠AON=∠AOD+15°，求∠DOM的度数.
解：∵射线OM平分∠AOC
∴∠AOM=∠COM，设∠AOM=∠COM=x，∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-2x，
∵∠AOD=180°-∠AOC=180°-2x，∵ON⊥OM
∴∠MON=90°，
∴∠AON=∠AOM+∠MON=x+90°，∵∠AON=∠AOD+15°，∴x+90°=180°-2x+15°
∴x=35°，
∴∠AOM=∠COM=35°，∴∠CON=90°-∠COM=35°，
∴∠DON=180°-∠CON=180°-55°=125°
5.2.1平行线(第1课时)
A双基导学导练
知识点1
平行线
1.平行线:在同一平面内，_____________的两条直线叫做平行线.
答案：不相交
2..小明列举生活中几个例子，你认为是平行线的是
__(填序号).
①马路上斑马线；
②火车铁轨；
③直跑道线；
④长方形门框上下边.
答案：①②③④
3.(2018硚口)在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是(
)
A.
平行
B.
相交
C.
垂直
D.
平行或相交
答案：D
4.下列说法正确的是(
)
A.
同一个平面内，不相交的两条线段是平行线
B.
同一个平面内，两条直线不相交就重合
C.
同一个平面内，没有公共点的两条直线是平行线
D.
不相交的两条直线是平行线
答案：C
知识点2 画平行线
5.根据下列要求画图.
(1)
如图1，过点A画MN∥BC;
(2)
如图2，过点P画PE∥OA，交OB于点E，过点P画PH∥0B，交0A于点H;
(3)
如图3，过点C画CE∥DA与AB交乎点E，过点C画CF∥DB，与AB的延长线交于点F
答案：图略
知识点3
平行线的基本事实
6.
(1)经过直线外一点，有且只有
条直线与这条直线平行；
(2)平行于同一直线的两条直线___________.
答案：一
；互相平行
7.下列说法正确的是(
)
A.
经过一点有一条直线与已知直线平行
B.
经过一点有无数条直线与已知直线平行
C.
经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D.
经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
答案：D
8.在同一平面内有三条直线，若其中有两条且只有两条直线平行，则它们交点的个数为(
)
A.
0个
B.
1个
C.
2个
D.
3个
答案：C
9.如图4，已知直线a，点B，点C.
(1)
过点B画直线a的平行线b，能画几条？
(2)
过点C画直线a的平行线c，它与直线b平行吗？
答案：
(1)画图略
过直线a外的一点画直线a的平行线，有且只有一条直线与直线a平行
(2)过点C画直线a的平行线c，它与直线b平行.
理由如下：
∵b∥a，c∥a
，∴.c∥b
B真题检测反馈
10.下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②如果a∥b，b∥c，那么a∥c;③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂线三种.其中错误的说法有(
)
A.
3个
B.
2个
C.
1个
D.
0个
答案：B
11.如图5，已知A，B，C三点及直线EF，已知AB∥EF，BC∥EF，那么A，
B，C三点一定在同一条直线上，依据是
.
答案：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
12.如图6，与AB平行的棱有
条，与AA′平行的棱有
条.
答案：3
；3
13.
平面内有三条直线，它们的交点个数为多少？甲生：如图7所示，只有1个或0个.你认为甲生回答对吗?
为什么？
答案：
甲生回答不对，如图：还有2或3个交点的情形.
即平面内有三条直线它们的交点个数为0个或1个或2个或3个
C创新拓展提升
14.同一平面内，有10条直线无任意3条直线交于同一点，共有31个交点，请分析后画出示意图.
答案：
平面上的10条直线，若两两相交，最多可出现45个交点.若按题目的要求只要
31个交点，则要减少14个交点，通常可采用如下两种方法：①多条直线共点；②出现平行线.但方法①不符合本题；故考虑方法②，在某一方向上若有5条直线
互相平行，则可减少10个交点；若有6条直线互相平行，则可减少15个交点，故在这个方向上最多可取5条平行线，这时还有4个点要减去，转一个方向取3
条平行线，即可减少3个交点，于是还剩2条直线，还有1个点要减去，只要让其在第三个方向上互相平行即可.右图所示的三组平行线即为所求的示意图.
5.2.2平行线的判定(1)(第2课时)
A双基导学导练
知识点1
用同位角判定两直线平行
1．如图1，
∠1
=
∠2，则直线a与直线b的关系是(
)
A.
平行
B.
相交
C.
垂直
D.
不能确定
答案：A
2.
(2018德州)如图2，利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线的平行线的方法，其理由是
.
答案：同位角相等，两直线平行
3.(2018青山)根据图3填空，并在括号内注明理由依据.
解：∵∠1=30°，∠2=30°，∴∠1=
∠2，
∴
(
)
又∵AC丄AE(已知），∴∠EAC=
90°(
)
∴∠EAB=∠EAC＋∠1=
120°，
同理：∠FBG=
∠FBD＋∠2=
°
∴∠EAB=∠FBG，∴
(
)
答案：
AC
∥BD
；
同位角相等，两直线平行
；垂直定义
AE
∥
BF
；
同位角相等，两直线平行
知识点2
用同旁内角判定两直线平行
4．(2018阜阳)如图4，
下列条件能判定AD∥BC的是(
)
A.
∠C
=∠CBE
B.
∠C
＋∠ABC=180°
C.
∠FDC=∠C
D.
∠FDC=∠A
答案：C
5.
(2018蔡甸)如图5，
AB与CD相交于点O，∠C
=
∠AOC，
∠D
=
∠BOD.
求证:AC∥BD
答案：∵∠C
=∠AOC，
∠D=∠BOD，∠AOC=∠BOD，∴∠C=∠D，∴AC∥BD
知识点三
用同旁内角判定两直线平行
6.如图6，如果∠B=65°，∠C=115°，那么
，理由是
答案：AB∥
CD
；
理由是同旁内角互补，两直线平行
7.
(2017江夏)完成下面证明：如图7，
BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且α＋β=90°，求证：AB∥CD.
答案：∵BE平分∠ABD(已知）∴∠ABD=2α(角平分线的定义)
∵DE平分∠BDC(已知）∴∠BDC=2β(角平分线的定义)
∴∠ABD＋∠BDC=2α＋2β=
2(α＋β)(等量代换）
∵α＋β=
90°（已知）∴∠ABD＋∠BDC=
180°(等式的性质)
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)
B真题检测反馈
8.
(2018黄陂)如图8，点E在BC的延长线上，则下列条件中，不能判定AB∥CD的是(
)
A.
∠3=∠4
B.
∠B=∠DCE
C.
∠1=∠2
D.
∠D
＋∠DAB=180°
答案：C
9.
(2017汉阳)如图9，下列条件中，不能判定直线a∥b的是(
)
A.
∠1
=
∠3
B.
∠2=∠3
C.
∠4
=
∠5
D.
∠2
＋∠4=180°
答案：B
10.
(2017青山)如图10，不添加辅助线，请写出一个能判定DE∥BC的条件
.
答案：∠DAB=∠B或∠C=∠EAC
或∠DAC＋∠C=180°等
11.
(2017汉阳)如图11，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=
50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由.
答案：
OA∥BC，
OB∥AC.理由如下：∵∠1=50°，∠2=
50°，∴∠1=∠2
∴OB∥AC
∵∠2=
50°，∠3=130°，∴∠2＋∠3=180°∴OA∥BC
12.
(2017黄冈)如图12，已知AB丄BC，BC丄CD，∠1=∠2，试判断BE与CF关系，并说明你的理由.
答案：∵AB丄BC，BC丄CD，(已知)，∴∠ABC=∠BCD=90°(垂直定义)
∵∠1=∠2(已知)，∴∠ABC－∠1=∠BCD－∠2，
即∠EBC=∠BCF
∴BE∥CF(内错角相等，两直线平行)
Ｃ创新拓展提升
13.如图13，已知∠B＋∠D=∠BED，试说明AB∥CD.
答案：作∠BEF=∠B，
∴AB∥EF，∵∠BED=∠B＋∠D
∴∠DEF=∠D
∴CD∥EF
又∵AB∥EF
∴AB∥CD?
5.2.2平行线的判定(2)
(第3课时)
Ａ双基导学导练
知识点 用同位角、内侧角、同旁内角判定两直线平行
1.如图1，下列四组条件中，能判定AB∥CD的是(
)
A.
∠1=∠2
B.
∠BAD＋∠ADC=180°
C.
∠3
=∠4
D.
∠BAD－∠ABC=180°
答案：B
2.如图2，下列条件中不能判定DE∥BC的是()
A.
∠1
=
∠C
B.
∠2
=
∠3
C.
∠1
=∠2
D.
∠2＋∠4=
180°
答案：C
3.如图3下列说法中正确的是(
)
A.
∵∠A＋∠D=
180°，∴AD∥BC
B.
∵∠C＋∠D=
180°，∴AB∥CD
C.
∵∠A＋∠D=
180°，∴AB∥CD
D.
∵∠A＋∠C=
180°，∴AB∥CD
答案：C
4.
如图4，下列判断错误的是(
)
A.
∵∠1＋∠2=
180°，∴AE∥BD
B.
∵∠3＋∠4=
180°，∴AB∥CD
C.
∵∠1＋∠2=
180°，∴AB∥DE
D.
∵∠5=∠BDC，∴AE∥BD
答案：C
5.
如图5能判断AB∥CD的条件是(
)
A.
∠1=
∠.2
B.
∠1
＋
∠2=
180°
C.
∠3
=
∠4
D.
∠1
=
∠3
答案：B
6.
如图6，推理填空.
解：∵∠B=∠D(已知)，
∴AB∥CD.
(
)
∵∠DGF=∠F(已知)，
∴CD∥EF.
(
)
∴AB∥EF.
(
)
答案：
内错角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；
平行于同一条直线的两条直线平行
7.如图
7，推理填空.
∠DAB=∠DCB，
AF平分∠DAB，CE平分∠DCB，∠FCE=∠CEB，试说明：AF∥CE
解：∵∠DAB=∠DCB
(已知)，AF平分∠DAB，∴
∠
=∠DAB
(角平分线的性质)
又∵CE平分∠DCB，∴∠FCE=∠
(角平分线的性质)，∴∠FAE=∠FCE，
∵∠FCE=∠CEB
，
∴∠
=
∠
，
∴AF∥CE
(
)
答案：∠FAE
；
∠DCB
；
∠FAE
=
∠CEB；
同位角相等，两直线平行
B真题检测反馈
8.
(2017洪山)如图8，能判定乂AD∥BC的条件是()
A.
∠3
=
∠2
B.
∠1=
∠2
C.
∠B=
∠D
D.
∠B=∠1
答案：D
9.如图9，请写出能判定CE∥AB的一个条件
.
答案：∠DCE=∠A∠或
∠ECB=∠B
或∠A＋∠ACE=
180°.
10.
—副直角三角尺叠放如图10(1)所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行.如图10(2)，当∠BAD=
15°时，BC∥DE.则当∠BAD
(0°＜∠BAD＜
180°)的度数为____________________时，两块三角尺至少有一组边互相平行.
答案：45°，60°，105°，135°
11.
如图11，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行？并说明判定的依据.
(1)∠1
=∠C，
(2)∠2
=∠4，
(3)∠3
=∠5
，(4)∠6=∠2.
答案：
(1)∵∠1
=∠C
.
∴FD/AC(同位角相等，两直线平行)；
(2)
∵∠2
=∠4
∴ED∥AB(内错角相等，两直线平行)；
(3)
∵∠3
=∠5
∴ED∥AB(同位角相等，两直线平行)；
(4)
∵∠6=∠2
∴FD∥AC(内错角相等，两直线平行).
12.
如图12，一束光线在两面垂直的玻璃墙内进行传播，路径为A一B—C—D.若∠1=
∠2=30°，∠3=
∠4=60°
探究直线AB与CD是否平行？为什么？
答案：
AB∥CD，理由如下：
∵∠1
=∠2=30°.
∴∠ABC=
120°
∵∠3
=∠4=
60°，∴∠BCD=
60°
∴∠ABC＋∠BCD=
180°∴.AB∥CD
C创新拓展提升
13.
如图12，已知MG是∠BME的平分线，NH是∠CNF的平分线，且∠BME=∠CNF，.求证:(1)
AB∥CD;
(2)MG∥NH.
答案：
(1)
∵∠DNE
=∠CNF，
∠BME=∠CNF
∴∠BME=∠DNE，
∴AB∥CD
(2)
∵MG是∠BME的平分线，NH是∠CNF的平分线，
∴∠EMG=∠BME，
∠HNF=∠CNF，，
又∵∠BME=∠CNF，∴∠EMG
=∠HNF
又∵∠EMG＋∠GMF=180°∠HNF＋∠HNE=
180°
.
∴∠GMF=∠HNE
∴MG∥NH?
微专题2利用角度关系证平行综合
如图
1，下列条件：①∠1
=∠B，②∠2
=∠5，③∠3
=
∠4，④∠BCD＋∠D=180°，⑤∠B＋∠BCD=180°.其中能够得到AB∥CD的条件有
(填序号).
答案：①②⑤
2.如图2，直线AB、
CD，EF被直线GH所截，∠1=70°，∠2=110°，∠3=70°，求证：AB∥CD
答案：
∵∠1=70°，∠3=70°(已知)
∴∠1=∠3(等量代换)
∴AB∥EF
(内错角相等，两直线平行)
∵∠2=110°，∠3=70°(已知)
∴∠2＋∠3=180°
∴CD∥EF
(同旁内角互补，两直线平行)
∴AB∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行)
3.如图3，已知∠OEB=130°，OF平分∠EOD，∠FOD=
25°，AB∥CD吗？试说明理由.
答案：
AB∥CD，理由如下：
∵OF平分∠EOD，∠FOD=
25°
∴∠EOD=2∠FOD=
50°
∵∠OEB=
130°
∴∠EOD＋∠OEB=180°
∴AB∥CD
4.如图4，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1＋∠2
=
90°，直线AB、CD有何位置关系？请说明理由.
答案：
AB∥CD，理由如下：
∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，
∴∠ABD
=
2∠1，∠CDB=2∠2
∴∠ABD
＋∠CDB
=
2(∠1
＋∠2)
又∠1
＋∠2=90°
∴∠ABD＋∠CDB=180°∴AB∥CD
5.如图5，点A在射线BG上，∠GAE=∠B，∠GAE＋∠E=180°，∠EAB=∠BCD.求证：EF∥CD.
答案：
∵∠GAE＋∠E=
180°
∴BG∥EF
∵∠GAE=∠B，∠EAB=∠BCD
且∠GAE＋∠EAB=180°∴∠B＋∠BCD=
180°
∴BG∥CD
∵BG∥EF
∴EF∥CD?
6.如图6，∠BAF=46°，∠ACE=136°，CE丄CD于C，问CD∥AB吗？为什么？
答案：
CD∥AB，证明如下：
∵∠BAF=
46°(已知)∠BAF＋∠CAB=
180°(邻补角定义)
∴∠BAC=180°－∠BAF=
134°
∵CE丄CD(已知)
∴∠DCE=90°(垂直的定义）
又∵∠ACE=
136°(已知)
∠ACD＋∠DCE＋∠ACE=
360°(周角的定义)
∴∠ACD=
360°－
90°－
136°=
134°
∴∠BAC=∠DCA=
134°
∴CD∥AB
(内错角相等，两直线平行)
7.如图
7，已知∠D=∠B＋∠BCD，求证：AB∥DE.
答案：
作∠DCF=∠D，则CF∥DE
∵∠D=∠B＋∠BCD
∴∠DCF=∠B＋∠BCD
即
∠BCF＋∠BCD=∠B＋∠BCD
∴∠BCF=∠B
∴CF∥AB
又∵CF∥DE
∴AB∥DE
8.如图
8，已知∠C=30°，∠CEF=70°，∠EFB=50°，∠B=10°，试说明：AB∥CD
答案：
过E作∠CEG=
30°，则CD∥EG，过F怍∠BFH=
10°，则AB∥FH
∵∠GEF=∠EFH=
40°
∴GE∥FH
∵AB∥FH，
CD∥GE
∴AB∥CD
9.
(选做)如图9，在六边形ABCDEF中，AB∥ED，∠B=∠E，
∠F=∠C，求证:
AF∥CD
答案：
连接BE、FC
∵AB∥ED，∴∠1=∠2
又∵∠1＋∠4=∠2＋∠3
∴∠4=∠3
∴BC∥EF
∴∠5=∠6
又∵∠5＋∠8=∠6＋∠7
∵∠7=∠8
∴AF∥CD
5.3.1平行线的性质(1)(第
1课时)
A双基导学导练
知识点1
两条平行线被第三条直线所截，同位角相相等，这个性质可简述为：两直线平行同位角相等
1.
(2017
蔡甸)如图
1，a∥6，∠2:∠3=
1:5，则∠1的度数为______.
答案：30°
2.
(2017武昌)如图2，梯子的各条横档互相平行，若∠1=80°，则∠2的度数是(
)
A.
80°
B.
100°
C.
120°
D.
150°
答案：B
3.
(2017硚口)完成下面的推理填空.
已知：如图3，E、F分别在AB和CD上，∠1=∠D，∠2与互余，AF丄CE于G.求证：∠3
=∠C
答案：
∵AF丄CE
∴∠CGF=
90°
∵∠1
=∠D(已知)
∴
AF
∥
ED(同位角相等，两直线平行)
∴∠4=∠CGP=90。(两直线平行，同位角相等)
又∵2与∠C互余(已知)，∠2＋∠3
＋∠4=
180°
∴∠2＋∠C=∠2＋∠3
=
90°∴∠C=∠3
知识点2
两条平行线被第三条直线所截.
内错角相等，这个性质可简述为:两直线平行，内错角相等
4.
(2017武昌)如图4，
AB∥CD，∠CDE=140°，则∠A的度数为(
)
A.
70°
B.
65°
C.
50°
D.
40°
答案：D
5.
(2017东西湖）如图5，
—把长方形直尺沿直线断开并错位，点E，D，B，F在同一条直线上，若
∠ADE
=125°，则∠DBC的度数为
.
答案：55°
6.
(2017江汉)如图6，E点是AD延长线上一点，已知BC∥AE，则可推出相等的角有______.
答案：∠3=∠4，.
∠C=∠CDE
知识点3
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.这个性质可简述为：两直线平行，同旁内角互补.
7.
(2017
汉阳)如图
7，
CD∥AB，AC丄BC，∠ACD=
40°，则∠B的度数为(
)
A.
40°
B.
50°
C.
60°
D.
70°
答案：B
8.
(2017
硚口）如图
8，∠1
=∠2，且∠3=
108°，则∠4的度数是
.
答案：72°
真题检测反馈
9.(2018北京)如图9,AB∥CD,一副三角尺按如图所示放置,∠AEG=20°,则∠HFD为
度.
答案：35
10.(2017江夏)如图10,已知AB∥CD,EF平分∠CEG,∠1=80°,则∠2的度数为(
)
A.20°
B.40°
C.50°
D.60°
答案：C
11.(2018汉阳)如图11,如果AB∥CD,CD∥EF,那么∠BCE等于(
)
A.∠1+∠2
B.∠2－∠1
C.180°－∠2+∠1
D.180°－∠1+∠2
答案：C
12.(2017江汉)如图12,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试说明DE∥BC?下面是部分推导过程,请你在括号内填上推导依据或内容.
证明:∵∠1+∠2=180°(已知)
∠1=∠4(
)∴∠2+∠4=180°(
)
∴EH∥AB(同旁内角互补,两直线平行)
∴.∠B＝
(
)
∵∠3=∠B(已知)
∴∠3=∠EHC(等量代换)∴DE∥BC（
)
答案：
对顶角相等；同旁内角互补,两直线平行；∠EHC；
两直线平行,同位角相等；
内错角相等,两直线平行
13.(2018赣州)如图13,已知OA∥BE,OB平分∠AOE,∠4=∠1,∠2与∠3互余
求证：(1)DE/OB；
(2)DE⊥CD
证明:(1)∵OA∥BE
∴∠AOB=∠4
又∵OB平分∠AOE
∴∠AOB=∠2
∴∠4=∠2
又∵∠4=∠1
∴∠2=∠1
∴DE∥OB
(2)由(1)知DE∥OB
∴∠EDF=∠BOF
又∵∠2+∠3=90°
∴∠EDF=∠BOF=90°
∴DE⊥CD
创新拓展提升
14.(2018江夏)如果一个角的两边分别平行于另外一个角的两边,那么这两个角的数量关系
是
.
答案：相等或互补
15.(2018武昌)如图14,AB∥CD,∠B=138°,∠C=18°,求∠BEC的度数.
解:过E作EF∥AB
∵AB∥CD
.AB∥EF//CD
∴∠B+∠BEF=180°
∠C=∠FEC
∵∠B=138°,∠C=18°
∴∠BEF=138°,∠FEC=18°
∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=60°
周测(一)
一、选择题
1.下面四个图形中,∠1与∠2是对顶角的是(
)
答案：C
2.在同一平面内,两条直线可能的位置关系是(
)
A.平行或垂直
B.相交或垂直
C.平行或相交
D.平行、相交或垂直
答案：C
3.如图1,AB⊥AC,AD⊥BC,垂足分别为A,D.则图中能表示点到直线距离的线段共有(
)
A.2条
B.3条
C.4条
D.5条
答案：D
4.(2018河南)如图2,下列判断正确的是(
)
A.若∠1=∠2,则AB∥CD
B.若∠1=∠2,则AD∥BC
C.若∠D=∠3,则AD∥BC
D.若∠BAD+∠ADC=180°,则AD∥BC
答案：B
5.如图3,将长方形纸条ABCD沿EF折叠后,ED与BF交于G点,若∠EFC=130°,则∠AED的度数为(
)
A.55°
B.70°
C.75°
D.80°
答案：D
6.如图4,AB∥CD,∠ABE=120°,∠C=25°,则∠BEC的度数为(
)
A.60°
B.75°
C.85°
D.80°
答案：C
二、填空题
7.如图5,体育课上老师要测量学生的跳远成绩,其测量时主要依据是
.
答案：垂线段最短
8.如图6,直线AB、CD、EF相交于O,则∠AOC的对顶角是
，∠AOE的邻补角是
.
答案：∠DOB；∠FOA或∠EOB
9如图7,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC,∠EOC：∠EOD=2:3,则∠BOD的度数
为
.
答案：36°
10.如图8,三组互相垂直的线段,则点B到AC的距离是
,若AD=2,BC=8,BF=4,则AC的长度是
.
答案：BF的长；4
1l若∠A的两边与∠B的两边分别平行,且3∠A－∠B=60°,则∠B的度数为
.
答案：120°或30°
三、解答题
12.如图9,DC平分∠ACB,∠B=70°,∠ACB=50°,DE∥BC.求∠EDC与∠BDC的度数.
解：∵DE∥BC
∴∠EDC=∠BCD
∵DC平分∠ACB
∴∠BCD=∠ACB=25°
∴∠EDC=25°
又∵DE∥BC
∴∠BDE+∠B=180°
∴∠BDE=180°—70°=110°
∴∠BDC=∠BDE一∠EDC=85°
13.完成下列推理过程，如图10，已知点D、E、F分别在三角形ABC的边BC、CA、AB上，
DE∥BA，DF∥CA，求证:∠A+∠B+∠C=180°
证明:∵DE∥BA
∴∠FDE=∠DFB(两直线平行，内错角相等)
∵DF∥CA
∴∠A=∠DFB(两直线平行,同位角相等)
∵∠A=∠FDE
又∵DE∥BA
∴∠B=∠EDC(两直线平行,同位角相等)
又∵DF∥CA
∴∠CDF+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)
即∠FDE+∠EDC+∠C=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换)
14.如图11,已知∠AED=∠C,∠3=∠B,求证：DE∥BC,AB∥EF,∠1+∠2=180°
证明：∵∠AED=∠C
∴DE∥BC
∴∠B+∠BDE=180°
又∵∠3=∠B
∴∠3+∠BDE=180°∴AB∥EF
∴∠2=∠4
又∴∠4+∠1=180°
∴∠2+∠1=180°
15.(2018青山如图12,已知∠A=∠AGE,∠D=∠DGC.
(1)求证：AB∥CD
(2)若∠2+∠1=180°,且∠BEC=2∠B+30°,求∠C的度数
(1)证明：∵∠A=∠AGE,∠D=∠DGC
又∵∠AGE=∠DGC
∴∠A=∠D
∴AB∥CD
(2)解:∵∠1+∠2=180°
又∵∠CGD+∠2=180°∴∠CGD=∠1
∴CE∥FB
∴∠C=∠BFD,∠CEB+∠B=180°
又∵∠BEC=2∠B+30°∴2∠B+30°+∠B=180°
∴∠B=50°
又∵AB∥CD
∴∠B=∠BFD
∴∠C=∠BFD=∠B=50°
5.3.1平行线的性质(2)(第2课时)
双基导学导练
知识点
平行线的判定与性质的综合运用
1.(2018襄阳)如图1,
BD∥AC,BE平分∠ABD,交AC于点E.若∠A=50°,则∠ABD的度数
为
.
∠BEC的度数为
.
答案：130°；115°
2.(2017荆州)一把直尺和一块三角板ABC(含30°、60°角)摆放位置如图2所示,直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、点E,另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点M,且∠CDE=40°,则∠BFM的度数为
.
答案：140°
3.(2018十堰)如图3,AB∥DE,FG⊥BC于F,∠CDE=40°,则∠FGB的度数为(
)
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
答案：B
4.如图4,AD∥BC,BO,CO分别平分∠ABC,∠DCB,若∠A+∠D=220°,则∠BOC的度数为(
)
A.110°
B.120°
C.130°
D.140°
答案：A
5.(2017江岸)填空并完成推理过程.
如图5,E点为DF上的点,B点为AC上的点,∠1=∠2,∠C=∠D,试说明:AC∥DF.
证明:∵∠1=∠2(已知)
∠1=∠3(对顶角相等)
∵∠2=∠3(等量代换)
∴BD∥CE(同位角相等,两直线平行)
∴∠C=∠ABD两直线平行,同位角相等)
又∵∠C=∠D(已知)
∴∠D=∠ABD(等量代换)
∴AC∥DF(内错角相等,两直线平行)
6.(2018黄陂)如图6,∠AOB内有一点P
(1)过点P作PC∥OA交OB于点C,作PD∥OB交OA于点D,作PE⊥OB于点E
(2)在(1)的条件下,若∠AOB=40°,求∠CPE的度数
解:(1)画图略
(2)∵∠AOB=40°,DP∥OB
∴∠ADP=∠AOB=40°
∵PC∥AO
∴∠CPD=∠ADP=40°
∵EP⊥OB
∴∠BEP=90°
又∴DP∥OB
∵∠DPE=∠BEP=90°
∴
∠CPE=∠DPE－∠DPC=90°－40°=50°
真题检测反馈
7.(2017武昌)若∠A与∠B的两边分别平行,若∠A=60°,则∠B的度数为(
)
A.120°
B.60°
C.30°或150°
D.60°或120°
答案：D
8.(2018江西如图7,将一副三角板和张对边平行的纸条按下列方式摆放,两个三角板的直角边重合,含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合,含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上,则∠1的度数是
。
答案：15°
9.(2017洪山)把一张长方形纸片按图8中那样折叠后,若得到∠B’GD=40°,则∠BEF=
.
答案：65°
10.(2017硚口)如图9,已知∠ABC=180°—∠A,BD⊥CD于D,EF⊥CD于E。
(1)求证:AD∥BC;
(2)若∠ADB=36°,求∠EFC的度数
(1)证明:∵∠ABC=180°—∠A
∴∠ABC+∠A=180°∴AD∥BC
(2)解:∵BD⊥CD,EF⊥CD
∵.∠BDC=∠FEC=90°
∴BD∥FE
∴∠EFC=∠DBC
又∴AD∥BC∴,∠DBC=∠ADB=36°∴EFC=∠DBC=36°
11.如图10,直线EF分别交AB、CD于点E,F,且∠AEF=66°,∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P
1)求∠PEF的度数
(2)若已知直线AB∥CD,求∠P的度数.
解:(1)∠AEF=66°∴∠BEF=180°—∠AEF=180°-66°=114°
又:EP平分∠BEF∴∠PEF=∠PEB=∠BEF=57°
(2)过点P作PQ∥AB∵AB∥CD,PQ∥CD∴,∠EPQ=∠PEB=57°,∠FPQ=∠PFD
AB∥CD∴∠DFE=∠AEF=66°
FP平分∠DFE
∴∠PFD=
∠DFE=33°
∠FPQ=33°∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=57°+33°=90°
创新拓展提升
12.(2017青山)如图11,已知∠A=∠ABC,∠DBC=∠D,BD平分∠ABC,点E在BC的延长线上
(1)求证:
CD∥AB
(2)若∠A=∠ACB+30°,求∠D的度数
(1)证明:∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD
∵∠DBC=∠D∴∠ABD=∠D∴CD∥AB
(2)解:∵AB∥CD∴∠DCA=∠CAB,∠DCE=∠ABC
∵∠ACB+∠ACD+∠DCE=180°
∴∠ACB+30°+∠ACB十30°十∠ACB=180°∴∠ACB=40°∴∠A=40°+30°=70°
∠D=∠ABD=＜ABC=∠A=35°
5.3.2命题、定理、证明(第3课时)
双基导学导练
知识点1命题的定义及结构
1.命题的定义与结构:
一件事情的语句叫做命题,命题常写成“如果…那么…”的形式“如果后接的部分是
，“那么”后接的部分是
答案：判断；题设；结论
2.下列语句不是命题的是(
)
A.
对顶角相等
B.
连接AB并延长至C点
C.
内错角相等
D.
同角的余角相等
答案：B
3.下列句子中,是命题的是(
)
A.今天的天气好吗
B.画线段
AB∥CD
C.连接A、B两点
D.正数大于负数
答案：D
4.“等角的余角相等”改为“如果…那么…”的形式是(
)
A.如果是等角,那么余角相等
B.如果是等角的余角,那么相等
C.如果两个角相同,那么这两个角相等
D.如果两个角相等,那么这两个角的余角也相等
答案：D
知识点2命题的分类
5.命题可以分为
和
。如果命题是假命题只需要举出一个
就可以了
答案：真命题；假命题；反例
6.下列命题中,是真命题的是(
)
A.同旁内角互补
B.同位角相等,两直线平行
C.互补的两个角必有一条公共边
D.一个角的补角大于这个角
答案：B
7.下列命题:①对顶角相等;②在同平面内,重直于同一条直线的两条直线平行;③相等的角是对顶角;④内错角相等.其中是假命题的是(
)
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
答案：D
8.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例。
(1)两条平行线被第三条直线所截，则同旁内角的平分线互相垂直；
(2)和为180°的两个角互为邻补角。
解:(1)是真命题
(2)错误，是假命题，如两个没有公共顶点的直角
知识点3定理与证明
9.有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.推理的过程叫做证明
10.请根据“两直线平行,同旁内角互补”这个命题画出图形,再将它的“题设”填在“已知”里面,将它的“结论”填在“求证”里面,然后写出其证明过程
解:已知:CD∥EF,AB交CD于A,交EF于B
求证:∠CAB+∠EBA=180°
证明:∵CD∥EF
∠CAB=∠ABF
又∵∠ABF+∠EBA=180°
∠CAB+∠EBA=180°
11.如图,AB∥CD,EF与AB、CD分别交于M,N,MQ平分∠AMN,NH平分∠END.求证:MQ∥NH
证明:∵AB∥CD∴∠AMN=∠DNM
又∵M平分∠AMN,N平分∠END
∴2∠2=∠AMN,2∠3=∠DMM∴2∠2=2∠3
∴∠2=∠3
∴MQ∥NH
真题检测反馈
12.(2018武汉十一初)下列语句,不是命题的是(
)
A.两点之间线段最短
B.两直线不相交就是平行
C.延长线段AB
D.武汉是2019年世界军人运动会举小城市
答案：C
13.(2017黄陂)下列命题中真命题是(
)
A.互补的两个角是邻补角
B.邻补角一定互为补角
C.两角相等,一定是对顶角
D.两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补
答案：B
14.(2017东西湖)交换下列命题的题设和结论,得到的新命题是假命题的是(
)
A.两直线平行,内错角相等
B.相等的角是对顶角
C.所有的直角都是相等的
D.若a=b,则a-1=b-1
答案：C
15.(2018河南)下列命题:①同旁内角互补;②两点确定条直线;③同一平面内,不重合的两条直线相交,有且只有一个交点;④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行,那么这两个角相等.其中属于真命题的有(
)
A.1个
B.
2个
C.3
个
D.4个
答案：B
16“同平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行”是真命题,其中,题设是
,·结论是
。
答案：在同一平面内,两条直线垂直于同条直线；这两条直线互相平行
17.把下列命题写成“如果……那么……”的形式,并判断其真假
(1)等角的补角相等;
(2)不相等的角不是对顶角;
(3)相等的角是内错角
解:(1)如果两个角是两个相等的角的补角,那么这两个角相等.是真命题
(2)如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角.是真命题
(3)如果两个角相等,那么这两个角是内错角.是假命题
创新拓展提升
18.证明:两条平行线被第三条直线所截,则同旁内角的平分线互相垂直.(要求画图,写已知、求证,然后写出证明过程)
解:已知:AB∥CD,EF交AB、CD于点A、C,AP平分∠BAC,CP平分∠ACD
求证:AP⊥PC
证明:过P点作PM∥AB交AC于点M,则PM∥CD
AB∥CD∴∠BAC+∠ACD=180°
PM∥AB,PM∥CD∴∠1=∠2
∴∠3=∠4
AP平分∠BAC,CP平分∠ACD
∠1=∠BAC，∠4=∠ACD
∠1+∠4=∠BAC+∠ACD=90°
∴∠APC=∠2+∠3=∠1+∠4=90°AP⊥PC∴原命题得证
5.4平移(第1课时)
双基导学导练
知识点1平移的定义
1.把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,这种移动,叫做
，
简称
。
答案：平移变换；平移
2.将图中所示的图案平移后得到的图案是(
)
A
B
C
D
答案：C
3.(2017黄陂)下列四幅图案可以看作是以图案中某部分为基本图形平移得到的是(
)
A
B
C
D
答案：A
知识点2平移的性质
4.图形经过平移后,
图形的位置,
图形的形状,
图形的大小.(填改变”或“不改变”)
答案：改变；不改变；不改变
5.平移前后的两个图形中,对应线段
,对应角
答案：平行(或在同一直线上)且相等；相等
6.新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点就对应点连接各组对应点的线段
。
答案：平行(或在同一直线上)且相等
7.如图1,在长方形ABCD中,AD=2AB,E,F分别为AD及BC的中点,扇形FBE的半径FB=1cm,则阴影部分的面积为
cm2.
答案：1
8.(2017蔡甸)如图2,将△ABE向右平移2cm得到△DCF,如果△ABE的周长是15cm,则四边形ABFD的周长是(
)
A.
17cm
B.
19cm
C.
21cm
D.
22cm
答案：B
知识点3
平移作图
9.在如图3的方格纸中,画出将图中的△ABC向右平移5格后的△A1B1C1,然后再画出将△A1B1C1向上平移2格后的△A2B2C2.
△A2B2C2是否可以看成是△ABC经过一次平移而得到的呢？
解:图略,△A2B2C2可以看成是△ABC经过一次平移而得到的
10．（2018广西）如图4，将△ABC平移到△A1B1C1的位置，连接BB1，AA1，CC1，平移的方向是点
到点
的方向，平移的距离是线段
的长度．
图4
答案：A（B或C），A1（B1或C1），AA1（BB1或CC1）
真题检测反馈
11．（2017江岸）如图5，在3×3的网格中，将左上方的正方形平移到右下方（规定只能向右、向下平移），共有（
）种方法（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
图5
图6
图7
答案：C
12．（2017汉阳）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图6所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（
）
A．甲种方案所用铁丝最长
B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长
D．三种方案所用铁丝一样长
答案：D
13．（2017硚口）如图7所示，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路（图中阴影部分），宽均为1米，其他部分均种植花草，则道路的面积是
平方米．
答案：79
创新拓展提升
14．（2017硚口）如图8，将线段AB平移至DC，使点A与点D对应，点B与点C对应，连接AD、BC．
图8
图9
（1）AB与CD的关系为
，BC与AD的关系为
；
（2）如图9，若G、E为射线DC上的点，∠FAG=30°，∠AGE=∠GAE，AF平分∠DAE交直线CD于F．求∠B的度数．
答案：
解：（1）ABCD，
BCAD；
（2）∵AB//CD，∴∠AGE=∠BAG，又∵∠AGE=∠GAE，∴∠BAG=∠GAE，∴2∠GAE=∠BAE，∵AF平分∠DAE，∴2∠EAF=∠EAD，∴2∠FAG=2（∠EAF+∠GAE）=∠EAD+∠BAE=∠BAD，又∠FAG=30°，∴∠BAD=60°，又∵BC//AD，∴∠B+∠BAD=180°，∴∠B=120°．
微专题3
巧作一条平行线
1．如图1是赛车跑道的一段示意图，其中AB//DE，测得∠B=140°，∠D=120°，则∠C的度数为（
）
A．90°
B．100°
C．120°
D．140°
答案：B
图1
2．（2018广西）如图2，直线a//b，∠1=85°，∠2=35°，则∠3的度数为
．
图2
答案：50°
3．如图3，CD//AE，AB⊥AE，求∠ABC+∠BCD的度数．
图3
答案：
解：过B作BF//CD，则BF//AE，∴∠ABF=90°，∠CBF+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠BCD=270°
4．如图4，已知AB//ED，∠4=125°，∠ACD=80°，求∠D的度数．
图4
答案：
解：过点C作CF//AB，∴∠A+∠ACF=180°，又∵∠A=125°，∴∠ACF=55°，∵∠ACD=80°，∴∠DCF=∠ACD－∠ACF=25°，∵AB//ED，CF//AB，∴CF//ED，∴∠D=∠DCF=25°．
5．如图5，已知AB//DE，求∠B、∠BCD、∠D三者之间的数量关系．
图5
答案：
解：过点C作CF//AB，∴∠BCF=∠B，∴∠DCF=∠BCF－∠BCD=∠B－∠BCD，又∵AB//DE，CF//AB，∴CF//DE，∴∠DCF+∠D=180°，∴∠B－∠BCD+∠D=180°．
6．如图6，已知点A在DB上，∠EAC=90°，∠1=∠C，∠2=∠E．求证：DE//BC．
图6
答案：
解：作AM//DE，则∠E=∠EAM=∠2，∵∠EAC=90°，∴∠1+∠2=180°－∠EAC=90°，又∠EAC=∠EAM+∠MAC=90°，∴∠MAC=∠1=∠C，∴AM//BC，又AM//DE，∴DE//BC．
7．已知AB//DE．
（1）如图7，猜想∠BAC+∠ACD+∠CDE的度数为
，并证明你的结论；
图7
答案：猜想360°
证明：过点C作CF//AB，∴∠BAC+∠ACF=180°①
∵AB//DE，CF//AB，∴CF//DE，∴∠DCF+∠CDE=180°
②
∴①+②得∠BAC+∠ACF+∠DCF+∠CDE=360°
即∠BAC+∠ACD+∠CDE=360°
（2）如图8，若∠BAC的平分线、∠CDE的平分线相交于点G，猜想∠ACD与∠G的数量关系，并证明你的结论．
图8
答案：
解：∠ACD+2∠G=360°．证明如下：
过点G作GP//AB，∴∠AGP=∠BAG，∵AB//DE，GP//AB，∴GP//DE，∴∠DGP=∠EDG，∴∠AGD=∠AGP+∠DGP=∠BAG+∠EDG，∵AG平分∠BAC，DG平分∠CDE，∴∠BAC=2∠BAG，∠CDE=2∠EDG，又由（1）知∠BAC+∠ACD+∠CDE=360°，∴∠ACD+2∠BAG+2∠EDG=360°，∴∠ACD+2∠AGD=360°．
8．问题：已知线段AB//CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．
图9
图10
图11
图12
（1）端点A、C同向．
如图9，点P在直线AC右侧时，∠APC－（∠A+∠C）=
度；
如图10，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）=
度；
（2）端点A、C反向．
如图11，点P在直线AC右侧时，∠APC与（∠A－∠C）有怎样的等量关系？写出结论并证明；
如图12，点P在直线AC左侧时，∠APC－（∠A－∠C）=
度．
答案：（1）0，360，180；
解：（2）∠APC+（∠A－∠C）=180°，证明略
微专题4
巧作两条平行线（选做）
1．（2017洪山）如图1，已知AB//CD，∠EBF=2∠ABE，∠EDF=2∠CDE，则∠E与∠F之间满足的数量关系是（
）
A．∠E=∠F
B．∠E+∠F=180°
C．3∠E+∠F=360°
D．2∠E－∠F=90°
答案：C
图1
图2
2．如图2，已知AB//EF，∠C=90°，则a、与的关系是
．
答案：a+－=90°
3．如图3，直线AB//CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠C=145°，求∠CHG的度数．
图3
答案：
解：作GM//AB，则∠EGM=∠EFA=30°，
又∠FGH=90°，∴∠MGH=∠FGH－∠EGM=60°，
作HN//AB，又GM//AB，∴MG//HN，∴∠GHN=∠MGH=60°，
又∵AB//CD，NH//AB，∴CD//NH，∴∠C+∠CHN=180°，
∵∠C=145°，∴∠CHN=35°，∴∠CHG=∠GHN－∠CHN=25°．
4．如图4，AB//DE，AF平分∠BAC，DF平分∠CDE，试猜想∠ACD与∠AFD的数量关系，并证明你的结论．
图4
答案：
解：∠ACD=2∠AFD．证明如下：
作CM//AB，FN//AB，∴∠ACM=∠BAC，又AB//DE，CM//AB，∴CM//DE，∴∠DCM=∠CDE，∴∠ACD=∠ACM+∠DCM=∠BAC+∠CDE，同理∠AFD=∠BAF+∠FDE，又AF平分∠BAC，DF平分∠CDE，∴∠BAC=2∠BAF，∠CDE=2∠FDE，∴∠ACD=2（∠BAF
+∠FDE）=2∠AFD．
5．（2017青山）如图5，已知AB//CD，∠B=30°，∠D=120°．
（1）若∠E=60°，则∠F=
；
（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由．
图5
答案：（1）90°；
解：（2）分别过点E，F作EM//AB，FN//AB，
∴EM//AB//FN，∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，又∵AB//CD，AB//FN，∴CD//FN，∴∠D+∠DFN=180°，
又∵∠D=120°，∴∠DFN=60°，∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，∴∠EFD=∠MEF+60°，∴∠EFD=∠BEF+30°．
微专题5
易错题
1．如图1，长方形ABCD中，AB=20，BC=12，IL//JK//DC，EF=HG=LK=IJ=3，则空白部分的面积是
．
答案：153
图1
2．如图2，有三条两两相交的公路AB、BC、CA，从A地测得公路AB的走向是北偏东48°，从B地测得公路BC的走向是北偏西42°，若AB、BC、CA的长分别为c千米、a千米、b千米，点P是直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为
．
图2
答案：
3．（2018硚口）如图3，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB//CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE=，∠DCE=．下列各式：①+，②－，③－，④360°－－，∠AEC的度数可能是（
）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
图3
答案：D
4．如图4（1），点E、F分别为长方形纸带ABCD的边AD、BC上的点，∠DEF=19°，将纸带沿EF折叠成图4（2）（G为ED和BF的交点），再沿BF折叠成图4（3）（H为EF和DG的交点），则图4（3）中∠DHF的度数为
．
图4（1）
图4（2）
图4（3）
答案：57°
5．（2018江岸）如图5，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则图中满足条件的点C个数是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
图5
答案：B
6．（2018洪山）如图6，△ABC中，D、E、F三点分别在AB，AC，BC三边上，过点D的直线与线段EF的交点为点H，∠1+∠2=180°，∠3=∠C．
（1）求证：DE//BC；
（2）在以上条件下，若△ABC及D，E两点的位置不变，点F在边BC上运动使得∠DEF的大小发生变化，保证点H存在且不与点F重合，探究：要使∠1=∠BFH成立，请说明点F应该满足的位置条件，在图7中画出符合条件的图形并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠C=a，直接写出∠BFH的度数为
．
图6
图7
答案：
（1）证明：∵∠1+∠DHE=180°，∠1+∠2=180°，∴∠DHE=∠2，∴DH//AC，∴∠3+∠4+∠2=180°，
∵∠3=∠C，∴∠C+∠4+∠2=180°，即∠DEC+∠C=180°，∴DE//BC．
（2）解：∵∠1+∠2=180°，∠BFH+∠EFC=180°，
又∵∠1=∠BFH，∴∠EFC=∠2，又∵DE//BC，∴∠4=∠EFC，∴∠2=∠4，
∴点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置时，∠1=∠BFH成立；
（3）90°+
周测（二）
一、选择题
1．下列结论正确的是（
）
A．内错角没有公共边
B．内错角一定相等
C．同位角一定有公共顶点
D．在△ABC中，∠A、∠B、∠C任意两个角都是同旁内角
答案：D
2．∠1与∠2互为对顶角的是（
）
A．
B．
C．
D．
答案：D
3．下列命题中，是假命题的是（
）
A．同角的补角相等
B．等角的余角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．内错角相等
答案：D
4．如图1所示，直线AB、CD被直线EF所截，∠1=70°，下列结论正确的是（
）
A．若∠2=70°，则AB//CD
B．若∠5=70°，则AB//CD
C．若∠3=110°，则AB//CD
D．若∠4=70°，则AB//CD
图1
答案：B
5．（2018安徽）如图2，a//b，AB//CD，CE⊥b，FG⊥b，E、G为垂足，则下列说法错误的是（
）
A．CE//FG
B．CE=FG
C．A、B两点的距离就是线段AB的长
D．直线a、b间的距离就是线段CD的长
图2
答案：D
二、填空题
6．如图3，直线AB、CD、EF相交于O，则∠AOE的对顶角是
，∠AOC的邻补角是
．
图3
答案：∠FOB；∠BOC与∠AOD
7．如图4，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在，的位置．若∠EFB=65°，则∠AED等于
．
图4
答案：50°
8．如图5，已知AB//CD，BC//DE，则∠B+∠D的度数是
．
答案：180°
图5
9．如图6，由三角形ABC平移得到的三角形有
个．
图6
答案：5
10．（2017洪山）如图7，已知EF//GH，A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点，延长AM至点C，AB平分∠DAC，DB平分∠FBC．若∠ACB=100°，则∠DBA的度数为
．
图7
答案：50°
三、解答题
11．如图8，已知△ABC，按要求作图．
（1）过点A作BC的垂线段AD；
（2）过C作AB、AC的垂线分别交AB于点E、F；
（3）AB=15，BC=7，AC=20，AD=12，求点C到线段AB的距离．
图8
解：（1）、（2）画图略．
（3）S△ABC=BC·AD=AB·CE，∴BC·AD=AB·CE，∴7×12=15·CE，∴CE=
答：点C到AB的距离为．
12．已知，如图，AB与CD交于点O．
（1）如图9，若AC//BD，求证：∠A+∠C=∠8+∠D；
（2）如图10，若AC不平行BD，（1）中的结论是否仍然成立？请判断并证明你的结论．（注：不能用三角形内角和定理）
图9
图10
答案：
（1）证明：∵AC//BD，∴∠A=∠B，∠C=∠D，∴∠A+∠C=∠B+∠D；
（2）解：仍然成立，理由如下：
过O作OE//AC，∴∠C=∠COE，∠A=∠EOB，∴∠EOB+∠COE=∠A+∠C，
过O点作OF//BD，∴∠D=∠FOC，∠B=∠BOF，∴∠COF+∠FOB=∠B+∠D，又∵∠EOB+∠COE=∠COF+∠FOB，∴∠A+∠C=∠B+∠D．
13．已知直线EF//MN，点A、B分别为EF、MN上的动点，且∠ACB=90°，BD平分∠CBN交EF于D．
（1）若∠FDB=120°，如图11，求∠MBC与∠EAC的度数；
（2）延长AC交直线MN于G，如图12，GH平分∠AGB交DB于H，问∠GHB是否为定值，若是，请求值，若不是，请说明理由．
图11
图12
答案：
解：（1）∵EF//MN，∠FDB=120°，∴∠FDB+∠DBN=180°，∴∠DBN=60°，又∵BD平分∠CBN，∴2∠DBN=∠CBN=120°，又∵∠MBC+∠CBN=180°，∴∠CBM=60°，
过C点作CP//MN，∴∠CBM=∠PCB=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACP=∠ACB－∠PCB=30°，又∵EF//MN，∴EF//CP，∴∠EAC=∠ACP=30°，
（2）过C点作CQ//MN，∵HG平分∠AGB，设∠AGH=∠HGB=a
，DB平分∠CBN，设∠CBD=∠DBN=b，∴∠QCG=180°－2a，∠QCB=180°－2b，又∵∠GCB=90°，∴180°－2a=90°+180°－2b，∴b－a=45°，
过H点作PH//MN，∴∠PHG=∠HGB=a，∠PHB=∠DBN=b，∴∠GHB=∠PHB－∠PHG=b－a=45°．
(
1
)
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