人教版数学九年级上册22.1.4　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 课件(共28张PPT)

第二十二章 二次函数
22.1.4 二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
随堂演练
课堂小结
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例题讲解
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情景导入
22.1.4　二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
y=a(x-h)2+k
a>0
a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增
减
性
极值
向上
向下
(h ,k)
(h ,k)
x=h
x=h
当xh时，
y随着x的增大而增大.
当xh时，
y随着x的增大而减小.
x=h时,y最小=k
x=h时,y最大=k
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
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思考 我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知
识来讨论 的图象和性质？
（x - 6） + 3
2
=
= （x2 - 12x + 42）
= （x2 - 12x + 36 - 36 + 42）
想想配方法的步骤是什么？
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情景导入
22.1.4　二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
配方

(1)提：提出二次项系数；
(3)化：化成顶点式.
(2)配：括号内配成完全平方式；
配方后的表达式通常称为顶点式
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22.1.4　二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
问题1 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？
答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.
问题2 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？
答：方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到；
方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到.
22.1.4　二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
…
…
…
…
9
8
7
6
5
4
3
x
先利用图形的对称性列表：
5
10
x
y
5
10
然后描点画图，
得到图象如右图.
O
7.5
7.5
5
3.5
3
3.5
5
问题3 如何画二次函数 的图象？
问题4 结合二次函数 的图象，说出其性质.
5
10
x
y
5
10
x=6
从图象可以看出：在对称轴的
左侧，抛物线从左到右下降；
在对称轴的右侧，抛物线从左到右
上升.也就是说，
当x<6时，y随x的增大而减小；
当x>6时，y随x的增大而增大.
O
22.1.4　二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
我们如何用配方法将二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式 y=a(x-h)2+k的形式？
y=ax?+bx+c
22.1.4　二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即
因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是
对称轴是直线
22.1.4　二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
(1)
(2)
x
y
O
x
y
O
如果a>0,当x< 时，
y随x的增大而减小；
当x> 时，y随x的
增大而增大.
如果a<0,当x< 时，
y随x的增大而增大；
当x> 时，y随x的
增大而减小.
22.1.4　二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
向下
二次函数的性质
22.1.4　二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
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例题讲解
例1 把下面的二次函数的一般式化成顶点式： y＝2x2－5x＋3.
解法一：用配方法：
y＝2(x2－ x)＋3，(将含x项结合在一起，提取二次项系数)

y＝
(按完全平方式的特点，常数项为一次项系数一半的平方)
22.1.4　二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
(应用完全平方公式)
解法二：用公式法：
设顶点式为y＝a(x－h)2＋k.
∵a＝2，b＝－5，c＝3，
∴
22.1.4　二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
例2 如图所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为 .下列结论：①ac＜0；②a＋b＝0；③4ac－b2＝4a；
④a＋b＋c＜0.
其中正确的有(　　)
A．1个 　 B．2个　 　C．3个　 　D．4个
22.1.4　二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
解析 ①因为抛物线开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，所以a<0，c>0，故ac<0；
②由题意知抛物线的对称轴为直线x＝ ，所以 ，即
a＝-b，故a＋b＝0；
③因为抛物线的顶点纵坐标是1，即 ，所以4ac－b2＝4a；
④当x＝1时，y＝a＋b＋c.因为抛物线的对称轴为直线x＝ ，所以当x＝1时与当x＝0时的函数值相同，观察图象，当x＝0时，y>0，所以a＋b＋c>0.综上所述，①②③正确．
22.1.4　二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}字母符号
图象的特征
a＞0
开口____________
a＜0
开口____________
b=0
对称轴为____轴
a、b同号
对称轴在y轴的____侧
a、b异号
对称轴在y轴的____侧
c=0
经过原点
c＞0
与y轴交于_____半轴
c＜0
与y轴交于_____半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
22.1.4　二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
例3 如果一个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，试求这个二次函数的解析式.
解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.由函数图象经过
(－1，10)，(1，4)，(2，7)三 点，得关于a，b，c的三元一次方程组
∴所求二次函数解析式为y＝2x2－3x＋5.
解得
1.设一般式
2.点代入
一般式
3.解得方程组
4.写出解
析式
22.1.4　二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
①已知三点坐标
②已知顶点坐标或对称轴或最值
③已知抛物线与x轴的两个交点
已知条件
所选方法
用一般式法：y=ax2+bx+c
用顶点法：y=a(x-h)2+k
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)
(x1,x2为交点的横坐标）
待定系数法
求二次函数解析式
22.1.4　二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
随堂演练
1. 关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是(　　)
A．图象与y轴的交点坐标为(0，1)
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x<0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为－3
D
22.1.4　二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
2.二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数的图象上，且x1＜x2＜1，则y1与y2的大小关系是(　　)
B
3.把二次函数y＝－2x2－4x＋1配成y＝a(x－h)2＋k的形式为______________，所以其图象的开口向___，对称轴是直线_____，顶点坐标为______．
y＝－2(x＋1)2＋3
下
x=-1
(-1,3)
4.把抛物线y＝2x2－4x＋3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为__________．
y＝2x2＋1
22.1.4　二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
5.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
直线x=3
直线x=8
直线x=1.25
直线x= 0.5
22.1.4　二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
6.已知二次函数y＝ax2＋bx的图象过点(6，0)，(－2，8)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)写出它的对称轴和顶点坐标．
解：(1)∵y＝ax2＋bx的图象过点(6，0)，(－2，8)，
∴二次函数的解析式为
22.1.4　二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
思维拓展
如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c
得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.
∵对称轴是x＝－3，∴ ＝－3，
∴b＝6，∴c＝5，
∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5；
22.1.4　二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．
(2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．
∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，
∴点C的横坐标为－7，
∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.
∵点B的坐标为(0，5)，
∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，
∴△BCD的面积＝ ×8×7＝28.
22.1.4　二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
课堂小结
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)
顶点：
对称轴：
22.1.4　二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
设
列
解
答
步骤
类型
一般式（三点式）
顶点式
交点式
待定系数法求二次函数解析式
22.1.4　二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质
谢 谢 观 看！