2.3二次函数方程不等式 同步练习（解析版）

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第二章
一元二次函数、方程和不等式
【2.3
二次函数与一元二次方程、不等式】
基础闯关
务实基础
达标检测
题型一
一元二次不等式的解法
1、若且则关于的不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】，则，
因为，则,的解集为,选.
2、不等式的解集是（
）
A．
B．或
C．
D．或
【解析】与不等式对应的一元二次函数为：，
如图函数开口向上，与轴的交点为：，，
可得不等式的解集为：或.
故选B
3、若不等式的解集，则值是　　
A．0
B．
C．1
D．2
【解析】由题意，可得不等式的解集是，
所以是方程的两个根，
所以可得，，解得，，所以，故选：A．
4、不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】当时，恒成立，则；
当时，则有
解得.综上：.故选：D.
5、设集合A={x|x2-x-6>0},B={x|-4<3x-7<8}.
（1）求A∪B,A∩B;
（2）已知集合C={x|a解析：(1)A∪B={x|x<-2或x>3}∪{x|11},
A∩B={x|x<-2或x>3}∩{x|1={x|3(2)①当C=?时,a≥2a+1,解得a≤-1,满足C?B;
②当C≠?时,若满足C?B,则解得1≤a≤2.由①②可知,满足C?B的实数a的取值范围是{a|a≤-1或1≤a≤2}.
题型二
含有参数的一元二次不等式的解法
6、若不等式对一切恒成立，则实数取值的集合（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】①时，不等式化为对一切恒成立，因此满足题意；
②时，要使不等式对一切恒成立，则必有解得．
综上①②可知：实数取值的集合是．故选：C．
7、不等式的解集为，则a，c的值为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【解析】不等式的解集为，
故不等式对应方程的系数满足：，解得，.
8、已知不等式的解集为．
（1）求和的值；
（2）求不等式的解集.
【解析】（1）由不等式的解集为，
可知2和1是一元二次方程的两根，
所以，即，
（2）由（1）知所求不等式即为
方程式的两根分别是1和，
所以所求不等式的解集为
题型三
三个“二次”之间的关系
9、不等式的解集是，则的值分别是(　　)
A．2，12
B．2，-2
C．2，-12
D．-2，-12
解析：由题意知是关于的方程的两个根,∴，
∴，故选D.
10、若二次函数的图象与轴的两个交点分别为，，且都大于1.
（1）求实数的取值范围;
（2）若，求的值.
解析：（1）由题意可知是关于x的方程的两个实数根,
∴，
又
∴
可得k>，且
∴实数k的取值范围是kk>且.
（2）由得
∴x1x2==k2+1,
即k2-8k+7=0,解得k1=7，k2=1(舍去).
∴k的值为7.
题型四
一元二次不等式的实际应用
11、将进货价为每个80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,每涨价1元,销售量就减少20个,为了使商家利润有所增加,则售价a(元/个)的取值范围应是(　　)
A.90B.90C.100D.80解析：设每个涨价x元,涨价后的利润与原利润之差为y元,则a=x+90,y=(10+x)·(400-20x)-10×400=-20x2+200x.要使商家利润有所增加,则必须使y>0,即x2-10x<0,得012、十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元.
（1）若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值.
【解析】（1）动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则，解得.
（2）由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则，（），
化简得，（）.
由于，当且仅当时等号成立，所以，所以的最大值为.
13、一个小型服装厂生产某种风衣,月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160-2x,生产x件的成本R=(500+30x)元.
（1）该厂的月产量为多少时,月获得的利润不少于1
300元?
（2）当月产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少元?
解析：（1）设该厂的月获利为y元,依题意得y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500.
由y≥1
300知,-2x2+130x-500≥1
300,
∴x2-65x+900≤0,解得20≤x≤45.
∴当月产量在20件至45件(包括20件和45件)之间时,月获利不少于1
300元.
（2）由(1)知y=-2x2+130x-500
=-2+1
612.5.
∵x为正整数,∴当x=32或x=33时,y取得最大值1
612元,
∴当月产量为32件或33件时,可获得最大利润1
612元.
能力提升
思维拓展
探究重点
1、不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围____
【解析】根据题意，分2种情况讨论：
1°若a2﹣1＝0，则a＝±1，
当a＝1时，不等式（a2﹣1）x2+（a﹣1）x﹣1≤0为：﹣1≤0，
满足对任意实数x都成立，则a＝1满足题意，
当a＝﹣1时，不等式（a2﹣1）x2+（a﹣1）x﹣1≤0为：﹣2x≤0，
不满足对任意实数x都成立，则a＝﹣1不满足题意，
2°若a2﹣1≠0，不等式（a2﹣1）x2+（a﹣1）x﹣1≤0为二次不等式，
要保证（a2﹣1）x2+（a﹣1）x﹣1≤0对任意实数x都成立，
必须有，
解可得：a＜1，综合可得a≤1，
2、设关于x的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为____________
【解析】设，其图象为抛物线，
对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以，
因为0为其中一个解可以求得，
又，所以或，
则不等式为和，
可分别求得和，
因为位整数，所以和，
所以全部不等式的整数解的和为.故答案为：.
3、若不等式对一切实数x均成立，求实数a的范围．
【解析】,，则恒成立，
，即．
整理得:．
该式对一切实数x均成立，，即,
解得：.
4、解关于的不等式：
（1）若，解上述关于的不等式；
（2）若，解上述关于的不等式．
【解析】（1）把代入，得，化简得，
该不等式的解为：或
（2）把化简得，，
①当时，不等式的解为
②，即，得，此时，不等式的解为或
③，即，得或，
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为，
④，得，此时，，解得且
综上所述，当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为且
当时，不等式的解为或