人教版数学九年级上册：22.3　实际问题与二次函数 教案（ 第3课时 表格式）

22.3 实际问题与二次函数
第3课时　二次函数与拱桥类问题
课题
第3课时　二次函数与拱桥类问题
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.能根据具体的问题情境建立数学模型，应用二次函数的知识求解，并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性；
2.学会从多个角度思考问题，逐步提高解决问题的能力.
数学思考
1.通过对实际问题的研究，体会建模的数学思想；
2.经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会转化和数形结合的思想.
问题解决
通过问题的设计、解答，使学生学会从不同角度寻求解决问题的方法，获得解决问题的经验.
情感态度
1.通过小组合作交流，提高合作意识，培养创新精神；
2.通过用二次函数的知识解决实际问题，体会数学与现实生活的紧密联系，提高学习数学的兴趣，增强应用数学的意识.
教学重点
探究应用二次函数的知识解决实际问题的方法.
教学难点
如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型.
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.二次函数解析式常见的形式有哪几种？并说明其特征.
2.对二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象进行平移时：
向上平移k（k>0）个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么？
向下平移k（k>0）个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么？
向左平移h（h>0）个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么？
向右平移h（h>0）个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么？
师生活动：教师引导学生回忆知识，学生进行解答，教师做好点评.
在已有知识的基础上提出新的问题，能为学生营造一个主动思考、探索的氛围，激发学生的学习兴趣.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
问题：图22－3－23是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米.若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？
图22－3－23
师生活动：
教师进行引导，提出问题：
对于本题你认为应该运用什么知识进行解答？
根据问题中的图形为抛物线，由此可知本题应该运用二次函数的知识进行解答.
学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题，教师帮助学生解决问题.
通过日常生活中的实际问题，激发学生的学习兴趣，培养学生的探究意识和解决实际问题的能力.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
1.探究新知
活动一：针对[课堂引入]的问题，教师进行提示：
①要解答二次函数的问题，必须把抛物线放在平面直角坐标系中，所以必须建立适当的平面直角坐标系；
②求水面增加的宽度，实际上就是求水面与抛物线的交点的坐标；
③求出函数解析式，进而求点的坐标；
④求函数解析式应该用待定系数法.
师生活动：学生先独立进行解答，然后小组内交流讨论，教师适时点拨，指导学生写出解题过程.
解：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图22－3－24.根据图象的特殊性，设抛物线的函数解析式为y＝ax2，由抛物线经过点A（－2，－2），可得a＝－，所以抛物线的函数解析式为y＝－x2.把y＝－3代入函数解析式，得x＝±，所以CD－AB＝（2 －4）米，
则水面宽度将增加（2 －4）米.
图22－3－24
活动二：教师指导学生建立不同的平面直角坐标系进行解答.
学生独立完成解题过程，小组内交流比较：建立的平面直角坐标系是否相同，计算结果是否一致.
如解法：如图22－3－25，设AB所在直线为x轴，经过AB的中点O且与AB垂直的直线为y轴，则通过画图可知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB的长为AB长的一半，即为2米，抛物线的顶点坐标为（0，2），通过以上条件可设解析式为顶点式y＝ax2＋2.将点A的坐标（－2，0）代入解析式，得a＝－，所以抛物线的函数解析式为y＝－x2＋2.把y＝－1代入上式，得x＝±，
所以CD－AB＝米，则水面宽度将增加（2 －4）米.
图22－3－25
2.归纳总结
教师引导学生进行归纳总结：
①建立适当的平面直角坐标系；②根据题意找出题目中的点的坐标；③求出抛物线的函数解析式；④直接利用图象解决实际问题.
1.通过建立不同的平面直角坐标系得到不同的函数解析式，但结果是相同的，选择合适的平面直角坐标系可以使解答更简便，更明确易懂.
2.通过总结抛物线形实际问题的解题步骤，使学生明确问题的解答方法，思路清晰，明确解题方向.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
自动喷灌设备的喷流情况如图22－3－26所示，设水管AB在高出地面3.5米的B处有一自动旋转的喷水头，水流是抛物线形，喷头B与水流最高点C连线与地面成45°角，水流最高点C比喷头B高2米，求水流落点D到点A的距离.
图22－3－26
师生活动：学生按要求进行解答，教师做好指导、点拨.
教师关注：
（1）学生能否熟练地运用二次函数的有关知识解决实际问题；
（2）学生是否具有探索精神.
激发学生的学习欲望和兴趣，让学生切实感受到数学就在身边.让学生学会将获得的知识经验进行类比迁移，并让学生体验数学建模思想，增强应用意识.
【拓展提升】
如图22－3－27，一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面米，与篮筐中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时达到最大高度4米.设篮球运动的轨迹为抛物线，篮筐中心距离地面3.05米.问此球能否投中篮筐？
图22－3－27
师生活动：学生独立解答，再合作交流，然后展示成果.教师巡视，观察学生解决问题的过程与方法，并给予学习有困难的学生及时的引导和帮助.
通过抛物线与常见生活情景相联系的题目的展示，拓宽学生视野，提高学生灵活运用知识的能力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1.如图22－3－28所示的是一学生推铅球时铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数图象，观察图象，则铅球推出的水平距离是　10　m.

图22－3－28 图22－3－29
2.小明以二次函数y＝2x2－4x＋8的图象为灵感为“北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图22－3－29为杯子的设计稿，若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE为（ B ）
A.14　　　　　 B.11　　　　　
C.6　　　　　 D.3
3.某工厂的大门是一个抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面3 m高处各有一盏壁灯，
两盏壁灯之间的水平距离为6 m，如图22－3－30所示，则厂门的高约为　6.9 m　（水泥建筑物厚度不计，精确到0.1 m）.
图22－3－30
4.城市花园广场喷泉的喷嘴安装在平地上，有一喷嘴喷出的水流呈抛物线形，喷出水流的高度y（m）与喷出水流距喷嘴的水平距离x（m）之间满足函数解析式y＝－x2＋2x.
（1）求喷嘴喷出的水流的最大高度是多少；
（2）求喷嘴喷出的水流的最远距离是多少.
学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
1.课堂总结：
（1）你在本节课中有哪些收获？有哪些进步？
（2）学习本节课后，还存在哪些困惑？
2.布置作业：
教材第52页习题22.3第3题.
小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在探究新知环节中，充分利用多媒体手段提高课堂效率，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，有效解决了教学的重难点；在课堂训练环节中，教师给予学生充分的自由时间，让学生能够体会建立平面直角坐标系的作用，明确解答问题的步骤，树立建模思想.
②[讲授效果反思]
教师强调重点：（1）明确解决抛物线形问题的步骤；（2）设抛物线的函数解析式时，要根据函数图象选择恰当的形式.
③[师生互动反思]
在开放、多样的教学活动中，培养学生主动合作的意识及对数学的兴趣和爱好.
④[习题反思]
好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
典案二 导学设计
学案一
学习目标:
1、体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。
2、掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。
学习重点:应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润。
学习难点:能够正确地应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润．特别是把握好自变量的取值范围对最值的影响。
学习过程:
一、预备练习：
1. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳
子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都
是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距
较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的
最低点距地面的距离为 米．
2. 一名男生推铅球，铅球行进高度false（单位：m）与水
平距离false（单位：m）之间的关系是false．
则他将铅球推出的距离是 m
二、新课导学：
1、如图所示，桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.
(1)如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m，才能使喷出的水流不致落到池外？
(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)？
2、某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10false米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3.6米，问此次跳水会不会失误？