§19.1一元二次方程
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文档简介
§20.1一元二次方程
一、教学目标：
知识与技能：了解一元二次方程的一般形式，熟练地将相关方程写成一元二次方程的一般形式，准确确定一般形式中的
过程与方法：经历一元二次方程的发现与归纳过程，运用类比和化归的思想方法学习和探索新知。
情感、态度与价值观：通过数学活动进一步促进数学思维的形成，理解“特殊与一般”的辩证关系，进而提升思维品质。
二、教学重、难点：
重点：一元二次方程的归纳和一般形式的确定。
难点：准确确定一元二次方程一般形式下的
三、教材分析：
一元二次方程是初中阶段的第二种“基础方程”，是在一元一次方程基础上的进一步延伸。一元二次方程不但是重要的求值工具，而且其解法中的开平方法、配方法、因式分解法及根的判别式、根与系数的关系所蕴涵的数学思想和方法极其重要。
要熟练掌握一元二次方程的解法，必须对一元二次方程的一般形式有准确的认识，因此准确理解一元二次方程概念，准确确认一般形式中的是学好一元二次方程的重要前提。
四、教学设计：
教学流程：活动一 一元二次方程定义 巩固练习 活动二 一般形式
应用举例 课堂练习 课堂小结 作业
教学过程：(一)一元二次方程定义
活 动一：⑴谁知道“无公害蔬菜”是怎么回事？猜想一下这个词产生的背景……（ⅰ）
⑵P40“问题1”某地为增加农民收入，需要调整农作物种植结构，计划2007年无公害蔬菜的产量比2005年翻一番。要实现这一目标，问：
这两年间无公害蔬菜产量的总增长率是多少？……（ⅱ）
2006和2007年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？
这两个问题中的增长率有区别么？尝试列方程加以说明，并尝试化简，你所列的两个方程是同一种方程么？
学 生：思考，交流，列式，回答（分组思考，学生上黑板板演）。
师 生：辨析，引导 无公害蔬菜与绿色食品；翻一番；单位1与辅助字母……
结 论：⑴涉及百分比（增减率）问题关键弄清“单位1”是谁。
⑵年平均增长率与总增长率是有区别的！由于单位1的变化不能简单的将第一问的总增长率二等分。
⑶方程分别为：与。
即：与
前为一元一次方程，后为一元二次方程（对比引发归纳定义——尽量由学生完成）。
定 义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程
——quadratic equaion with one unknow.
设计说明：（ⅰ）无公害蔬菜的问题关联了“问题1”，同时拓展了数学课的外延，加强了学生对绿色和无公害的重要性的认知。目的是贴近社会热点和生活，从而引起学生兴趣，吸引学生的注意力，避开数学课“由数学到数学”的乏味怪圈，还数学的本质与血肉 ——数学是源于生活而又服务于生活的。
（ⅱ）加问这一问题是为了突破学生对增减率的惯性认知，为递增（减）率的学习提供铺垫，引起学生认知冲突（不少学生看到第二问的“平均”会去用第一问的增长率去二等分），引发学生反省——“思考再思考”来发现总增（减）率与递增（减）率的区别；同时也是有意构造出一个一元一次方程，为一元二次方程的概念的对比归纳埋下伏笔。
巩固练习：P41练习1.判断下列方程中，哪些是一元二次方程？（投影、口答、追问理由）
⑴ ⑶ ⑷ ⑹
结 论：三关键——一元、二次、整式方程！
(二)一元二次方程的一般形式
活 动二：快速抢答P41练习1.⑵是几元几次方程？谈谈你的理由……（ⅲ）
学 生：思考，交流，抢答。
师 生：辨析，引导 先整理再判断！（基本上可以由学生争论得出）。
结 论：看问题应看实质，不要被表面现象所迷惑（引出“一般形式”的话题）。
一般形式：形如的方程叫一元二次方程的一般形式或标准形式。其中叫二次项，是二次项系数；叫一次项，是一次项系数；叫常数项。
说 明：⑴代数中的规范表达采用了前面我们学过的多项式的降幂排列形式，使人一目了然，应养成习惯。 谁能快速说出一元三次方程的一般形式……（ⅳ）
⑵为什么要（学生可以完成）。
设计说明：（ⅲ）此练习的抽入是为引起向一般形式的过渡和思考。
（ⅳ）适时适度巩固拓展，发现规律。
(三)应用举例
P41“例”把方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
学 生：对比板演。
师 生：辨析，点评。
结 论：⑴一般形式：二次项系数是3，一次项系数是，常数项是8。
⑵注意：项及系数是带符号的，如一次项是！一次项系数是而非5！！
(四)课堂练习——分题投影
1.牛刀小试：p42练习2.指出下列方程中的……（ⅴ）
⑴ ⑵
⑶ ⑷
2.生活中的一元二次方程——列出方程后，将方程转化成标准形式（不求解）。
⑴P40“问题2”在一块宽20m、长32m
的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路
（两纵一横，纵向与横向垂直），把矩形
空地分成6块建成小花坛。要使花坛总
面积为570，问小路的宽应为多少？
……（ⅵ）
⑵P42练习3.将48张桌子排成若干行，且每行的桌子数目相同，已知每一行的桌子数比总行数多2，求这些桌子排了多少行？
3.打开思维：
⑴P41练习1.第五小题：是一元二次方程么？说说你的看法……(ⅶ)
⑵P42练习4.下面哪些数是方程的根？你有什么发现 ……（ⅷ）
0, 1, 2, 3.
设计说明：（ⅴ）此处拿掉文字说明，改为直接确定是为了加深学生对字母系数的关注，为后面的解法等知识点的学习做准备，同时这几道题的讲解应突出各系数的符号性及方程两边可同时乘使二次项系数为正数为要点。
（ⅵ）“问题2”原来的作用是想与“问题1”一起来归纳一元二次方程定义，但经过对“问题1”的处理，学生已经能通过“问题1”两个方程的对比认知一元二次方程的定义；其次从认知心理学的角度来说，学生的注意力在开课后8——10分钟达到峰值，所以将“问题2”后置于练习，与“练习3”一并。
在“问题2”的练习时应让学生大胆思考回答，力争从多角度加以解读，特别是从图形的平移的角度应作为重点加以突破。
(ⅶ)此题单独抽出是基于它的多种解读途径：一是突出对二次项系数的理解；二是对多字母在没有确定谁是未知数时的思考的严密性的锻炼（也可以是未知数！）。
（ⅷ）后面一问的添加是为了强化本题的承上启下（由概念过渡到下节的解法）的作用。
（五）课堂小结
投影：⑴今天我们见到了哪种新方程？它的一般形式是怎样的？为什么？
其他种类的一元整式方程的一般形式会写了么？
⑵如何确定？哪儿容易出错？
⑶总增（减）率和递增（减）率的区别关键是什么？
⑷学习中应注意类比与转化思想的运用！
（六）作业：P42习题20.1 1、2、3.
有兴趣了解一元二次方程的解法的同学可以适当预习20.2。
五、板书设计:
左侧：标题、定义、要点、注意事项 中、右侧：例题、练习、解答
六、教学设计说明：
1、关注课堂引入，化有痕为无痕，直接关注学生生活体验和热点，力争信手拈来，短小精悍。
2、关注学生认知前区，注意渗透类比，自然促成认知矛盾，激发探索兴趣，提供探索平台，促成结果发现，体验成功，养成习惯，增强信心。
3、关注练习的对应性和典型性。
4、关注适度延展，承接认知后区。
5、注意积极评价，分层提问。
6、整合教材，因地制宜地进行裁剪与增补，要有用教材的意识！
备注与共勉：适宜的才是最好的，不要追求千篇一律。一定要关注自己的学生的发展情况，在宏观上依据新课标所提出的理念进行适当整合。教材是载体是平台，是学生学会学习、学会思考、学会创新的原料。
一、教学目标：
知识与技能：了解一元二次方程的一般形式，熟练地将相关方程写成一元二次方程的一般形式，准确确定一般形式中的
过程与方法：经历一元二次方程的发现与归纳过程，运用类比和化归的思想方法学习和探索新知。
情感、态度与价值观：通过数学活动进一步促进数学思维的形成，理解“特殊与一般”的辩证关系，进而提升思维品质。
二、教学重、难点：
重点：一元二次方程的归纳和一般形式的确定。
难点：准确确定一元二次方程一般形式下的
三、教材分析：
一元二次方程是初中阶段的第二种“基础方程”，是在一元一次方程基础上的进一步延伸。一元二次方程不但是重要的求值工具，而且其解法中的开平方法、配方法、因式分解法及根的判别式、根与系数的关系所蕴涵的数学思想和方法极其重要。
要熟练掌握一元二次方程的解法，必须对一元二次方程的一般形式有准确的认识，因此准确理解一元二次方程概念，准确确认一般形式中的是学好一元二次方程的重要前提。
四、教学设计：
教学流程：活动一 一元二次方程定义 巩固练习 活动二 一般形式
应用举例 课堂练习 课堂小结 作业
教学过程：(一)一元二次方程定义
活 动一：⑴谁知道“无公害蔬菜”是怎么回事？猜想一下这个词产生的背景……（ⅰ）
⑵P40“问题1”某地为增加农民收入，需要调整农作物种植结构，计划2007年无公害蔬菜的产量比2005年翻一番。要实现这一目标，问：
这两年间无公害蔬菜产量的总增长率是多少？……（ⅱ）
2006和2007年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？
这两个问题中的增长率有区别么？尝试列方程加以说明，并尝试化简，你所列的两个方程是同一种方程么？
学 生：思考，交流，列式，回答（分组思考，学生上黑板板演）。
师 生：辨析，引导 无公害蔬菜与绿色食品；翻一番；单位1与辅助字母……
结 论：⑴涉及百分比（增减率）问题关键弄清“单位1”是谁。
⑵年平均增长率与总增长率是有区别的！由于单位1的变化不能简单的将第一问的总增长率二等分。
⑶方程分别为：与。
即：与
前为一元一次方程，后为一元二次方程（对比引发归纳定义——尽量由学生完成）。
定 义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程
——quadratic equaion with one unknow.
设计说明：（ⅰ）无公害蔬菜的问题关联了“问题1”，同时拓展了数学课的外延，加强了学生对绿色和无公害的重要性的认知。目的是贴近社会热点和生活，从而引起学生兴趣，吸引学生的注意力，避开数学课“由数学到数学”的乏味怪圈，还数学的本质与血肉 ——数学是源于生活而又服务于生活的。
（ⅱ）加问这一问题是为了突破学生对增减率的惯性认知，为递增（减）率的学习提供铺垫，引起学生认知冲突（不少学生看到第二问的“平均”会去用第一问的增长率去二等分），引发学生反省——“思考再思考”来发现总增（减）率与递增（减）率的区别；同时也是有意构造出一个一元一次方程，为一元二次方程的概念的对比归纳埋下伏笔。
巩固练习：P41练习1.判断下列方程中，哪些是一元二次方程？（投影、口答、追问理由）
⑴ ⑶ ⑷ ⑹
结 论：三关键——一元、二次、整式方程！
(二)一元二次方程的一般形式
活 动二：快速抢答P41练习1.⑵是几元几次方程？谈谈你的理由……（ⅲ）
学 生：思考，交流，抢答。
师 生：辨析，引导 先整理再判断！（基本上可以由学生争论得出）。
结 论：看问题应看实质，不要被表面现象所迷惑（引出“一般形式”的话题）。
一般形式：形如的方程叫一元二次方程的一般形式或标准形式。其中叫二次项，是二次项系数；叫一次项，是一次项系数；叫常数项。
说 明：⑴代数中的规范表达采用了前面我们学过的多项式的降幂排列形式，使人一目了然，应养成习惯。 谁能快速说出一元三次方程的一般形式……（ⅳ）
⑵为什么要（学生可以完成）。
设计说明：（ⅲ）此练习的抽入是为引起向一般形式的过渡和思考。
（ⅳ）适时适度巩固拓展，发现规律。
(三)应用举例
P41“例”把方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
学 生：对比板演。
师 生：辨析，点评。
结 论：⑴一般形式：二次项系数是3，一次项系数是，常数项是8。
⑵注意：项及系数是带符号的，如一次项是！一次项系数是而非5！！
(四)课堂练习——分题投影
1.牛刀小试：p42练习2.指出下列方程中的……（ⅴ）
⑴ ⑵
⑶ ⑷
2.生活中的一元二次方程——列出方程后，将方程转化成标准形式（不求解）。
⑴P40“问题2”在一块宽20m、长32m
的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路
（两纵一横，纵向与横向垂直），把矩形
空地分成6块建成小花坛。要使花坛总
面积为570，问小路的宽应为多少？
……（ⅵ）
⑵P42练习3.将48张桌子排成若干行，且每行的桌子数目相同，已知每一行的桌子数比总行数多2，求这些桌子排了多少行？
3.打开思维：
⑴P41练习1.第五小题：是一元二次方程么？说说你的看法……(ⅶ)
⑵P42练习4.下面哪些数是方程的根？你有什么发现 ……（ⅷ）
0, 1, 2, 3.
设计说明：（ⅴ）此处拿掉文字说明，改为直接确定是为了加深学生对字母系数的关注，为后面的解法等知识点的学习做准备，同时这几道题的讲解应突出各系数的符号性及方程两边可同时乘使二次项系数为正数为要点。
（ⅵ）“问题2”原来的作用是想与“问题1”一起来归纳一元二次方程定义，但经过对“问题1”的处理，学生已经能通过“问题1”两个方程的对比认知一元二次方程的定义；其次从认知心理学的角度来说，学生的注意力在开课后8——10分钟达到峰值，所以将“问题2”后置于练习，与“练习3”一并。
在“问题2”的练习时应让学生大胆思考回答，力争从多角度加以解读，特别是从图形的平移的角度应作为重点加以突破。
(ⅶ)此题单独抽出是基于它的多种解读途径：一是突出对二次项系数的理解；二是对多字母在没有确定谁是未知数时的思考的严密性的锻炼（也可以是未知数！）。
（ⅷ）后面一问的添加是为了强化本题的承上启下（由概念过渡到下节的解法）的作用。
（五）课堂小结
投影：⑴今天我们见到了哪种新方程？它的一般形式是怎样的？为什么？
其他种类的一元整式方程的一般形式会写了么？
⑵如何确定？哪儿容易出错？
⑶总增（减）率和递增（减）率的区别关键是什么？
⑷学习中应注意类比与转化思想的运用！
（六）作业：P42习题20.1 1、2、3.
有兴趣了解一元二次方程的解法的同学可以适当预习20.2。
五、板书设计:
左侧：标题、定义、要点、注意事项 中、右侧：例题、练习、解答
六、教学设计说明：
1、关注课堂引入，化有痕为无痕，直接关注学生生活体验和热点，力争信手拈来，短小精悍。
2、关注学生认知前区，注意渗透类比，自然促成认知矛盾，激发探索兴趣，提供探索平台，促成结果发现，体验成功，养成习惯，增强信心。
3、关注练习的对应性和典型性。
4、关注适度延展，承接认知后区。
5、注意积极评价，分层提问。
6、整合教材，因地制宜地进行裁剪与增补，要有用教材的意识！
备注与共勉：适宜的才是最好的，不要追求千篇一律。一定要关注自己的学生的发展情况，在宏观上依据新课标所提出的理念进行适当整合。教材是载体是平台，是学生学会学习、学会思考、学会创新的原料。