4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
必备知识基础练
知识点一
无理数指数幂
1.由下面的两串有理数指数幂逐渐逼近，可以得到的数为( )
(1)21.7,21.73,21.732,21.732
0,21.732
05，…
(2)21.8,21.74,21.733,21.732
1,21.732
06，…
A．21.7
B．21.8
C．2
D．4
2．计算：3π×π＋(22)＋1的值为( )
A．17
B．18
C．6
D．5
3．计算下列各式：
知识点二
指数幂的运算与应用
4.[(－)－2]的结果是( )
A.
B．－
C.
D．－
5．计算下列各式：
(1)2××；
(2)0.5＋0.1－2＋－3π0＋；
(3)
.
6．已知a＋a＝3，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a＋a；(4)a2－a－2
关键能力综合练
一、选择题
1．若(1－2x)有意义，则x的取值范围是( )
A．x∈R
B．x∈R且x≠
C．x＞
D．x＜
2．27＋16－－2－等于( )
A．3
B．6
C.
D．15
3．化简
(a，b>0)的结果是( )
A.
B．ab
C.
D．a2b
4．设a－a＝m，则＝( )
A．m2－2
B．2－m2
C．m2＋2
D．m2
5．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则a等于( )
A．9＋
B.
C．9
D．6
6．(易错题)若x＋x－1＝4，则x＋x的值等于( )
A．2或－2
B．2
C.或－
D.
二、填空题
7．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
8．化简
的值为________．
9．(探究题)设2x＝8y＋1,9y＝3x－9，则x＋y＝________.
三、解答题
10．计算下列各式的值：
(1)(0.027)－＋256＋(2)－3－1＋π0；
(2)7－3－6＋；
(3)(a·b)·÷(a>0，b>0)．
学科素养升级练
1．(多选题)在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是( )
A．(－x)0.5＝－(x≠0)
B.＝y
C.＝(xy≠0)
D．x＝－
2．若100a＝5,10b＝2，则2a＋b等于( )
A．50
B．12
C．20
D．1
3．(学科素养—数学运算)已知a＝3，求＋＋＋的值．
4．1.2 无理数指数幂及其运算性质
必备知识基础练
1．解析：由于的不足近似值为1.7,1.73,1.732,1.732
0,1.732
05，…，的过剩近似值为1.8,1.74,1.733,1.732
1，1.732
06，…，所以由(1)(2)两串有理数指数幂所逼近得到的数为2.
答案：C
2．解析：3π×π＋(22)＋1＝π＋22×＋1＝1π＋24＋1＝18.
答案：B
3．解析：(1)原式＝3×2×a＝34×a2＝81a2.
(2)原式＝b＝b0＝1.
4．解析：[(－)－2]＝()＝.
答案：A
5．解析：(1)原式＝2×3××12＝2×3＝2×3＝6.
(2)原式＝＋－2＋－3×1＋＝＋100＋－3＋＝100.
6．解析：(1)∵a＋a＝3，∴＝9，
即a＋2＋a－1＝9，∴a＋a－1＝7.
(2)∵a＋a－1＝7，
∴(a＋a－1)2＝49，即a2＋2＋a－2＝49.
∴a2＋a－2＝47.
(3)a＋a＝
＝
＝3×(7－1)＝18.
(4)设y＝a2－a－2，两边平方，
得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝472－4＝2
205.
所以y＝±21，即a2－a－2＝±21.
关键能力综合练
1．解析：∵(1－2x)＝，∴1－2x＞0，得x＜.
答案：D
2．解析：原式＝(33)＋(42)－(2－1)－2－
＝9＋4－1－4－－2＝9＋－4－＝9－6＝3.
答案：A
3．解析：原式＝[a3b2(ab2)]÷(a1b2ba)＝a·b÷(ab)＝a×b＝.
答案：C
4．解析：将a－a＝m平方得(a－a)2＝m2，即a－2＋a－1＝m2，所以a＋a－1＝m2＋2，即a＋＝m2＋2?＝m2＋2.
答案：C
5．解析：a＝(ax)2·(ay)
＝32·5＝9.
答案：C
6．解析：＝x＋2＋x－1＝4＋2＝6.
∵x≥0，x>0，∴x＋x＝.
答案：D
7．解析：利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝.即2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2α
β＝2.
答案： 2
8．解析：原式＝＝＝2－.
答案：2－
9．解析：由2x＝8y＋1，得2x＝23y＋3，
所以x＝3y＋3.①
由9y＝3x－9，得32y＝3x－9，
所以2y＝x－9.②
由①②联立方程组，
解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.
答案：27
10．解析：(1)原式＝[(0.3)3]－＋(44)＋(2)－＋1＝0.3－＋43＋2－＋1＝.
(2)原式＝7×3－3－6＋＝7×3－6×3－6×3＋3＝2×3－2×3×3＝2×3－2×3＝0.
(3)原式＝a·b·a÷b
＝a·b·a÷b＝a·b＝a0b0＝1.
学科素养升级练
1．解析：对于A，若x<0，－无意义，故A错误；
对于B，当y<0时，≠y，故B错误；
对于C，由分数指数幂可得xy>0，则＝＝，故C正确；
对于D，，故D错误．所以不正确的是A，B，D.
答案：ABD
2．解析：∵100a＝5，∴102a＝5，∴102a＋b＝102a·10b＝5×2＝10，
∴2a＋b＝1，故选D.
答案：D
3．解析：＋＋＋
＝＋＋
＝＋＋
＝＋
＝＋＝＝－1.4.1.1 n次方根与分数指数幂
必备知识基础练
知识点一
n次方根、
根式的概念
1.有下列四个命题：
①正数的偶次方根是一个正数；
②正数的奇次方根是一个正数；
③负数的偶次方根是一个负数；
④负数的奇次方根是一个负数．
其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
2．已知x5＝6，则x等于( )
A.
B.
C．－
D．±
3．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________.
知识点二
利用根式的性质化简或求值
4.下列各式正确的是( )
A.＝
B.＝a
C.＝
D．a0＝1
5．化简－得( )
A．6
B．6或－2x
C．2x
D．6或2x或－2x
6．当a>0时，
＝( )
A．x
B．x
C．－x
D．－x
知识点三
根式与分数指数幂的互化
7.下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A．－＝(－x)
(x>0)
B.＝y
(y<0)
C．x＝(x>0)
D．x＝－(x≠0)
8．已知a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是( )
A．a
B．a
C．a
D．a
9.－1－4·(－2)－3＋0－9＝________.
关键能力综合练
一、选择题
1．若xn＝a(x≠0)，则下列说法中正确的个数是( )
①当n为奇数时，x的n次方根为a；
②当n为奇数时，a的n次方根为x；
③当n为偶数时，x的n次方根为±a；
④当n为偶数时，a的n次方根为±x.
A．1
B．2
C．3
D．4
2．下列各式正确的是( )
A．()3＝a
B．()4＝－7
C．()5＝|a|
D.＝a
3.＋的值是( )
A．0
B．2(a－b)
C．0或2(a－b)
D．a－b
4．化简(x>)的结果是( )
A．1－2x
B．0
C．2x－1
D．(1－2x)2
5．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( )
A．(－1)和(－1)
B．0－2和0
C．2和4
D．4和－3
6．(易错题)若n＜m＜0，则－等于( )
A．－2m
B．2n
C．2m
D．－2n
二、填空题
7．若＋＝0，则x2
017＋y2
018＝________.
8．(探究题)若＝，则实数a的取值范围为________．
9．化简
＋＝________.
三、解答题
10．求下列各式的值：
(1)
；
(2)
－＋.
学科素养升级练
1．(多选题)下列各式中一定成立的有( )
A.7＝n7m
B.＝
C.＝(x＋y)
D.＝
2．设f(x)＝，若0
3．(学科素养—数学运算)已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．
4．1 指数
4．1.1 n次方根与分数指数幂
必备知识基础练
1．解析：正数的偶次方根有两个，负数的偶次方根不存在．①③错误，②④正确．
答案：C
2．解析：∵5是奇数．∴x＝.
答案：B
3．解析：81的平方根为－9或9，
即a＝－9或9，－8的立方根为－2，即b＝－2，
∴a＋b＝－11或7.
答案：7或－11
4．解析：＝＝，＝|a|，a0＝1，条件为a≠0.故A、B、D错．
答案：C
5．解析：原式＝|x＋3|－(x－3)，当x≥－3时，原式＝6；当x＜－3时，原式＝－2x，故选B.
答案：B
6．解析：∵a>0，∴x≤0，＝|x|＝－x·，故选C.
答案：C
7．解析：－＝－x
(x>0)；＝(|y|2)＝－y
(y<0)；x＝(x－3)＝(x>0)；x＝＝(x≠0)．
答案：C
8．解析：＝a2÷＝a＝a，故选D.
答案：D
9．解析：原式＝2－4×＋1－＝2＋＋1－＝.
答案：
关键能力综合练
1．解析：当n为奇数时，a的n次方根只有1个，为x；当n为偶数时，由于(±x)n＝xn＝a，所以a的n次方根有2个，为±x.所以说法②④是正确的，选B.
答案：B
2．解析：()4＝7，()5＝a，＝|a|，()3＝a，故选A.
答案：A
3．解析：＋＝|a－b|＋(a－b)＝故选C.
答案：C
4．解析：∵2x>1，∴1－2x<0，∴＝|1－2x|＝2x－1.故选C.
答案：C
5．解析：选项A中，(－1)和(－1)均符合分数指数幂的定义，但(－1)
＝＝－1，(－1)
＝＝1，故A不满足题意；选项B中，0的负指数幂没有意义，故B不满足题意；选项D中，4和－3虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D不满足题意；选项C中，2＝，4＝＝2＝，满足题意．故选C.
答案：C
6．解析：原式＝|m＋n|－|m－n|，∵n＜m＜0，∴m＋n＜0，m－n＞0.故原式＝－2m.故选A.
答案：A
7．解析：∵＋＝0，∴x－1＝0，x＋y＝0，∴x＝1，y＝－1，x2
017＋y2
018＝2.
答案：2
8．解析：
＝|2a－1|,
＝1－2a，
∴|2a－1|＝1－2a，即2a－1≤0，∴a≤.
答案：
9．解析：
＋＝1＋＋(－1)＝2.
答案：2
10．解析：(1)
＝|x－y|，
当x≥y时，
＝x－y；
当x＜y时，
＝y－x.
(2)原式＝－＋＝＋－(2－)＋2－＝2.
学科素养升级练
1．解析：A中应为7＝n7m－7；＝＝，B项正确；C中当x＝y＝1时，等式不成立；D项正确．故选BD.
答案：BD
2．解析：f＝＝＝＝，
因为0故f＝－a.
答案：－a
3．解析：解法一 ∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
∴∵>，2＝＝＝＝，∴＝＝.
解法二 ∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b，而由x2－6x＋4＝0，得x1＝3＋，x2＝3－，
∴a＝3＋，b＝3－，∴＝＝＝＝＝.