人教版数学九年级上册：22.2　二次函数与一元二次方程 教案（表格式）

22.2　二次函数与一元二次方程
课题
22.2　二次函数与一元二次方程
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，准确表述何时方程有两个不相等的实数根，两个相等的实数根和没有实数根；
2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
数学思考
通过学生自主探索和合作交流，真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系.
问题解决
能够从函数解析式的角度分析二次函数与一元二次方程之间的关系，同时也能够从函数图象的角度分析函数与方程之间的关系.
情感态度
通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合的思想.
教学重点
掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用函数图象求一元二次方程的近似解.
教学难点
理解二次函数的图象与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.一元二次方程的一般形式是　ax2＋bx＋c＝0（a≠0）　，其根的判别式是　b2－4ac　，求根公式是　x＝　.
2.二次函数的一般式是　y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）　，顶点坐标是　　.
3.抛物线y＝x2＋2x－4的对称轴是　直线x＝－1　，开口方向是　向上　，顶点坐标是　（－1，－5）　.
4.抛物线y＝2（x－2）（x－3）与x轴的交点坐标为　（2，0），（3，0）　.
5.已知抛物线与x轴的交点为（－1，0），（1，0），并且经过点（0，1），则抛物线的函数解析式为　y＝－x2＋1　.
师生活动：学生自主解答上述问题，教师进行个别指导，然后进行点评和总结.
通过回顾一元二次方程和二次函数的相关知识，巩固以前所学知识，为学好本节课的新知识做好铺垫.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
问题：如图22－2－7所示，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t－5t2.考虑以下问题：
（1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要飞行多长时间？
（2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要飞行多长时间？
（3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？
（4）小球从飞出到落地要用多长时间？
图22－2－7
师生活动：教师进行引导，小球飞行高度h与飞行时间t之间的函数解析式为h＝20t－5t2，所以将h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程即可求解.
让学生完成解答过程，教师巡视指导.
从小球飞行问题中寻找一元二次方程与二次函数的关系，为学生能够积极主动投入到探索活动创设情境，激发学生的学习热情.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
1.探究新知
活动一：针对[课堂引入]的问题进行探究，教师总结解题过程：
（1）解方程15＝20t－5t2，即t2－4t＋3＝0，解得t1＝1，t2＝3.
答：小球的飞行高度能达到15 m，需要飞行1 s或3 s.
（2）解方程20＝20t－5t2，即t2－4t＋4＝0，解得t1＝t2＝2.
答：小球的飞行高度能达到20 m，需要飞行2 s.
（3）不能.理由：解方程20.5＝20t－5t2，即t2－4t＋4.1＝0.
因为b2－4ac＝16－4×4.1＝－0.4<0，所以此方程无实数解，
所以小球的飞行高度不能达到20.5 m.
（4）解方程0＝20t－5t2，即t2－4t＝0，解得t1＝0，t2＝4.
当小球飞行0 s和4 s时，高度均为0 m，即0 s时，小球从地面飞出，4 s 时，小球落回地面，所以小球从飞出到落地要用4 s.
教师总结：把函数值代入函数解析式，得到关于自变量的一元二次方程，解方程即可得到自变量的值.
活动二：画出二次函数h＝20t－5t2的图象，体会以上问题的答案.
问题提示：
（1）教师引导学生利用列表、描点、连线的步骤进行画图；
（2）教师巡视指导，与学生合作、交流；
（3）教师引导学生观察函数图象，体会得到问题答案的过程；
（4）学生分组讨论、交流，总结二次函数与一元二次方程之间的关系.
活动三：
思考：
已知二次函数：①y＝x2＋x－2；②y＝x2－6x＋9；③y＝x2－x＋1.
（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？
（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
师生活动：教师展示二次函数的图象，如图22－2－8，学生观察图象，展开讨论，并回答问题.
图22－2－8
（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标分别是－2，1.当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1.
（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴只有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9＝0有两个相等的实数根是3.
（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2－x＋1＝0没有实数根.
教师总结：一般地，如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根.
2.归纳总结
通过以上学生之间、师生之间的观察、交流、讨论，进行总结：
一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可得如下结论.
（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根.
（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，只有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.
由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察时可能存在误差，所以由图象求得的根，一般是近似的.
3.归纳提升
问题：（1）观察二次函数y＝x2－6x＋9的图象和y＝x2－2x＋3的图象，分别说出一元二次方程x2－6x＋9＝0和x2－2x＋3＝0的根的情况.
（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？
师生活动：师生共同讨论总结：
当Δ>0时，方程有两个不等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴只有一个交点；
当Δ<0时，方程无实数根，抛物线与x轴没有交点.
1.学生通过计算、观察、分析，发现二次函数与一元二次方程之间的关系.
2.利用函数图象解决方程根的问题，让学生把方程与函数统一起来，体会数与形的结合带来的方便.
3.设计活动三使学生掌握通过函数图象判断方程的根这一方法，并把方程与函数建立联系，促使学生能够积极主动地投入到探索活动中.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1　利用函数图象求一元二次方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）.
师生活动：教师引导学生作出函数图象，或求出抛物线与x轴的交点坐标，学生独立完成解答过程.
解：作二次函数y＝x2－2x－2的图象，如图22－2－9.
图22－2－9
它与x轴的公共点的横坐标x1≈－0.7，x2≈2.7，
所以一元二次方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7，x2≈2.7.
播放课件：函数的图象与求一元二次方程的解，前一个课件用来画图，可根据图象估计出方程x2－2x－2＝0的近似解，后一个课件可以准确地求出方程的解，体会其中的差异.
应用举例是对于课题学习的针对练习.
【拓展提升】
例2　黄冈中考已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.
（1）求证：直线l与该抛物线总有两个交点；
（2）设直线l与该抛物线两个交点为A，B，原点为O，当k＝－2时，求△OAB的面积.
师生活动：学生自主解答问题后，教师进行讲解，学生再次审题，完成对题目的重新整理.
由根的判别式判断抛物线与x轴的交点个数，进一步提高学生对二次函数与一元二次方程关系的认识，提升学生灵活运用知识的能力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1.二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴的交点坐标为　（3，0），（－1，0）　，两个交点间的距离为　4　.
2.抛物线y＝x2－2x－8与x轴有　2　个交点.
3.若抛物线y＝x2－4bx＋4的顶点在x轴上，则b＝　±1　.
4.二次函数y＝ax2＋bx＋c的值永远为负值的条件是（ D ）
A.a>0，b2－4ac<0　　　　B.a<0，b2－4ac>0
C.a>0，b2－4ac>0 D.a<0，b2－4ac<0
学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
1.课堂总结：
你在本节课中有哪些收获？有哪些进步？还有哪些困惑？请谈一谈.
教师总结：抛物线与x轴的交点问题有三种情况，分别是有两个交点、有一个交点、没有交点，可以通过计算相应一元二次方程根的判别式进行确定.
2.布置作业：
（1）教材第47页习题22.2第3，4，6题.
（2）补充题：绵阳中考将二次函数y＝x2的图象先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的图象与一次函数y＝2x＋b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（ D ）
A.b＞8　　　B.b＞－8　　　C.b≥8　　　D.b≥－8
让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在探究新知的环节中，教师做好问题的求解和“数形结合”的对比演示，使学生能够理解“数”与“形”之间的关系；在课堂训练环节中，教师给予学生自主解答问题的时间，并做好点评.
②[讲授效果反思]
教师引导学生注意以下几点：（1）抛物线与坐标轴交点的求法，即把已知坐标代入；（2）抛物线与x轴交点个数可通过计算b2－4ac进行判断.
③[师生互动反思]
教学过程中，以学生为主体，通过学生自主探索和合作交流，真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系.
④[习题反思]
好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
　典案二 导学设计
一、阅读课本：22.2用函数观点看一元二次方程相关内容
二、学习目标：
1．知道二次函数与一元二次方程的关系．
2．会用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式△＝b2－4ac判断二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点的个数．
三、探索新知
1．问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t－5t2．
考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
41236900 （2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
2．观察图象：
（1）二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有____个交点，则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式△＝_______0；
（2）二次函数y＝x2－6x＋9的图象与x轴有___________个交点，则一元二次方程
x2－6x＋9＝0的根的判别式△＝_______0；
（3）二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴________公共点，则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式△_______0．
20618450
四、理一理知识
1．已知二次函数y＝－x2＋4x的函数值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程__________________．反之，解一元二次方程－x2＋4x＝3又可以看作已知二次函数__________________的函数值为3，求自变量x的值．
一般地：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m．反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m，求自变量x的值．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式△＝b2－4ac．
200914013970 （1）当△＝b2－4ac＞0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点；
19996154445 （2）当△＝b2－4ac＝0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点；
19996157620 （3）当△＝b2－4ac＜0时 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．
五、基本知识练习
1．二次函数y＝x2－3x＋2，当x＝1时，y＝________；当y＝0时，x＝_______．
2．二次函数y＝x2－4x＋6，当x＝________时，y＝3．
3．如图，
457200-6350
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
的解为________________
4．如图74168050165
一元二次方程ax2＋bx＋c＝3
的解为_________________
5．如图74168053975 填空：
（1）a________0
（2）b________0
（3）c________0
（4）b2－4ac________0

六、课堂训练
1．特殊代数式求值：
9702800 ①如图 看图填空：
（1）a＋b＋c_______0
（2）a－b＋c_______0
（3）2a－b _______0
97028099060②如图 2a＋b _______0
4a＋2b＋c_______0
2．利用抛物线求解一元二次方程及一元二次不等式
00 （1）方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________；
（2）方程ax2＋bx＋c＝－3的根为__________；
（3）方程ax2＋bx＋c＝－4的根为__________；
（4）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________；
（5）不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为________；
（6）不等式－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为________．
七、目标检测
327469599060根据图象填空：
（1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0；
（4）△＝b2－4ac_____0；（5）a＋b＋c_____0；
（6）a－b＋c_____0；（7）2a＋b_____0；
（8）方程ax2＋bx＋c＝0的根为__________；
（9）当y＞0时，x的范围为___________；
（10）当y＜0时，x的范围为___________；
八、课后训练
一、选择题
1、若y＝（2－m）是二次函数，且图象开口向上，则m的值为（ ）
A. B. － C. D. 0
2、直线y＝2x－1与抛物线y＝x2的交点坐标是（ ）
A. （0，0），（1，1） B. （1，1）
C. （0，1），（1，0） D. （0，－1），（－1，0）;
3、如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点， 交y 轴于点C， 则△ABC的面积为（ ）
A. 6 B. 4 C. 3 D. 1
4、若ab＞0，函数y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是（ ）
5、二次函数y＝x2＋4x＋a的最小值是2，则a的值是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则有（ ）
A. a＞0，b＞0 B. a＞0，c＞0 C. b＞0，c＞0 D. a、b、c都小于0
7、关于函数y＝2x2－8x，下列叙述中错误的是（ ）
A. 函数图象经过原点
B. 函数图象的最低点是（2，－8）
C. 函数图象与x轴的交点为（0，0），（4，0）
D. 函数图象的对称轴是直线x＝－2
8、若抛物线y＝ax2－6x经过点（2，0），则抛物线顶点到坐标原点的距离为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
9、已知抛物线y＝4x2－11x－3，求它与x轴、y轴的交点坐标是
15题
三、解答题
10.已知二次函数y=-x2+4x-3,其图象与y轴交于点B,与x轴交于A, C 两点. 求△ABC的周长和面积.
11、已知二次函数的图象与x轴交于点A和B，与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）若点A的坐标为（1，0），求二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使以P、O、B为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【课后训练参考答案】
一、1、B 2、B 3、C 4、D 5、C 6、C 7、D 8、B
二、9、与x轴的交点坐标为（－0.25，0），（3，0），与y轴的交点坐标为（0，－3）．
三、10、令x=0,得y=-3,故B点坐标为(0,-3).
解方程-x2+4x-3=0,得x1=1,x2=3.
故A、C两点的坐标为(1,0),(3,0).
所以AC=3-1=2,AB=false,BC=false, OB=│-3│=3.
C△ABC=AB+BC+AC=false.
S△ABC=falseAC·OB=false×2×3=3.
11、（1）C（0，－3）；
（2）将（1，0）代入中，得m＝2，所以二次函数的解析式为；
（3）存在这样的点P，它的坐标分别为（0，1），（0，－1），（0，9），（0，－9）．