北师大版数学八年级上册 1.3 勾股定理的应用 教案

3　勾股定理的应用
课题
3　勾股定理的应用
授课人
教
学
目
标
知识技能
能灵活运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题.
数学思考
在将实际问题抽象成数学问题的过程中,提高分析问题、解决问题的能力,渗透数学建模的思想.
问题解决
培养学生应用数学的能力,体会数学在生活中的作用.
情感态度
激发学生强烈的求知欲,使学生享受运用数学思想解决生活问题的成功体验.
教学重点
应用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题.
教学难点
从实际问题中合理抽象出数学模型.
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体课件、三角板
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
勾股定理及直角三角形的判别条件是什么?
学生回忆并回答,为本节课的学习提供迁移或类比方法.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
观看图片,引出问题:有一块长方形绿地,绿地周边是小路,在绿地旁边的B处有健身器材.居住在A处的居民为了走近路而不惜践踏草地直接从A到B.
问题1:各位同学,你知道他们为什么不走绿地周边的小路吗?
问题2:如图1-3-11,假设入口A到拐角C处3米,拐角C到健身器材B处4米,你能计算出小草受伤的代价是他们少走几步吗?(假设2步为1米)
图1-3-11
用学生熟悉的生活实例引入并提出问题,使学生的参与兴趣浓厚、探究热情高涨,既复习了本节课需要用到的基本事实“两点之间,线段最短”和勾股定理的计算,又为下一环节奠定了良好的课堂氛围基础.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】
李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB,但他只随身带了卷尺.
(1)你能替他想办法完成任务吗?
(2)李叔叔量得边AD的长是30 cm,边AB的长是40 cm,点B,D之间的距离是50 cm.边AD垂直于AB吗?
(3)小明随身只有一个长度为20 cm的刻度尺,他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗?边BC与边AB呢?
图1-3-12
方法总结:判断线段的垂直关系时,一般是把线段放到三角形中,利用勾股定理的逆定理证得直角三角形,进而得到线段的垂直关系.
【探究2】
吴老师在与同学们进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下问题,请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程.
如图1-3-13,长方体的长为9 cm,宽为7 cm,高为12 cm,一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表面爬到点C1处,怎样爬行,路线最短?
图1-3-13
按照图1-3-14①方式进行展开,在Rt△AC1C中运用勾股定理计算AC1的长度;
按照图1-3-14②方式进行展开,在Rt△AC1B中运用勾股定理计算AC1的长度.
你能求出最短路程吗?
图1-3-14
方法总结:在立体图形中运用勾股定理解决实际问题,一定要注意转化思想的运用,通常采取的方式是将立体图形进行展开,从而转化为平面图形,接着通过构造直角三角形,运用勾股定理进行问题求解.
1.运用直角三角形的判别条件来解决实际问题,让学生学会分析问题,利用允许使用的工具灵活处理问题.
2.在立体图形中运用勾股定理计算线段最值时,要通过引导学生将几何体展开,并要求学生会运用转化的数学思想,从而使其在以后解决问题时能够不再拘泥于单纯的计算,而是要进行思考动手操作,进而培养学生的思考能力、动手能力以及探究能力.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例　(教材例题)图1-3-15是一个滑梯示意图,若将滑道AC水平放置,则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3 m,CD=1 m,试求滑道AC的长.
图1-3-15
　变式训练
如图1-3-16,小华将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处,发现此时绳子末端距离地面2 m,则旗杆的高度为　　　　m.?
图1-3-16
图1-3-17是学校的旗杆示意图,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出一段,现在老师想知道旗杆的高度,你能帮老师想个办法吗?说出你的设计方案.
图1-3-17
3.如图1-3-18,有一个高为1.5 m、半径是1 m的圆柱形油桶,在靠近边的地方有一小孔,从孔中插入一铁棒,已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m,问这根铁棒最多有多长.
图1-3-18
4.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题,这个问题的意思是:有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面(如图1-3-19),请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少.
图1-3-19
本例题是利用勾股定理解决实际问题的又一个类型,在训练学生的读题能力和规范书写解题过程的能力的基础上,可以使学生进一步理解勾股定理,体会数学与现实世界的联系.
【拓展提升】
1.甲、乙两位探险者到沙漠探险,某日早晨8:00,甲先出发,他以6 km/h的速度向正东匀速行走,1小时后乙出发,他以5 km/h的速度向正北匀速行走.上午10:00,甲、乙两人相距多远?
2.如图1-3-20,台阶A处的蚂蚁要到B处搬运食物,它怎么走最近?并求出最近距离(每级台阶完全相同).
图1-3-20
3.如图1-3-21,一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为12 cm,8 cm,6 cm,一尺蚂蚁想从盒底的点A处沿盒的表面爬到盒顶的点B处,你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗?蚂蚁要爬行的最短路程是多少?
图1-3-21
审题是解题的关键,通过运用勾股定理,学会解决简单的实际问题,让学生认识到数学在现实世界中有着广泛的应用,培养了学生的应用意识.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.小雨用竹竿扎了一个长80 cm、宽60 cm的长方形框架,由于四边形容易变形,需要用一根竹竿作斜拉杆将四边形定形,则斜拉杆最长需　　　　 cm.?
2.小杨从学校出发向南走了150米,接着又向东走了360米到达了九龙山商场,则学校与九龙山商场的距离是　　　米.?
3.如图1-3-22,阴影部分的半圆的面积是多少?(π取3.14)
图1-3-22
学以致用,当堂检测,及时获知学生对所学知识的掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,使每个学生都能有所收益、有所提高,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的.
【课堂总结】
学生活动:通过本堂课的学习,你有哪些收获?你有哪些困惑?对同学们,你有哪些温馨提示?
教学说明:学生畅谈自己的收获,通过本节课的学习,同学们经历了运用勾股定理解决简单实际问题的过程,体会转化思想及数学和生活的密切联系.
作业:
课本P14习题1.4中的T3、T4.
【板书设计】
3　勾股定理的应用
创设情境,导入新课　　例　　　　　学生展示:
合作探究,交流展示 变式训练
提纲挈领,重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
兴趣是最好的老师,学生只有对数学感兴趣,才想学、乐学,最后学会、学好,这就要求老师从“入趣点”着手.通过学生身边熟悉的问题引入,可以引起学生的情感共鸣,拉近与学生的距离,激发学生的学习兴趣.
②[讲授效果反思]
学生对知识的形成需要一个过程,甚至是反复的学习,本节课知识容量大,如果仅仅将解题过程投放在屏幕上,学生根本来不及思考,所以在教学中板书必不可少,它既能给学生的思维增添时间和空间,又可以规范学生解题的格式.
③[师生互动反思]
　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　
　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　
④[习题反思]
好题题号　　　　　　　　　　　　 　　　　　　?
错题题号　　　　　　　　　　　　　　 　　　　?
反思,更进一步提升.
典案二 导学设计
一、学习目标
1、能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题。
2、能在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力，进一步深化对构造法和代数计算法和理解。
3、培养学生从空间到平面的想象能力，运用数学方法解决实际问题的创新能力及探究意识。
二、学习方法
自主探究与合作交流相结合
三、学习重难点
A
B
如何将立体图形展开成平面图形，利用平面几何相关知识如对称、线段公理、点到直线的距离等求最短路径问题。
四、学习过程
模块一 预习反馈
1、自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，
你觉得哪条路线最短呢？
2、 直角三角形两锐角 ，三边满足 .
3、如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是 。
4、两点之间的 最短，但蚂蚁在圆柱体表面爬行时，所走路线必定为 线。
5、立体图形转化为 图形，再转化为 问题。
6、如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为 .
第5题

7、如图，李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD和BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了有刻度的卷尺。
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD长30厘米，AB长40厘米，BD长50厘米，则AD边垂直于AB边吗？
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有加减法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
模块二 合作探究
1、你能再帮帮下面两位探险者吗？
甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源。为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米。早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？
2、如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？
right100965
A
B
3、问：一只壁虎在油桶的下边缘A，发现油桶的上边缘B处有一只小虫子，壁虎想吃掉这只虫子，但又怕虫子发现它而跑掉。于是，壁虎想出了一个好办法，它不直接向虫子爬，而是绕着油桶爬行，如图所示，避开小虫子的视线，从小虫子背后偷袭。你知道按照壁虎的办法怎样爬行路最短吗？
模块三 形成提升
1、某工厂的大门是一个长方形ABCD，上部是以AB为直径的半圆，其中AD=2.3m，AB=2m。现在有一辆装满货物的卡车，高2.5m，宽1.6，问这辆卡车能否通过厂门？并说明你的理由。
2、历史趣题：在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面。请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
4000500119380
A
3、问：寒冷的冬天，你需要一杯热热的朱古力。可是在调制的过程中，老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部的饮料。已知圆柱形水杯的底面直径为5cm，高为12cm，你能帮老师计算一下搅拌棒至少要多长吗？老师新买的一根长为24cm的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为hcm，你能求出h的取值范围吗？

模块四 小结评价
这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
知识：
方法：
本节易错点：
课外作业：
A层：
1. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，
①若a=14，b=48，则c=________； ②若a=8，c=17，则b=_______.
2．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ）
A．600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定
3．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草）．
40278053041654．如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则S3=___ _．
B层：
false1、如右图，木长二丈，它的一周是3尺，生长在木下的葛藤缠木七周，上端恰好与木齐，问葛藤长多少？
2、如图所示，有一长为8cm，宽为4cm，高为5cm的长方体，在它的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？你能求出来吗？
right100965

3．第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的. 设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=……=A8A9=1，请你计算OA9的长.
典案三 学案设计
false科目
数学
课题
勾股定理的应用
主备人
审核人
学案
类型
新授
学案
编号
学 习 目 标
在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．
重点：探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题
装 订 线
难点：利用勾股定理及逆定理，解决实际问题．
学法指导及使用说明：
知识链接：圆柱的展开图、勾股定理
一、【自学感知】解决下列问题：
1、自己做一个圆柱，在圆柱的上下底面圆上分别标出两点，思考并找出这两点之间的最短路线？画出图形说明。
false
2、求圆柱下底面圆上一点到上底面圆上一点之间的距离时，需将 展开，转化为求平面上两点之间的 。
二、自学探究与合作交流
【自学1】
如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
22987081280

⑴利用学具，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条线路，你觉得那条线路最短？由问题⑵想一想，此问题是通过怎样的转换得以化简的。
【合作1】

falsefalse

（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，
从A点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗?
（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
解：依题意，把圆柱的侧面展成如图所示的长方形，求最短路线问题就变成了根据 求 三角形边的问题。
【自学2】
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？
3200400198120（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
三、例题讲解
题型一 勾股定理与方程（组）的综合应用
典题1 ：在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里的水多深？

题型二 求立体图形中的两点间的最短距离
典题2:如图，一只昆虫从棱长为2的正方体的顶点A爬到顶点B，需爬的最短路径有多远？

四、课堂练习：
1、如图，台风后，某校的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部离旗杆底部8米处，已知旗杆的原长为16米，则旗杆在离地 米处断裂。

2、已知：如图，△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°，若将△ABC折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长为 。


3、如图，圆柱的高为10 cm，底面半径为2 cm.，在下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处，需要爬行的最短路程是
4、如图，长方体的高为3 cm，底面是边长为2 cm的正方形. 现有一小虫从顶点A出发，沿长方体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为 。



总结评价：今天的学习，我学会了：

我在 方面的表现很好，在
方面表现不够，以后要注意的是：
总体表现（优、良、差），愉悦指数（高兴、一般、痛苦）。

备注（教师复备栏及学生笔记）
备注（教师复备栏及学生笔记）
备注（教师复备栏及学生笔记
备注（教师复备栏及学生笔记
备注（教师复备栏及学生笔记