人教版数学九年级上册22.1.2　二次函数y＝ax2的图象和性质 教案（表格式）

22.1.2　二次函数y＝ax2的图象和性质
课题
22.1.2　二次函数y＝ax2的图象和性质
授课人
教
学
目
标
知识技能
会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象，能根据图象理解其有关性质.
数学思考
通过类比一次函数的探究方式得到研究特殊的二次函数图象及其性质的探究方式，并根据数形结合的思想探究函数之间的联系和区别.
问题解决
经历探索二次函数y＝ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想与方法.
情感态度
通过画函数图象，认识数形结合的数学方法，体会数学中的特殊与一般的辩证关系，体会数学的内在美.
教学重点
画出二次函数y＝x2的图象，根据函数的图象分析其性质.
教学难点
用描点法准确画出二次函数的图象.
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.回忆二次函数的定义.
教师提出问题，学生进行回答.
定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.
2.我们该如何研究一个函数呢？从哪些方面入手呢？
探究结论：学习一次函数时，先研究正比例函数，同样在学习二次函数时，也是从最简单的二次函数入手，先研究b，c都等于0的情况，即研究最简单的二次函数y＝ax2的图象和性质.
让学生回忆学习函数的过程和方法，引导学生在学习过程中发现研究问题的一般规律.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
问题：如何画出二次函数y＝x2的图象呢？
师生活动：
师生共同讨论，得到画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.
1.列表：
问题：自变量该如何取值呢？
学生交流、讨论，得到结论.
二次函数y＝x2中自变量的取值范围是全体实数，而且当自变量互为相反数时，对应的函数值相等，因此，以原点为中心在原点的左右两侧均匀地选取便于计算的x值即可.
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
2.描点：请同学们把表格中的点在坐标纸上描出来.
3.连线：用平滑的曲线顺次连接各点，在连线过程中，观察图象的形状.
画二次函数y＝ax2的图象是本节课的重点与难点，因此，需要逐步引导，而列表是三个步骤中最为关键的环节，要分析透彻，鼓励学生发表自己的看法.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
1.二次函数y＝x2的图象总结
师生活动：学生在坐标纸上画出图象，教师巡视，及时发现问题，并予以纠正、指导.
教师利用展台展示学生的优秀作品，并引导学生大胆说出图象的特征.
二次函数y＝x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球或掷铅球时球在空中所经过的路线，这条曲线叫做抛物线.抛物线开口方向向上或向下，是轴对称图形，它与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
2.观察类比，探究异同
在同一个平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2和y＝2x2的图象，并观察图象有哪些特征.
师生活动：请同学们在同一平面直角坐标系中画出两个二次函数的图象，完成后观察并分组讨论图象之间的异同点，总结出当a>0时，二次函数y＝ax2的图象特征.
探究二次函数y＝－x2，y＝－x2和y＝－2x2的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点.
师生活动：教师利用几何画板进行画图演示，学生观察三个函数图象，并比较异同，独自总结规律.教师进行个别提问，学生独立作答，师生共同确定规律.
3.总结归纳，形成规律
总结二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的特征.
学生独立归纳二次函数y＝ax2的图象特征，并填表：
二次函数
图象的形状
开口方向
对称轴
顶点坐标
y＝ax2
a>0
a<0
归纳：一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大.
练习：在平面直角坐标系中画出二次函数y＝0.2x2的图象，并填空.
二次函数y＝0.2x2的图象是一条开口向　上　的抛物线，对称轴是　y轴　，顶点坐标是　（0，0）　，当x＝　0　时，y有最　小　值，为　0　.
1.在同一平面直角坐标系中画函数图象，使得对比更加强烈，小组讨论的学习方式可以使个人想法得到纠正和补充.
2.利用几何画板进行动态演示，所画抛物线准确，对比明显，结论易得，使学生感受深刻.
3.在分析总结过程中，把所得结论填进表格，对学生思路起到了引导作用，更直观易懂.
4.设置同步练习，可以巩固新知，促进理解.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1　下列说法错误的是（ C ）
A.在二次函数y＝2x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大
B.在二次函数y＝－6x2中，当x＝0时，y有最大值0
C.a越大，抛物线y＝ax2（a≠0）的开口越小；a越小，抛物线y＝ax2（a≠0）的开口越大
D.不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点
例2　已知点（－1，y1），（2，y2），（3，y3）均在抛物线y＝－4x2上，下列结论正确的是（ D ）
A.y1C.y3学生自主解答问题后，分组展开讨论，待学生充分交流后，教师组织学生展示自己的答案，共同得到正确的结论.
变式练习：1.关于函数y＝－x2的图象及性质，描述错误的是（ D ）
A.它的图象关于y轴对称
B.当x＜0时，y随x的增大而增大
C.原点是该抛物线上的最高点　
D.当x为任意实数时，函数值y总是负数
2.对于二次函数y＝mxm2－1，在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则m＝　－　.
1.例1复习了二次函数y＝ax2的图象及其特点.
2.例2培养学生用数形结合的思想解决问题的能力.
【拓展提升】
例3　已知a≠0，b<0，则一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2的图象可以是图22－1－11中的（ C ）
图22－1－11
例4　若抛物线y＝ax2与直线y＝－x交于点（1，m），求m的值及抛物线的函数解析式.[答案：m＝－1，y＝－x2]
给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，并对学习有困难的学生适当引导、点拨.
例3、例4是一次函数与二次函数相结合的数形结合问题，让学生体会参数对图象的作用.
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1.函数y＝－x2的图象是一条　抛物　线，开口向　下　，对称轴是　y轴　，顶点坐标是　（0，0）　.
2.已知抛物线y＝ax2（a≠0）和直线y＝kx（k≠0）的交点是P（－1，2），则a＝　2　，k＝　－2　.
3.已知函数y＝mxm2＋1的图象是不经过第一、二象限的抛物线，则m＝　－1　.
4.已知二次函数y＝－x2，当x15.已知函数y＝xm2＋m－4是关于x的二次函数.
（1）求满足条件的m的值；
（2）当m为何值时，抛物线有最低点？并求出这个最低点.这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）当m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
从简单的应用开始，及时巩固新知，让学生获得对二次函数y＝ax2（a≠0）的图象和性质的深层次的理解，从多个角度进行检测，达到学有所成的目的.
1.课堂总结：
请同学们回顾本课的学习内容，思考以下问题：
（1）二次函数y＝ax2的图象是什么样子的？
（2）二次函数y＝ax2中的a对函数图象有什么影响？
教师提示：明确二次函数图象的开口方向、顶点坐标及对称轴，能够分析函数的增减性.
2.布置作业：
（1）教材第41页习题22.1第3，4题.
（2）补充题：已知直线y＝kx与抛物线y＝ax2都经过点（－1，6）.
①求直线及抛物线的函数解析式；
②判断点（k，a）是否在抛物线上；
③若点（m，a）在抛物线上，求m的值.
小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在创设情境环节中，教师应给予充分的时间让学生交流、讨论、作图，学生通过自己作图得到函数图象；在探究新知环节中，在学生总结自己的想法和结论后，教师及时做好总结和归纳，学生接受较快，效果明显.
②[讲授效果反思]
教师引导学生在分析二次函数的图象时从以下几点进行考虑：
（1）开口方向；（2）对称轴；（3）顶点坐标；（4）函数增减性.
③[师生互动反思]
在教学过程中，学生充分发挥主动性，每个学生都能积极主动参与，成为课堂的主人.
④[习题反思]
好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
典案二 导学设计
一、阅读课本：
二、学习目标：
1．知道二次函数的图象是一条抛物线；
2．会画二次函数y＝ax2的图象；
3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．
三、探索新知：
画二次函数y＝x2的图象．
【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】
列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
…
97028080010描点，并连线
由图象可得二次函数y＝x2的性质：
1．二次函数y＝x2的图象是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2．二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的图象开口__________．
3．自变量x的取值范围是____________．
4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．
5．抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（ ， ）叫做抛物线y＝x2的_________．
因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________．
6．抛物线y＝x2有____________点（填“最高”或“最低”） ．
四、例题分析
例1 在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝x2，y＝2x2的图象．
解：列表：
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝x2
…
…
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝x2
…
…
x
…
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y＝2x2
…
…
93599060960描点、连线
归纳：抛物线y＝x2，y＝x2，y＝2x2的二次项系数a_______0；顶点都是__________；
对称轴是_________；顶点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．
例2 请在例1的直角坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－x2， y＝－2x2的图象．
列表：
x
…
－4
-3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝-x2
…
…
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y=－x2
…
…
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝－2x2
…
…
归纳：抛物线y＝－x2，y＝－x2， y＝－2x2的二次项系数a______0，顶点都是________，对称轴是___________，顶点是抛物线的最________点（填“高”或“低”） ．
五、理一理
1．抛物线y＝ax2的性质
图象（草图）
开口
方向
顶点
对称轴
有最高或最低点
最值
a＞0
当x＝____时，y有最_______值，是______．
a＜0
当x＝____时，y有最_______值，是______．
2．抛物线y＝x2与y＝－x2关于________对称，因此，抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于_______
对称，开口大小_______________．
3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________；
当a＜0时，｜a｜ 越大，抛物线的开口越_________；
因此，｜a｜ 越大，抛物线的开口越________，反之，｜a｜ 越小，抛物线的开口越________．
六、课堂训练
1．填表：
开口方向
顶点
对称轴
有最高或最低点
最值
y＝x2
当x＝____时，y有最_______值，是______．
y＝－8x2
2．若二次函数y＝ax2的图象过点（1，－2），则a的值是___________．
3．二次函数y＝(m－1)x2的图象开口向下，则m____________．
4．如图，73088590170 ① y＝ax2
② y＝bx2
③ y＝cx2
④ y＝dx2
比较a、b、c、d的大小，用“＞”连接．
___________________________________
七、目标检测
1．函数y＝x2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，
当x＝___________时，有最_________值是_________．
3846830952502．二次函数y＝mxfalse有最低点，则m＝___________．
3．二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示，则k的取值
范围为___________．
4．写出一个过点（1，2）的函数解析式_________________．