第8章 第1节
一、选择题
1．(2010·崇文区)“m＝－2”是“直线(m＋1)x＋y－2＝0与直线mx＋(2m＋2)y＋1＝0相互垂直”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件[来源:21世纪教育网]
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] m＝－2时，两直线－x＋y－2＝0、－2x－2y＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m＋1)＋2m＋2＝0，∴m＝－1或－2，故选A.
2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝021世纪教育网
[答案] A
[解析] 解法1：所求直线斜率为，过点(1,0)，由点斜式得，y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.
解法2：设所求直线方程为x－2y＋b＝0，
∵过点(1,0)，∴b＝－1，故选A.[来源:21世纪教育网]
(理)设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )[来源:21世纪教育网]
A．1 B.
C．－ D．－1
[答案] A
[解析] y′＝2ax，在(1，a)处切线的斜率为k＝2a，
因为与直线2x－y－6＝0平行，所以2a＝2，解得a＝1.
3．点(－1,1)关于直线x－y－1＝0的对称点是( )
A．(－1,1) B．(1，－1)[来源:21世纪教育网]
C．(－2,2) D．(2，－2)
[答案] D
[解析] 一般解法：设对称点为(x，y)，则
，解之得，
特殊解法：当直线l：Ax＋By＋C＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l的对称点B(x，y)的坐标，x＝，y＝.
4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O点落在线段BC上，设折痕所在直线的斜率为k，则k的取值范围为( )
A．[0,1] B．[0,2]21世纪教育网
C．[－1,0] D．[－2,0]
[答案] D
[解析] 如图，要想使折叠后点O落在线段BC上，可取BC上任一点D作线段OD的垂直平分线l，以l为折痕可使O与D重合，故问题转化为在线段CB上任取一点D，求直线OD的斜率的取值范围问题，
∵kOD≥kOB＝，∴k＝－≥－2，且k<0，
又当折叠后O与C重合时，k＝0，∴－2≤k≤0.
5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x－ay＋1＝0的两侧，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，10)
B．(10，＋∞)
C.∪(10，＋∞)
D.
[答案] D
[解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a＋1)(3－3a＋1)<0，∴
(理)如果点(5，a)在两条平行直线6x－8y＋1＝0和3x－4y＋5＝0之间，则整数a的值为( )
A．5 B．－5
C．4 D．－421世纪教育网
[答案] C21世纪教育网
[解析] 由题意知(30－8a＋1)(15－4a＋5)<0，
∴6．(2010·南充市)在直角坐标平面上，向量＝(1,3)、＝(－3,1)(O为原点)在直线l上的射影长度相等，且直线l的倾斜角为锐角，则l的斜率等于( )
A．1 B.
C. D.
[答案] C
[解析] 过原点作与直线l平行的直线l′，则、在l′上的射影也相等，故A、B到直线l′的距离相等，设l′：y＝kx，则＝，∴k＝－2或，
∵l的倾斜角为锐角，∴k＝.
[点评] 设直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量为a＝(1，k)，由，在a上射影的长度相等可得＝，可解出k.
7．设A(0,0)，B(2,2)，C(8,4)，若直线AD是△ABC外接圆的直径，则点D的坐标是( )
A．(16，－12) B．(8，－6)
C．(4，－3) D．(－4,3)
[答案] A
[解析] 线段AB的垂直平分线x＋y－2＝0与线段AC的垂直平分线2x＋y－10＝0的交点即圆心(8，－6)，而圆心为AD的中点，所以得点D的坐标为(16，－12)．
8．(文)(2010·福建莆田市质检)经过圆x2＋y2＋2x＝0的圆心，且与直线x＋y＝0垂直的直线l的方程是( )
A．x＋y＋1＝0 B．x－y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x－y－1＝0
[答案] B
[解析] 设与直线x＋y＝0垂直的直线方程为x－y＋b＝0，
∵过圆心(－1,0)，∴b＝1，故选B.
(理)(2010·山东潍坊)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009的值为( )
A．－log20102009 B．－1
C．log20102009－1 D．1
[答案] B
[解析] 由y＝xn＋1得y′＝(n＋1)xn，则在点(1,1)处切线的斜率k＝y′|x＝1＝n＋1，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得，xn＝，
∴log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x200921世纪教育网
＝log2010(x1·x2·…·x2009)
＝log2010＝log2010＝－1，故选B.
9．(文)直线l过点(－2,0)，当l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，直线l的斜率k的取值范围是( )
A．(－2，2) B．(－，)
C. D.
[答案] C
[解析] 由题意得，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆心为(1,0)，半径为1.当过点(－2,0)的直线l与圆相切时，可求得直线l的斜率k＝±.所以直线l的斜率k的取值范围是.故选C.
(理)(2010·汕头模拟)平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3，－1)，C(2，－3)两点，D点在直线3x－y＋1＝0上移动，则B点轨迹的方程为( )
A．3x－y－20＝0(x≠13) B．3x－y－10＝0(x≠13)
C．3x－y－9＝0(x≠－8) D．3x－y－12＝0(x≠－8)
[答案] A
[解析] 线段AC的中点M，设B(x，y)，则B关于点M的对称点(5－x，－4－y)在直线3x－y＋1＝0上，∴3(5－x)－(－4－y)＋1＝0，即3x－y－20＝0.
∵A、B、C、D不能共线，∴不能为它与直线AC的交点，即x≠13.
10．已知一动直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为p，直线l在两坐标轴上的截距之和为q，且p比q大1，则这个三角形面积的最小值为( )
A．4 B．2＋21世纪教育网
C．4＋3 D．5＋2
[答案] D
[解析] 设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则ab＝a＋b＋1，∵a＋b≥2，∴ab≥2＋1，即()2－4－2≥0，解得≥2＋，
∴ab≥×(2＋)2＝5＋2，当a＝b＝2＋时，三角形面积的最小值为5＋2.
二、填空题
11．(2010·深圳中学)已知向量a＝(6,2)，b＝，直线l过点A(3，－1)，且与向量a＋2b垂直，则直线l的一般方程为________．[来源:21世纪教育网]
[答案] 2x－3y－9＝021世纪教育网
[解析] a＋2b＝(－2,3)，设l上任一点P(x，y)，则＝(x－3，y＋1)，由条件知，(x－3，y＋1)·(－2,3)＝0，∴2x－3y－9＝0.
12．(2010·浙江临安)设D是不等式组所表示的平面区域，则区域D中的点P(x，y)到直线x＋y＝10的距离的最大值是________．
[答案] 4
[解析] 画出不等式组所表示的平面区域D如图中阴影部分所示(包括边界)，显然直线y＝1与2x＋y＝3的交点(1,1)到直线x＋y＝10的距离最大，根据点到直线的距离公式可以求得最大值为4.
13．(2010·安徽怀宁中学月考)“直线ax＋2y＋1＝0和直线3x＋(a－1)y＋1＝0平行”的充要条件是“a＝____”．
[答案] －2
[解析] 由条件知＝，∴a2－a－6＝0，∴a＝－2或3，当a＝3时，两直线重合不合题意，∴a＝－2.
21世纪教育网
14．(文)实数x、y满足3x－2y－5＝0 (1≤x≤3)，则的最大值、最小值分别为________．
[答案] ，－1
[解析] 设k＝，则表示线段AB：3x－2y－5＝0 (1≤x≤3)上的点与原点的连线的斜率．∵A(1，－1)，B(3,2)．
由图易知：kmax＝kOB＝，
kmin＝kOA＝－1.
(理)(2010·河南许昌调研)如果f ′(x)是二次函数，且f ′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，－)，那么曲线y＝f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是________．21世纪教育网
[答案] [0，)∪(，π)
[解析] 由题意f ′(x)＝a(x－1)2－，[来源:21世纪教育网]
∵a>0，∴f ′(x)≥－，因此曲线y＝f(x)上任一点的切线斜率k＝tanα≥－，
∵倾斜角α∈[0，π)，∴0≤α<或<α<π.
三、解答题
15．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y与x的函数关系．
[解析] 当0≤x≤10时，直线过点O(0,0)，A(10,20)，∴kOA＝＝2，
∴此时直线方程为y＝2x；
当10此进kAB＝＝，21世纪教育网
∴此时的直线方程为y－20＝(x－10)，
即y＝x＋；
当x>40时，由题意知，直线的斜率就是相应放水的速度，设进水的速度为v1，放水的速度为v2，在OA段时是进水过程，∴v1＝2.在AB段是既进水又放水的过程，由物理知识可知，此时的速度为v1＋v2＝，
∴2＋v2＝.∴v2＝－.
∴当x>40时，k＝－.
又过点B(40,30)，
∴此时的直线方程为y＝－x＋.
令y＝0得，x＝58，此时到C(58,0)放水完毕．
综上所述：y＝
(理)已知矩形ABCD的两条对角线交于点M，AB边所在直线的方程为3x－4y－4＝0.点N在AD所在直线上．
(1)求AD所在直线的方程及矩形ABCD的外接圆C1的方程；
(2)已知点E，点F是圆C1上的动点，线段EF的垂直平分线交FM于点P，求动点P的轨迹方程．
[解析] (1)∵AB所在直线的方程为3x－4y－4＝0，且AD与AB垂直，
∴直线AD的斜率为－.
又点N在直线AD上，
∴直线AD的方程为y－＝－(x＋1)，
即4x＋3y＋3＝0.
由，解得点A的坐标为(0，－1)．
又两条对角线交于点M，
∴M为矩形ABCD的外接圆的圆心．
而|MA|＝＝，
∴外接圆的方程为2＋y2＝.
(2)由题意得，|PE|＋|PM|＝|PF|＋|PM|＝|FM|＝，又|FM|>|EM|，
∴P的轨迹是以E、M为焦点，长半轴长为的椭圆，设方程为＋＝1(a>b>0)，
∵c＝，a＝，∴b2＝a2－c2＝－＝.
故动点P的轨迹方程是＋＝1.
16．已知直线l1过点A(－1,0)，且斜率为k，直线l2过点B(1,0)，且斜率为－，其中k≠0，又直线l1与l2交于点M.
(1)求动点M的轨迹方程；[来源:21世纪教育网]
(2)若过点N的直线l交动点M的轨迹于C、D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程．
[解析] (1)设M(x，y)，∵点M为l1与l2的交点，
∴ (k≠0)，
消去k得，＝－2，
∴点M的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x≠±1)．
(2)由(1)知M的轨迹方程为
2x2＋y2＝2(x≠±1)，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则2x12＋y12＝2①21世纪教育网
2x22＋y22＝2②[来源:21世纪教育网]
①－②得2(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
即＝－2×，
∵N为CD的中点，
有x1＋x2＝1，y1＋y2＝2，
∴直线l的斜率k＝－2×＝－1，
∴直线l的方程为y－1＝－，
整理得2x＋2y－3＝0.
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3，2)的入射光线l1被直线l：y＝x反射，反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1、l2都相切，求l2所在直线的方程和圆C的方程．
[解析] 直线l1：y＝2，设l1交l于点D，则D(2，2)．
∵l的倾斜角为30°.∴l2的倾斜角为60°.∴k2＝.21世纪教育网
∴反射光线l2所在的直线方程为y－2＝(x－2)，即x－y－4＝0.
已知圆C与l1切于点A，设C(a，b)．
∵⊙C与l1、l2都相切，
∴圆心C在过点D且与l垂直的直线上，
∴b＝－a＋8①
圆心C在过点A且与l1垂直的直线上，
∴a＝3②
由①②得，圆C的半径r＝3，
故所求圆C的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9.第8章 第6节
一、选择题
1．(2010·湖北黄冈)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
[答案] D
[解析] 椭圆中，a2＝6，b2＝2，∴c＝＝2，
∴右焦点(2,0)，由题意知＝2，∴p＝4.
2．已知点M是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上三种情形都有可能
[答案] B
[解析] 如图，由MF的中点A作准线l的垂线AE，交直线l于点E，交y轴于点B；由点M作准线l的垂线MD，垂足为D，交y轴于点C，
则MD＝MF，ON＝OF，
∴AB＝＝
＝＝，
∴这个圆与y轴相切．
3．(2010·山东文)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
[答案] B
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点(，)，∴＝2，∵A、B在抛物线y2＝2px上，
∴
①－②得y12－y22＝2p(x1－x2)，
∴kAB＝＝＝，∵kAB＝1，∴，p＝2
∴抛物线方程为y2＝4x，∴准线方程为：x＝－1，故选B.
4．双曲线－＝1的渐近线上一点A到双曲线的右焦点F的距离等于2，抛物线y2＝2px(p>0)过点A，则该抛物线的方程为( )
A．y2＝9x B．y2＝4x
C．y2＝x D．y2＝x
[答案] C
[解析] ∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，F点坐标为(，0)，设A点坐标为(x，y)，则y＝±x，由|AF|＝2 ＝2 x＝，y＝±，代入y2＝2px得p＝，所以抛物线方程为y2＝x，所以选C.
5．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )21世纪教育网
A. B．3
C. D.
[答案] A
[解析] 记抛物线y2＝2x的焦点为F，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于＝，选A.
6．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3?1，则点A的坐标为( )
A．(2,2) B．(2，－2)21世纪教育网
C．(2，±) D．(2，±2)
[答案] D
[解析] 如图，由题意可得，|OF|＝1，由抛物线定义得，|AF|＝|AM|，∵△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，
∴＝＝3，
∴|AM|＝3，设A，∴＋1＝3，
解得y0＝±2，∴＝2，
∴点A的坐标是(2，±2)，故选D.21世纪教育网
7．(2010·河北许昌调研)过点P(－3,1)且方向向量为a＝(2，－5)的光线经直线y＝－2反射后通过抛物线y2＝mx，(m≠0)的焦点，则抛物线的方程为( )
A．y2＝－2x B．y2＝－x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
[答案] D
[解析] 设过P(－3,1)，方向向量为a＝(2，－5)的直线上任一点Q(x，y)，则∥a，∴＝，∴5x＋2y＋13＝0，此直线关于直线y＝－2对称的直线方程为5x＋2(－4－y)＋13＝0，即5x－2y＋5＝0，此直线过抛物线y2＝mx的焦点F，∴m＝－4，故选D.
8．已知mn≠0，则方程是mx2＋ny2＝1与mx＋ny2＝0在同一坐标系内的图形可能是( )
[答案] A
[解析] 若mn>0，则mx2＋ny2＝1应为椭圆，y2＝－x应开口向左，故排除C、D；∴mn<0，此时抛物线y2＝－x应开口向右，排除B，选A.
9．(2010·山东聊城模考)已知A、B为抛物线C：y2＝4x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若＝－4，则直线AB的斜率为( )
A．± B．±
C．± D．±
[答案] D
[解析] ∵＝－4，∴||＝4||，设|BF|＝t，则|AF|＝4t，∴|BM|＝|AA1|－|BB1|＝|AF|－|BF|＝3t，又|AB|＝|AF|＋|BF|＝5t，∴|AM|＝4t，
∴tan∠ABM＝，由对称性可知，这样的直线AB有两条，其斜率为±.21世纪教育网
10．已知抛物线C的方程为x2＝y，过点A(0，－4)和点B(t,0)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B.∪
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(，＋∞)
[答案] B
[解析] 由题意知方程组无实数解
由②得y＝－4，代入①整理得，
2x2－＋4＝0，∴Δ＝－32<0，
∴t>或t<－，故选B.
[点评] 可用数形结合法求解，设过点A(0，－4)与抛物线x2＝y相切的直线与抛物线切点为M(x0，y0)，
则切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)，21世纪教育网
∵过A点，∴－4－2x02＝4x0(0－x0)，
∴x0＝±，∴y0＝4，
∴切线方程为y－4＝±4x－8，
令y＝0得x＝±，即t＝±，
由图形易知直线与抛物线无公共点时，t<－或t>.
二、填空题
11．已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则·取得最小值时的点P的坐标是______．
[答案] (0,0)
[解析] 设P，则＝，＝，·＝＋y2＝＋y2＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)．
12．(文)(2010·泰安市模拟)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l，交抛物线于A、B两点，且|FA|＝3，则抛物线的方程是________．21世纪教育网
[答案] y2＝3x
[解析] 设抛物线准线为l，作AA1⊥l，BB1⊥l，FQ⊥l，垂足分别为A1、B1、Q，作BM⊥AA1垂足为M，BM交FQ于N，则由条件易知∠ABM＝30°，设|BF|＝t，则|NF|＝，|MA|＝，∵|AM|＝|QN|，∴3－＝p－，∴p＝，∴抛物线方程为y2＝3x.
(理)(2010·泰安质检)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________．
[答案] y2＝3x
[解析] 解法1：过A、B作准线垂线，垂足分别为A1，B1，则|AA1|＝3，|BB1|＝|BF|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴|AC|＝2|AA1|＝2|AF|＝6，∴|CF|＝3，
∴p＝|CF|＝，∴抛物线方程为y2＝3x.21世纪教育网
解法2：由抛物线定义，|BF|等于B到准线的距离，由|BC|＝2|BF|得∠BCB1＝30°，又|AF|＝3，[21世纪教育网
从而A在抛物线上，代入抛物线方程y2＝2px，解得p＝.
点评：还可以由|BC|＝2|BF|得出∠BCB1＝30°，从而求得A点的横坐标为|OF|＋|AF|＝＋或3－，∴＋＝3－，∴p＝.
13．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点．设|FA|>|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于________．
[答案] 3＋2
[解析] 分别由A和B向准线作垂线，垂足分别为A1，B1，则由条件知，
，解得，
∴＝3＋2，即＝3＋2.
14．(文)若点(3,1)是抛物线y2＝2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________.
[答案] 2
[解析] 设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则，两式相减得，＝＝2，
∵y1＋y2＝2，∴p＝2.
(理)(2010·衡水市模考)设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A、B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________.
[答案] 8
[解析] 过A、B、P作准线的垂线AA1、BB1与PP1，垂足A1、B1、P1，则|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝2|PP1|＝2[1－(－3)]＝8.
三、解答题21世纪教育网
15．(文)若椭圆C1：＋＝1(00)的焦点在椭圆C1的顶点上．
(1)求抛物线C2的方程；
(2)若过M(－1,0)的直线l与抛物线C2交于E、F两点，又过E、F作抛物线C2的切线l1、l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．
[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为a＝2，半焦距c＝，
由离心率e＝＝＝得，b2＝1.
∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，
∴p＝2，抛物线的方程为x2＝4y.
(2)由题知直线l的斜率存在且不为零，则可设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，21世纪教育网
∵y＝x2，∴y′＝x，
∴切线l1，l2的斜率分别为x1，x2，
当l1⊥l2时，x1·x2＝－1，即x1·x2＝－4，
由得：x2－4kx－4k＝0，[来源:21世纪教育网]
由Δ＝(－4k)2－4×(－4k)>0，解得k<－1或k>0.
又x1·x2＝－4k＝－4，得k＝1.
∴直线l的方程为x－y＋1＝0.
(理)在△ABC中，⊥，＝(0，－2)，点M在y轴上且＝(＋)，点C在x轴上移动．
(1)求B点的轨迹E的方程；
(2)过点F的直线l交轨迹E于H、E两点，(H在F、G之间)，若＝，求直线l的方程．
[解析] (1)设B(x，y)，C(x0,0)，M(0，y0)，x0≠0，
∵⊥，∴∠ACB＝，
∴·＝－1，于是x02＝2y0①
M在y轴上且＝(＋)，
所以M是BC的中点，可得
，∴
把②③代入①，得y＝x2(x≠0)，
所以，点B的轨迹E的方程为y＝x2(x≠0)．21世纪教育网
(2)点F，设满足条件的直线l方程为：
y＝kx－，H(x1，y1)，G(x2，y2)，
由消去y得，x2－kx＋＝0.
Δ＝k2－1>0 k2>1，
∵＝，即＝(x2－x1，y2－y1)，
∴x1＝x2－x1 3x1＝x2.21世纪教育网
∵x1＋x2＝k，x1x2＝，∴k＝±，
故满足条件的直线有两条，方程为：8x＋4y＋＝0和8x－4y－＝0.
16．(文)已知P(x，y)为平面上的动点且x≥0，若P到y轴的距离比到点(1,0)的距离小1.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)设过点M(m,0)的直线交曲线C于A、B两点，问是否存在这样的实数m，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．
[解析] (1)由题意得：－x＝1，化简得：y2＝4x (x≥0)．
∴点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)．
(2)设直线AB为y＝k(x－m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由，得ky2－4y－4km＝0，
∴y1＋y2＝，y1·y2＝－4m.∴x1·x2＝m2，
∵以线段AB为直径的圆恒过原点，
∴OA⊥OB，∴x1·x2＋y1·y2＝0.
即m2－4m＝0 m＝0或4.当k不存在时，m＝0或4.
∴存在m＝0或4，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．
[点评] (1)点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，即点P到定点F(1,0)的距离与到定直线l：x＝－1的距离相等．∴P点轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，∴p＝2，∴方程为y2＝4x.[来源:21世纪教育网]
(理)已知抛物线y2＝4x，过点(0，－2)的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点．
(1)若·＝4，求直线AB的方程．
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点(n,0)，求n的取值范围．
[解析] (1)设直线AB的方程为y＝kx－2 (k≠0)，代入y2＝4x中得，k2x2－(4k＋4)x＋4＝0①21世纪教育网
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.
y1y2＝(kx1－2)·(kx2－2)＝k2x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝－.
∵·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝－＝4，∴k2＋2k－1＝0，解得k＝－1±.
又由方程①的判别式Δ＝(4k＋4)2－16k2＝32k＋16>0得k>－，∴k＝－1＋，
∴直线AB的方程为(－1)x－y－2＝0.
(2)设线段AB的中点的坐标为(x0，y0)，则由(1)知x0＝＝，y0＝kx0－2＝，
∴线段AB的垂直平分线的方程是
y－＝－.
令y＝0，得n＝2＋＝＋＋2
＝22＋.
又由k>－且k≠0得<－2，或>0，
∴n>22＋＝2.∴n的取值范围为(2，＋∞)．
17．(文)(2010·全国Ⅰ)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点K(－1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.
(1)证明：点F在直线BD上；
(2)设·＝，求△BDK的内切圆M的方程．
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，－y1)，l的方程为x＝my－1(m≠0)
(1)将x＝my－1(m≠0)代入y2＝4x并整理得
y2－4my＋4＝0，从而y1＋y2＝4m，y1y2＝4①
直线BD的方程为y－y2＝(x－x2)21世纪教育网
即y－y2＝21世纪教育网
令y＝0，得x＝＝1，所以点F(1,0)在直线BD上．21世纪教育网
(2)由(1)知，
x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2，
x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝1
因为＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝8－4m2，[来源:21世纪教育网]
故8－4m2＝，解得m＝±，
直线l的方程为3x＋4y＋3＝0,3x－4y＋3＝0.
从而y2－y1＝±＝±，
故＝±
因而直线BD的方程为3x＋y－3＝0,3x－y－3＝0.
因为KF为∠BKD的角平分线，故可设圆心M(t,0)，(－1由＝得t＝或t＝9(舍去)，故圆M的半径为r＝＝，
所以圆M的方程为2＋y2＝.21世纪教育网
(理)(2010·揭阳市模考)已知点C(1,0)，点A、B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．
(1)求点P的轨迹T的方程；
(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．
[解析] (1)法一：连结CP，由·＝0知，AC⊥BC，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|，
由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，
即|OP|2＋|CP|2＝9，
设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，
化简得，x2－x＋y2＝4.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，
根据题意知，x12＋y12＝9，x22＋y22＝9,2x＝x1＋x2,2y＝y1＋y2，
∴4x2＝x12＋2x1x2＋x22,4y2＝y12＋2y1y2＋y22
故4x2＋4y2＝(x12＋y12)＋(2x1x2＋2y1y2)＋(x22＋y22)＝18＋2(x1x2＋y1y2)①
又∵·＝0，∴(1－x1，－y1)·(1－x2，－y2)＝0
∴(1－x1)×(1－x2)＋y1y2＝0，故x1x2＋y1y2＝(x1＋x2)－1＝2x－1，
代入①式得，4x2＋4y2＝18＋2(2x－1)，
化简得，x2－x＋y2＝4.
(2)根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2＝2px上，其中＝1，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，
由方程组得，x2＋3x－4＝0，
解得x1＝1，x2＝－4，
由于x≥0，故取x＝1，此时y＝±2，
故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．第8章 第3节
一、选择题
1．(文)(2010·黑龙江哈三中)直线x＋y＝1与圆x2＋y2－2ay＝0(a>0)没有公共点，则a的取值范围是( )
A．(0，－1) B．(－1，＋1)
C．(－－1，＋1) D．(0，＋1)
[答案] A
[解析] 圆的方程x2＋(y－a)2＝a2，由题意知圆心(0，a)到直线x＋y－1＝0距离大于a，即>a，解得－1－0，∴0(理)(2010·宁德一中)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )21世纪教育网
A．－3C．0[答案] C
[解析] 根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离d小于半径．∵圆x2＋y2－2x－1＝0的圆心是(1,0)，半径是，∴d＝<，
∴|m＋1|<2，∴－32．直线l：2xsinα＋2ycosα＋1＝0，圆C：x2＋y2＋2xsinα＋2ycosα＝0，l与C的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
[答案] A
[解析] 圆心C(－sinα，－cosα)到直线l的距离为
d＝＝，圆半径r＝1，
∵d3．(文)(2010·青岛市质检)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )
A．2 B．1＋
C．2＋ D．1＋2[来源:21世纪教育网]
[答案] B
[解析] 圆心C(1,1)到直线x－y－2＝0距离d＝，∴所求最大值为d＋r＝＋1.
(理)(2010·山东肥城联考)若圆x2＋y2－6x－2y＋6＝0上有且仅有三个点到直线ax－y＋1＝0(a是实数)的距离为1，则a等于( )
A．±1 B．±
C．± D．±
[答案] B
[解析] 圆(x－3)2＋(y－1)2＝4，半径为2，
由题意圆心(3,1)到直线的距离是1，
∴＝1，∴a＝±.
4．(2010·深圳中学)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A、B两点，如果|AB|＝8，则( )
A．l的方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0
B．l的方程为5x－12y＋20＝0或x＋4＝0
C．l的方程为5x－12y＋20＝0
D．l的方程为5x＋12y＋20＝021世纪教育网
[答案] A
[解析] 圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0化为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，圆心C(－1,2)，半径r＝5，点在圆内，设l斜率为k，方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0，
∵|AB|＝8，∴圆心到直线距离为＝3，
∴＝3，∴k＝－，当斜率不存在时，直线x＝－4也满足．故选A.
5．设直线x＋ky－1＝0被圆O：x2＋y2＝2所截弦的中点的轨迹为M，则曲线M与直线x－y－1＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．不确定
[答案] C
[解析] ∵直线x＋ky－1＝0过定点N(1,0)，且点N(1,0)在圆x2＋y2＝2的内部，∴直线被圆所截弦的中点的轨迹M是以ON为直径的圆，圆心为P，半径为，∵点P到直线x－y－1＝0的距离为<，
∴曲线M与直线x－y－1＝0相交，故选C.
6．已知直线ax＋by－1＝0(a，b不全为0)与圆x2＋y2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( )21世纪教育网
A．66条 B．72条
C．74条 D．78条
[答案] B21世纪教育网21世纪教育网
[解析] 因为在圆x2＋y2＝50上，横坐标、纵坐标都为整数的点一共有12个，即：(1，±7)，(5，±5)，(7，±1)，(－1，±7)，(－5，±5)，(－7，±1)，经过其中任意两点的割线有×(12×11)＝66条，过每一点的切线共有12条，可知与该圆有公共点且公共点的横坐标、纵坐标都为整数的直线共有66＋12＝78条，而方程ax＋by－1＝0表示的直线不过原点，上述78条直线中过原点的直线有6条，故符合条件的直线共有78－6＝72条．故选B.
7．(2010·温州十校)在平面直角坐标系xOy中，过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝a2的一条切线(切点为T)交双曲线的右支于点P，若M为FP的中点，则|OM|－|MT|等于( )
A．b－a B．a－b
C. D．a＋b
[答案] A
[解析] 如图，F′是双曲线的右焦点，由双曲线的定义得，|PF|－|PF′|＝2a.又M为PF的中点，∴|MF|－|OM|＝a，即|OM|＝|MF|－a.
又直线PF与圆相切，
∴|FT|＝＝b，
∴|OM|－|MT|＝|MF|－a－(|MF|－|FT|)＝|FT|－a＝b－a，故选A.
8．(文)(2010·广东茂名)圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是( )
A. B.[来源:21世纪教育网]
C. D.
[答案] A21世纪教育网
[解析] 由题可知直线2ax－by＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a＋b＝1，又因ab≤2＝，故选A.
(理)(2010·泰安质检)如果直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M、N两点，且M、N关于直线x＋y＝0对称，则不等式组表示的平面区域的面积是( )
A. B.
C．1 D．2
[答案] A
[解析] ∵直线y＝kx＋1与圆的两交点M、N关于直线x＋y＝0对称，∴圆心在直线x＋y＝0上，且两直线y＝kx＋1与x＋y＝0垂直，∴，
∴，∴不等式组化为，表示的平面区域如图，故其面积S＝|OA|·yB＝.
9．(文)若动圆C与圆C1：(x＋2)2＋y2＝1外切，与圆C2：(x－2)2＋y2＝4内切，则动圆C的圆心的轨迹是( )
A．两个椭圆
B．一个椭圆及双曲线的一支
C．两双曲线的各一支21世纪教育网
D．双曲线的一支
[答案] D
[解析] 设动圆C的半径为r，圆心为C，依题意得
|C1C|＝r＋1，|C2C|＝r－2，
∴|C1C|－|C2C|＝3，
故C点的轨迹为双曲线的一支．
(理)台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为( )
A．0.5小时 B．1小时21世纪教育网
C．1.5小时 D．2小时
[答案] B
[解析] 以A为原点，正东方向为x轴，正北方向为y轴，建立直角坐标系，则A(10t,10t)，B(40,0)．
当满足下列条件时，B城市处于危险区内，即(10t－40)2＋(10t)2≤302，解得－≤t≤＋，
故选B.
10．(2010·山东聊城模考)若在区间(－1,1)内任取实数a，在区间(0,1)内任取实数b，则直线ax－by＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交的概率为( )[来源:21世纪教育网]
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由题意知，圆心C(1,2)到直线ax－by＝0距离d<1，∴<1，化简得3b－4a<0，如图，满足直线与圆相交的点(a，b)落在图中阴影部分，E，∵S矩形ABCD＝2，S梯形OABE＝＝，
[来源:21世纪教育网]
由几何概型知，所求概率P＝＝.
二、填空题
11．(2010·四川广元市质检)已知直线l：x－2y－5＝0与圆O：x2＋y2＝50相交于A、B两点，则△AOB的面积为______．
[答案] 15
[解析] 圆心(0,0)到直线l距离d＝，圆半径R＝5，∴弦长|AB|＝2＝6，21世纪教育网
∴S△AOB＝|AB|·d＝×6×＝15.
12．(文)(2010·天津南开区模拟)过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线OA、OB，A、B为切点，则线段AB的长为________．
[答案] 4
[解析] 圆(x－3)2＋(y－4)2＝5的圆心C(3,4)，半径为r＝，|CO|＝5，∴切线长|OA|＝2，
由|OA|·|CA|＝|OC|·d，得d＝2，
∴弦长|AB|＝2d＝4.
(理)(2010·甘肃质检)若直线2x－y＋c＝0按向量a＝(1，－1)平移后与圆x2＋y2＝5相切，则c的值为________．
[答案] 8或－2
[解析] 设直线2x－y＋c＝0上点P(x0，y0)，按a平移后移到点P′(x，y)，则，∴代入直线2x－y＋c＝0中得2x－y－3＋c＝0，此时直线与圆x2＋y2＝5相切，
∴＝，∴c＝8或－2.21世纪教育网
13．(2010·湖南文)若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为________；圆(x－2)2＋(y－3)2＝1关于直线l对称的圆的方程为________．
[答案] －1 x2＋(y－1)2＝1
[解析] 过P、Q两点的直线的斜率kPQ＝＝＝1，
∴线段PQ的垂直平分线l的斜率为－1，线段PQ的中点坐标为，∴PQ的垂直平分线l的方程为y－＝－，即y＝－x＋3，设圆心(2,3)关于直线l：y＝－x＋3的对称点为(a，b)，则
，解得，
故所求的圆的方程为x2＋(y－1)2＝1.
14．(2010·江苏，9)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
[答案] (－13,13)
[解析] 由题意知，圆心O(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离d<1，∴<1，∴－13三、解答题
15．(2010·广东湛江)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．21世纪教育网
(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．
[解析] (1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.
①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得＝，即k＝2±，从而切线方程为y＝(2±)x.
②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，
由直线与圆相切得x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.
∴所求切线的方程为y＝(2±)x
x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
(2)由|PO|＝|PM|得，x12＋y12＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2 2x1－4y1＋3＝0.
即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，|PM|取最小值时即
|OP|取得最小值，直线OP⊥l，
∴直线OP的方程为2x＋y＝0.
解方程组得P点坐标为.
16．(文)(2010·北京延庆县模考)已知长方形ABCD，AB＝2，BC＝1，以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
(1)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程；
(2)过点P(0,2)的直线l交(1)中椭圆于M、N两点，判断是否存在直线l，使得以弦MN为直径的圆恰好过原点，并说明理由．
[解析] (1)由题意可得点A，B，C的坐标分别为(－，0)，(，0)，(，1)．
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则有
2a＝|AC|＋|BC|＝＋＝4>2，
∴a＝2，b2＝a2－c2＝4－2＝2，
椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)假设满足条件的直线l存在，由条件可知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为：y＝kx＋2(k≠0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立方程，消去y并整理得
(1＋2k2)x2＋8kx＋4＝0
∴x1＋x2＝－，x1x2＝
若以弦MN为直径的圆恰好过原点，则⊥，
∴x1x2＋y1y2＝0，
∴(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝0，
∴－＋4＝0，即＝0，
解得k＝±
检验知k值满足判别式Δ>0
∴直线l的方程为y＝x＋2或y＝－x＋2.
(理)(2010·哈三中)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝16.
(1)由动点P引圆C的两条切线PA、PB，若直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，且满足k1＋k2＋k1·k2＝－1，求动点P的轨迹方程；
(2)另作直线l：kx－y－k＝0，若直线l与圆C交于Q、R两点，且直线l与直线l1：x＋2y＋4＝0的交点为M，线段QR的中点为N，若A(1,0)，求证：|AM|·|AN|为定值．
[解析] (1)由k1＋k2＋k1·k2＝－1得，(k1＋1)(k2＋1)＝0，
∴k1＝－1或k2＝－1.设切线方程为x＋y＝m，则由圆心到直线距离公式得：m＝－7±4，
∴P点轨迹方程为：x＋y－7±4＝0；
(2)由得M
由消去y得(k2＋1)x2－(2k2＋8k＋6)x＋k2＋8k＋9＝0此方程两根即Q、R两点的横坐标，由根与系数的关系及中点坐标公式可得xN＝，代入y＝k(x－1)得yN＝，
即N，21世纪教育网[来源:21世纪教育网]
又A(1,0)则由两点间距离公式可得：
|AM|·|AN|＝10为定值．
17．(文)已知定直线l：x＝－1，定点F(1,0)，⊙P经过 F且与l相切. 21世纪教育网
(1)求P点的轨迹C的方程.
(2)是否存在定点M，使经过该点的直线与曲线C交于A、B两点，并且以AB为直径的圆都经过原点；若有，请求出M点的坐标；若没有，请说明理由.
[解析] (1)由题设知点P到点F的距离与点P到直线l的距离相等．
∴点P的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线
∴点P的轨迹C的方程为：y2＝4x
(2)设AB的方程为x＝my＋n，代入抛物线方程整理得：y2－4my－4n＝0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则.
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，
∴y1y2＋x1x2＝0.即y1y2＋·＝0.
∴y1y2＝－16，∴－4n＝－16，n＝4.
∴直线AB：x＝my＋4恒过存在M(4,0)点．
(理)设点F，动圆P经过点F且和直线y＝－相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线w.
(1)求曲线w的方程；
(2)过点F作互相垂直的直线l1、l2，分别交曲线w于A、C和B、D两个点，求四边形ABCD面积的最小值．21世纪教育网
[解析] (1)由抛物线的定义知点P的轨迹为以F为焦点的抛物线，＝，即p＝3，∴w：x2＝6y.
(2)设AC：y＝kx＋，
由 x2－6kx－9＝0.
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，易求|AC|＝6(k2＋1)，
∵l1与l2互相垂直，
∴以－换k得|BD|＝6，
SABCD＝|AC||BD|
＝×6(k2＋1)×6
＝18≥18(2＋2)＝72，
当k＝±1时取等号，
∴四边形ABCD面积的最小值为72.第8章 第2节
一、选择题
1．(文)(2010·山东潍坊)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x－3)2＋2＝1
B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D.2＋(y－1)2＝1
[答案] B21世纪教育网
[解析] 依题意设圆心C(a,1)(a>0)，由圆C与直线4x－3y＝0相切得，＝1，解得a＝2，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选B.
(理)(2010·厦门三中阶段训练)以双曲线－＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )
A．x2＋y2－2x＋2＝0 B．(x－3)2＋y2＝9
C．x2＋y2＋2x＋2＝0 D．(x－3)2＋y2＝3
[答案] D
[解析] 双曲线右焦点F(3,0)，渐近线方程y＝±x，故圆半径r＝，故圆方程为(x－3)2＋y2＝3.
2．已知两点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是( )
A．2，(4－) B.(4＋)，(4－)
C.，4－ D.(＋2)，(－2)
[答案] B
[解析] 如图圆心(1,0)到直线AB：2x－y＋2＝0的距离为d＝，故圆上的点P到直线AB的距离的最大值是＋1，最小值是－1.又|AB|＝，故△PAB面积的最大值和最小值分别是2＋，2－.
3．(文)(2010·延边州质检)已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝1上一点P到直线3x－4y－3＝0距离为d，则d的最小值为( )
A．1 B.
C. D．2
[答案] A
[解析] ∵圆心C(－1,1)到直线3x－4y－3＝0距离为2，∴dmin＝2－1＝1.
(理)(2010·安徽合肥六中)已知圆C的方程为x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为( )
A. B.
C．－ D．－
[答案] D
[解析] 圆C的方程可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C的坐标为(－1,1)，又直线kx＋y＋4＝0恒过点A(0，－4)，所以当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，直线CA应垂直于直线kx＋y＋4＝0，直线CA的斜率为－5，所以－k＝，k＝－.
4．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示的圆的充要条件是( )
A.1
C．m< D．m<或m>1
[答案] D
[解析] ∵方程表示圆
∴16m2＋4－20m>0，∴m<或m>1.
5．已知f(x)＝(x－1)(x＋2)的圆象与x轴、y轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点．则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( )
A．(0,1) B．(0，－1)
C．(0，) D．(0，)
[答案] A
[解析] f(x)的图象与x轴交于点A(1,0)，B(－2,0)，与y轴交于点C(0，－2)，设过A、B、C三点的圆与y轴另一个交点为D(0，a)，易知a＝1.
6．(2010·北京海淀区)已知动圆C经过点F(0,1)，并且与直线y＝－1相切，若直线3x－4y＋20＝0与圆C有公共点，则圆C的面积( )
A．有最大值π B．有最小值π[来源:21世纪教育网]
C．有最大值4π D．有最小值4π
[答案] D
[解析] 由于圆经过点F(0,1)且与直线y＝－1相切，所以圆心C到点F与到直线y＝－1的距离相等，由抛物线的定义知点C的轨迹方程为x2＝4y，设C点坐标为，
∵⊙C过点F，∴半径r＝|CF|＝＝＋1，直线3x－4y＋20＝0与圆C有公共点，即转化为点到直线3x－4y＋20＝0的距离d＝≤＋1，解得x0≥或x0≤－2，从而得圆C的半径r＝＋1≥2，故圆的面积有最小值4π.
7．(文)已知a≠b，且a2sinθ＋acosθ－＝0，b2sinθ＋bcosθ－＝0，则连结(a，a2)，(b，b2)两点的直线与单位圆的位置关系是( )[来源:21世纪教育网]
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
[答案] A
[解析] ∵A(a，a2)，B(b，b2)都在直线xcosθ＋ysinθ－＝0上，原点到该直线距离d＝＝<1，故直线AB与单位圆相交．
(理)(2010·温州中学)设圆过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离为( )
A．4 B.[来源:21世纪教育网]
C. D．5
[答案] B
[解析] 由题意知圆心在双曲线顶点和焦点连线的垂直平分线上，顶点A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点F1(－5,0)，F2(5,0)，A1F1的垂直平分线x＝－4，代入双曲线方程中得，y＝±，∴圆心到双曲线中心距离为d＝＝，A1F2的中垂线x＝1与双曲线无交点，故选B.
8．(2010·吉林省质检)圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( )
A．(－∞，4) B．(－∞，0)
C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)
[答案] A
[解析] ∵方程x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0表示圆，
∴4＋36－20a>0，∴a<2，
又圆关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，
∴圆心(1，－3)在直线上，
∴－3＝1＋2b，∴b＝－2，∴a－b<4.
9．(文)已知不等式组表示的平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝5
B．(x－2)2＋(y－1)2＝8
C．(x－4)2＋(y－1)2＝6
D．(x－2)2＋(y－1)2＝5
[答案] D21世纪教育网
[解析] 由题意知此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)为顶点的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2,1)，半径是，所以圆C的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(理)(2010·北京东城区)已知不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx－3k与平面区域M有公共点，则k的取值范围是( )
A. B.21世纪教育网
C. D.
[答案] A
[解析] 画出可行域如图，直线y＝kx－3k过定点(3,0)，由数形结合知该直线的斜率的最大值为k＝0，最小值为k＝＝－.
10．已知点P(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，当2x＋4y取最小值时，过点P(x，y)引圆C：2＋2＝的切线，则此切线长等于( )
A. B.
C. D.
[答案] C21世纪教育网
[解析] 由于点P(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，得x，y满足x＋2y＝3，又2x＋4y＝2x＋22y≥2＝4，取得最小值时x＝2y，此时点P的坐标为.由于点P到圆心C的距离为d＝＝，而圆C的半径为r＝，那么切线长为＝＝，故选C.
二、填空题
11．(文)(2010·金华十校)圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于A、B，|AB|＝，则该圆的标准方程是________．
[答案] (x－1)2＋2＝1
[解析] 设圆心C(a，b)，由条件知a＝1，取弦AB中点D，则CD＝＝＝，即b＝，∴圆方程为(x－1)2＋2＝1.
21世纪教育网
(理)已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2＝2x上，其中O为坐标原点，则△OAB的外接圆的方程是________________．
[答案] (x－4)2＋y2＝16
[解析] 由抛物线的性质知，A，B两点关于x轴对称，所以△OAB外接圆的圆心C在x轴上．
设圆心坐标为(r,0)，并设A点在第一象限，则A点坐标为，于是有2＝2×r，解得r＝4，所以圆C的方程为(x－4)2＋y2＝16.21世纪教育网
12．(2010·南京师大附中)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数f ′(x)<0恒成立，且f(4)＝1，若f(x2＋y2)≤1，则x2＋y2＋2x＋2y的最小值是________．
[答案] 6－4
[解析] 依题意得，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∵f(x2＋y2)≤1，f(4)＝1，∴f(x2＋y2)≤f(4)，
∴x2＋y2≥4，
又因为x2＋y2＋2x＋2y＝(x＋1)2＋(y＋1)2－2，
(x＋1)2＋(y＋1)2可以看作是点(x，y)到点(－1，－1)的距离的平方．由圆的知识可知，最小值为(r－|OC|)2＝(2－)2＝6－4.21世纪教育网
13．(文)(2010·浙江杭州市质检)已知A、B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．
[答案] (x－1)2＋(y＋1)2＝9
[解析] ∵M是以AB为直径的圆的圆心，|AB|＝6，∴半径为3，
又⊙M经过点C，∴|CM|＝|AB|＝3，
∴点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9.
(理)(2010·胶州三中)以椭圆＋＝1的右焦点为圆心，且与双曲线－＝1的渐近线相切的圆的方程为________．
[答案] (x－5)2＋y2＝16
[解析] 由c2＝41－16＝25得c＝5，∴椭圆右焦点F2(5,0)，又双曲线渐近线方程为y＝±x，∴圆半径r＝＝4，∴圆方程为(x－5)2＋y2＝16.
14．(文)(2010·天津文，14)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为__________．21世纪教育网
[答案] (x＋1)2＋y2＝2
[解析] 在直线方程x－y＋1＝0中，令y＝0得，x＝－1，∴圆心坐标为(－1,0)，
由点到直线的距离公式得圆的半径
R＝＝，
∴圆的标准方程为(x＋1)＋y2＝2.
(理)(2010·瑞安中学)已知圆x2＋y2＝r2在曲线|x|＋|y|＝4的内部(含边界)，则半径r的范围是______．
[答案] (0,2]
[解析] 如图，曲线C：|x|＋|y|＝4为正方形ABCD，
∵圆x2＋y2＝r2在曲线C的内部(含边界)
∴0三、解答题
15．(2010·广东华南师大附中)已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)，求：
(1)过点A的圆的切线方程；
(2)O点是坐标原点，连结OA，OC，求△AOC的面积S.
[解析] (1)⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1.
当切线的斜率不存在时，过点A的直线方程为x＝3，C(2,3)到直线的距离为1，满足条件．
当k存在时，设直线方程为y－5＝k(x－3)，
即kx－y＋5－3k＝0，由直线与圆相切得，
＝1，∴k＝.
∴过点A的圆的切线方程为x＝3或y＝x＋.
(2)|AO|＝＝，
过点A的圆的切线OA：5x－3y＝0，
点C到直线OA的距离d＝，
S＝·d·|AO|＝.
16．(文)(2010·烟台诊断)已知圆C的圆心为C(m,0)，m<3，半径为，圆C与椭圆E：＋＝1(a>b>0)有一个公共点A(3,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若点P的坐标为(4,4)，试探究斜率为k的直线PF1与圆C能否相切，若能，求出椭圆E和直线PF1的方程；若不能，请说明理由．
[解析] (1)由已知可设圆C的方程为(x－m)2＋y2＝5(m<3)
将点A的坐标代入圆C的方程得，(3－m)2＋1＝521世纪教育网
即(3－m)2＝4，解得m＝1，或m＝521世纪教育网
∵m<3，∴m＝1[21世纪教育网]
∴圆C的方程为(x－1)2＋y2＝5.
(2)直线PF1能与圆C相切21世纪教育网
依题意设直线PF1的方程为y＝k(x－4)＋4，
即kx－y－4k＋4＝0
若直线PF1与圆C相切，则＝
∴4k2－24k＋11＝0，解得k＝，或k＝
当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去
当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，
∴c＝4，F1(－4,0)，F2(4,0)
∴由椭圆的定义得：21世纪教育网
2a＝|AF1|＋|AF2|
＝＋
＝5＋＝6
∴a＝3，即a2＝18，∴b2＝a2－c2＝2
直线PF1能与圆C相切，直线PF1的方程为x－2y＋4＝0，椭圆E的方程为＋＝1.
(理)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程；
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)设圆C的圆心为A(p，q)，则圆C的方程为(x－p)2＋(y－q)2＝8.
∵直线y＝x与圆C相切于坐标原点O，
∴O在圆C上，且直线OA垂直于直线y＝x.
于是有，
∴，或.[来源:21世纪教育网]
由于点C(p，q)在第二象限，故p<0.
所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)∵椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点距离之和为10，∴2a＝10，∴a＝5.
故椭圆右焦点为F(4,0)．
若圆C上存在异于原点的点Q(x0，y0)到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长，则有|QF|＝|OF|，
于是(x0－4)2＋y02＝42，且x02＋y02≠0①
由于Q(x0，y0)在圆上，故有(x0＋2)2＋(y0－2)2＝8.②
解①和②得，
故圆C上存在满足条件的点Q.
17．(文)设O点为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P、Q关于直线x＋my＋4＝0对称，且·＝0.
(1)求m的值；21世纪教育网
(2)求直线PQ的方程．
[解析] (1)曲线方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，表示圆心为(－1,3)，半径为3的圆．
∵点P，Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称．
∴圆心(－1,3)在直线上，代入直线方程得m＝－1.21世纪教育网
(2)∵直线PQ与直线y＝x＋4垂直，
∴设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ方程为y＝－x＋b.
将y＝－x＋b代入圆方程得，
2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0.
Δ＝4(4－b)2－8×(b2－6b＋1)>0，
∴2－3由韦达定理得，
x1＋x2＝b－4，x1·x2＝，
y1·y2＝(－x1＋b)(－x2＋b)
＝b2－b(x1＋x2)＋x1·x2＝，
∵·＝0，∴x1x2＋y1y2＝0，
即＋＝0.
解得b＝1∈(2－3，2＋3)．
∴所求的直线PQ方程为y＝－x＋1.
(理)已知动圆P与定圆B：x2＋y2＋2x－31＝0内切，且动圆P经过一定点A(，0)．
(1)求动圆圆心P的轨迹E的方程；
(2)若已知点D(0,3)，M、N在曲线E上，且＝λ，求实数λ的取值范围．
[解析] (1)定圆B的圆心B(－，0)，半径r＝6，
∵动圆P与定圆B内切，且过A(，0)，
∴|PA|＋|PB|＝6.
∴动圆圆心P的轨迹E是以B、A为焦点，长轴长为6的椭圆．
设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
则2a＝6，a＝3，c＝，∴b2＝a2－c2＝4.
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由＝λ，可得(x1，y1－3)＝λ(x2，y2－3)，
故.
∵M，N在动点P的轨迹上，
∴，
消去x2得，＝1－λ2.
解得y2＝(λ≠1)或λ＝1.
①当λ＝1时，M与N重合，＝，满足条件．
②当λ≠1时，∵|y2|≤2，
∴≤2，解得≤λ≤5，且λ≠1.
综上可得λ的取值范围是.第8章 第7节
一、选择题[来源:21世纪教育网]
1．(2010·聊城模考)已知双曲线－＝1的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为( )
A．5x2－y2＝1 B.－＝1
C.－＝1 D．5x2－y2＝1
[答案] D
[解析] 抛物线y2＝4x焦点为(1,0)，∴双曲线中c＝1，
又e＝＝，∴a＝，∴b2＝c2－a2＝1－＝，
∴双曲线方程为－＝1.
2．(2010·山东郓城)已知对k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0,5)
C．[1,5)∪(5，＋∞) D．[1,5)
[答案] C21世纪教育网
[解析] 直线y＝kx＋1过定点(0,1)，只要(0,1)在椭圆＋＝1上或共内部即可，从而m≥1.
又因为椭圆＋＝1中m≠5，∴m∈[1,5)∪(5，＋∞)．
[点评] 含参数的直线与曲线位置关系的命题方式常常是直线过定点，考虑定点与曲线位置，以确定直线与曲线的位置．
3．图中的椭圆C1、C2与双曲线C3、C4的离心率分别为e1、e2、e3、e4，则它们的大小关系是( )
A．e1C．e1[答案] B
[解析] ∵C1、C2为椭圆，∴e∈(0,1)
∵C3、C4为双曲线，∴e∈(1，＋∞)
比较C1、C2
∵a相等而C1比C2的短轴小，
∴C1的焦距比C2的焦距大，从而e1>e2
同理C4的虚轴长>C3的虚轴长，而实轴长相同
∴C4的焦距>C3的焦距 ∴e4>e3
综上可得：e2[点评] 对于椭圆e＝＝，e越大越扁，对于双曲线e＝＝，e越大开口越宽阔．
4．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为( )21世纪教育网
A．3 B．2
C．2 D．4
[答案] C
[解析] 根据题意设椭圆方程为＋＝1(b>0)，则将x＝－y－4代入椭圆方程得，
4(b2＋1)y2＋8b2y－b4＋12b2＝0，
∵椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，21世纪教育网
∴Δ＝(8b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，
即(b2＋4)(b2－3)＝0，∴b2＝3，
长轴长为2＝2，故选C.
5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，过椭圆的右焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，若·＝0，则椭圆的离心率e等于( )21世纪教育网
A. B.
C. D.[来源:21世纪教育网][来源:21世纪教育网]
[答案] A
[解析] 如图，F2(c,0)把x＝c代入椭圆＋＝1得A(c，)．
由·＝0结合图形分析得[来源:21世纪教育网]
|OF2|＝|AF2|，
即c＝ b2＝ac a2－c2＝ac
()2＋－1＝0 e2＋e－1＝0 e＝.21世纪教育网
6．(2010·重庆南开中学)双曲线－y2＝1(n>1)的两焦点为F1，F2，点P在双曲线上，且满足：|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是( )
A．1 B.
C．2 D．421世纪教育网
[答案] A
[解析] 由条件知，
∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－
又∵|F1F2|＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|
＝(＋)(－)＝1.
7．在同一坐标系中方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是( )
[答案] D
[解析] 方程a2x2＋b2y2＝1，即＋＝1，因为<，所以是焦点在y轴上的椭圆．方程ax＋by2＝0化为y2＝－x，为焦点在x轴的负半轴的抛物线．
8．(2010·长沙一中、雅礼中学联考)若椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的连线的斜率为，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点为，mx12＋ny12＝1，mx22＋ny22＝1，两式相减得＝－×，∴＝－×(－1)，即＝，离心率e＝＝＝，故选B.
9．(2010·福建福州市质检)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是( )[来源:21世纪教育网]
A．5 B．8
C.－1 D.＋2
[答案] C
[解析] 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线距离为d，根据抛物线的定义有d＝|PF|，∴|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|，由圆的几何性质及三角形两边之和大于第三边可知，当P、Q、F、C四点共线时取最小值，故最小值为|FC|－1＝－1.21世纪教育网
10．(2010·北方四校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过点A的直线与抛物线C交于M、N两点，且＝2，过点M、N向直线x＝－作垂线，垂足分别为P、Q，△MAP、△NAQ的面积分别为记为S1与S2，那么( )
A．S1∶S2＝2∶1 B．S1∶S2＝5∶2
C．S1∶S2＝4∶1 D．S1∶S2＝7∶1
[答案] C
[解析] 依题意，点A为抛物线的焦点，直线x＝－为抛物线的准线，则|MP|＝|MA|，|NA|＝|NQ|，∠PMA＝π－∠QNA，故S1＝|MP||MA|sin∠PMA＝4|AN|2sin∠QNA＝4S2，故选C.
二、填空题
11．(2010·吉林省调研)已知过双曲线－＝1右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．
[答案] (1，)
[解析] 由条件知，渐近线的倾斜角小于45°，即<1，∴<1，∴<2，21世纪教育网
即e2<2，∵e>1，∴112．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为________．
[答案] x2－＝1(x>1)
[解析] 设另两个切点为E、F，如图所示，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NF|＝|NB|.
从而|PM|－|PN|＝|ME|－|NF|＝|MB|－|NB|＝4－2＝2<|MN|，所以点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．∴a＝1，c＝3，
∴b2＝8.故方程为x2－＝1(x>1)．
13．(2010·平顶山市调研)在下列命题中：21世纪教育网21世纪教育网
①方程|x|＋|y|＝1表示的曲线所围成区域面积为2；
②与两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y＝±x；
③与两定点(－1,0)、(1,0)距离之和等于1的点的轨迹为椭圆；
④与两定点(－1,0)、(1,0)距离之差的绝对值等于1的点的轨迹为双曲线．
正确的命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题序号都填上)
[答案] ①②④
[解析] 方程|x|＋|y|＝1与两轴交点A(－1,0)，B(0，－1)，C(1,0)，D(0,1)组成正方形的面积S＝|AC|·|BD|＝×2×2＝2，故①真；设与两坐标轴距离相等的点为P(x，y)，则|x|＝|y|，∴y＝±x，故②真；∵两点E(－1,0)，F(1,0)的距离|EF|＝2>1，
∴到两点E、F距离之和等于1的点不存在，∴③错误；与两点E、F距离之差的绝对值等于1的点的轨迹为双曲线正确．21世纪教育网
14．(2010·安徽安庆联考)设直线l：y＝2x＋2，若l与椭圆x2＋＝1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为－1的点P的个数为________．
[答案] 3
[解析] 设与l平行且与椭圆相切的直线方程为y＝2x＋b，
代入x2＋＝1中消去y得，8x2＋4bx＋b2－4＝0，
由Δ＝16b2－32(b2－4)＝0得，b＝±2，
显见y＝2x＋2与两轴交点为椭圆的两顶点A(－1,0)，B(0,2)，
∵直线y＝2x＋2与l距离d＝，
∴欲使S△ABP＝|AB|·h＝h＝－1，须使h＝，∵d＝h，∴直线y＝2x＋2与椭圆切点，及y＝2x＋4－2与椭圆交点均满足，∴这样的点P有3个．
三、解答题
15．(2010·新课标全国)设F1、F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列．
(1)求E的离心率；
(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．
[解析] (1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a.
l的方程为y＝x＋c，其中c＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组21世纪教育网
消去y，整理得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线AB斜率为1，
所以|AB|＝|x2－x1|＝，
得a＝，故a2＝2b2，
所以E的离心率e＝＝＝.21世纪教育网
(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知
x0＝＝＝－c，y0＝x0＋c＝.
由|PA|＝|PB|得kPN＝－1.
即＝－1，
得c＝3，从而a＝3，b＝3.
故椭圆E的方程为＋＝1.
16．双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，其中A(0，－b)，B(a,0)．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ的中点．若点M在直线x＝－2上的射影为N，满足·＝0，且||＝10，求直线l的方程．
[解析] (1)依题意有
解得a＝1，b＝，c＝2.
所以，所求双曲线的方程为x2－＝1.
(2)当直线l⊥x轴时，||＝6，不合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2)．
由得，
(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0.①
因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3－k2≠0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，则x1、x2是方程①的两个正根，于是有
所以k2>3.②
因为·＝0，则PN⊥QN，又M为PQ的中点，||＝10，所以|PM|＝|MN|＝|MQ|＝|PQ|＝5.
又|MN|＝x0＋2＝5，∴x0＝3，
而x0＝＝＝3，∴k2＝9，解得k＝±3.
∵k＝±3满足②式，∴k＝±3符合题意．
所以直线l的方程为y＝±3(x－2)．
即3x－y－6＝0或3x＋y－6＝0.
17．(2010·北京崇文区)已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
(3)在线段OF上是否存在点M(m,0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．[来源:21世纪教育网]
[解析] (1)由已知，椭圆方程可设为＋＝1(a>b>0)．
∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，
∴b＝c＝1，a＝.
所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)右焦点F(1,0)，直线l的方程为y＝x－1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由得，3y2＋2y－1＝0，
解得y1＝－1，y2＝.
∴S△POQ＝|OF|·|y1－y2|＝|y1－y2|＝.
(3)假设在线段OF上存在点M(m,0)(0由可得，(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.21世纪教育网
＝(x1－m，y1)，＝(x2－m，y2)，＝(x2－x1，y2－y1)．其中x2－x1≠0以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形
(＋)⊥ (＋)·＝0
(x1＋x2－2m，y1＋y2)·(x2－x1，y2－y1)＝0
(x1＋x2－2m)(x2－x1)＋(y1＋y2)(y2－y1)＝0
(x1＋x2－2m)＋k(y1＋y2)＝0
＋k2＝0
2k2－(2＋4k2)m＝0 m＝(k≠0)．
∴0一、选择题
1．设0≤α<2π，若方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是( )
A.∪ B.
C. D.
[答案] C
[解析] 化为＋＝1，
∴－>>0，故选C.21世纪教育网
2．(文)(2010·瑞安中学)已知双曲线C的焦点、顶点分别恰好是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．4x±3y＝0 B．3x±4y＝0
C．4x±5y＝0 D．5x±4y＝0
[答案] A
[解析] 由题意知双曲线C的焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴a＝3，c＝5，∴b＝＝4，
∴渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0.
(理)(2010·广东中山)若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x的焦点，且与双曲线x2－y2＝1，有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D．x2＋＝1
[答案] A
[解析] 抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c＝，[来源:21世纪教育网]
∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.
3．分别过椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A．(0,1) B.
C. D.
[答案] B21世纪教育网
[解析] 依题意，结合图形可知以F1F2为直径的圆在椭圆的内部，∴c2c2，即e2＝<，又∵e>0，∴04．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 由余弦定理：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2.
又|PF1|＋|PF2|＝20，代入化简得|PF1|·|PF2|＝，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝.
5．(2010·济南市模拟)若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±4x D．y＝±x
[答案] A
[解析] ∵由椭圆的离心率e＝＝，
∴＝＝，∴＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x，选A.
6．(文)(2010·南昌市模考)已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于( )
A. B.
C. D.21世纪教育网
[答案] A
[解析] 设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a、b、c，则由条件知，b＝6，a＋c＝9或a－c＝9，[来源:21世纪教育网]
又b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝36，
故，∴，∴e＝＝.
(理)(2010·北京崇文区)已知点F，A分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满足·＝0，则椭圆的离心率等于( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] ∵＝(c，b)，＝(－a，b)，·＝0，
∴－ac＋b2＝0，∵b2＝a2－c2，
∴a2－ac－c2＝0，∴e2＋e－1＝0，
∵e>0，∴e＝.
7．(2010·浙江金华)若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点，F1、F2分别是它们的左、右焦点．设椭圆离心率为e1，双曲线离心率为e2，若·＝0，则＋＝( )
A．2 B.
C. D．3
[答案] A
[解析] 设椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为a′，焦距为2c，则由条件知||PF1|－|PF2||＝2a′，|PF1|＋|PF2|＝2a，将两式两边平方相加得：
|PF1|2＋|PF2|2＝2(a2＋a′2)，
又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，∴a2＋a′2＝2c2，
∴＋＝＋＝＝2.
8．(2010·重庆南开中学)已知椭圆＋＝1的左右焦点分别为F1、F2，过F2且倾角为45°的直线l交椭圆于A、B两点，以下结论中：①△ABF1的周长为8；②原点到l的距离为1；③|AB|＝；正确结论的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
[答案] A
[解析] ∵a＝2，∴△ABF1的周长为|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8，故①正确；
∵F2(，0)，∴l：y＝x－，原点到l的距离d＝＝1，故②正确；
将y＝x－代入＋＝1中得3x2－4x＝0，∴x1＝0，x2＝，
∴|AB|＝＝，故③正确．
9．(文)(2010·北京西城区)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案] B[来源:21世纪教育网]
[解析] 点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，
∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．
(理)F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
[答案] A[来源:21世纪教育网]
[解析] ∵PQ平分∠F1PA，且PQ⊥AF1，
∴Q为AF1的中点，且|PF1|＝|PA|，
∴|OQ|＝|AF2|＝(|PA|＋|PF2|)＝a，
∴Q点轨迹是以O为圆心，a为半径的圆．
10．(文)(2010·辽宁沈阳)过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 点B的横坐标是c，故B的坐标，已知k∈，∴B.
斜率k＝＝＝＝.21世纪教育网
由(理)(2010·宁波余姚)如果AB是椭圆＋＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为( )
A．e－1 B．1－e
C．e2－1 D．1－e2
[答案] C
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，
由点差法，＋＝1，＋＝1，作差得＝，∴kAB·kOM＝·＝＝＝e2－1.故选C.
二、填空题
11．(文)过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点作圆x2＋y2＝b2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB＝90°(O为坐标原点)，则椭圆C的离心率为________．
[答案]
[解析] 因为∠AOB＝90°，所以∠AOF＝45°，所以＝，所以e2＝＝＝1－＝，即e＝.
(理)(2010·揭阳市模拟)若椭圆＋＝1(a>b>0)与曲线x2＋y2＝a2－b2无公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是________．
[答案]
[解析] 易知以半焦距c为半径的圆在椭圆内部，故b>c，∴b2>c2，即a2>2c2，
∴<.
12．(2010·南充市)已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.
[答案]
[解析] 易知A，C为椭圆的焦点，故|BA|＋|BC|＝2×5＝10，又AC＝8，由正弦定理知，
＝＝.
13．(文)若右顶点为A的椭圆＋＝1(a>b>0)上存在点P(x，y)，使得·＝0，则椭圆离心率的范围是________．
[答案] [解析] 在椭圆＋＝1上存在点P，使·＝0，即以OA为直径的圆与椭圆有异于A的公共点．
以OA为直径的圆的方程为x2－ax＋y2＝0与椭圆方程b2x2＋a2y2＝a2b2联立消去y得21世纪教育网
(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，
将a2－b2＝c2代入化为(x－a)(c2x－ab2)＝0，
∵x≠a，∴x＝，由题设即e>，∵0(理)已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的点，M是椭圆上的动点，则|MA|＋|MB|的最大值是________．
[答案] 10＋2
[解析] 如图，直线BF与椭圆交于M1、M2.
任取椭圆上一点M，则|MB|＋|BF|＋|MA|≥|MF|＋|MA|＝2a
＝|M1A|＋|M1F|＝|M1A|＋|M1B|＋|BF|
∴|MB|＋|MA|≥|M1B|＋|M1A|＝2a－|BF|.
同理可证|MB|＋|MA|≤|M2B|＋|M2A|＝2a＋|BF|，21世纪教育网
10－2≤|MB|＋|MA|≤10＋2.
14．(文)已知实数k使函数y＝coskx的周期不小于2，则方程＋＝1表示椭圆的概率为________．
[答案]
[解析] 由条件≥2，∴－π≤k≤π，
当0∴概率P＝.
(理)(2010·深圳市调研)已知椭圆M：＋＝1(a>0，b>0)的面积为πab，M包含于平面区域Ω：内，向Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆M内的概率为，则椭圆M的方程为________．
[答案] ＋＝121世纪教育网
[解析] 平面区域Ω：是一个矩形区域，如图所示，
依题意及几何概型，可得＝，
即ab＝2.
因为0所以a＝2，b＝.
所以，椭圆M的方程为＋＝1.
三、解答题
15．(文)(2010·山东济南市模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4.
(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y＝x＋2相切，求椭圆C的焦点坐标；
(2)若点P是椭圆C上的任意一点，过焦点的直线l与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为kPM、kPN，当kPM·kPN＝－时，求椭圆的方程．
[解析] (1)∵圆x2＋y2＝b2与直线y＝x＋2相切，21世纪教育网
∴b＝，得b＝.
又2a＝4，∴a＝2，a2＝4，b2＝2，
c2＝a2－b2＝2，∴两个焦点坐标为(，0)，(－，0)．
(2)由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，
不妨设：M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)，
由于M，N，P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，
即有＋＝1，＋＝1.
两式相减得：＝－.
由题意可知直线PM、PN的斜率存在，则
kPM＝，kPN＝，
kPM·kPN＝·＝＝－，
则－＝－，由a＝2得b＝1，
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(理)(2010·北京东城区)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2?.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．
[解析] (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)
由题意，
解得a2＝16，b2＝12.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为＋＝1，故－4≤x≤4.
因为＝(x－m，y)，
所以||2＝(x－m)2＋y2
＝(x－m)2＋12×.
＝x2－2mx＋m2＋12＝(x－4m)2＋12－3m2.
因为当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，
即当x＝4时，||2取得最小值．而x∈[－4,4]，
故有4m≥4，解得m≥1.
又点M在椭圆的长轴上，即－4≤m≤4.
故实数m的取值范围是m∈[1,4]．
16．(2010·辽宁文，20)设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.
(1)求椭圆C的焦距；
(2)如果＝2，求椭圆C的方程．
[解析] (1)设焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)
∵kl＝tan60°＝
∴l的方程为y＝(x－c)
即：x－y－c＝0
∵F1到直线l的距离为2
∴＝c＝2
∴c＝2
∴椭圆C的焦距为4
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题可知y1＜0，y2＞0
直线l的方程为y＝(x－2)[来源:21世纪教育网]
由消去x得，
(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b2(a2－4)＝0
由韦达定理可得
∵＝2，∴－y1＝2y2，代入①②得
[来源:21世纪教育网]
得＝·
＝ ⑤
又a2＝b2＋4 ⑥
由⑤⑥解得a2＝9 b2＝5
∴椭圆C的方程为＋＝1.
17．(文)(2010·安徽文)椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程．
[来源:21世纪教育网]
[解析] (1)由题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)
∵e＝，即＝，∴a＝2c
又b2＝a2－c2＝3c2
∴椭圆方程为＋＝1.又∵椭圆过点A(2,3)[来源:21世纪教育网]
∴＋＝1，解得c2＝4，∴椭圆方程为＋＝1.21世纪教育网
(2)法一：由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴直线AF1的方程y＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0，
直线AF2的方程为x＝2.
设P(x，y)为角平分线上任意一点，则点P到两直线的距离相等．
即＝|x－2|
∴3x－4y＋6＝5(x－2)或3x－4y＋6＝5(2－x)
即x＋2y－8＝0或2x－y－1＝0.
由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求∠F1AF2的平分线所在直线方程为2x－y－1＝0.
法二：设AM平分∠F1AF2，则直线AF1与直线AF2关于直线AM对称．
由题意知直线AM的斜率存在且不为0，设为k.
则直线AM方程y－3＝k(x－2)．
由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴直线AF1方程为y＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0
设点F2(2,0)关于直线AM的对称点F2′(x0，y0)，
则
解之得F2′(，)．
∵直线AF1与直线AF2关于直线AM对称，
∴点F2′在直线AF1上．
即3×－4×＋6＝0.
解得k＝－或k＝2.
由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正，
∴k＝－(舍去)．
故∠F1AF2的角平分线所在直线方程为2x－y－1＝0.
法三：∵A(2,3)，F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴＝(－4，－3)，＝(0，－3)，
∴＋＝(－4，－3)＋(0，－3)
＝－(1,2)，
∴kl＝2，∴l：y－3＝2(x－2)，即2x－y－1＝0.
[点评] 因为l为∠F1AF2的平分线，∴与的单位向量的和与l共线．从而可由、的单位向量求得直线l的一个方向向量，进而求出其斜率．
(理)(2010·湖北黄冈)已知点A(1,1)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|＋|AF2|＝4.
(1)求椭圆的两焦点坐标；
(2)设点B是椭圆上任意一点，如果|AB|最大时，求证A、B两点关于原点O不对称；
(3)设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．21世纪教育网
[解析] (1)由椭圆定义知：2a＝4，
∴a＝2，∴＋＝1
把(1,1)代入得＋＝1
∴b2＝，则椭圆方程为＋＝121世纪教育网
∴c2＝a2－b2＝4－＝，∴c＝
故两焦点坐标为，.
(2)用反证法：假设A、B两点关于原点O对称，则B点坐标为(－1，－1)，此时|AB|＝2，取椭圆上一点M(－2,0)，则|AM|＝
∴|AM|>|AB|.
从而此时|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立．
(3)设AC方程为：y＝k(x－1)＋1
联立消去y得
(1＋3k2)x2－6k(k－1)x＋3k2－6k－1＝0
∵点A(1,1)在椭圆上
∴xC＝
∵直线AC、AD倾斜角互补
∴AD的方程为y＝－k(x－1)＋121世纪教育网
同理xD＝
又yC＝k(xC－1)＋1，yD＝－k(xD－1)＋1
yC－yD＝k(xC＋xD)－2k
所以kCD＝＝
即直线CD的斜率为定值.第8章 第8节
一、选择题
1．若M、N为两个定点且|MN|＝6，动点P满足·＝0，则P点的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案] A21世纪教育网
[解析] 以MN的中点为原点，直线MN为x轴建立直角坐标系．并设M(－3,0)，N(3,0)，P(x，y)，[来源:21世纪教育网]
则·＝(－3－x，－y)·(3－x，－y)
＝(x2－9)＋y2＝0，即x2＋y2＝9.
2．(2010·浙江台州)在一张矩形纸片上，画有一个圆(圆心为O)和一个定点F(F在圆外)．在圆上任取一点M，将纸片折叠使点M与点F重合，得到折痕CD.设直线CD与直线OM交于点P，则点P的轨迹为( )
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
[答案] A
[解析] 由OP交⊙O于M可知|PO|－|PF|＝|PO|－|PM|＝|OM|<|OF|(F在圆外)，∴P点的轨迹为双曲线，故选A.
3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
[答案] B21世纪教育网
[解析] 设P(x，y)，由知有：(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4，可知圆的面积为4π.
4．已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点A到F1的距离是2，线段AF2的垂直平分线交AF1于点P，则点P的轨迹方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[答案] C
[解析] 依题意得，|PA|＝|PF2|，
又|PA|＋|PF1|＝|AF1|＝2，
故|PF1|＋|PF2|＝2，点P的轨迹为椭圆，
方程为＋＝1.
5．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是( )
A．一条直线 B．一个圆
C．一个椭圆 D．双曲线的一支21世纪教育网
[答案] A
[解析] 过定点A且与AB垂直的直线l都在过定点A且与AB垂直的平面β内，直线l与α的交点C也是平面α、β的公共点．点C的轨迹是平面α、β的交线．
6．已知log2x、log2y、2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为( )
[答案] A
[解析] 由log2x，log2y,2成等差数列得
2log2y＝log2x＋2 ∴y2＝4x(x>0，y>0)，故选A.
7．过椭圆＋＝1内一点R(1,0)作动弦MN，则弦MN中点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案] B
[解析] 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)，则4x12＋9y12＝36,4x22＋9y22＝36，
相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
将x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，＝代入可知轨迹为椭圆．
8．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
[答案] A
[解析] 设P1、P2为P的轨迹上两点，则AP1⊥BD1，AP2⊥BD1.∵AP1∩AP2＝A，
∴直线AP1与AP2确定一个平面α，与面BCC1B1交于直线P1P2，且知BD1⊥平面α，
∴P1P2⊥BD1，
又∵BD1在平面BCC1B1内的射影为BC1，∴P1P2⊥BC1，而在面BCC1B1内只有B1C与BC1垂直，∴P点的轨迹为B1C.
9．设x1、x2∈R，常数a>0，定义运算“*”，x1]x*a))的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
[答案] D
[解析] ∵x1]x*a)＝＝2，
则P(x,2)．
设P(x1，y1)，即，消去x得，
y12＝4ax1(x1≥0，y1≥0)，
故点P的轨迹为抛物线的一部分．故选D.
10．(2011·广东佛山、山东诸城)如图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．则下列结论不正确的是( )
A．a1－c1＝a2－c2 B．a1＋c1>a2＋c2
C．a1c2>a2c1 D．a1c2[答案] C
[解析] 设椭圆Ⅰ和Ⅱ的中心分别为O1，O2，公共左顶点为A，如图，则a1－c1＝|AO1|－|FO1|＝|AF|，a2－c2＝|AO2|－|FO2|＝|AF|，故A对；又a1>a2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，故B对；由图知e1>e2，即>，∴a1c2二、填空题21世纪教育网
11．F1、F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，A为椭圆上任一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________．
[答案] x2＋y2＝4
[解析] 延长F1D与F2A交于B，连结DO，可知|DO|＝|F2B|＝(|AF1|＋|AF2|)＝2，∴动点D的轨迹方程为x2＋y2＝4.
12．(2010·哈师大附中)已知曲线C1的方程为x2－＝1(x≥0，y≥0)，圆C2的方程为(x－3)2＋y2＝1，斜率为k(k>0)的直线l与圆C2相切，切点为A，直线l与双曲线C1相交于点B，|AB|＝，则直线AB的斜率为________．
[答案]
[解析] 设B(a，b)，则由题意可得
，解得，
则直线AB的方程为y＝k(x－1)，故＝1，
∴k＝，或k＝－(舍去)．
13．(2010·浙江杭州质检)已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上两点，且|AB|＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．
[答案] (x－1)2＋(y＋1)2＝9(位于圆x2＋y2＝16内的)21世纪教育网
[解析] ∵以AB为直径的圆过点C，∴AC⊥BC，
∵M是AB中点，∴|CM|＝|AB|＝3，
21世纪教育网
故点M在以C(1，－1)为圆心，3为半径的圆上，方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9，∵M为弦AB的中点，∴M在⊙O内，故点M轨迹为圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9位于圆x2＋y2＝16内的部分．
14．(2010·青岛一中)如图，两条过原点O的直线l1，l2分别与x轴、y轴成30°的角，点P(x1，y1)在直线l1上运动，点Q(x2，y2)在直线l2上运动，且线段PQ的长度为2.则动点M(x1，x2)的轨迹C的方程为________．
[答案] ＋y2＝1
[解析] 由已知得直线l1⊥l2，
l1：y＝x，l2：y＝－x，
∵点P(x1，y1)在直线l1上运动，点Q(x2，y2)在直线l2上运动，∴y1＝x1，y2＝－x2，
由|PQ|＝2得，(x12＋y12)＋(x22＋y22)＝4，
即x12＋4x22＝4 ＋x22＝1，
∴动点M(x1，x2)的轨迹C的方程为＋y2＝1.
三、解答题
15．(2010·广州市质检)已知动点P到定点F(，0)的距离与点P到定直线l：x＝2的距离之比为.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设M、N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若·＝0，求|MN|的最小值．
[解析] (1)设点P(x，y)，
依题意有，＝，
整理得＋＝1，21世纪教育网
所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1.
(2)∵点E与点F关于原点O对称，
∴点E的坐标为(－，0)．[来源:21世纪教育网]
∵M、N是直线l上的两个点，
∴可设M(2，y1)，N(2，y2)(不妨设y1>y2)．
∵·＝0，
∴(3，y1)·(，y2)＝0，
∴6＋y1y2＝0，即y2＝－.
由于y1>y2，∴y1>0，y2<0.
∴|MN|＝y1－y2＝y1＋≥2＝2.
当且仅当y1＝，y2＝－时，等号成立．
故|MN|的最小值为2.
[点评] 直译法是求轨迹的基本方法，对于符合圆锥曲线定义的轨迹问题，也常用定义法求解，请再做下题：
(2010·陕西宝鸡市质检)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线l：y＝x＋2与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
(3)若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．
[解析] (1)∵e＝，∴e2＝＝＝，
∴2a2＝3b2.
∵直线l：x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝b2相切，
∴b＝，b2＝2，∴a2＝3.
∴椭圆C1的方程是＋＝1.
(2)∵|MP|＝|MF2|，∴动点M到定直线l1：x＝－1的距离等于它到定点F2(1,0)的距离，
∴动点M的轨迹C2是以l1为准线，F2为焦点的抛物线．
∴点M的轨迹C2的方程为y2＝4x.
(3)当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，A(x1，y1)，C(x2，y2)，则直线AC的方程为y＝k(x－1)．
联立＋＝1及y＝k(x－1)得，(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.
|AC|＝
＝＝.
由于直线BD的斜率为－，用－代换上式中的k可得|BD|＝.
因为AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积为S＝|AC|·|BD|＝，
由于(2＋3k2)(2k2＋3)≤[]2＝[]2，所以S≥，当2＋3k2＝2k2＋3，即k＝±1时取等号．
易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S＝4.21世纪教育网
综上可得，四边形ABCD面积的最小值为.
16．(2010·浙江金华十校联考)已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p>0)相交于B、C两点．当直线l的斜率是时，＝4.
(1)求抛物线G的方程；21世纪教育网
(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．
[解析] (1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4.
由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，
∴，
又∵＝4，∴y2＝4y1③
由①，②，③及p>0得：y1＝1，y2＝4，p＝2，
则抛物线G的方程为：x2＝4y.
(2)设l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，
由得x2－4kx－16k＝0④
∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.
∴线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－(x－2k)，
∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，
对于方程④，由Δ＝16k2＋64k>0得：k>0或k<－4.
∴b∈(2，＋∞)．
[点评] 解析几何与向量，导数结合是可能的新命题方向，其本质仍是解析几何问题，请再练习下题：
(2010·湖南师大附中)如图，抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴的负半轴上，过点M(0，－2)作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足＋＝(－4，－12)．
(1)求直线l和抛物线的方程；
(2)当抛物线上动点P在点A和B之间运动时，求△ABP面积的最大值．
[解析] (1)据题意可设直线l的方程为y＝kx－2，
抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)．
联立得，x2＋2pkx－4p＝0.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则[来源:21世纪教育网]
x1＋x2＝－2pk，y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4.
所以＋＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(－2pk，－2pk2－4)．
因为＋＝(－4，－12)，
所以，解得.
故直线l的方程为y＝2x－2，抛物线的方程为x2＝－2y.
(2)根据题意，当抛物线过点P的切线与l平行时，△ABP的面积最大．
设点P(x0，y0)，因为y′＝－x，则－x0＝2，解得x0＝－2，
又y0＝－x02＝－2，所以P(－2，－2)．
此时，点P到直线l的距离
d＝＝.
由，得x2＋4x－4＝0.则x1＋x2＝－4，x1·x2＝－4，21世纪教育网21世纪教育网
所以|AB|＝·21世纪教育网
＝·＝4.
故△ABP面积的最大值为|AB|·d＝×4×＝8.
17．(2010·辽宁省实验中学)如图，在Rt△DEF中，∠DEF＝90°，||＝2，|＋|＝，椭圆C：＋＝1以E、F为焦点且过点D，点O为坐标原点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点K满足＝，问是否存在不平行于EF的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N且||＝||，若存在，求出直线l的斜率的取值范围，若不存在，说明理由．21世纪教育网
[解析] (1)由已知E(－1,0)，F(1,0)，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，[来源:21世纪教育网]
令xD＝－c可得yD＝，21世纪教育网
∵|＋|＝，⊥，||＝2，∴||＝.
∴，解得
∴椭圆C的方程是＋＝1.
(2)∵＝，∴K，当l⊥EF时，不符合题意，
故可设直线l的方程为：y＝kx＋m(k≠0)
由消去y得，
(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0
∵M、N存在，∴Δ>0[来源:21世纪教育网]
即64k2m2－4(3＋4k2)·(4m2－12)>0，
∴4k2＋3>m2(※)
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点H(x0，y0)
∴x0＝＝－，
y0＝kx0＋m＝，[来源:21世纪教育网]
∵||＝||，∴|MK|＝|NK|，
|MK|＝|NK| MN⊥KH ＝－ ＝－ m＝－
代入(※)式得4k2＋3>2
∴4k2＋3<4，
又k≠0，∴－∴l的斜率的取值范围是∪.第8章 第5节
一、选择题
1．(文)(2010·山东潍坊)已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是 ( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 设双曲线方程为－＝1，则由题意得，＝4，∴＝16，∴e＝.
(理)(2010·河北唐山)过双曲线－＝1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为( )
A．2 B.
C. D.21世纪教育网
[答案] C
[解析] 如图，FM⊥l，垂足为M，
∵M在OF的中垂线上，
∴△OFM为等腰直角三角形，∴∠MOF＝45°，
即＝1，∴e＝.
2．(2010·全国Ⅰ文)已知F1、F2为双曲线C?x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
[答案] B
[解析] 在△F1PF2中，由余弦定理
cos60°＝
＝
＝＋1＝＋1，
∵b＝1，∴|PF1|·|PF2|＝4.
3．(文)(2010·合肥市)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1都相切，则双曲线C的离心率是( )
A.或2 B．2或
C.或 D.或
[答案] A
[解析] 焦点在x轴上时，由条件知＝，∴＝，∴e＝＝，同理，焦点在y轴上时，＝，此时e＝2.
(理)已知F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( )
A．4＋2 B.－1
C. D.＋1
[答案] D
[解析] 设线段MF1的中点为P，由已知△F1PF2为有一锐角为60°的直角三角形，
∴|PF1|、|PF2|的长度分别为c和c.
由双曲线的定义知：(－1)c＝2a，
∴e＝＝＋1.
4．已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为( )
A．x＝±y B．y＝±x
C．x＝±y D．y＝±x
[答案] D
[解析] 由题意c2＝3m2－5n2＝2m2＋3n2，
∴m2＝8n2，
∴双曲线渐近线的斜率k＝±＝±.
方程为y＝±x.
5．(文)(2010·湖南师大附中模拟)已知双曲线－＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A、B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为( )
A．8 B．9
C．16 D．20
[答案] B
[解析] 由已知，|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，又|AB|＝4，则|AF2|＋|BF2|＝16.
据双曲线定义，2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，所以4a＝|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16－4＝12，即a＝3，所以m＝a2＝9，故选B.21世纪教育网
(理)(2010·辽宁锦州)△ABC中，A为动点，B、C为定点，B，C(其中m>0，且m为常数)，且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x>) D.－＝1
[答案] C[来源:21世纪教育网]
[解析] 依据正弦定理得：|AB|－|AC|＝|BC|＝<|BC|21世纪教育网
∴点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支，且a＝，c＝，∴b2＝c2－a2＝
∴双曲线方程为－＝1(x>)
6．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点为F1、F2，点Q为双曲线左支上除顶点外的任一点，过F1作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分 D．圆的一部分
[答案] D
[解析] 延长F1P交QF2于R，则|QF1|＝|QR|.
∵|QF2|－|QF1|＝2a，∴|QF2|－|QR|＝2a＝|RF2|，
又|OP|＝|RF2|，∴|OP|＝a.
7．(文)(2010·温州市十校)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(1,1＋) D．(2,1＋)
[答案] B
[解析] 由题意易知点F的坐标为(－c,0)，A，B，E(a,0)，因为△ABE是锐角三角形，所以·>0，即·＝·>0，整理得3e2＋2e>e4，∴e(e3－3e－3＋1)<0，∴e(e＋1)2(e－2)<0，解得e∈(0,2)，又e>1，∴e∈(1,2)，故选B.
(理)(2010·浙江杭州质检)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F引它的渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若FM＝ME，则该双曲线的离心率为( )
A．3 B．2
C. D.
[答案] D[来源:21世纪教育网]
[解析] 由条件知l：y＝x是线段FE的垂直平分线，∴|OE|＝|OF|＝c，又|FM|＝＝b，
∴在Rt△OEF中，2c2＝4b2＝4(c2－a2)，
∵e＝>1，∴e＝.
8．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 直线与双曲线右支相切时，k＝－，直线y＝kx＋2过定点(0,2)，当k＝－1时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直线y＝－x＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，21世纪教育网
∴－9．(文)(2010·福建理)若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为( )
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C．[－，＋∞) D．[，＋∞)
[答案] B
[解析] 由条件知a2＋1＝22＝4，∴a2＝3，
∴双曲线方程为－y2＝1.
设P点坐标为(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋2，y)，
∵y2＝－1，∴·＝x2＋2x＋y2
＝x2＋2x＋－1＝x2＋2x－1
＝(x＋)2－.
又∵x≥(P为右支上任意一点)
∴·≥3＋2.故选B.
(理)(2010·新课标全国理)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝121世纪教育网
[答案] B
[解析] 设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有：，两式作差得：＝＝，∵kAB＝，且kAB＝＝1，所以4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是－＝1，故选B.
10．(文)过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点垂直于x轴的弦长为a，则双曲线－＝1的离心率e的值是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 将x＝c代入椭圆方程得，＋＝1，
∴y2＝×b2＝×b2＝×b2，∴y＝±.
∴＝a，∴b2＝a2，e2＝＝＝，21世纪教育网
∴e＝，故选B.
(理)(2010·福建宁德一中)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F恰好是双曲线－＝1的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为( )
A. B．1±
C．1＋ D．无法确定
[答案] C
[解析] 由题意知＝c，根据圆锥曲线图象的对称性，两条曲线交点的连线垂直于y轴，对双曲线来说，这两个交点连线的长度是，对抛物线来说，这两个交点连线的长度是2p，∵p＝2c，＝4c，∴b2＝2ac，
∴c2－a2＝2ac，∴e2－2e－1＝0，解得e＝1±，
∵e>1，∴e＝1＋.
二、填空题
11．(文)(2010·广东实验中学)已知P是双曲线－＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x－y＝0.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF2|＝3，则|PF1|＝________.
[答案] 5
[解析] 由双曲线的一条渐近线的方程为3x－y＝0且b＝3可得：a＝1，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF1|－3＝2，∴|PF1|＝5.
(理)(2010·东营质检)已知双曲线－＝1的右焦点为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．
[答案] y＝±x
[解析] 由题意知9＋a＝13，∴a＝4，
故双曲线的实半轴长为a′＝3，虚半轴长b′＝2，[来源:21世纪教育网]
从而渐近线方程为y＝±x.
12．(2010·惠州市模考)已知双曲线－y2＝1(a>0)的右焦点与抛物线y2＝8x焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________．
[答案] y＝±x21世纪教育网
[解析] y2＝8x焦点是(2,0)，
∴双曲线－y2＝1的半焦距c＝2，
又虚半轴b＝1，
又a>0，∴a＝＝，
∴双曲线渐近线的方程是y＝±x.
13．(2010·北京东城区)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线离心率的取值范围是________．
[答案] 1[解析] 由题意，
∴，
∵|PF1|≥|AF1|，∴3a≥a＋c，21世纪教育网
∴e＝≤2，∴114．下列有四个命题：
①若m是集合{1,2,3,4,5}中任取的一个值，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为mx－y＝0，则双曲线的离心率小于4的概率为.
②若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且其一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则双曲线的离心率为2；
③将函数y＝cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y＝sin的图象；
④在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC＝a，BC＝b，则△ABC的外接圆半径r＝；类比到空间，若三棱锥S－ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S－ABC的外接球的半径R＝.
其中真命题的序号为________．(把你认为是真命题的序号都填上)
[答案] ①②④
[解析] ①设双曲线方程为m2x2－y2＝1，
∵a2＝，b2＝1，c2＝a2＋b2＝
∴e＝＝<4，∴m<
∴m取值1、2、3
故所求概率为，故①正确．
②根据双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，可得＝，因此离心率e＝＝＝＝2，②正确；21世纪教育网
③函数y＝cos2x的图象向右平移个单位得y＝cos2(x－)＝cos(2x－)＝sin[＋(2x－)]＝sin(2x＋)的图象，③错误；
④将三棱锥S－ABC补成如图的长方体，可知三棱锥S－ABC外接球的直径就等于该长方体的体对角线的长，则R＝，④正确．
21世纪教育网
三、解答题
15．(文)已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F(－2,0)
(1)求双曲线方程；
(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若||＝2||，求直线l的方程．
[解析] (1)由题意可设所求的双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0)
则有e＝＝2，c＝2，∴a＝1，则b＝
∴所求的双曲线方程为x2－＝1.
(2)∵直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2,0)
∴l的斜率k一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2)
令x＝0得M(0,2k)
∵||＝2||且M、Q、F共线于l
∴＝2或＝－2
当＝2时，xQ＝－，yQ＝k21世纪教育网
∴Q，
∵Q在双曲线x2－＝1上，
∴－＝1，∴k＝±，
当＝－2时，
同理求得Q(－4，－2k)代入双曲线方程得，
16－＝1，∴k＝±
则所求的直线l的方程为：
y＝±(x＋2)或y＝±(x＋2)
(理)(2010·湖南湘潭市)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．
[解析] (1)设双曲线－＝1，
由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝22得，b2＝1，
故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中得，
(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线交于不同的两点得
，
∴k2≠且k2<1①[来源:21世纪教育网]
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
则xA＋xB＝，xAxB＝
由·>2得，xAxB＋yAyB>2，
xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)
＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2
＝(k2＋1)·＋k·＋2＝
于是>2，即>0，
解此不等式得由①②得故k的取值范围为∪.
16．(2010·江苏苏州模拟)已知二次曲线Ck的方程：＋＝1.
(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；
(2)若双曲线Ck与直线y＝x＋1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；[21世纪教育网]
(3)m、n为正整数，且m[解析] (1)当且仅当，即k<4时，方程表示椭圆．
当且仅当(9－k)(4－k)<0，即4(2)解法一：由化简得，
(13－2k)x2＋2(9－k)x＋(9－k)(k－3)＝0
∵Δ≥0，∴k≥6或k≤4(舍)[来源:21世纪教育网]
∵双曲线实轴最长，∴k取最小值6时，9－k最大即双曲线实轴最长，
此时双曲线方程为－＝1.
解法二：若Ck表示双曲线，则k∈(4,9)，不妨设双曲线方程为－＝1，
联立消去y得，
(5－2a2)x2－2a2x－6a2＋a4＝0
∵Ck与直线y＝x＋1有公共点，
∴Δ＝4a4－4(5－2a2)(a4－6a2)≥0，
即a4－8a2＋15≥0，∴a2≤3或a2≥5(舍)，
∴实轴最长的双曲线方程为－＝1.21世纪教育网
解法三：双曲线＋＝1中c2＝(9－k)＋(k－4)＝5，∴c＝，∴F1(－，0)，不妨先求得F1(－，0)关于直线y＝x＋1的对称点F(－1,1－)，
设直线与双曲线左支交点为M，则
2a＝|MF2|－|MF1|＝|MF2|－|MF|≤|FF2|
＝＝2
∴a≤，∴实轴最长的双曲线方程为－＝1.
(3)由(1)知C1、C2、C3是椭圆，C5、C6、C7、C8是双曲线，结合图象的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点
设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，m∈{1,2,3}，n∈{5,6,7,8}
则根据椭圆、双曲线定义及·＝0(即PF1⊥PF2)，应有
，所以m＋n＝8.
所以这样的Cm、Cn存在，且或或.
17．(文)(2010·全国Ⅱ文)已知斜率为1的直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)相交于B、D两点，且BD的中点为M(1,3)．
(1)求C的离心率；
(2)设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．21世纪教育网
[解析] (1)由题意知，l的方程为：y＝x＋2，
代入C的方程并化简得，
(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0
设B(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1·x2＝－①
由M(1,3)为BD的中点知＝1，故×＝1
即b2＝3a2②
故c＝＝2a，
∴C的离心率e＝＝2.
(2)由②知，C的方程为3x2－y2＝3a2，
A(a,0)，F(2a,0)，x1＋x2＝2，x1·x2＝－<0，
故不妨设x1≤－a，x2≥a，
|BF|＝＝＝a－2x1，
|FD|＝＝＝2x2－a，
|BF|·|FD|＝(a－2x1)(2x2－a)
＝－4x1x2＋2a(x1＋x2)－a2＝5a2＋4a＋8.[来源:21世纪教育网]
又|BF|·|FD|＝17，故5a2＋4a＋8＝17，
解得a＝1，或a＝－.
故|BD|＝|x1－x2|＝＝6
连结MA，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，
从而MA＝MB＝MD，∠DAB＝90°，
因此以M为圆心，MA为半径的圆过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，
所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．
(理)(2010·广东理)已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个动点．
(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；
(2)若过点H(0，h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2.求h的值．
[分析] (1)由条件写出直线A1P与A2Q的方程，两式相乘后消去x1，y1得交点E的方程；
(2)l1，l2与E只有一个交点，写出l1与l2的方程与曲线E的方程联立，运用Δ＝0求解．
[解析] (1)由条件知|x1|>，∵A1、A2为双曲线的左、右顶点∴，A1(－，0)，A2(，0)．
A1P?y＝(x＋)，A2Q?y＝(x－)，
两式相乘得y2＝(x2－2)，①
而点P(x1，y1)在双曲线上，所以－y12＝1，
即＝，代入①式，整理得，
＋y2＝1.
∵|x1|>，∴点A1(－，0)，A2(，0)均不在轨迹E上，又双曲线的渐近线方程为y＝±x，故过点(0,1)和A2(，0)的直线与双曲线仅有一个交点A2(，0)，故点(0,1)不在轨迹E上，同理点(0，－1)也不在轨迹E上，∴轨迹E的方程为＋y2＝1(x≠±，且x≠0)．
(2)设l1?y＝kx＋h，则由l1⊥l2知，l2?y＝－x＋h.
将l1?y＝kx＋h代入＋y2＝1得
＋(kx＋h)2＝1，即(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0，
由l1与E只有一个交点知，Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，
∴1＋2k2＝h2.
同理，由l2与E只有一个交点知，1＋2·＝h2，
消去h2得＝k2，
即k2＝1，从而h2＝1＋2k2＝3，即h＝.
又分别过A1、A2且互相垂直的直线与y轴正半轴交于点(0，)，∴h＝符合题意，综上知h＝或.