2.2基本不等式 同步练习（解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台
第二章
一元二次函数、方程和不等式
【2.2
基本不等式】
基础闯关
务实基础
达标检测
题型一
对基本不等式的理解
1、已知，且，那么下列结论一定成立的是
A．
B．
C．
D．
【解析】因为，且，所以．
当且仅当时取等号，故选C．
2、下列不等式恒成立的是（
）
A．
B．
EMBED
Equation.DSMT4
C．
D．
【解析】A.由基本不等式可知，故A不正确；
B.，即恒成立，故B正确；
C.当时，不等式不成立，故C不正确；
D.当时，不等式不成立，故D不正确.
3、“为正数”是“”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若a,b为正数,取a=1,b=1,则a+b=2,则“a,b为正数”不是“a+b>2”的充分条件;若a+b>2,取a=1,b=0,则b不是正数,则“a,b为正数”不是“a+b>2”的必要条件.故“a,b为正数”是“a+b>2”的既不充分也不必要条件,故选D.
4、不等式成立的前提条件为(　
)
A．
B．
C．
D．
解析：因为不等式成立的前提条件是x-2y和均为正数,所以x-2y>0,即x>2y,故选B.
题型二
利用基本不等式比较大小
5、设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（
）
A．a＜b＜＜
B．a＜＜＜b
C．a＜＜b＜
D．＜a＜＜b
解析：因为0且<＝b，又a＝<，故a<<6、设、、，，，，则、、三数（
）
A．都小于
B．至少有一个不大于
C．都大于
D．至少有一个不小于
解析：由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，因此，若、、三数都小于，则与矛盾，即、、三数至少有一个不小于，
故选D.
7、已知，则与的大小关系是(　　)
A．a2+b2≥2|ab|
B．a2+b2=2|ab|
C．a2+b2≤2|ab|
D．a2+b2>2|ab|
解析：∵a2+b2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0,∴a2+b2≥2|ab|(当且仅当|a|=|b|时,等号成立).故选A
8、设0A．
B．a2+b2
C．2ab
D．a
解析：因为02a,所以a<.又因为a2+b2≥2ab，所以四个数中的最大数一定不是a和2ab.又因为1=a+b>，所以ab<,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>1-=,
即a2+b2>,故选B.
题型三
利用基本不等式求最值
8、已知实数，满足，则的最大值是（
）
A．1
B．
C．
D．
【解析】解：因为，所以，得
.故选D
9、已知正实数x，y满足.则的最小值为（
）
A．4
B．
C．
D．
【解析】解：由，得，
因为x，y为正实数，所以当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故选：D
10、下列命题中：
①若，则的最大值为；
②当时，；
③的最小值为；
④当且仅当均为正数时，恒成立.
其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号)
【解析】①若，则的最大值为
，正确②当时，
，时等号成立，正确
③的最小值为，
取
错误
④当且仅当均为正数时，恒成立
均为负数时也成立.
故答案为①
②
11、(1)已知，求的最大值；
(2)已知，求的最大值．
解析：(1)因为，所以，
所以，
所以当且仅当，即，函数的最大值为.
(2)因为，所以，
所以，
当且仅当，
即时，的最大值为
12、已知，则的最小值是_______.
【解析】因为，所以，
所以（当且仅当时，等号成立）.
题型四
利用基本不等式证明不等式
13、已知均为正数不全相等.
求证:
解析：证明　∵
∴+≥=
+≥=
+≥=2b.
当且仅当a=b=c时上式等号均成立,
又不全相等,
故上述等号至少有一个不成立.
∴.
14、已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z=1，求证：（1）（1）（1）＞8．
【解析】∵x+y+z＝1，x、y、z是互不相等的正实数，
∴（1）（1）（1）8．
∴（1）（1）（1）＞8
15、已知a，b都是正数，求证：．
【解析】∵，∵由均值不等式得，．
由不等式的性质，得，当且仅当且时，等号成立．
题型五
利用基本不等式解决实际问题
16、已知A、B两地的距离是100km，按交通法规定，A、B两地之间的公路车速x应限制在60~120km/h，假设汽油的价格是7元/L，汽车的耗油率为
EMBED
Equation.DSMT4
，司机每小时的工资是70元（设汽车为匀速行驶），那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？
【解析】设总费用为则
当时等号成立，满足条件
故最经济的车速是，总费用为280.
17、某单位修建一个长方形无盖蓄水池，其容积为立方米，深度为米，池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设池底长方形的长为米.
（1）用含的表达式表示池壁面积；
（2）当为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？
【解析】（1）由题意得：池底面积为平方米，池底长方形的宽为米
（2）设总造价为元，则：
化简得：
因为，当且仅当，即时取等号
即当米时，最低造价是元[][]
能力提升
思维拓展
探究重点
1、已知，若不等式恒成立，则的最大值为
A．9
B．12
C．16
D．20
【解析】因为，所以，，
（当且仅当时，取等号），要想不等式恒成立，只需，即的最大值为，故选A．
2、已知正实数满足，则的最小值是（
）
A．
B．5
C．
D．
【解析】解：，
当且仅当时取等号，即，时等号成立，故选：．
3、（1）证明：；
（2）正数，满足，求的最小值.
解析：（1）证明：要证，只需证，
即证.由于，所以成立，
即成立.
（2）解：
当，即，时，取最小值.
4、已知a，b，c均为正数,求证:++≥3.
解析：证明　∵a，b，c均为正数,
∴+≥2(当且仅当a=2b时等号成立),
+≥2(当且仅当a=3c时等号成立),
+≥2(当且仅当2b=3c时等号成立),
以上三式相加,得+++++≥6(当且仅当a=2b=3c时等号成立),
∴（+-1）+（+-1）+（+-1）≥3(当且仅当a=2b=3c时等号成立),
即++≥3.
(当且仅当a=2b=3c时等号成立).
5、如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为，宽为.
（1）若菜园面积为，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（2）若使用的篱笆总长度为，求的最小值.
【解析】
（1）由已知可得，而篱笆总长为；
又因为，
当且仅当，即时等号成立.
所以菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小.
（2）由已知得，
又因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立.所以的最小值是.
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)