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突破2.1等式的性质与不等式的性质
一、考情分析
二、经验分享
重难点1
一元一次函数与一元一次不等式
1、形如y=kx+b(k≠0)的函数叫做一次函数。
（1）它的图象是一条斜率为k，过点（0，b）的直线；（2）k>0是增函数；k<0是减函数。
2、一元一次不等式ax>b的解的情况：
（1）当a>0时，；（2）当a<0时，；（3）当a=0时，i)
若b≤0，则取所有实数；ii)
若b>0，则无解。
3、一次函数y=kx+b（k≠0，b≠0）的图象所经过的象限有四种情况：
①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k<0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k<0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
一次函数y=kx+b
(k≠0)中，|k|越大，直线y=kx+b越靠近y轴，即直线与x轴正半轴的夹角越大；|k|越小，直线y=kx+b越靠近x轴，即直线与x轴的夹角越小
重难点2
分式方程、分式不等式
1、分式方程的解法
①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法．
(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．
说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法．
2、分式不等式的解法：
?分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解．
3、可化为一元二次方程的分式方程
1．去分母化分式方程为一元二次方程；2．用换元法化分式方程为一元二次方程
简单分式不等式的解法
重难点3
二次函数、一元二次方程与一元二次不等式
一般式
二次函数
一元二次方程[
一元二次不等式
图像与解
或
无解
无解
R
无解
表中，
2、恒成立
恒成立
重难点4
绝对值不等式
1、a>0时，
①；②或x>a
2、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号．
对于形如和的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得
或；．
三、题型分析
(一)
利用不等式的性质判断命题真假
1.不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b?b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c.(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc.(5)加法法则：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.(7)乘方法则：a＞b＞0?an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．
例1．（2020·重庆市育才中学高一期末）已知，，那么下列命题正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
对于选项,，因为，所以，所以，所以该选项正确；
对于选项，，如：则分母小于零，如：，则分母大于零，所以差的符号不能确定，所以该选项不正确；
对于选项，，如：则分母小于零，如：，则分母大于零，所以差的符号不能确定，所以该选项不正确；
对于选项，，差的符号不能确定，所以该选项不正确.
故选：A.
【变式训练1】．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高二月考（文））下列不等式中，正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】A
【解析】若，则,故B错，
设,则，所以C、D错，故选A
(二)
比较大小
a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a例2．（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））已知，那么下列不等式中成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由不等式的性质可知，若，
则：
，，，
.故选：C.
【变式训练1】．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高二月考（文））下列不等式中，正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】A
【解析】若，则,故B错，
设,则，所以C、D错，故选A
【变式训练2】．（2020·安徽省舒城中学高二月考（理））设，，则的大小关系为__________．
【答案】
【解析】，，
因为，所以，即.故答案为:
.
(三)
绝对值不等式与分式不等式
例3．（2020·长春市第二十九中学高二期中（文））不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为，，解得，
故选：B.
【变式训练1】．（2020·黑龙江省鹤岗一中高一期末（文））如果关于的不等式的解集不是空集，则参数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题得|x-3|+|x-4|＜a有解，由绝对值三角不等式得|x-3|+|x-4|≥|x-3-x+4|=1，
所以|x-3|+|x-4|的最小值为1，所以1＜a,即a＞1.故选：A
(四)
一元一次不等式与二次不等式
例4．（2020·贵州省高二学业考试）不等式的解集是（
）
A．
B．或
C．
D．或
【答案】B
【解析】与不等式对应的一元二次函数为：，
如图函数开口向上，与轴的交点为：，，
可得不等式的解集为：或.故选：B
【变式训练1】．（2020·四川省高一期末）不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，不等式，可化为，解得，
即不等式的解集为.故选：A.
【变式训练2】．（2020·浙江省高一期末）不等式的解集是（
）
A．或
B．或
C．
D．
【答案】C
【解析】由得：，
，，即不等式的解集为，故选：C
【变式训练3】．（2020·河南省高三其他（理））关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题可知是不等式的解集的一个真子集.
当时，不等式的解集为，此时；
当时，不等式的解集为，
，合乎题意；
当时，不等式的解集为，
由题意可得，此时.综上所述，.故选：D.
四、迁移应用
1．（2020·全国高一）已知，那么a，b，，的大小关系是______．（用“”号连接）
【答案】
【解析】∵，，
，即．故答案为：.
2．（2020·河北省博野中学高一开学考试）不等式的解集为____________．
【答案】
【解析】由得，
所以不等式的解集为．故答案为：.
3．（2020·上海高一课时练习）关于x的不等式的解集为则________，________．
【答案】
1
【解析】因为不等式的解集为，
所以方程的两根分别为，，故由韦达定理可得.
故答案为：；1.
4．（2020·四川省高一月考（理））解下列两个关于x的不等式：
（1）；
（2）
【答案】（1）或；（2）．
【解析】
（1），∴，解得或，
故不等式的解集为或．
（2）易得，解得，
故不等式的解集为．
x
y
O
x1
x2
x
y
O
x0
x
y
O
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突破2.1等式的性质与不等式的性质
一、考情分析
二、经验分享
重难点1
一元一次函数与一元一次不等式
1、形如y=kx+b(k≠0)的函数叫做一次函数。
（1）它的图象是一条斜率为k，过点（0，b）的直线；（2）k>0是增函数；k<0是减函数。
2、一元一次不等式ax>b的解的情况：
（1）当a>0时，；（2）当a<0时，；（3）当a=0时，i)
若b≤0，则取所有实数；ii)
若b>0，则无解。
3、一次函数y=kx+b（k≠0，b≠0）的图象所经过的象限有四种情况：
①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k<0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k<0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
一次函数y=kx+b
(k≠0)中，|k|越大，直线y=kx+b越靠近y轴，即直线与x轴正半轴的夹角越大；|k|越小，直线y=kx+b越靠近x轴，即直线与x轴的夹角越小
重难点2
分式方程、分式不等式
1、分式方程的解法
①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法．
(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．
说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法．
2、分式不等式的解法：
?分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解．
3、可化为一元二次方程的分式方程
1．去分母化分式方程为一元二次方程；2．用换元法化分式方程为一元二次方程
简单分式不等式的解法
重难点3
二次函数、一元二次方程与一元二次不等式
一般式
二次函数
一元二次方程[
一元二次不等式
图像与解
或
无解
无解
R
无解
表中，
2、恒成立
恒成立
重难点4
绝对值不等式
1、a>0时，
①；②或x>a
2、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号．
对于形如和的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得
或；．
三、题型分析
(一)
利用不等式的性质判断命题真假
1.不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b?b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c.(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc.(5)加法法则：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.(7)乘方法则：a＞b＞0?an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．
例1．（2020·重庆市育才中学高一期末）已知，，那么下列命题正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高二月考（文））下列不等式中，正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
(二)
比较大小
a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a例2．（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））已知，那么下列不等式中成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高二月考（文））下列不等式中，正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【变式训练2】．（2020·安徽省舒城中学高二月考（理））设，，则的大小关系为__________．
(三)
绝对值不等式与分式不等式
例3．（2020·长春市第二十九中学高二期中（文））不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．（2020·黑龙江省鹤岗一中高一期末（文））如果关于的不等式的解集不是空集，则参数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
(四)
一元一次不等式与二次不等式
例4．（2020·贵州省高二学业考试）不等式的解集是（
）
A．
B．或
C．
D．或
【变式训练1】．（2020·四川省高一期末）不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】．（2020·浙江省高一期末）不等式的解集是（
）
A．或
B．或
C．
D．
【变式训练3】．（2020·河南省高三其他（理））关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
四、迁移应用
1．（2020·全国高一）已知，那么a，b，，的大小关系是______．（用“”号连接）
2．（2020·河北省博野中学高一开学考试）不等式的解集为____________．
3．（2020·上海高一课时练习）关于x的不等式的解集为则________，________．
4．（2020·四川省高一月考（理））解下列两个关于x的不等式：
（1）；
（2）
x
y
O
x1
x2
x
y
O
x0
x
y
O
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