人教版数学九年级上册22.2　二次函数与一元二次方程 课件(共25张PPT)

(共24张PPT)
第二十二章 二次函数
22.2　二次函数与一元二次方程
随堂演练
课堂小结
知识回顾
例题讲解
知识回顾
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知识回顾
情景导入
22.2　二次函数与一元二次方程
1.一次函数y=kx+b与一元一次方程kx+b=0有什么关系
2.你能否用类比的方法猜想二次函数
y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系
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22.2　二次函数与一元二次方程
问题: 如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系
h = 20t－5t 2
考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（4）球从飞出到落地需要用多少时间？
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22.2　二次函数与一元二次方程
所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t 的一元二次方
程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h
的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h 的值．
解：（1）解方程
15＝20t－5t 2
t 2－4t＋3=0
t1=1，t2=3
当球飞行1s和3s时，它的高度为15m．
分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t 的关系是二次函数
h=20t－5t 2
t1=1s
t2=3s
15m
15m
结合图，你能解释为什么在两个时间小球的高度达到15米吗？
22.2　二次函数与一元二次方程
（2）解方程
20＝20t－5t 2
t 2－4t＋4=0
t1=t2=2
当球飞行2s时，它的高度为20m．
t1=2s
20m
结合图，你能解释为什么只有一个时间小球的高度达到15米吗？
22.2　二次函数与一元二次方程
（3）解方程
20.5＝20t－5t 2
t 2－4t＋4.1=0
因为（－4）2－4×4.1＜0，所以方程无解．
球的飞行高度达不到20.5m．
20m
22.2　二次函数与一元二次方程
（4）解方程
0＝20t－5t2
t2－4t=0
t1=0,t2=4
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面发出，4s时球落回地面．
0ｓ
４ｓ
22.2　二次函数与一元二次方程
从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切．
一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0
例如，已知二次函数y = －x 2＋4x 的值为3，求自变量x的值，
可以解一元二次方程－x 2＋4x=3（即x 2－4x+3=0）．
反过来，解方程x 2－4x+3=0 又可
以看作已知二次函数 y = x 2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
22.2　二次函数与一元二次方程
思考
观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-6x+9；
（3）y=x2-x+1.
22.2　二次函数与一元二次方程
观察图象，完成下表：
抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次
方程的根
y = x2－x＋1
y = x2－6x＋9
y = x2＋x－2
0个
1个
2个
x2-x+1=0无解
0
x2-6x+9=0，x1=x2=3
-2, 1
x2+x-2=0，x1=-2,x2=1
1
x
y
O
y = x2－6x＋9
y = x2－x＋1
y = x2＋x－2
22.2　二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac > 0
有两个重合的交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
22.2　二次函数与一元二次方程
例1 利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根
(结果保留小数点后一位)．
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例题讲解
画出函数y＝x2－2x－2的图象(如图)，它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7，2.7.
所以方程x2－2x－2＝0的实数根为
x1≈－0.7，x2≈2.7.
解：
22.2　二次函数与一元二次方程
例2 画出抛物线y＝－x2＋4x＋5，观察抛物线，回答下列问题：
(1)x为何值时，函数值y＞0
(2)x为何值时，函数值y＝0
(3)x为何值时，函数值y＜0
22.2　二次函数与一元二次方程
∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x2－4x)＋5
＝－(x2－4x＋4)＋9＝－(x－2)2＋9.
∴抛物线的顶点坐标为(2，9)，对称轴为直线x＝2.
令－x2＋4x＋5＝0，即x2－4x－5＝0，
∴x1＝5，x2＝－1，
∴抛物线与x轴的两个交点为(－1，0)，(5，0)．
令x＝0，则y＝5，即抛物线与y轴的交点为(0，5).
由抛物线的对称性知抛物线上的另一点为(4，5)．
解：
22.2　二次函数与一元二次方程
在坐标系中描出各点，并连线得到如图的图象．
观察图象会发现：
(1)当－1＜x＜5时，函数值y＞0；
(2)当x＝－1或x＝5时，函数值y＝0；
(3)当x＜－1或x＞5时，函数值y＜0.
22.2　二次函数与一元二次方程
画出函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象，不等式ax2+bx+c>0的解集为图象在x轴上方的点所对应的x值所组成的集合，不等式ax2+bx+c<0的解集为图象在x轴下方的点所对应的x值所组成的集合.如下表：
ax2+bx+c>0(a>0)的解集是xx2
ax2+bx+c<0(a>0)的解集是x1ax2+bx+c>0(a<0)的解集是x1ax2+bx+c<0(a<0)的解集是xx2
22.2　二次函数与一元二次方程
随堂演练
1.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，图象上有两点分别为A(2.18，－0.51)，B(2.68，0.54)，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个根可能是(　　)
A．2.18 B．2.68 C．－0.51 D．2.45
D
22.2　二次函数与一元二次方程
2.(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则方程ax2＋bx＋c＝0的解是_______，_______；
(2)∵方程x2＋3x＋2＝0的解是________，________，
∴抛物线y＝x2＋3x＋2与x轴的交点坐标是_______和________．
x1=-3
x2 =1
x1=-1
x1=-2
(-1,0)
(-2,0)
3.已知抛物线y＝x2－6x＋m－1，当m_____时，抛物线与x轴有两个交点；当m_____时，抛物线与x轴有唯一交点；当m_______时，抛物线与x轴没有交点．
<10
=10
>10
22.2　二次函数与一元二次方程
4.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
22.2　二次函数与一元二次方程
解：(1)由图象可得方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1＝1，x2＝3.
(2)由图象可得当y＝ax2＋bx＋c＞0时，
x的取值范围为1＜x＜3，
∴不等式ax2＋bx＋c>0的解集为1(3)由图象可知，当y随x的增大而减小时，
自变量x的取值范围为x＞2.
(4)方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，
实际上就是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝k有两个交点，
由图象可知，此时k的取值范围是k＜2.
22.2　二次函数与一元二次方程
思维特训
已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.
(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
22.2　二次函数与一元二次方程
(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，
∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，
∴x1(2)＋x2(2)＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，
∴a＝1.
22.2　二次函数与一元二次方程
课堂小结
判别式△=b2-4ac
二次函数y=ax2+bx+c （a>0） 的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集
不等式ax2+bx+c<0（a>0）的解集
x2
x1
x
y
O
O
x1= x2
x
y
x
O
y
△>0
△＝0
△＜0
x1 ; x2
x1 =x2
＝－b/2a
没有实数根
xx2
x ≠ x1的一切实数
所有实数
x1无解
无解
谢 谢 观 看！