华东师大版九年级上册22.2.5.一元二次方程的根与系数的关系课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
22.2一元二次方程的解法
5、一元二次方程的根与系数的关系
华东师大版九年级上册
学而不疑则怠，疑而不探则空
温故知新
1、不解方程，判别下列方程根的情况：
(1)
x2+4x-3=0
(2)
3y2-4y=0
(3)(x+1)2=x
(4)
3(y2+3y)=2
解：(1)∵b2-4ac=42-4×1×(-3)=28＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)∵b2-4ac=(-4)2-4×3×0=16＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
温故知新
1、不解方程，判别下列方程根的情况：
(3)(x+1)2=x
(4)
3(y2+3y)=2
解：
(3)方程整理为x2+x
+1=0
∵b2-4ac=12-4×1×1=-3＜0，
∴方程没有实数根.
(4)方程整理为3y2+9y-2=0
∵b2-4ac=92-4×3×(-2)=105＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
温故知新
2、用求根公式法解一元二次方程
ax2+bx+c
=0(a≠0)
,
当根的判别式b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，
为x1=
，
x2=
用求根公式法解一元二次方程
x2+px+q
=0
,
当根的判别式p2-4q＞0时，方程有两个不相等的实数根，
为x1=
，x2=
情境引入
小东对好朋友小西说：“昨天妈妈给我出了一个题，我没有做出来，现在考考你，‘已知两个整数的和为28，积为187，求这两个整数.’你能很快算出这两个数吗？”
小西稍微想了一想，很快就得出了正确的结果。你知道他是怎么算的吗？
设x1、x2为一元二次方程ax2+bx+c
=0(a≠0)
的两个实数根，由求根公式可得：
x1+x2=
，
x1·x2=
.
合作探究：
这就是一元二次方程的根与系数的关系.
(称为“韦达定理”).
-
b
a
c
a
课后思考：
x1-x2=？
q
合作探究：
反之，以x1、x2为两根的一元二次方程为x2-(x1+x2)x+x1·x2=0
设x1、x2为一元二次方程x2+px+q=0的两个实数根，根据“韦达定理”，得：
x1+x2=
，x1·x2=
.
-p
应用举例
1、已知关于x的方程x2+mx-20=0的一个根
是-4，求它的另一个根和m的值.
解：设另一根为α，由根与系数的关系可得
-4α=-20，解得α=5.
则-4+5=-m，解得m=-1.
故它的另一个根是5，m的值为-1.
应用举例
1、已知关于x的方程x2+mx-20=0的一个根
是-4，求它的另一个根和m的值.
解法二：
由已知，将x=-4代入方程，
得(-4)2+(-4)m-20=0，解得m=-1.
则方程为x2-x-20=0，解得x1=5，x2=-4.
故它的另一个根是5，m的值为-1.
启示：同学们要善于总结，对于已知一个根的含字母系数的一元二次方程，如何求另一个根及字母系数的值。
2、不解方程，求下列方程两根之和与两根之积：
解:(1)原方程整理得x2-x-12=0.
设x1、x2为方程的两根，则由韦达定理得
x1+x2=1，x1·x2=-12.
(2)原方程整理得2x2+7x-9=0.
设x1、x2为方程的两根，则由韦达定理得
x1+x2=-3.5，x1·x2=-4.5.
2、不解方程，求下列方程两根之和与两根之积：
解:原方程整理得
设x1、x2为方程的两根，则由韦达定理得
3、设α、β为一元二次方程2x2-3x-2=0
的两根，求下列代数式的值：
解：由已知，得α+β=1.5，α·β=-1.
3、设α、β为一元二次方程2x2-3x-2=0
的两根，求下列代数式的值：
解：由(1)、(2)得
4、设α、β为一元二次方程x2+px+q=0(q＜0)
的两根，求出以α、β的倒数为两根的一元二次方程.
解：由已知，得α+β=-p，α·β=q.
5、设α、β为一元二次方程
x2-3x-25=0的
两根，求代数式α3+34β-178的值.
解：由已知，得α+β=3，及α2-3α-25=0，
进而得α2=3α+25.
则α3+34β-178=α(3α+25)+34β-178
=3α2+25α+34β-178
=3(3α+25)+25α+34β-178
=9α+75+25α+34β-178
=34α+34β+75-178
=102+75-178
=-1
6、已知实数a、b满足a2=1-
a
，b2=1-b，
且a≠b，求
的值.
解：由题意得a、b为一元二次方程x2+x-1=0
的两根，由根与系数的关系可得
a+b=-1，a·b=-1.
7、已知关于x的方程x2-(12-m)x+m-1=0
的两个根都是正整数，求m的值.
解：设x1、x2是方程的两个正整数根，
则x1+x2=12-m＞0，x1·x2=m-1＞0，
可得1＜m＜12.
又由Δ≥0，即(12-m)2-4(m-1)≥0，
在2到7的整数中，只有6、7代入Δ才能得到完全平方数16和1，故m的值为6或7.
拓展空间
★若整数m使方程x2-mx+m+2019=0的根为非零
整数，则这样的整数m的个数为多少？
解:设该方程的两根为x1、x2，则x1+x2=m，
x1·x2=m+2019，进而可得x1·x2=x1+x2+2019，
变形得x1·x2-x1-x2+1=2020，即(x1-1)(x2-1)
=2020.由x1、x2为非零整数可得(x1-1)(x2-1)
=2020=1×2020=2×1010=4×505=5×404
=10×202=20×101=(-1)×(-2020)=(-2)×
(-1010)=(-4)×(-505)=(-5)×(-404)=(-10)×
(-202)=(-20)×(-101).在这12种情况中，
(-1)×(-2020)不能满足使解为非零整数，
故这样的整数m有11个。
知识小结
本节课要掌握：
若x1、x2为一元二次方程ax2+bx+c
=0(a≠0)
的两个实数根，则x1+x2=
，x1·x2=
一元二次方程的根与系数的关系及应用.
设x1、x2为一元二次方程x2+p·x+q
=0的两个实数根，得：x1+x2=-p
，x1·x2=
q
.
反之，以x1、x2为两根的一元二次方程为
x2-(x1+x2)x+x1·x2
=0.
1、认真完成导学案的“课后练习题案”.
或完成课本P35的练习题、P36习题的10、11.
2、思考：
(1)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).
当a、b、c满足什么条件时，方程的两根互为相反数？当a、b、c满足什么条件时，方程的两根互为倒数？
课后作业
思考：
(2)已知a＜0，b＞0，且a2+5a=
=1,
求代数式
的值。
【提示：
】