(共21张PPT)
第13章 全等三角形
13．5 逆命题与逆定理
13．5.3 角平分线
1．角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离_______．
练习1.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AD＝3，则点D到BC的距离是______．
2．在角的内部到角的两边距离相等的点在______________上．三角形的三条角平分线交于一点，这一点到三边的距离_________．
相等
3
角的平分线
相等
知识点一：角平分线的性质
1．(怀化中考)如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是点C，D，则下列结论错误的是(
)
A．PC＝PD
B．∠CPD＝∠DOP
C．∠CPO＝∠DPO
D．OC＝OD
B
2．如图，∠AOB＝40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA，MB⊥OB，垂足分别为点A，B，则∠MAB的度数为(
)
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
D
B
4．如图，OP平分∠MON
，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为______．
2
知识点二：角平分线的判定
5．如图，若点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三条角平分线的交点．上述结论中正确的有(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D
6．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为点D，C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小关系是(
)
A．∠1＝∠2
B．∠1＞∠2
C．∠1＜∠2
D．不能确定
A
7．如图，∠AOB＝70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC＝QD，则∠AOQ＝________．
35°
8．(2017春·崇仁县校级月考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝3
cm，那么AE＋DE等于(
)
A．2
cm
B．3
cm
C．4
cm
D．5
cm
B
A
10．(2017春·盐都区月考)如图，AB∥CD，点O为∠BAC，∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝1，则AB与CD之间的距离等于____．
2
11．如图，有三条公路l1，l2，l3两两相交，要选择一地点建一座加油站，使加油站到三条公路的距离相等，不考虑其他因素，则符合条件的地点有____个．
4
12．(咸宁中考)证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，____________________．
求证：_____________．
请你补全已知和求证，并写出证明过程．
解：证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°，易证Rt△PDO≌Rt△PEO(A.A.S.)，∴PD＝PE
PD⊥OA，PE⊥OB
PD＝PE
13．如图，BF是∠DBC的平分线，CF是∠ECB的平分线，点F是否在∠BAC的平分线上？请说明理由．
解：点F在∠BAC的平分线上．理由：过点F作FM⊥AD于点M，FN⊥BC于点N，FP⊥AE于点P，∵BF平分∠DBC，∴FM＝FN，∵CF平分∠ECB，∴FN＝FP，∴FM＝FP，∴点F在∠BAC的平分线上
15．如图，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
(1)如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
(2)如图②，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，你在(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
解：(1)FE＝FD (2)FE＝FD仍然成立．证明：如图，在AC上截取AG＝AE，连结FG.由∠1＝∠2，AF为公共边，易证△AEF≌△AGF(S.A.S.)．∴∠AFE＝∠AFG，FE＝FG，又∵∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，∴∠2＋∠3＝60°，∴∠CFD＝∠2＋∠3＝60°，∴∠AFE＝∠AFG＝∠CFD＝60°，∴∠CFG＝60°.∵∠3＝∠4，FC为公共边，∴△CFD≌△CFG(A.S.A.)，∴FG＝FD，∴EF＝FD(共20张PPT)
第13章 全等三角形
13．5 逆命题与逆定理
13．5.1 互逆命题与互逆定理
1．互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的________，而第一个命题的结论是第二个命题的_________，那么这两个命题叫做______________．如果把其中一个命题叫做__________，那么另一个命题就叫做它的逆命题．
练习1.已知命题：全等三角形的面积相等，则其逆命题
是(
)
A．不全等三角形的面积不相等
B．面积不相等的两个三角形不全等
C．面积相等的两个三角形全等
D．全等三角形的面积相等
结论
条件
互逆命题
原命题
C
2．互逆定理：如果一个定理的逆命题也是________，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的____________．
练习2.“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是___________________________________，它_______原命题的逆定理．(后一个空填“是”或“不是”)
定理
逆定理
同旁内角互补，两直线平行
是
知识点一：互逆命题
1．已知命题：如果a＝b，那么|a|＝|b|.该命题的逆命题是(
)
A．如果a＝b，那么|a|＝|b|
B．如果|a|＝|b|，那么a＝b
C．如果a≠b，那么|a|＝|b|
D．如果|a|≠|b|，那么a≠b
B
2．下列命题的逆命题是真命题的是(
)
A．同角的补角相等
B．正多边形的各角相等
C．个位数字为0的数能被5整除
D．等腰三角形两个底角相等
D
3．已知下列命题：①若a≤0，则|a|＝－a；②若ma2＞na2，则m＞n；③对顶角相等；④两直线平行，内错角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．如果x＝a，那么(x－a)(x－b)＝0，它的逆命题是____________________________________________，它是______命题．(填“真”或“假”)
B
如果(x－a)(x－b)＝0，那么x＝a
假
知识点二：互逆定理
5．下列说法中正确的是(
)
A．任何一个命题都有逆命题
B．若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
C．任何一个定理都有逆定理
D．若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题
A
6．下列定理中有逆定理的是(
)
A．同角的余角相等
B．若两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行
C．平行于同一条直线的两直线互相平行
D．有两角相等的三角形是等腰三角形
7．下列定理中，没有逆定理的是(
)
A．内错角相等，两直线平行
B．直角三角形的两锐角互余
C．互为相反数的两个数绝对值相等
D．两内角相等的三角形是等腰三角形
D
C
8．判断下面两个定理是否有逆定理，若有，请写出它的逆定理；若没有，请说明理由．
(1)在一个三角形中，等角对等边；
(2)四边形的内角和等于360°.
解：
(1)有逆定理，它的逆定理为：在一个三角形中，等边对等角 (2)有逆定理，它的逆定理为：内角和等于360°的多边形是四边形
9．观察下列各命题，其逆命题是假命题的个数有(
)
①有两边相等的三角形是等腰三角形；②同位角相等，两直线平行；③在直角三角形中，有两个角是锐角；④全等的两个三角形的面积相等．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
10．如图，AB，CD相交于点E，现给出如下三个论断：①∠A＝∠C；②AD＝CB；③AE＝CE.请你选择其中两个论断作条件，另外一个论断为结论，构造一个命题．在构成的所有命题中，真命题有(
)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
C
11．写出你知道的一组互逆定理：_____________________________________________________________．
12．下列命题中：①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等．其逆命题成立的是_______.(填序号)
两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行(答案不唯一)
①
14．已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”．
(1)写出逆命题；
(2)逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出“图形”，写出“已知”，“求证”，再进行“证明”；如果是假命题，请举反例说明．
解：
(1)逆命题：两边上的高相等的三角形是等腰三角形
(2)真命题．已知：△ABC的两边AB，AC上的高BD，CE相等．求证：△ABC是等腰三角形．证明：∵BD，CE是△ABC的高，∴CE⊥AB，BD⊥AD，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵∠A＝∠A，BD＝CE，∴Rt△ADB≌Rt△AEC(A.A.S.)，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形
15．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，若AB＝AC＋CD，那么∠C＝2∠B.请写出该命题的逆命题，并证明它是真命题．
解：逆命题：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2.若∠C＝2∠B，那么AB＝AC＋CD.证明：延长AC至E，使EC＝DC，连结DE.∵DC＝EC，∴∠CDE＝∠E.又∵∠ACD＝∠E＋∠CDE，∠ACD＝2∠B，∴∠B＝∠E.又∵∠1＝∠2，AD＝AD，∴△ABD≌△AED，∴AB＝AE，∴AB＝AC＋CE＝AC＋CD(共20张PPT)
第13章 全等三角形
13．5 逆命题与逆定理
13．5.2 线段垂直平分线
1．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离________．
练习1.如图，PO是线段CB的垂直平分线，若CB＝10
cm，PC＝7
cm，则PB＝______cm，CO＝______cm.
相等
7
5
2．到线段两端距离相等的点在线段的________________上．三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三个顶点的距离_______．
练习2.如图，PA＝PB，QA＝QB，则直线PQ是线段AB的___________________．
垂直平分线
相等
垂直平分线
A
A
3．在△ABC中，AC，BC的垂直平分线交于点O，若点O到点A的距离为3
cm，则点O到点B的距离为_________.
4．如图，AD是线段BC的垂直平分线，EF是线段AB的垂直平分线，点E在AC上，且BE＋CE＝20
cm，则AB＝_______cm.
3
cm
20
知识点二：线段垂直平分线的判定
5．(2017·邢台县模拟)到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(
)
A．三条高的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条中线的交点
C
6．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在(
)的垂直平分线上．
A．AB
B．AC
C．BC
D．不能确定
B
7．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以点A为顶点，AC为一边在△ABC外部作∠CAE＝∠B，AE交BC的延长线于点E.
求证：点E在线段AD的垂直平分线上．
解：∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠ADE＝∠BAD＋∠B，∠DAE＝∠DAC＋∠CAE，∠B＝∠CAE，∴∠ADE＝∠DAE，∴AE＝DE，∴点E在线段AD的垂直平分线上
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，下列结论错误的是(
)
A．BD平分∠ABC
B．点D是AC的中点
C．AD＝BD＝BC
D．△BDC的周长等于AB＋BC
B
9．如图，在△ABC中，AD⊥BE于点D，点C是BE上一点，BD＝DC，且点C在AE的垂直平分线上．若△ABC的周长为22
cm，则DE的长为_______cm.
11
10．如图，点D是线段AC，AB的垂直平分线的交点，若∠ACD＝30°，∠BAD＝40°，则∠BCD的大小是_________．
20°
11．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，分别作AC，AB边的垂直平分线PM，PN交于点P，分别交BC于点F，E.则以下各说法中：①∠MPN＝60°；②∠EAF＝60°；③点P到点B和点C的距离相等；④PE＝PF.正确的说法是___________．(填序号)
①②③
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E.
(1)若∠A＝60°，则∠DCB＝________，∠ADC＝_________；
(2)若∠B＝30°，BD＝5，求△ACD的周长．
解：∵BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，∠B＝30°，BD＝5，∴CD＝BD＝5，∠DCB＝30°.∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°－30°＝60°，∠ACD＝90°－∠DCB＝90°－30°＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴△ACD的周长＝3CD＝3×5＝15
30°
60°
13．如图，AB∥CD，∠BAE＝∠DCF，AC，EF相交于点M，且AM＝CM.
(1)求证：AE∥CF；
(2)若AM平分∠FAE，求证：FE垂直平分AC.
解：(1)∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.又∵∠BAE＝∠DCF，∴∠EAM＝∠FCM，∴AE∥CF (2)∵AM平分∠FAE，∴∠FAM＝∠EAM，又∵∠EAM＝∠FCM，∴∠FAM＝∠FCM，∴△FAC是等腰三角形，又∵AM＝CM，∴FM⊥AC，即EF垂直平分AC
14．如图，在锐角三角形ABC中，AB，AC边的垂直平分线交于点O.
(1)若∠A＝α(0°＜α＜90°)，求∠BOC；
(2)试判断∠ABO＋∠ACB是否为定值；若是，求出定值，若不是，请说明理由．
15．(2017春·崇仁县校级月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连结BF，DE.线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．
