中小学教育资源及组卷应用平台
突破2.2
基本不等式重难点突破
考情分析
经验分享
【基本不等式(或)均值不等式】
【基本不等式的变形与拓展】
1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）．
2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）；
(3)若,则（当且仅当时取“=”）．
3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
5．一个重要的不等式链：．
6．函数图象及性质
(1)函数图象如右图所示：
(2)函数性质：
①值域：；
②单调递增区间：；单调递减区间：．
7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”；
(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
三、题型分析
(一)
利用基本不等式求最值
例1.（1）（2020·贵州省高二学业考试）已知，若，则的最小值为（
）
A．3
B．2
C．
D．1
【答案】C
【解析】由于，，所以，当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.故选：C
（2）函数的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】（当且仅，即时取等号）。故选B。
【变式训练1】．（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知，函数的最小值是（
）
A．4
B．5
C．8
D．6
【答案】A
【解析】由题意可得，满足运用基本不等式的条件——一正，二定，三相等，所以，故选A
【变式训练2】.的最小值为
。
【答案】3
【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。由得，代入得，当且仅当时取“=”。
(二)
不等式变形技巧：“1”的代换
例2.（1）设若的最小值为（
）
A
8
B
4
C
1
D
【答案】B
【解析】选B.
因为，所以，
，
当且仅当即时“=”成立，故选择B.
（2）．（2020·吉林省长春市实验中学高一月考（理））已知，，，则的最大值为（
）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为，，，所以有，
当且仅当时取等号，故本题选D.
【变式训练1】.（2020·浙江省高一期中）已知正数a，b满足a+b=1，则的最小值等于__________
，此时a=____________.
【答案】3
【解析】根据题意，正数a、b满足，则，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为3，此时.
故答案为：3；.
【变式训练2】.设是正实数,且,则的最小值是__________．
【答案】．
【分析一】考虑通法,消元化为单元函数,而后可用导数法和判别式法求解函数的最小值；
【解析一】
(三)
不等式的证明技巧与综合处理技巧
例3．（2020·全国高一课时练习）已知a，b都是正数，求证：．
【答案】见解析
【解析】∵，∵由均值不等式得，．
由不等式的性质，得，当且仅当且时，等号成立．
【变式训练1】（2020·黑龙江省哈尔滨三中高一期末）已知，.
（1）求证：；
（2）若，求ab的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）1.
【解析】证明：（1）∵，
∴.
（2）∵，，∴，即，
∴，∴.
当且仅当时取等号，此时ab取最小值1.
(四)
均值不等式在实际问题中的应用
例4.（2020·全国高三其他（理））某农户建造一个室内面积为150m2的矩形蔬菜温室．如图，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留2m宽的空地，中间区域为菜地.当温室的长为______m时，菜地的面积最大，最大面积是______m2．
【答案】15
96
【解析】
设温室的左侧边长为，菜地的面积为，则温室的后侧边长为，
所以．
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，即的最大值为96，此时温室的长为．
所以当温室的长为时，菜地的面积最大，最大面积为．
【变式训练1】如图，金砂公园有一块边长为的等边的边角地，现修成草坪，图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上.
（Ⅰ）设，，求关于的函数关系式；
（Ⅱ）如果是灌溉水管，我们希望它最短，则的位置应在哪里？请予以证明.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），且.
【解析】
（Ⅰ）在中，①，
又，即，即②，
将②代入①，得，
又，若，则不符合题意，所以，
因此；
（Ⅱ）如果是水管，
因为，
当且仅当，即时“＝”成立，
故，且.
(五)
不等式的综合应用求参数的取值范围问题
例5.已知>0,>0,且,若恒成立,则实数的取值范围是
．
【分析】先求左边式子的最小值
【解析】∵,,且,∴,当且仅当,即时取等号,又,∴,,∴,要使恒成立,只需,即,解得,故答案为.
【变式训练1】（2020·黑龙江省鹤岗一中高一期末（文））已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
记，则原问题等价于二次函数的最小值大于或等于0．
而，当时，，
所以，即．故选：D．
【变式训练2】（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（文））若正实数、满足，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
利用基本不等式可得，，解得.
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.
故选：A.
四、迁移应用
1．若正数满足，则的最小值是（
）
A．
B．
C．5
D．6
【答案】C
【解析】，，
.
2．小王从甲地到乙地的时速分别为和（），其全程的平均时速为，则（
）
A．
B．=
C．<<
D．=
【答案】．A
【解析】设从甲地到乙地所走路程为，则．
∵
,∴
,∴．选A．
3．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】．D
【解析】对于A取，此时，因此A不正确；对于B取
，此时，因此B不正确；对于C取，
此时，因此C不正确；对于D，∵，
∴，∴，D正确．
4．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元，要
使一年的总运费与总存储费之和最小，则的值是
．
【答案】30
【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．
5．已知函数在时取得最小值，则__．
【答案】．
【解析】因为，，当且仅当，即，解得．
6．（2020·浙江省高二期中）若正实数、满足，则的最小值为_________；的最小值为_________．
【答案】
【解析】
正实数、满足，，
由基本不等式得，可得，当且仅当时，等号成立，即的最小值为.
由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，即的最小值为.
故答案为：；.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
突破2.2
基本不等式重难点突破
考情分析
经验分享
【基本不等式(或)均值不等式】
【基本不等式的变形与拓展】
1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）．
2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）；
(3)若,则（当且仅当时取“=”）．
3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
5．一个重要的不等式链：．
6．函数图象及性质
(1)函数图象如右图所示：
(2)函数性质：
①值域：；
②单调递增区间：；单调递减区间：．
7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”；
(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
三、题型分析
(一)
利用基本不等式求最值
例1.（1）（2020·贵州省高二学业考试）已知，若，则的最小值为（
）
A．3
B．2
C．
D．1
（2）函数的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．1
【变式训练1】．（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知，函数的最小值是（
）
A．4
B．5
C．8
D．6
【变式训练2】.的最小值为
。
(二)
不等式变形技巧：“1”的代换
例2.（1）设若的最小值为（
）
A
8
B
4
C
1
D
（2）．（2020·吉林省长春市实验中学高一月考（理））已知，，，则的最大值为（
）
A．1
B．
C．
D．
【变式训练1】.（2020·浙江省高一期中）已知正数a，b满足a+b=1，则的最小值等于__________
，此时a=____________.
【变式训练2】.设是正实数,且,则的最小值是__________．
(三)
不等式的证明技巧与综合处理技巧
例3．（2020·全国高一课时练习）已知a，b都是正数，求证：．
【变式训练1】（2020·黑龙江省哈尔滨三中高一期末）已知，.
（1）求证：；
（2）若，求ab的最小值.
(四)
均值不等式在实际问题中的应用
例4.（2020·全国高三其他（理））某农户建造一个室内面积为150m2的矩形蔬菜温室．如图，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留2m宽的空地，中间区域为菜地.当温室的长为______m时，菜地的面积最大，最大面积是______m2．
【变式训练1】如图，金砂公园有一块边长为的等边的边角地，现修成草坪，图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上.
（Ⅰ）设，，求关于的函数关系式；
（Ⅱ）如果是灌溉水管，我们希望它最短，则的位置应在哪里？请予以证明.
(五)
不等式的综合应用求参数的取值范围问题
例5.已知>0,>0,且,若恒成立,则实数的取值范围是
．
【变式训练1】（2020·黑龙江省鹤岗一中高一期末（文））已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（文））若正实数、满足，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
四、迁移应用
1．若正数满足，则的最小值是（
）
A．
B．
C．5
D．6
2．小王从甲地到乙地的时速分别为和（），其全程的平均时速为，则（
）
A．
B．=
C．<<
D．=
3．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元，要
使一年的总运费与总存储费之和最小，则的值是
．
5．已知函数在时取得最小值，则__．
6．（2020·浙江省高二期中）若正实数、满足，则的最小值为_________；的最小值为_________．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
