25.4圆周角 （第一课时）
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课 题 25.4圆周角 （第一课时）
教学目标 （1）通过本节的学习，理解圆周角的概念，掌握圆周角的性质；（2）准确运用圆周角性质进行简单的计算和证明；（3）由圆周角与圆心角的关系的探索，渗透化归和分类讨论的思想．
教材分析 内容分析 圆周角是圆中又一个基本概念，学习了圆心角与圆周角以后，我们就可以据此研究与圆有关的其他各种角，如顶点在圆外、两边与圆相交的角以及顶点在圆内的角等． 教材通过归纳、类比，总结出在同圆或等圆中圆周角与圆心角之间关系定理，本节课是进一步学习圆周角定理的两个推论的基础；同时也是圆中有关角的计算和圆中有关问题的证明提供必备知识。
教学重点 圆周角的定义和圆周角的性质定理．
教学难点 圆周角定理的证明．
教学方法 启发式和探究式教学法．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
引入 通过对圆中有关知识的学习，我们知道了什么叫圆心角．如图，（1）∠BOC是什么角？这个角有何特点？（2）延长BO交⊙O于A点，连接AC，∠BAC这个角有何特征？(与圆心角概念类比，得到圆周角定义) 问学生回答；( ... )问学生讨论并概括．( ... ) 复习旧知，提出问题，启发学生对圆周角有个初步了解。这种类比教学能让学生更深刻了解圆心角和圆周角的区别，从而加深学生对圆周角概念的了解和掌握．
新课讲解新课讲解 【板书1：24.5 圆周角】【板书2：圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角．特征：（1）顶点在圆周上；（2）角的两边都和圆相交．】我们今天来学习圆周角和圆周角的性质．探究1:（1）上图中弧BC所对的圆心角有几个？(1个)（2）弧BC所对的圆周角又有多少个？画画看。(无数个) （通过图形演示，观察得出结论）探究2：上图中弧BC所对的圆周角与它所对的圆心角之间有何关系 通过测量猜猜看．（在学生测量的基础上再通过图形演示，猜想圆周角的性质）【板书3：猜想：弧BC所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．】 【板书4：已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC， 求证：∠BAC= ∠BOC．】 分析：通过利用几何画板对图形的演示，指导学生对圆周角的分类。（有三种情况：圆心O在∠BAC的一边上； 圆心O在∠BAC的内部；圆心O在∠BAC的外部． 如果圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．如果圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将问题化为（1）即可．）【板书5：证明:如图(1)圆心O在∠BAC的一条边上 ∵ OA=OC ∴∠C=∠BAC又∵∠BOC=∠BAC+∠C ∴∠BAC=∠BOC. 如图(2) 圆心O在∠BAC的内部；如图(3) 圆心O在∠BAC的外部．】（ 详细证明过程由学生上黑板书写．）【板书6：：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．】（小结：以上证明包含了分类讨论与转化的数学思想，为什么要分类？是因为一段弧所对的圆周角有无限多个，不可能对每个圆周角与圆心角的关系一一证明，此时必须对无限个圆周角进行分类，化无限为有限．） （1）问学生看图回答；( ...)(2) 问学生画图回答．( ...)分组测量并回答结论．( ...)学生在纸上写出已知、求证、证明并回答．( ...)学生分组讨论圆心和圆周的关系并回答．( ...)...学生在纸上书写另外两种情况的证明过程． 总结圆周角的特征，培养学生概括力。为圆周角定义的得出做好准备．通过问题的层层递进，引导学生通过观察和动手实践等活动获取数学知识．通过学生的动手实践得出圆周角性质的猜想．教师引导学生通过观察、实践获得知识，形成技能，发展思维，进一步体验数学中的分类思想和化归思想．锻炼学生的书面表达能力．
例题讲解 【板书7：例1 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC 】分析: ∠AOB和∠ACB都对着弧AB, ∠BOC和∠BAC都对着弧BC,因此,根据圆周角定理可得出它们之间的关系．【板书8证明：∵∠ACB= ∠AOB ∠BAC= ∠BOC 又∵∠AOB=2∠BOC ∴∠ACB=2∠BAC 】 学生分组讨论并口述证明过程．( ...) 通过例题的讲解，让学生对所学知识巩固和加深．
课堂练习 基础知识训练1.若圆周角等于40０，那么它所对的圆心角是 ；若圆心角是100０，则它所对的弧所对的圆周角是 ．2.半圆所对的圆周角是 ，直径所对的圆周角是 ．3．下列说法正确的是（ ）A顶点在圆上的角是圆周角 B等弦所对的圆周角相等C等弧所对的圆周角相等 D 90度的角所对的弦是直径4.圆的一条弦等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ）A 30０ B 60０ C 150０ D 30０或150０ 能力提升训练5.已知：如图所示，∠ADC＝∠CDB＝60０，求证：△ABC是等边三角形．（ 详细证明过程由学生上黑板书写．） 学生独立思考并回答1、2、3、4。( ...)问题（5）学生分组讨论并书写证明过程． 课堂练习让学生对所学知识进一步加深巩固；同时检测学生对所学知识掌握成度．
课堂小结 1、本节课我们学习了哪些知识？2、本节课的学习中渗透了哪些数学思想？（本节课所学知识：1、圆周角的定义和特征；2、圆周角的性质定理和应用；本节课渗透数学思想：类比，化归，分类等思想．） 培养学生概括能力．
课时作业 教科书29页1、2、3；教科书31页1、2．
板书设计 板书1：24.5 圆周角板书2： 板书4： 板书7： 板书5： 板书8：板书3： 板书6：
教学设计说 明 在学生的最近发展区内进行教学． 如圆周角的概念是在学生已掌握的圆心角基础上进行教学，通过类比圆心角的定义自然引出圆周角的定义．2、重视学习方式的多样化．在探讨、交流、分析中获得数学概念和结论．重视数学知识的形成过程，让学生在自然、合理的过程中领悟知识，感受学习快乐．发现一条弧对着无数个圆周角，不可能逐一证明，怎么办呢？能否把问题分成几种情况？（学生讨论）4、习题设计不仅要注重变式也要多设陷阱．
备 注 本课例讲解的是圆周角教学的第1课时，教材中涉及的例题和推论部分安排在第2课时．
A
C
B
·O
A
C
B
·O
A1
A2
A3
教学目标 （1）通过本节的学习，理解圆周角的概念，掌握圆周角的性质；（2）准确运用圆周角性质进行简单的计算和证明；（3）由圆周角与圆心角的关系的探索，渗透化归和分类讨论的思想．
教材分析 内容分析 圆周角是圆中又一个基本概念，学习了圆心角与圆周角以后，我们就可以据此研究与圆有关的其他各种角，如顶点在圆外、两边与圆相交的角以及顶点在圆内的角等． 教材通过归纳、类比，总结出在同圆或等圆中圆周角与圆心角之间关系定理，本节课是进一步学习圆周角定理的两个推论的基础；同时也是圆中有关角的计算和圆中有关问题的证明提供必备知识。
教学重点 圆周角的定义和圆周角的性质定理．
教学难点 圆周角定理的证明．
教学方法 启发式和探究式教学法．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
引入 通过对圆中有关知识的学习，我们知道了什么叫圆心角．如图，（1）∠BOC是什么角？这个角有何特点？（2）延长BO交⊙O于A点，连接AC，∠BAC这个角有何特征？(与圆心角概念类比，得到圆周角定义) 问学生回答；( ... )问学生讨论并概括．( ... ) 复习旧知，提出问题，启发学生对圆周角有个初步了解。这种类比教学能让学生更深刻了解圆心角和圆周角的区别，从而加深学生对圆周角概念的了解和掌握．
新课讲解新课讲解 【板书1：24.5 圆周角】【板书2：圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角．特征：（1）顶点在圆周上；（2）角的两边都和圆相交．】我们今天来学习圆周角和圆周角的性质．探究1:（1）上图中弧BC所对的圆心角有几个？(1个)（2）弧BC所对的圆周角又有多少个？画画看。(无数个) （通过图形演示，观察得出结论）探究2：上图中弧BC所对的圆周角与它所对的圆心角之间有何关系 通过测量猜猜看．（在学生测量的基础上再通过图形演示，猜想圆周角的性质）【板书3：猜想：弧BC所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．】 【板书4：已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC， 求证：∠BAC= ∠BOC．】 分析：通过利用几何画板对图形的演示，指导学生对圆周角的分类。（有三种情况：圆心O在∠BAC的一边上； 圆心O在∠BAC的内部；圆心O在∠BAC的外部． 如果圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．如果圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将问题化为（1）即可．）【板书5：证明:如图(1)圆心O在∠BAC的一条边上 ∵ OA=OC ∴∠C=∠BAC又∵∠BOC=∠BAC+∠C ∴∠BAC=∠BOC. 如图(2) 圆心O在∠BAC的内部；如图(3) 圆心O在∠BAC的外部．】（ 详细证明过程由学生上黑板书写．）【板书6：：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．】（小结：以上证明包含了分类讨论与转化的数学思想，为什么要分类？是因为一段弧所对的圆周角有无限多个，不可能对每个圆周角与圆心角的关系一一证明，此时必须对无限个圆周角进行分类，化无限为有限．） （1）问学生看图回答；( ...)(2) 问学生画图回答．( ...)分组测量并回答结论．( ...)学生在纸上写出已知、求证、证明并回答．( ...)学生分组讨论圆心和圆周的关系并回答．( ...)...学生在纸上书写另外两种情况的证明过程． 总结圆周角的特征，培养学生概括力。为圆周角定义的得出做好准备．通过问题的层层递进，引导学生通过观察和动手实践等活动获取数学知识．通过学生的动手实践得出圆周角性质的猜想．教师引导学生通过观察、实践获得知识，形成技能，发展思维，进一步体验数学中的分类思想和化归思想．锻炼学生的书面表达能力．
例题讲解 【板书7：例1 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC 】分析: ∠AOB和∠ACB都对着弧AB, ∠BOC和∠BAC都对着弧BC,因此,根据圆周角定理可得出它们之间的关系．【板书8证明：∵∠ACB= ∠AOB ∠BAC= ∠BOC 又∵∠AOB=2∠BOC ∴∠ACB=2∠BAC 】 学生分组讨论并口述证明过程．( ...) 通过例题的讲解，让学生对所学知识巩固和加深．
课堂练习 基础知识训练1.若圆周角等于40０，那么它所对的圆心角是 ；若圆心角是100０，则它所对的弧所对的圆周角是 ．2.半圆所对的圆周角是 ，直径所对的圆周角是 ．3．下列说法正确的是（ ）A顶点在圆上的角是圆周角 B等弦所对的圆周角相等C等弧所对的圆周角相等 D 90度的角所对的弦是直径4.圆的一条弦等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ）A 30０ B 60０ C 150０ D 30０或150０ 能力提升训练5.已知：如图所示，∠ADC＝∠CDB＝60０，求证：△ABC是等边三角形．（ 详细证明过程由学生上黑板书写．） 学生独立思考并回答1、2、3、4。( ...)问题（5）学生分组讨论并书写证明过程． 课堂练习让学生对所学知识进一步加深巩固；同时检测学生对所学知识掌握成度．
课堂小结 1、本节课我们学习了哪些知识？2、本节课的学习中渗透了哪些数学思想？（本节课所学知识：1、圆周角的定义和特征；2、圆周角的性质定理和应用；本节课渗透数学思想：类比，化归，分类等思想．） 培养学生概括能力．
课时作业 教科书29页1、2、3；教科书31页1、2．
板书设计 板书1：24.5 圆周角板书2： 板书4： 板书7： 板书5： 板书8：板书3： 板书6：
教学设计说 明 在学生的最近发展区内进行教学． 如圆周角的概念是在学生已掌握的圆心角基础上进行教学，通过类比圆心角的定义自然引出圆周角的定义．2、重视学习方式的多样化．在探讨、交流、分析中获得数学概念和结论．重视数学知识的形成过程，让学生在自然、合理的过程中领悟知识，感受学习快乐．发现一条弧对着无数个圆周角，不可能逐一证明，怎么办呢？能否把问题分成几种情况？（学生讨论）4、习题设计不仅要注重变式也要多设陷阱．
备 注 本课例讲解的是圆周角教学的第1课时，教材中涉及的例题和推论部分安排在第2课时．
A
C
B
·O
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C
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A2
A3