2011-2012学年八年级数学（人教版上）同步练习第十二章第三节等腰三角形
文档属性
| 名称 | 2011-2012学年八年级数学（人教版上）同步练习第十二章第三节等腰三角形 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 65.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-09-01 07:32:03 | ||
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文档简介
2011-2012学年八年级数学（人教版上）同步练习第十二章
第三节 等腰三角形
一. 教学内容：
等腰三角形及其性质
二. 教学重点：
等腰三角形的性质和判定
三. 教学难点：
利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明和计算
【典型例题】
[例1] 如图，在△ABC中，D是AB边上一点，AD=DC，∠B=，∠ACD=，求：∠BCD的度数
答案：
解析：因为AD=DC，所以∠A=∠ACD，又因为∠ACD=，所以∠A=，因为∠B=，利用三角形内角和定理，得到∠ACB=，所以∠BCD=∠ACB－∠ACD=
[例2] 如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，求证：∠ABC=∠ADC
答案：
解析：连结BD，因为AB=AD，所以△ABD是等腰三角形，所以∠ABD=∠ADB，又因为BC=DC，所以△BCD是等腰三角形，所以∠CBD=∠CDB，所以∠ABD+∠CBD=∠ADB+∠CDB，即∠ABC=∠ADC
[例3] 如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，延长CA到E，使AE=AD，求证：ED⊥BC
证明：延长ED交BC于F，因为AB=AC，所以∠B=∠C，又因为AE=AD，所以∠E=∠ADE，又因为∠ADE=∠BDF，所以∠E+∠C=∠BDF+∠B，再利用三角形内角和定理，所以∠EFC=∠EFB，又因为∠EFC+∠EFB=，所以∠EFC∠EFB=，所以ED⊥BC
[例4] 如图，O是△ABC内一点，AO=BO=CO，∠1=∠2，求证：AB=AC
证明：因为AO=BO=CO，所以∠1=∠ABO，∠2=∠ACO，又因为∠1=∠2，所以∠ABO=∠ACO，因为BO=CO，所以∠OBC=∠OCB，所以∠ABO+∠OBC=∠ACO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，所以AB=AC
[例5] 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，且△ABC的周长为，△ABD的周长为，求：AD的长
答案：
解析：因为△ABC的周长为，所以AB+AC+BC=，又因为△ABD的周长为，所以AB+BD+AD=，又根据AB=AC，所以，再利用等腰三角形三线合一，所以得到，所以，这样就可以解出
[例6] 如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC交AB于D，交AC于E，求证：BD+EC=DE
证明：因为∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，所以∠DBF=∠FBC，且∠ECF=∠FCB，又因为DE∥BC，所以∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，所以∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，所以DF=DB，EF=EC，所以BD+EC=DF+EF，即BD+EC=DE
[例7] 如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足为D，求证：∠DBC=∠A
证明：作AE⊥BC于E，因为BD⊥AC，AE⊥BC，所以∠BDC=∠AEC=，根据三角形内角和定理，所以∠EAC+∠C=，∠DBC+∠C=，根据同角的余角相等，所以∠EAC=∠DBC，又因为AB=AC，根据等腰三角形三线合一，所以AE是∠BAC的角平分线，所以∠EAC=∠BAC，即∠DBC=∠A
[例8] 如图，AD是△ABC的角平分线，且AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C
解析：作辅助线，延AB至E使AE=AC，因为AC=AB+BD，所以AE=AB+BD，又因为AE=AB=BE，所以BD=BE，所以∠E=∠BDE，因为AD是△ABC的角平分线，所以∠EAD=∠CAD，且AE=AC，AD=AD，所以△AED≌△ACD，所以∠C=∠E，根据外角定理，所以∠ABD=∠E+∠BDE，所以∠ABD=2∠E，所以得到∠ABE=2∠C，即∠B=2∠C
【模拟试题】
一. 选择题：
1. 等腰三角形的一个角是94°，则腰与底边上的高的夹角为（ ）
A. 43° B. 53° C. 47° D. 90°
2. 等腰三角形周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形底边长（ ）
A. 7cm B. 3cm C. 7cm或3cm D. 5cm
3. 等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形或直角三角形 D. 以上结论都不对
4. 已知等腰三角形的一个外角等于70°，则底角的度数为（ ）
A. 110° B. 55° C. 35° D. 不能确定
5. 等腰三角形一腰上的高与底边所成角为36°，这个等腰三角形的顶角为（ ）
A. 36° B. 72° C. 36°或72° D. 54°
二. 填空题：
1. 如果等腰三角形一个角是45°，那么另外两个角的度数为
2. 等腰三角形一个外角等于110°，则底角的度数是
3. 等腰三角形 互相重合
4. 等腰三角形底边长为10，则其腰长x的范围是
5. 等腰三角形的底边长为5，一腰上中线把这个三角形周长分为两部分，它们的差为3，则腰长为
三. 解答题：
1. 如图，已知AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，F是CD中点，求证：AF⊥CD
2. 如图，CE、CF分别平分∠ACB和∠ACB的外角，EF∥BC交AC于D，求证：DE=DF
【试题答案】
一.
1. C 2. B 3. C 4. C 5. B
二.
1. 45°和90°或67.5°和67.5°
2. 70°或55°
3. 顶角角平分线和底边中线和底边高线
4. 大于5
5. 8
三.
1. 连结AC和AD，证明△ABC≌△AED，得到AC=AD，再利用等腰三角形三线合一
2. 分别证明DE=DC，DF=DC，所以DE=DF
第三节 等腰三角形
一. 教学内容：
等腰三角形及其性质
二. 教学重点：
等腰三角形的性质和判定
三. 教学难点：
利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明和计算
【典型例题】
[例1] 如图，在△ABC中，D是AB边上一点，AD=DC，∠B=，∠ACD=，求：∠BCD的度数
答案：
解析：因为AD=DC，所以∠A=∠ACD，又因为∠ACD=，所以∠A=，因为∠B=，利用三角形内角和定理，得到∠ACB=，所以∠BCD=∠ACB－∠ACD=
[例2] 如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，求证：∠ABC=∠ADC
答案：
解析：连结BD，因为AB=AD，所以△ABD是等腰三角形，所以∠ABD=∠ADB，又因为BC=DC，所以△BCD是等腰三角形，所以∠CBD=∠CDB，所以∠ABD+∠CBD=∠ADB+∠CDB，即∠ABC=∠ADC
[例3] 如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，延长CA到E，使AE=AD，求证：ED⊥BC
证明：延长ED交BC于F，因为AB=AC，所以∠B=∠C，又因为AE=AD，所以∠E=∠ADE，又因为∠ADE=∠BDF，所以∠E+∠C=∠BDF+∠B，再利用三角形内角和定理，所以∠EFC=∠EFB，又因为∠EFC+∠EFB=，所以∠EFC∠EFB=，所以ED⊥BC
[例4] 如图，O是△ABC内一点，AO=BO=CO，∠1=∠2，求证：AB=AC
证明：因为AO=BO=CO，所以∠1=∠ABO，∠2=∠ACO，又因为∠1=∠2，所以∠ABO=∠ACO，因为BO=CO，所以∠OBC=∠OCB，所以∠ABO+∠OBC=∠ACO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，所以AB=AC
[例5] 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，且△ABC的周长为，△ABD的周长为，求：AD的长
答案：
解析：因为△ABC的周长为，所以AB+AC+BC=，又因为△ABD的周长为，所以AB+BD+AD=，又根据AB=AC，所以，再利用等腰三角形三线合一，所以得到，所以，这样就可以解出
[例6] 如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC交AB于D，交AC于E，求证：BD+EC=DE
证明：因为∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，所以∠DBF=∠FBC，且∠ECF=∠FCB，又因为DE∥BC，所以∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，所以∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，所以DF=DB，EF=EC，所以BD+EC=DF+EF，即BD+EC=DE
[例7] 如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足为D，求证：∠DBC=∠A
证明：作AE⊥BC于E，因为BD⊥AC，AE⊥BC，所以∠BDC=∠AEC=，根据三角形内角和定理，所以∠EAC+∠C=，∠DBC+∠C=，根据同角的余角相等，所以∠EAC=∠DBC，又因为AB=AC，根据等腰三角形三线合一，所以AE是∠BAC的角平分线，所以∠EAC=∠BAC，即∠DBC=∠A
[例8] 如图，AD是△ABC的角平分线，且AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C
解析：作辅助线，延AB至E使AE=AC，因为AC=AB+BD，所以AE=AB+BD，又因为AE=AB=BE，所以BD=BE，所以∠E=∠BDE，因为AD是△ABC的角平分线，所以∠EAD=∠CAD，且AE=AC，AD=AD，所以△AED≌△ACD，所以∠C=∠E，根据外角定理，所以∠ABD=∠E+∠BDE，所以∠ABD=2∠E，所以得到∠ABE=2∠C，即∠B=2∠C
【模拟试题】
一. 选择题：
1. 等腰三角形的一个角是94°，则腰与底边上的高的夹角为（ ）
A. 43° B. 53° C. 47° D. 90°
2. 等腰三角形周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形底边长（ ）
A. 7cm B. 3cm C. 7cm或3cm D. 5cm
3. 等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形或直角三角形 D. 以上结论都不对
4. 已知等腰三角形的一个外角等于70°，则底角的度数为（ ）
A. 110° B. 55° C. 35° D. 不能确定
5. 等腰三角形一腰上的高与底边所成角为36°，这个等腰三角形的顶角为（ ）
A. 36° B. 72° C. 36°或72° D. 54°
二. 填空题：
1. 如果等腰三角形一个角是45°，那么另外两个角的度数为
2. 等腰三角形一个外角等于110°，则底角的度数是
3. 等腰三角形 互相重合
4. 等腰三角形底边长为10，则其腰长x的范围是
5. 等腰三角形的底边长为5，一腰上中线把这个三角形周长分为两部分，它们的差为3，则腰长为
三. 解答题：
1. 如图，已知AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，F是CD中点，求证：AF⊥CD
2. 如图，CE、CF分别平分∠ACB和∠ACB的外角，EF∥BC交AC于D，求证：DE=DF
【试题答案】
一.
1. C 2. B 3. C 4. C 5. B
二.
1. 45°和90°或67.5°和67.5°
2. 70°或55°
3. 顶角角平分线和底边中线和底边高线
4. 大于5
5. 8
三.
1. 连结AC和AD，证明△ABC≌△AED，得到AC=AD，再利用等腰三角形三线合一
2. 分别证明DE=DC，DF=DC，所以DE=DF