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突破2.2
基本不等式课时训练
【基础巩固】
1．（2019·全国高一课时练习）已知，则的最小值为（
)
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【解析】由题意，因为，则，所以，
当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为5，故选C．
2．（2019·全国高一课时练习）若，则下列不等式成立的是（
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】特殊值法：令
作差法：，又均值不等式，所以正确选项为B
3．（2019·全国高一课时练习）已知正数满足，则的最小值是
(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：C.
4
.已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2
B.＋≥2
C.≥2
D.≥
【答案】D
【解析】 (1)由≥得a＋b＝2，∴A成立；∵＋≥2＝2，∴B成立；
∵≥＝2，∴C成立；∵≤＝，∴D不一定成立．
5．已知函数在时取得最小值，则
．
【答案】
【解析】因为，，当且仅当，即，解得．
6．若实数满足，则的最大值是
．
【答案】
【解析】∵，∴，即，∴，．
7．设，则的最小值为
．
【答案】9
【解析】由柯西不等式可知．
8．（2019·全国高一课时练习）已知，，则的最小值为_______________；
【答案】
【解析】采用常数1的替换，，当即时等号成立，所以答案为。
9．已知正数、满足，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】，所以，，
则，
所以，，当且仅当，即当时，等号成立，
因此，的最小值为，故选．
10．（2019·全国高一课时练习）(1)已知，求的最大值；
(2)已知，求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】(1)因为，所以，所以，
所以当且仅当，即，函数的最大值为.
(2)因为，所以，
所以，
当且仅当，
即时，的最大值为
【能力提升】
11．若，则“”是
“”的（
）
A．
充分不必要条件
B．
必要不充分条件
C．
充分必要条件
D．
既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；
当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
12．（2020届陕西省咸阳市高三第一次模拟）已知，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，且，
则，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选C。
13．（2020届湖北省高三模拟）若不等式对恒成立，则实数m的最大值为（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】C
【解析】将不等式化为，只需当时，即可，
由
，
当且仅当时取等号，故,故m的最大值为9.
故选C。
14．设，则下列不等式中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】（方法一）已知和，比较与，
因为，所以，同理由
得；作差法：，
所以，综上可得；故选B．
（方法二）取，，
则，，所以．
15．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A取，此时，因此A不正确；对于B取
，此时，因此B不正确；对于C取，
此时，因此C不正确；对于D，∵，
∴，，∴，D正确．
16．已知，，且，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】由题意，，且，又时，，时，，当时，，所以取值范围为．
17．对于，当非零实数，满足，且使最大时，的最小值为
．
【答案】－2
【解析】
设，则，因为，
所以将代入整理可得①，
由解得，当取得最大值时，，
代入①式得，再由得，
所以．
当且仅当时等号成立．
18．设a
+
b
=
2，
b>0，
则当a
=
时，
取得最小值．
【答案】－2
【解析】∵=
当且仅当，即时取等号
故取得最小值时，
【高考真题】
19．（2020上海13）下列不等式恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由基本不等式可知，故A不正确；，即恒成立，故B正确；当时，不等式不成立，故C不正确；当时，不等式不成立，故D不正确，故选B．
20．（2013四川）已知函数在时取得最小值，则__．
【答案】
【解析】因为，，当且仅当，即，解得．
21．（2013山东）设正实数满足．则当取得最大值时，
的最大值为（
）
A．0
B．1
C．
D．3
【答案】B
【解析】由，得．
所以，当且仅当，
即时取等号此时，．
，
故选B．
22．（2013山东）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大
值为（
）
A．0
B．
C．2
D．
【答案】C
【解析】由得，
，
当且仅当即时，有最小值1，
将代入原式得，
所以，
当时有最大值2．故选C．
23．（2012浙江）若正数满足，则的最小值是（
）
A．
B．
C．5
D．6
【答案】C
【解析】，∴，∴
．
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精品试卷·第
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基本不等式课时训练
【基础巩固】
1．（2019·全国高一课时练习）已知，则的最小值为（
)
A．3
B．4
C．5
D．6
2．（2019·全国高一课时练习）若，则下列不等式成立的是（
)
A.
B.
C.
D.
3．（2019·全国高一课时练习）已知正数满足，则的最小值是
(
)
A.
B.
C.
D.
4
.已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2
B.＋≥2
C.≥2
D.≥
5．已知函数在时取得最小值，则
．
6．若实数满足，则的最大值是
．
7．设，则的最小值为
．
8．（2019·全国高一课时练习）已知，，则的最小值为_______________；
9．已知正数、满足，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2019·全国高一课时练习）(1)已知，求的最大值；
(2)已知，求的最大值．
【能力提升】
11．若，则“”是
“”的（
）
A．
充分不必要条件
B．
必要不充分条件
C．
充分必要条件
D．
既不充分也不必要条件
12．（2020届陕西省咸阳市高三第一次模拟）已知，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
13．（2020届湖北省高三模拟）若不等式对恒成立，则实数m的最大值为（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
14．设，则下列不等式中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
15．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
16．已知，，且，则的取值范围是_______．
17．对于，当非零实数，满足，且使最大时，的最小值为
．
18．设a
+
b
=
2，
b>0，
则当a
=
时，
取得最小值．
【高考真题】
19．（2020上海13）下列不等式恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
20．（2013四川）已知函数在时取得最小值，则__．
21．（2013山东）设正实数满足．则当取得最大值时，
的最大值为（
）
A．0
B．1
C．
D．3
22．（2013山东）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大
值为（
）
A．0
B．
C．2
D．
23．（2012浙江）若正数满足，则的最小值是（
）
A．
B．
C．5
D．6
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