4.3.2 对数的运算
必备知识基础练
知识点一
对数运算性质的理解
1.对a>0，且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是( )
A．logaM·logaN＝loga(M＋N)
B.＝loga(M－N)
C．loga＝logamMn
D．logaM＝
2．若ab>0，给出下列四个等式：
①lg(ab)＝lg
a＋lg
b；②lg＝lg
a－lg
b；
③lg2＝lg；④lg(ab)＝.
其中一定成立的等式的序号是( )
A．①②③④
B．①②
C．③④
D．③
知识点二
对数运算性质的应用
3.若lg
x－lg
y＝a，则
lg3－lg3＝( )
A．3a
B.a
C．a
D.
4．计算下列各式的值：
(1)lg－lg＋lg；
(2)lg
25＋lg
8＋lg
5×lg
20＋(lg
2)2；
(3)loga＋loga＋loga(a＞0且a≠1)．
知识点三
对数换底公式的应用
5.若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx＝( )
A．1
B．2
C．3
D．5
6．设3x＝4y＝36，则＋＝________.
7．计算：
(1)log89×log2732；
(2)log927；
(3)log2×log3×log5；
(4)(log43＋log83)(log32＋log92)．
知识点四
对数的综合应用
8.(1)一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的(结果保留1位有效数字)？(lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1)
(2)已知log189＝a,18b＝5，用a、b表示log3645.
关键能力综合练
一、选择题
1．lg
8＋3lg
5的值为( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
2．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是( )
A．a－2
B．3a－(1＋a)2
C．5a－2
D．－a2＋3a－1
3．若a>0，a＝，则loga等于( )
A．2
B．3
C．4
D．5
4．已知log23＝a，log37＝b，则log27＝( )
A．a＋b
B．a－b
C．ab
D.
5．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )
A.
B．10
C．20
D．100
6．(探究题)已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y等于( )
A．3
B．8
C．4
D．log48
二、填空题
7．若a＝log23，b＝log32，则a·b＝________，lg
a＋lg
b＝________.
8．若logab·log3a＝4，则b的值为________．
9．(易错题)设lg
x＋lg
y＝2lg(x－2y)，则log4的值为________．
三、解答题
10．2016年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，那么过多少年后国民生产总值是2016年的2倍(lg
2≈0.301
0，lg
1.08≈0.033
4，精确到1年)．
学科素养升级练
1．(多选题)下列各选项中，值为1的是( )
A．log26·log62
B．log62＋log64
C．(2＋)·(2－)
D．(2＋)－(2－)
2．方程lg(4x＋2)＝lg
2x＋lg
3的解是________．
3．(学科素养—数学运算)设a，b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
4．3.2 对数的运算
必备知识基础练
1．解析：由对数的运算性质知A，B错误；对于C，loga＝logaM＝logaM，logamMn＝logaM，∴C正确．D中(－2)不能做底数，∴D错误，故选C.
答案：C
2．解析：①②当a<0，b<0时不成立，④当ab＝1时，logab10无意义，∴选D.
答案：D
3．解析：由对数的运算性质可知，原式＝3(lg
x－lg
2)－3(lg
y－lg
2)＝3(lg
x－lg
y)＝3a.
答案：A
4．解析：(1)解法一 原式＝(5lg
2－2lg
7)－×lg
2＋(2lg
7＋lg
5)＝lg
2－lg
7－2lg
2＋lg
7＋lg
5
＝lg
2＋lg
5＝(lg
2＋lg
5)＝lg
10＝.
解法二 原式＝lg－lg
4＋lg
7＝lg＝lg(×)＝lg＝.
(2)原式＝2lg
5＋2lg
2＋lg
5(2lg
2＋lg
5)＋(lg
2)2＝2lg
10＋(lg
5＋lg
2)2＝2＋(lg
10)2＝2＋1＝3.
(3)原式＝logaa＋logaa－n＋logaa＝logaa－nlogaa－logaa＝－n－＝－n.
5．解析：∵logax＝＝2，∴logxa＝.
同理logxc＝，logxb＝.
∴logabcx＝＝＝1.
答案：A
6．解析：由已知分别求出x和y，
∵3x＝36,4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，
由换底公式得：
x＝＝，y＝＝，
∴＝log363，＝log364，
∴＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝log3636＝1.
答案：1
7．解析：(1)log89×log2732＝×
＝×＝×＝.
(2)log927＝＝＝＝.
(3)log2×log3×log5＝log25－3×log32－5×log53－1
＝－3log25×(－5log32)×(－log53)
＝－15×××＝－15.
(4)原式＝
＝
＝＋＋＋＝.
8．解析：(1)设最初的质量是1，经过x年，剩余量是y，则：
经过1年，剩余量是y＝0.75；
经过2年，剩余量是y＝0.752；
…
经过x年，剩余量是y＝0.75x；
由题意得0.75x＝，
∴x＝log0.75＝＝≈4.
∴估计经过4年，该物质的剩余量是原来的.
(2)解法一 由18b＝5，得log185＝b，又log189＝a，
所以log3645＝＝＝＝.
解法二 设log3645＝x，则36x＝45，即62x＝5×9，
从而有182x＝5×9x＋1，对这个等式的两边都取以18为底的对数，
得2x＝log185＋(x＋1)log189，
又18b＝5，所以b＝log185.
所以2x＝b＋(x＋1)a，
解得x＝，即log3645＝.
关键能力综合练
1．解析：lg
8＋3lg
5＝3lg
2＋3lg
5＝3(lg
2＋lg
5)＝3.
答案：D
2．解析：log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
答案：A
3．解析：a＝，∴a＝＝3，
∴loga＝log3＝3.
答案：B
4．解析：log27＝log23×log37＝ab.
答案：C
5．解析：∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m.
＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m2＝10.
又∵m>0，∴m＝，选A.
答案：A
6．解析：∵2x＝3，∴x＝log23.又log4＝y，
∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋2(log48－log43)
＝log23＋2＝log23＋3－log23＝3.故选A.
答案：A
7．解析：∵a＝log23，b＝log32，
则a·b＝·＝1，
lg
a＋lg
b＝lg
ab＝lg
1＝0.
故答案为：1,0.
答案：1 0
8．解析：logab·log3a＝·＝＝4，所以lg
b＝4lg
3＝lg
34＝lg
81，∴b＝81.
答案：81
9．解析：由lg
x＋lg
y＝2lg(x－2y)，得
lg(xy)＝lg(x－2y)2，因此xy＝(x－2y)2，
即x2－5xy＋4y2＝0，得＝4或＝1，
又∵x>0，y>0，x－2y>0，∴≠1，
∴log4＝1.
答案：1
10．解析：设经过x年国民生产总值为2016年的2倍．
经过1年，国民生产总值为a(1＋8%)，
经过2年，国民生产总值为a(1＋8%)2，
……
经过x年，国民生产总值为a(1＋8%)x＝2a，
∴1.08x＝2，两边取常用对数，得x·lg
1.08＝lg
2.
∴x＝≈≈9.
故约经过9年，国民生产总值是2016年的2倍．
学科素养升级练
1．解析：A.原式＝·＝1，因此正确；B.原式＝log68>1，因此不正确；C.原式＝(4－3)＝1，因此正确；D.原式＝－＝－＝≠1，因此不正确．故选AC.
答案：AC
2．解析：原方程可化为lg(4x＋2)＝lg(2x×3)，从而可得4x＋2＝2x×3，令t＝2x，则方程可化为t2＋2＝3t，即t2－3t＋2＝0，解得t＝1或t＝2，即2x＝1或2x＝2，所以x＝0或x＝1.经检验，x＝0与x＝1都是原方程的解．
答案：x＝0或x＝1
3．解析：原方程可化为2(lg
x)2－4lg
x＋1＝0.
设t＝lg
x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.
又∵a，b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个实根，
∴t1＝lg
a，t2＝lg
b，
即lg
a＋lg
b＝2，lg
a·lg
b＝.
∴lg(ab)·(logab＋logba)
＝(lg
a＋lg
b)·
＝(lg
a＋lg
b)·
＝(lg
a＋lg
b)·
＝2×＝12，
即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.4.3.1 对数的概念
必备知识基础练
知识点一
对数的意义
1.当a>0，a≠1时，下列说法正确的是( )
①若M＝N，则logaM＝logaN；
②若logaM＝logaN，则M＝N；
③若logaM2＝logaN2，则M＝N；
④若M＝N，则logaM2＝logaN2.
A．①与②
B．②与④
C．②
D．①②③④
2．求下列各式中x的取值范围：
(1)lg(x－10)；
(2)log(x－1)(x＋2)；
(3)log(x＋1)(x－1)2.
知识点二
对数式与指数式的互化
3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．e0＝1与ln
1＝0
B．8＝与log8＝－
C．log39＝2与9＝3
D．log77＝1与71＝7
4．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)43＝64；(2)ln
a＝b；(3)m＝n；(4)lg
1000＝3.
知识点三
对数的计算
5.已知logx16＝2，则x等于( )
A．4
B．±4
C．256
D．2
6．求下列各式中的x.
(1)log8x＝－；(2)logx27＝；(3)log3(2x＋2)＝1.
知识点四
对数的性质及应用
7.方程2＝的解是( )
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝9
8．若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为( )
A．9
B．8
C．7
D．6
9．式子2＋log1的值为________．
关键能力综合练
一、选择题
1．有下列说法：
①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以10为底的对数叫做常用对数；
④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确说法的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
2．使对数loga(5－a)有意义的a的取值范围为( )
A．(0,1)∪(1，＋∞)
B．(0,5)
C．(0,1)∪(1,5)
D．(－∞，5)
3．2x＝3化为对数式是( )
A．x＝log32
B．x＝log23
C．2＝log3x
D．2＝logx3
4．化简：0.7等于( )
A．2
B．8
C.
D．2
5．(易错题)若log2(logx9)＝1，则x＝( )
A．3
B．±3
C．9
D．2
6．设a＝log310，b＝log37，则3a－b的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
7．已知log2x＝2，则x＝________.
8．若lg(ln
x)＝0，则x＝________.
9．若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝________.
三、解答题
10．(探究题)(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值．
①log2x＝－；②logx3＝－.
(2)已知6a＝8，试用a表示下列各式．
①log68；②log62；③log26.
学科素养升级练
1．(多选题)下列四个等式正确的是( )
A．lg(lg
10)＝0
B．lg(ln
e)＝0；
C．若lg
x＝10，则x＝10
D．若ln
x＝e，则x＝e2
2．若x满足(log2x)2－2log2x－3＝0，则x＝________.
3．(学科素养—数学运算)若logx＝m，logy＝m＋2，求的值．
4．3 对数
4．3.1 对数的概念
必备知识基础练
1．解析：对于①，当M＝N≤0时，logaM与logaN无意义，因此①不正确；对于②，对数值相等，底数相同，因此，真数相等，所以②正确；对于③，有M2＝N2，即|M|＝|N|，但不一定有M＝N，③错误；对于④，当M＝N＝0时，logaM2与logaN2无意义，所以④错误，由以上可知，只有②正确．
答案：C
2．解析：(1)由题意有x－10>0，即x>10，即为所求．
(2)由题意有即
∴x>1且x≠2.
(3)由题意有
解得x>－1且x≠0，x≠1.
3．解析：由log39＝2，得32＝9，故选C.
答案：C
4．解析：(1)因为43＝64，所以log464＝3.
(2)因为ln
a＝b，所以eb＝a.
(3)因为m＝n，所以logn＝m.
(4)因为lg
1
000＝3，所以103＝1
000.
5．解析：∵logx16＝2，∴x2＝16，又x>0，∴x＝4.
答案：A
6．解析：(1)由log8x＝－，得x＝8＝(23)
＝2＝2－2＝.
(2)由logx27＝，得x＝27.
∴x＝27＝(33)
＝34＝81.
(3)由log3(2x＋2)＝1，得2x＋2＝3，所以x＝.
7．解析：∵2＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝.
答案：A
8．解析：∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1.
∴x＝3.同理y＝4，z＝2.∴x＋y＋z＝9.
答案：A
9．解析：原式＝5＋0＝5.
答案：5
关键能力综合练
1．解析：①③④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．
答案：C
2．解析：由对数的概念可知a需满足a>0且a≠1且5－a>0，解得0
答案：C
3．解析：由2x＝3得x＝log23，选B.
答案：B
4．解析：由对数恒等式a＝N，得0.7＝8.∴选B.
答案：B
5．解析：∵log2(logx9)＝1，∴logx9＝2，即x2＝9，又∵x>0，∴x＝3.
答案：A
6．解析：3a－b＝3a÷3b＝3÷3＝10÷7＝.
答案：A
7．解析：∵log2x＝2，∴x＝22＝4,4＝＝.
答案：
8．解析：∵lg(ln
x)＝0，∴ln
x＝1，∴x＝e.
答案：e
9．解析：由题意知1－x＝(1＋x)2，
解得x＝0或x＝－3.
验证知，当x＝0时，log(1－x)(1＋x)2无意义，
故x＝0时不符合题意，应舍去．所以x＝－3.
答案：－3
10．解析：(1)①因为log2x＝－，所以x＝2－＝.
②因为logx3＝－，所以x＝3，所以x＝3－3＝.
(2)①log68＝a.
②由6a＝8得6a＝23，即6＝2，所以log62＝.
③由6＝2得2＝6，所以log26＝.
学科素养升级练
1．解析：由对数的概念可知，AB正确；而C中若lg
x＝10，则x＝1010；D中若ln
x＝e，则x＝ee.故CD错误．故选AB.
答案：AB
2．解析：设t＝log2x，则原方程可化为t2－2t－3＝0，
解得t＝3或t＝－1，
所以log2x＝3或log2x＝－1，
所以x＝23＝8或x＝2－1＝.
答案：8或
3．解析：因为logx＝m，所以m＝x，x2＝2m.
因为logy＝m＋2，所以m＋2＝y，y＝2m＋4.
所以＝＝2m－(2m＋4)＝－4＝16.