(共25张PPT)
12.2
三角形全等的判定
第3课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等
R·八年级上册
学习目标
【知识与技能】
掌握两个三角形全等的条件:“ASA”与“AAS”，并指出用它们判别三角形是否全等.
【过程与方法】
经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思问题的能力，形成理性思维.
【情感态度】
敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难.
【教学重点】
理解、掌握三角形全等的条件：“ASA”、“AAS”.
【教学难点】
探究出“ASA”“AAS”及它们的应用.
新课导入
一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来形状大小相同的三角形硬纸板吗？下面我们带着这个问题学习判定三角形全等的两个重要方法.
推进新课
问题1 先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′
=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即两角和它们的夹边分别相等）．把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC
上，它们全等吗？
探究“ASA”判定方法
知识点1
探究
D
E
A′
B′
C′
现象：两个三角形放在一起
能完全重合．
说明：这两个三角形全等．
画法：
（1）
画A′B′=AB；
（2）在A′B′的同旁画∠DA′B′
=∠A，∠EB′A′
=∠B，A′D，B′E相交于点C′
．
几何语言：
在△ABC
和△
A′B′
C′
中，
∴△ABC
≌△
A′B′
C′（ASA）．
归纳概括“ASA”判定方法:
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简写为“角边角”或“ASA”）．
∠A
=∠A′，
AB
=
A′B′，
∠B
=∠B′，
解决实际问题
如图，小明、小强一起踢球，不小心把一
块三角形的装饰玻璃踢碎了，摔成了3
块，两人决定赔偿．你能告诉他们只带其中哪一块去玻璃店，就可以买到一块完全一样的玻璃吗？
3
2
1
证明：在△ABE
和△ACD
中，
∴ △ABE
≌△ACD（ASA）．
∴ AE
=AD．
∠B
=∠C，
AB
=
AC
，
∠A
=∠A（公共角）
，
例1 如图，点
D
在
AB
上，点
E
在
AC上，AB=AC，∠B
=∠C．求证
AD
=AE．
例2 如图，在△ABC
和△DEF
中，∠A
=∠D，∠B
=∠E，BC
=EF
.
求证△ABC
≌△DEF.
探究“AAS”判定方法
知识点2
证明：在△ABC
中，
∠A
+∠B
+∠C
=180°，
∴∠C
=
180°-∠A-∠B.
同理∠F
=180°-∠D
-∠E.
又
∠A
=∠D，
∠B
=∠E，
∴∠C
=
∠F
.
在△ABC
和△DEF
中，
∴△ABC
≌△DEF（ASA）．
∠B
=∠E，
BC
=
EF
，
∠C
=∠F
，
归纳概括“AAS”判定方法:
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写为“角角边”或“AAS”）．
也就是说，三角形的两个角的大小和其中一个角的对边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就确定了.
证明：∵ ∠DAB
=∠EAC，
∴ ∠DAC
=∠EAB.
∵ AE⊥BE，AD⊥DC，
∴ ∠D
=∠E
=90°.
在△ADC
和△AEB
中，
A
B
C
D
E
问题2 如图，AE⊥BE，AD⊥DC，CD
=BE，∠DAB
=∠EAC．求证：AB
=AC．
A
B
C
D
E
问题2 如图，AE⊥BE，AD⊥DC，CD
=BE，∠DAB
=∠EAC．求证：AB
=AC．
∠DAC
=∠EAB，
∠D
=∠E，
CD
=BE，
∴ △ADC
≌△AEB（AAS）．
∴ AB
=AC．
证明：
问题3 如图，E，F
在线段AC上，AD∥CB，AE
=
CF．若∠B
=∠D，求证：DF
=BE．
A
B
C
D
E
F
证明：∵ AD∥CB
，
∴ ∠A
=∠C.
∵ AE
=CF
，
∴ AF
=CE.
在△ADF
和△CBE
中,
问题3
如图，E，F
在线段AC上，AD∥CB，AE
=
CF．若∠B
=∠D，求证：DF
=BE．
A
B
C
D
E
F
∠A
=∠C，
∠D
=∠B
，
AF
=CE
，
∴ △ADF
≌△CBE（AAS）．
∴ DF
=BE．
证明：
变式 若将条件
“∠B
=∠D”变为“DF∥BE”，那么原结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
A
B
C
D
E
F
练习1
如图，EA⊥AB，DB⊥AB，∠ACE
=∠BDC，AE
=BC，试判断CE与CD的关系.
∴△ACE
≌△BDC（AAS）．
∠ACE
=∠BDC，
∠A
=∠B，
AE
=BC，
解：∵EA⊥AB，DB⊥AB，
∴∠A
=∠B
=90°，在△ACE和△BDC中，
∴CE
=CD
.
练习2
判断.
a.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等.
（
）
b.有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等.
（
）
×
√
随堂演练
1.如图，已知AB
=
DC，AD
=
BC，E、F是DB上的两点且BF
=
DE.若∠AEB
=
120°，∠ADB
=
30°，则∠BCF
=（
）
A.150°
B.40°
C.80°
D.90°
基础巩固
D
2.已知：如图，∠ABC
=
∠DEF，AB
=
DE，要证明△ABC≌△DEF，
（1）若以“SAS”为依据，还须添加的一个条件为____________.
（2）若以“ASA”为依据，还须添加的一个条件为_____________.
（3）若以“AAS”为依据，还须添加的一个条件为_____________.
BC
=
EF
综合应用
∠A
=∠D
∠ACB
=∠F
3.如图，点
E、F
在BD上，且
AB
=
CD，BF
=
DE，AE
=
CF，求证：AC
与
BD
互相平分.
拓展延伸
证明：∵BF
=
DE，
∴BF－EF
=
DE－EF，即BE
=
DF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF.
∴∠B
=∠D.
∴AB∥CD.
∴∠BAO
=∠DCO.
在△ABO和△CDO中，
∴△ABO≌△CDO，
∴BO
=
DO，AO
=
CO，即AC与BD互相平分.
课堂小结
D
E
A′
B′
C′
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简称为“角边角”或“ASA”）．
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简称为“角角边”或“AAS”）．
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
谢谢欣赏(共29张PPT)
12.2
三角形全等的判定
第1课时
用“SSS”判定三角形全等
R·八年级上册
学习目标
【知识与技能】
掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性.
【过程与方法】
经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
【情感态度】
通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神.
【教学重点】
掌握三角形全等的“边边边”条件.
【教学难点】
三角形全等条件的探索过程.
新课导入
通过上节课的学习，大家知道：两个三角形全等时，三条对应边相等，三组对应角相等，那么判定两个三角形全等，是否一定需要满足六个条件呢？如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢？从这节课开始，我们来探究全等三角形的判定.
推进新课
∠A
=∠A′
AB
=A′B′
已知△ABC
≌△
A′B′C′，找出其中相等的边与角：
思考 满足这六个条件可以保证△ABC≌△A′B′C′吗？
∠B
=∠B′
BC
=B′C′
∠C
=∠C′
AC
=A′C′
思考 如果只满足这些条件中的一部分，那么能保证△ABC
≌△A′B′C′吗？
追问1 当满足一个条件时，△ABC
与△A′B′C′
全等吗？
不一定全等
三角形全等的“边边边”条件
知识点
①
两边
②
一边一角
③
两角
两个条件
思考 如果只满足这些条件中的一部分，那么能保证△ABC
≌△A′B′C′
吗？
追问2 当满足两个条件时，△ABC
与△A′B′C′全等吗？
不一定全等
①
三边
②
三角
③
两边一角
④
两角一边
三个条件
追问3 当满足三个条件时，
△ABC
与△A′B′C′
全等吗？满足三个条件时，又分为几种情况呢？
思考 如果只满足这些条件中的一部分，那么能保证△ABC
≌△A′B′C′吗？
先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使
A′B′
=
AB，B′C′
=
BC，A′C′
=
AC．把画好的△A′B′C′
剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
探究
画法:
（1）画线段
B′C′=BC
；
（2）分别以
B′、C′为圆心，BA、CA
为半径画弧，两弧交于点
A′；
（3）连接线段
A′B′，A′C′.
A′
B′
C′
三边分别相等的两个三角形全等．简写为“边边边”或“SSS”.
得出结论
思考 作图的结果反映了什么规律？你能用语言描述一下吗？
可以得到以下基本事实：
在△ABC
与
△
A′B′C′中，
∴ △ABC
≌△A′B′C′
（SSS）．
判断两个三角形全等的推理
过程，叫做证明三角形全等.
AB
=A′B′，
AC
=A′C′，
BC
=B′C′，
∵
用符号语言表达:
如图，在△ABC和△DEF中，∵AB
=
DE，AC
=
DF，BC
=
EF，∴△ABC≌△DEF.（特别注意对应的顶点写在对应的位置上.）
练习
定理的几何表述：
证明：∵ D
是BC
中点，
∴ BD
=DC．
在△ABD
与△ACD
中，
∴
△ABD
≌
△ACD
（
SSS
）．
例 如图，有一个三角形钢架，AB
=AC
，
AD
是连接点
A
与
BC
中点
D
的支架．求证：△ABD
≌△ACD
．
AB
=
AC
，
BD
=
CD
，
AD
=
AD
，
∵
作法：
（1）以点O
为圆心，任意长为半径画弧，分别交
OA，OB
于点C、D；
已知：∠AOB．求作：
∠A′O′B′=∠AOB．
用尺规作一个角等于已知角．
O
D
B
C
A
已知：∠AOB．求作：
∠A′O′B′=∠AOB．
用尺规作一个角等于已知角．
O′
C′
A′
O
D
B
C
A
作法：
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC
长为半
径画弧，交O′A′于点C′；
作法：
（3）以点C′为圆心，CD
长为半径画弧，与第2
步
中所画的弧交于点D′；
已知：∠AOB．求作：
∠A′O′B′=∠AOB．
用尺规作一个角等于已知角．
O′
D′
C′
A′
O
D
B
C
A
作法：
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
已知：∠AOB．求作：
∠A′O′B′=∠AOB．
用尺规作一个角等于已知角．
O′
D′
B′
C′
A′
O
D
B
C
A
作法：
（1）以点O
为圆心，任意长为半径画弧，分别交
OA，OB
于点C、D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC
长为半
径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD
长为半径画弧，与第2
步
中所画的弧交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
已知：∠AOB．求作：
∠A′O′B′=∠AOB．
用尺规作一个角等于已知角．
练习
如图，A、D、B、F在一条直线上，BC
=
DE，AC
=
EF，BF
=
AD，求证：△ABC≌△FDE.
证明：∵BF
=
AD，∴BF
+
BD
=
AD
+
DB，即DF
=
AB.
在△ABC和△FDE中，
∴△ABC
≌
△FDE（SSS）.
随堂演练
1.如图，△ABC中，AB
=
AC，EB
=
EC，则由SSS可以判定（
）
A.△ABD≌△ACD
B.△ABE≌△ACE
C.△BDE≌△CDE
D.以上答案都不对
B
基础巩固
2.如图，AB=AD，CB=CD，△ABC
与△ADC全等吗？为什么？
解：全等.∵AB
=
AD，CB
=
CD，AC
=
AC，∴△ABC≌△ADC（SSS）.
3.如图，点
B、E、C、F
在一条直线上，AB
=
DE，AC
=
DF，BE
=
CF，求证：∠A
=∠D.
综合应用
证明：∵BE
=
CF，∴BE+EC
=
CF+EC，
即BC
=
EF，在△ABC
和△DEF
中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）.
∴∠A
=∠D.
4.已知∠AOB，点C是OB边上的一点，用尺规作图，画出经过点C与OA平行的直线.
拓展延伸
解：作图如图所示：
作法：（1）以点
O
为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点
D，E；
（2）以点
C
为圆心，OD
长为半径画弧，交OB
于点
F；
（3）以点
F
为圆心，DE
长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点
P
；
（4）过C，P
两点作直线，直线
CP
即为要求作的直线.
课堂小结
A′
B′
C′
判定两个三角形全等：
三边对应相等的两个三角形全等．简写为“边边边”或“SSS”.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
谢谢欣赏(共30张PPT)
12.2
三角形全等的判定
第2课时用“SAS”判定三角形全等
R·八年级上册
学习目标
【知识与技能】
掌握证明三角形全等的“边角边”定理.
【过程与方法】
1.经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察,分析图形的能力及动手能力.
2.在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理.
【情感态度】
通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神.
【教学重点】
应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等.
【教学难点】
指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件.
新课导入
上一节课，我们探究了三条边对应相等的两个三角形全等.
如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等，这两个三角形会全等吗？
——这就是本节课我们要探讨的课题.
推进新课
问题1 先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′
=AB，∠A′=∠A，C′A′=
CA（即两边和它们的夹角分别相等）．把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC
上，它们全等吗？
边角边的判定方法
知识点1
探究
A′
D
E
现象：两个三角形放在一起
能完全重合．
说明：这两个三角形全等．
画法：
（1）
画∠DA′E
=∠A；
（2）在射线A′D上截取
A′B′=AB，在射线
A′E上截取A′C′=AC；
（3）连接B′C′．
B′
C′
几何语言：
在△ABC
和△
A′B′
C′中，
∴ △ABC
≌△
A′B′
C′（SAS）．
归纳概括“SAS”判定方法:
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS
”）．
AB
=
A′B′，
∠A
=∠A′，
AC
=A′C′
，
练习1
下列图形中有没有全等三角形，并说明全等的理由．
甲
8
cm
9
cm
丙
8
cm
9
cm
8
cm
9
cm
乙
30°
30°
30°
甲
8
cm
9
cm
丙
8
cm
9
cm
8
cm
9
cm
乙
30°
30°
30°
图甲与图丙全等，依据就是“SAS”，而图乙中30°的角不是已知两边的夹角，所以不与另外两个三角形全等．
练习2
①下列条件中，能用SAS判定△ABC≌△DEF的条件是（
）
A.
AB
=
DE，∠A
=∠D，BC
=
EF
B.
AB
=
DE，∠B
=∠E，BC
=
EF
C.
AB
=
EF，∠A
=∠D，AC
=
DF
D.
BC
=
EF，∠C
=∠F，AB
=
DF
B
练习2
②已知△ABC中，AB
=
BC
≠
AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC
全等的三角形，这样的三角形一共能作出_____个.
7
问题2 某同学不小心把一块三角形的玻璃从两个顶点处打碎成两块（如图），现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃．请问如果只准带一块碎片，应该带哪一块去，能试着说明理由吗？
“SAS”判定方法的应用
知识点2
利用今天所学“边角边”知识，带黑色的那块．因为它完整地保留了两边及其夹角，一个三角形两条边的长度和夹角的大小确定了，这个三角形的形状、大小就确定下来了．
例 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A
和B.
连接AC并延长到点D，使CD
=CA，连接BC
并延长到点E，使CE
=CB，连接ED，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？
A
B
C
D
E
1
2
AC
=
DC（已知），
∠1
=∠2
（对顶角相等），
BC
=EC（已知）
，
证明：在△ABC
和△DEC
中，
∴
△ABC
≌△DEC（SAS）．
∴
AB
=DE
（全等三角形的对应边相等）．
A
B
C
D
E
1
2
如图，在△ABC
和△ABD
中，
AB
=AB，AC
=
AD，∠B
=∠B，
但△ABC
和△ABD
不全等．
问题3
两边一角分别相等包括“两边夹角”和“两边及其中一边的对角”分别相等两种情况，前面已探索出“SAS”判定三角形全等的方法，那么由“SSA”的条件能判定两个三角形全等吗？
A
B
C
D
探索“SSA”能否识别两三角形全等
知识点3
画△ABC
和△DEF，使∠B
=∠E
=30°，
AB
=DE=5
cm
，AC
=DF
=3
cm
．观察所得的两个三角形是否全等？
两边和其中一边的对角对应相等这三个条件无法唯一确定三角形的形状，所以不能保证两个三角形全等．因此，△ABC
和△DEF
不一定全等．
练习1
如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C，D两地.此时C，D到B的距离相等吗？为什么？
相等，根据边角边定理，△BAD≌△BAC，
∴BD
=
BC.
证明：∵BE
=
CF
，
∴BE
+
EF
=
CF
+
EF，
即BF
=
CE，
又AB
=
DC，∠B
=∠C，
∴△ABF≌△DCE，
∴∠A
=∠D.
练习2
如图，点E，F在BC上，BE
=
CF，AB
=
DC，∠B
=∠C.求证∠A
=∠D.
练习3
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD
=
BC，你能得出AB
=
CD吗？若能，试说明理由.
A
B
C
D
解：连接AC.
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA.
在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA(SAS).
∴AB
=
CD.
A
B
C
D
随堂演练
1.下列命题错误的是（
）
A.周长相等的两个等边三角形全等
B.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
C.有两条边对应相等的两个等腰三角形不一定全等
D.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
D
基础巩固
2.如图，AB
=
AC，若想用“SAS”判定△ABD≌△ACE，则需补充一个条件_________.
AD
=
AE
3.已知：如图AB
=
AC，AD
=
AE，∠BAC
=∠DAE，求证：
△ABD≌△ACE.
综合应用
证明：∵∠BAC
=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD
=∠DAE
+∠CAD，即∠BAD
=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）.
4.
小明做了一个如图所示的风筝，测得DE
=
DF，EH
=
FH，由此你能推出哪些正确结论?并说明理由.
拓展延伸
解：结论：（1）DH平分∠EDF和∠EHF.（2）DH垂直平分EF.
理由：（1）在△EDH和△FDH中，
∴△EDH≌△FDH（SSS）.
∴∠EDH
=∠FDH，∠EHD
=∠FHD.
即DH平分∠EDF和∠EHF.
解：理由：（2）由（1）知，在△EOD和△FOD中，
∴△EOD≌△FOD（SAS）.
∴EO
=
OF，∠EOD
=∠FOD
=90°，
∴DH
垂直平分EF.
课堂小结
A′
D
E
B′
C′
归纳概括“SAS”判定方法:
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS
”）．
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
谢谢欣赏(共26张PPT)
12.2
三角形全等的判定
第4课时用“HL”
判定直角三角形全等
R·八年级上册
学习目标
【知识与技能】
掌握两个直角三角形全等的条件,并能应用它证明两个直角三角形全等.
【过程与方法】
通过对知识方法的归纳总结,加深对三角形全等的判定的理解.培养反思习惯,形成理性思维.
【情感态度】
通过探究与交流,解决问题,获得成功的体验,进一步激发探究的积极性.
【教学重点】
理解、掌握直角三角形全等的条件:HL.
【教学难点】
熟练选择判定方法,判定两个直角三角形全等.
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，
为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．你能帮工作人员想个办法吗？
（1）如果用直尺和量角器两种工具，你能解决这个问题吗？
新课导入
（2）如果只用直尺，你能解决这个问题吗？
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，
为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．你能帮工作人员想个办法吗？
任意画一个Rt△ABC，使∠C
=90°.
再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB
.然后把画好的Rt△A′B′C′剪下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？
探索“HL”判定方法
知识点1
探究
推进新课
（1）
画∠MC′N
=90°；
（2）在射线C′M上取B′C′=BC；
（3）
以B′为圆心，AB为半径画弧，
交射线C′N于点A′；
（4）连接A′B′．
现象：两个直角三角形能重合．
说明：这两个直角三角形全等．
画法：
N
M
C′
A′
B′
归纳概括“HL”判定方法
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）．
几何语言：
∵ 在
Rt△ABC
和
Rt△A′B′C′
中，
AB
=A′B′，
BC
=B′C′(或AC=A′C′)，
∴ Rt△ABC
≌
Rt△A′B′C′（HL）．
A
B
C
A＇
B＇
C＇
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴ ∠C
和∠D
都是直角．
在Rt△ABC
和
Rt△BAD
中，
AB
=
BA，
AC
=
BD，
∴ Rt△ABC
≌
Rt△BAD（HL）．
∴ BC
=AD（全等三角形对应边相等）．
例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC
=BD．求证
BC
=AD．
“HL”判定方法的运用
知识点2
变式1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要明证△ABC
≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由．
（1）
（
）；
（2）
（
）；
（3）
（
）；
（4）
（
）．
AD
=
BC
AC
=
BD
∠DAB
=
∠CBA
∠DBA
=
∠CAB
HL
HL
AAS
AAS
例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC
与右边滑梯水平方向的长度DF
相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC
和∠DFE
的大小有什么关系？为什么？
∠ABC
+∠DFE
=
90°
例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC
与右边滑梯水平方向的长度DF
相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC
和∠DFE
的大小有什么关系？为什么？
证明：∵AC⊥AB，DE⊥DF，
∴∠CAB
=∠FDE
=90°．
在Rt△ABC
和
Rt△DEF
中，
BC
=
EF，
AC
=
DF，
∴Rt△ABC
≌
Rt△DEF（HL）．
例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC
与右边滑梯水平方向的长度DF
相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC
和∠DFE
的大小有什么关系？为什么？
证明：∴∠ABC
=∠DEF
（全等三角形对应角相等）．
∵
∠DEF
+∠DFE
=90°，
∴
∠ABC
+∠DFE
=90°．
练习1 如图，C
是路段AB
的中点，两人从C
同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E
两地．DA⊥AB，EB⊥AB．D，E
与路段AB的距离相等吗？为什么？
A
B
C
D
E
解：D、E与路段AB的距离相等.
理由：∵C是路段AB的中点，
∴AC
=
BC，
又∵两人同时同速度出发，并同时到达D，E两地.
∴CD
=
CE，
又DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A=∠B
=90°，
在Rt△ACD与Rt△BCE中，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL).
∴DA
=
EB，
即D、E与路段AB的距离相等.
A
B
C
D
E
练习2 如图，AB
=
CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE
=
BF．求证：AE
=
DF．
A
B
C
D
E
F
证明：∵CE
=
BF，
∴CE
-
EF
=
BF–EF，
即CF
=
BE.
又∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠DFC
=∠AEB
=90°.
在Rt△DFC与Rt△AEB中，
∴Rt△DFC≌Rt△AEB（HL).
∴AE
=
DF.
A
B
C
D
E
F
练习2 如图，AB
=
CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE
=
BF．求证：AE
=
DF．
练习3 如图，B、E、F、C
在同一直线上，AF⊥BC
于F，DE⊥BC与E，AB
=
DC，BE
=
CF，你认为
AB
平行于
CD
吗？说说你的理由.
解：平行.
理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC，
∴∠AFB
和∠DEC
都是直角，
又
BE
=
CF，
∴BE+EF=CF+EF，即
BF
=
CE.
在
Rt△ABF
和
Rt△DCE
中，
AB=CD，
BF=CE，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)，
∴∠B
=∠C，AB∥CD.
随堂演练
1.
在
Rt△ABC
和
Rt△A′B′C′
中，∠C′=∠C=90°，∠B′=∠A，AB
=
B′A′，则下列结论正确的是（
）
A.AC
=
A′C′
B.BC
=
B′C′
C.AC
=
B′C′
D.∠A′=∠A
基础巩固
C
2.如图，∠DCE
=
90°，CD
=
CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B，试说明AD
+
AB
=
BE.
综合应用
解：∵AD⊥AC，BE⊥AC，
∴∠A
=∠CBE
=90°，
∴∠D
+∠ACD
=90°.
又∵∠DCE
=
90°，
∴∠ACD
+∠BCE
=
90°，∴∠D
=∠BCE.
在△ACD和△BEC中，
∴△ACD≌△BEC(AAS).
∴AD
=
BC，AC
=
BE，
∴AD+AB
=
BC+AB
=
AC
=
BE.
3.如图，在△ABC中，∠BAC
=
90°，AB=AC，EF是过点A的直线，BE⊥EF于E，CF⊥EF于F，试探求线段BE、CF、EF之间的关系，并加以证明.
拓展延伸
解：BE
+
CF
=
EF，证明如下：
∵BE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠BEA
=∠AFC
=90°.
又∠BAC
=
90°，
∴∠EAB
+∠CAF
=180°-∠BAC
=
90°，
∴∠EAB
=∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
∴△ABE≌△CAF(AAS).
∴BE
=
AF，AE
=
CF，
∴BE+CF
=
AF+AE
=
EF.
课堂小结
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）．
N
M
C′
A′
B′
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
谢谢欣赏
