4.5.2 用二分法求方程的近似解
必备知识基础练
知识点一
二分法的概念
1.下面关于二分法的叙述，正确的是( )
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循
D．只有在求函数零点时才用二分法
2．下列函数中，不能用二分法求零点的是( )
3．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1
B．x2
C．x3
D．x4
知识点二
用二分法求方程的近似解
4.用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( )
A．0.9
B．0.7
C．0.5
D．0.4
5．若用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )
A．|a－b|<0.1
B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001
D．|a－b|＝0.001
6．用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间[1,3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________.
知识点三
二分法的实际应用
7.在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一架天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
8．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10
km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难得多，每查一点要爬一次电线杆子，10
km长的线路，大约有200多根电线杆子(如下图)：
(1)维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
(2)在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查出故障？
关键能力综合练
一、选择题
1．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为( )
A．[－1,0]
B．[0,1]
C．[1,2]
D．[2,3]
2．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的，且有如下的x，f(x)对应值：
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
136.136
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
11.238
由表可知函数y＝f(x)在区间(1,7)内的零点个数至少为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
3．设函数y＝x2与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
4．设f(x)＝lg
x＋x－3，用二分法求方程lg
x＋x－3＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，则方程的解落在区间( )
A．(2,2.25)
B．(2.25,2.5)
C．(2.5,2.75)
D．(2.75,3)
5．(探究题)在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是
( )
A．[1,4]
B．[－2,1]
C.
D.
6．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600
0)＝0.200
f(1.587
5)＝0.133
f(1.575
0)＝0.067
f(1.562
5)＝0.003
f(1.556
2)＝－0.029
f(1.550
0)＝－0.060
据此数据，可知f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值约为(精确到0.01)( )
A．1.55
B．1.56
C．1.57
D．1.58
二、填空题
7．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)×f(4)<0.取区间的中点x1＝＝3，计算得f(2)×f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．
8．某方程有一无理根在区间D＝(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D等分________次后，所得近似值可精确到0.1.
9．(易错题)函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
三、解答题
10．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一零点，并求出这个零点(精确度为0.1)．
学科素养升级练
1．(多选题)函数f(x)＝x3＋3x－2的一个正零点所在的区间不可能是( )
A．(3,4)
B．(2,3)
C．(1,2)
D．(0,1)
2．已知f(x)＝－ln
x，在区间(n，n＋1)(n∈Z)上有一个零点x0，则n＝________.若用二分法求x0的近似值(精确度0.1)，则至少需要将区间等分________次．
3．(情境命题—生活情境)现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同且合标准，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？
4．5.2 用二分法求方程的近似解
必备知识基础练
1．解析：只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错误．二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错误．求方程的近似解也可以用二分法，故D错误．
答案：B
2．解析：观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，故B不能用二分法求零点．
答案：B
3．解析：能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0.而x3两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选C.
答案：C
4．解析：∵f(0.72)>0，f(0.68)<0，∴f(0.72)×f(0.68)<0，∴存在x0∈(0.68,0.72)使x0为函数的零点，而0.7∈(0.68,0.72)，∴选B.
答案：B
5．解析：根据二分法的步骤，知当区间长度|a－b|小于精确度0.001时，便可结束计算．
答案：B
6．答案：(1,2)
7．解析：将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面．从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面，将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面，从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．
答案：4
8．解析：(1)首先从AB的中点C查，随带话机向两端测试，若发现AC正确，断定故障在BC段，再取中点D，再测CD和BD.
(2)能．
关键能力综合练
1．解析：因为f(－1)＝－3<0，f(0)＝1－3<0，f(1)＝2－3<0，f(2)＝4－3＝1>0，所以初始区间可选为[1,2]．
答案：C
2．解析：由表可知：f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，f(6)·f(7)<0，所以函数y＝f(x)在区间(1,7)内至少有4个零点．
答案：D
3．解析：令f(x)＝x2－x－2，因f(1)＝1－1－2＝1－2<0，f(2)＝22－0＝4－1>0，故x0∈(1,2)，故选B.
答案：B
4．解析：因为f(2.5)<0，f(2.75)>0，由零点存在性定理知，方程的根在区间(2.5,2.75)，选C.
答案：C
5．解析：∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为，，，.
答案：D
6．解析：由二分法，可知零点在(1.556
2,1.562
5)内，所以零点的近似值约为1.56.
答案：B
7．解析：∵f(2)f(3)<0，∴零点在区间(2,3)内．
答案：(2,3)
8．解析：由＜0.1，得2n－1＞10，∴n－1≥4，即n≥5.
答案：5
9．解析：∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.
答案：a2＝4b
10．解析：由于f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又函数f(x)在[1,2]内是增函数，所以函数f(x)在区间[1,2]内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈[1,2]．下面用二分法求解．
(a，b)
(a，b)
的中点
f(a)
f(b)
f
(1,2)
1.5
f(1)<0
f(2)>0
f(1.5)>0
(1,1.5)
1.25
f(1)<0
f(1.5)>0
f(1.25)>0
(1,1.25)
1.125
f(1)<0
f(1.25)>0
f(1.125)<0
(1.125,1.25)
1.187
5
f(1.125)<0
f(1.25)>0
f(1.187
5)<0
因为|1.187
5－1.25|＝0.062
5<0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25.
学科素养升级练
1．解析：函数f(x)＝x3＋3x－2，把x＝0,1,2,3,4代入，若f(a)·f(b)<0，则零点在(a，b)，f(0)＝－2<0，f(1)＝2>0，f(2)＝12>0，f(3)＝34>0，f(4)＝76>0，所以f(0)<0，f(1)>0，所以函数的零点在(0,1)，故选ABC.
答案：ABC
2．解析：f(x)＝－ln
x在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝1>0，f(2)＝－ln
2<0，∴f(x)的零点x0∈(1,2)，故n＝1.设至少需等分n次，则n≤0.1且n∈N，解得n≥4，故至少需等分4次．
答案：1 4
3．解析：先在天平左右各放4个球，有两种情况：
(1)若平，则“坏球”在剩下的4个球中．
取剩下的4个球中的3个球放天平的一端，取3个好球放天平的另一端．
①若仍平，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；
②若不平，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还是重．任取其中2个球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏球”．
(2)若不平，则“坏球”在天平上的8个球中，不妨设天平右端较重．
从右端4个球中取出3个球，置于一容器内，然后从左端4个球中取3个球移到右端，再从外面好球中取3个补到左端，看天平，有三种可能．
①若平，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重；
②若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左端移到右端的3个球中，并且偏轻；
③若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．
显然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出．4.5.3 函数模型的应用
必备知识基础练
知识点一
指数函数、对数函数模型
1.某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是( )
(下列数据仅供参考：＝1.41，＝1.73，＝1.44，＝1.38)
A．38%
B．41%
C．44%
D．73%
2．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lg中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________.(已知lg
5≈0.699，lg
3≈0.477)
知识点二
已知函数模型的应用问题
3.小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是( )
4．某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的最少过滤次数为(参考数据：lg
2≈0.301，lg
3≈0.477)( )
A．10
B．9
C．8
D．7
知识点三
建立拟合函数模型解决实际问题
5.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示．
时间
1
2
3
4
利润(千元)
2
3.98
8.01
15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的( )
A．y＝log2x
B．y＝2x
C．y＝x2
D．y＝2x
6．某汽车制造商在2019年初公告：公司计划2019年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
年份
2016
2017
2018
产量
8(万)
18(万)
30(万)
如果我们分别将2016、2017、2018、2019定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？
关键能力综合练
一、选择题
1．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝mlog2(x＋1)，设这种动物第一年有200只，到第7年它们发展到( )
A．300只
B．400只
C．500只
D．600只
2．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )
A．y＝(0.957
6)
B．y＝(0.957
6)100x
C．y＝x
D．y＝1－(0.042
4)
3．某人2013年1月1日到银行存入a元，年利率为x，若按复利计算，则到2018年1月1日可取款( )
A．a(1＋x)5元
B．a(1＋x)4元
C．[a＋(1＋x)5]元
D．a(1＋x5)元
4．某个体企业的一个车间去年有8名工人，每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪比上一年增加20%；另外，每年新招3名工人，每名新工人第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，那么，将第n年企业付给工人的工资总额y(单位：万元)表示成n的函数，其表达式为( )
A．y＝(3n＋5)×1.2n＋2.4
B．y＝8×1.2n＋2.4n
C．y＝(3n＋8)×1.2n＋2.4
D．y＝(3n＋5)×1.2n－1＋2.4
5．(易错题)某城市出租车起步价为10元，最远可租乘3
km(含3
km)，以后每1
km增加1.6元(不足1
km按1
km计费)，则出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为( )
6．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为( )
A．125
B．100
C．75
D．50
二、填空题
7．某化工厂2018年的年产量是2010年年产量的n倍，则该化工厂这几年的年平均增长率是________．
8．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．
9．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为v＝5log2(m/s)，其中q表示燕子的耗氧量，则燕子静止时的耗氧量为________．当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时，其速度是________．
三、解答题
10．(探究题)一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少需保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
学科素养升级练
1．(多选题)对于定义域为D的函数f(x)，若存在区间[m，n]?D，同时满足下列条件：①f(x)在[m，n]上是单调的；②当定义域是[m，n]时，f(x)的值域也是[m，n]，则称[m，n]为该函数的“和谐区间”．下列函数存在“和谐区间”的是( )
A．f(x)＝x3
B．f(x)＝3－
C．f(x)＝ex－1
D．f(x)＝ln
x＋2
2．某公司为了实现1
000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金数额y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时资金数额不超过利润的25%，其中下列模型中能符合公司要求的是________．(参考数据：1.003600≈6，lg
7≈0.845)
①y＝0.025x；②y＝1.003x；③y＝1＋log7x；
④y＝x2.
3．(学科素养—数据分析)某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(百元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋(k为正常数)．日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的部分数据如下表所示：
x(天)
10
20
25
30
Q(x)(件)
110
120
125
120
已知第10天的日销售收入为121百元．
(1)求k的值；
(2)给出以下四种函数模型：①Q(x)＝ax＋b，②Q(x)＝a|x－25|＋b，③Q(x)＝a·bx，④Q(x)＝a·logbx.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的关系，并求出该函数的解析式；
(3)求该服装的日销售收入f(x)(1≤x≤30，x∈N＋)(百元)的最小值．
4．5.3 函数模型的应用
必备知识基础练
1．解析：设年平均增长率为p，由题意得(1＋p)6＝23,1＋p＝＝1.41，∴p＝0.41.故选B.
答案：B
2．解析：当N＝40时，t＝－144lg＝－144lg＝－144(lg
5－2lg
3)≈36.72.
答案：36.72
3．解析：20至30分钟时距离没有变化．故选D.
答案：D
4．解析：设经过n次过滤，产品达到市场要求，则×n≤，即n≤，由nlg≤－lg
20，即n(lg
2－lg
3)≤－(1＋lg
2)，得n≥≈7.4，所以选C.
答案：C
5．解析：把x＝1,2,3,4代入，只有y＝2x的值最接近表格中的对应值．
答案：B
6．解析：建立年销量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)．
①构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
将点坐标代入，
可得
解得a＝1，b＝7，c＝0，
则f(x)＝x2＋7x，
故f(4)＝44，与计划误差为1.
②构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，
将点坐标代入，可得
解得a＝，b＝，c＝－42，
则g(x)＝·x－42，
故g(4)＝·4－42＝44.4，与计划误差为1.4.
由①②可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系．
关键能力综合练
1．解析：由已知第一年有200只，得m＝200.将m＝200，x＝7代入y＝mlog2(x＋1)，得y＝600.
答案：D
2．解析：设镭一年放射掉其质量的t%，则有95.76%＝1·(1－t%)100,1－t%＝(0.957
6)，∴y＝(1－t%)x＝(0.957
6).
答案：A
3．解析：2013年1月1日到银行存入a元，到2014年1月1日本息共a(1＋x)元，作为本金转入下一个周期，到2015年1月1日本息共a(1＋x)(1＋x)＝a(1＋x)2元，因此，到2018年1月1日可取款a(1＋x)5元，故选A.
答案：A
4．解析：第一年企业付给工人的工资总额为1×1.2×8＋0.8×3＝9.6＋2.4＝12(万元)，而对于4个选项而言，当n＝1时，C，D相对应的函数值均不为12，故可排除C，D.再考虑第二年企业付给工人的工资总额，第二年有11个老工人，3个新工人，工资总额为(11×1.22＋2.4)万元，故选A.
答案：A
5．解析：出租车起步价为10元(最远3
km的行程)，即在(0,3]内对应y值为10，以后每1
km增加1.6元，故选C.
答案：C
6．解析：依题意，a＝a·e－50k，∴e－k＝.设经过t1天后，一个新丸体积变为a，则a＝a·e，∴＝(e－k)＝，∴t1＝，即t1＝75.
答案：C
7．解析：设2010年年产量是a，则2018年年产量是na，设年平均增长率为x，则na＝a(1＋x)8，解得x＝－1.
答案：－1
8．解析：将x＝3分别代入y＝x2＋1及y＝3x－1中，得y＝32＋1＝10，y＝3×3－1＝8.由于10更接近10.2，所以选用甲模型．
答案：甲
9．解析：由题意，燕子静止时v＝0，即5log2＝0，解得q＝10；当q＝80时，v＝5log2＝15(m/s)．
答案：10 15
m/s
10．解析：(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0
则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，
解得x＝1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，则
a(1－x)m＝a，即＝，＝，
解得m＝5，
故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍了n年．
则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，
≥，≤，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
学科素养升级练
1．解析：由题意，函数在“和谐区间”上单调递增，且满足f(x)＝x至少有两个解，对于A选项，函数f(x)＝x3在定义域R上单调递增，且x3＝x有解－1,0,1，满足条件，故正确；对于B选项，函数f(x)＝3－在(0，＋∞)上单调递增，且3－＝x有解1,2，满足条件，故正确；对于C选项，函数f(x)＝ex－1在定义域上单调递增，但ex－1＝x只有一个解0，不满足条件，故错误；对于D选项，函数f(x)＝ln
x＋2在(0，＋∞)上单调递增，显然函数f(x)＝ln
x＋2与函数y＝x在(0，＋∞)上有两个交点，即ln
x＋2＝x有两个解，满足条件，故正确．故选ABD.
答案：ABD
2．解析：由题意知，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10,1
000]时，
(ⅰ)函数为增函数；
(ⅱ)函数的最大值不超过5；
(ⅲ)y≤x·25%＝x，
①中，函数y＝0.025x，易知满足(ⅰ)，但当x>200时，y>5不满足公司要求；
②中，函数y＝1.003x，易知满足(ⅰ)，但当x>600时，y>5不满足公司要求；
③中，函数y＝1＋log7x，易知满足(ⅰ)，且当x＝1
000时，y取最大值1＋log71
000＝1＋<5，且1＋log7x≤x恒成立，故满足公司要求；
④中，函数y＝x2，易知满足(ⅰ)，但当x＝400时，y>5不满足公司要求．
答案：③
3．解析：(1)依题意知第10天的日销售收入为
P(10)·Q(10)＝×110＝121，解得k＝1.
(2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a|x－25|＋b.
从表中任意取两组值代入可求得Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋)，经检验，其他数据也符合该解析式，故该函数的解析式为Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋)．
(3)由(2)知
Q(x)＝125－|x－25|＝
∴f(x)＝P(x)·Q(x)＝
当1≤x<25时，y＝x＋在[1,10]上是减函数，在[10,25)上是增函数，所以当x＝10时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝121；
当25≤x≤30时，y＝－x为减函数，所以当x＝30时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝124.
综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝121.
从而，该服装的日销售收入的最小值为121百元．4.5.1 函数的零点与方程的解
必备知识基础练
知识点一
求函数的零点
1.函数y＝1＋的零点是( )
A．(－1,0)
B．－1
C．1
D．0
2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0
B．－2,0
C.
D．0
3．函数f(x)＝(lg
x)2－lg
x的零点为________.
知识点二
判断函数零点所在的区间
4.函数f(x)＝ln
x－的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(e，＋∞)
5．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3)
B．(1,2)
C．(0,3)
D．(0,2)
6．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
f(x)
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是( )
A．(－3，－1)，(2,4)
B．(－3，－1)，(－1,1)
C．(－1,1)，(1,2)
D．(－∞，－3)，(4，＋∞)
知识点三
判断函数零点的个数
7.函数f(x)＝x3－x的零点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
8．f(x)＝的零点个数为( )
A．3
B．2
C．1
D．0
9．已知函数f(x)＝mx2＋2x－1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是________.
关键能力综合练
一、选择题
1．下列函数没有零点的是( )
A．f(x)＝0
B．f(x)＝2
C．f(x)＝x2－1
D．f(x)＝x－
2．(易错题)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )
A．若f(a)·f(b)>0，则不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
B．若f(a)·f(b)<0，则只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
C．若f(a)·f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
D．若f(a)·f(b)<0，则有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
3．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]内( )
A．至少有一个实根
B．至多有一个实根
C．没有实根
D．有唯一实根
4．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,4)
D．(4，＋∞)
5．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是( )
A．－1和
B．1和－
C.和
D．－和
6．方程lg
x＝8－2x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k等于( )
A．2
B．3
C．4
D．5
二、填空题
7．函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是________．
8．函数f(x)＝log2x＋2x－7的零点个数为________，它的一个大致区间是________．
9．若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
10．(探究题)若函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，求实数m的取值范围．
学科素养升级练
1．(多选题)已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－m恰有2个零点，则实数m可以是( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
2．已知函数f(x)＝若函数y＝f(f(x)＋m)有四个零点，则实数m的取值范围是________．
3．(学科素养—数学抽象)已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
4.5 函数的应用(二)
4．5.1 函数的零点与方程的解
必备知识基础练
1．解析：由1＋＝0，得x＝－1.
答案：B
2．解析：当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.当x>1时，令1＋log2x＝0，得x＝，此时无解．综上所述，函数零点为0.
答案：D
3．解析：由(lg
x)2－lg
x＝0，得lg
x(lg
x－1)＝0，∴lg
x＝0或lg
x＝1，∴x＝1或x＝10.
答案：1和10
4．解析：∵f(1)＝－2<0，f(2)＝ln
2－1<0，∴在(1,2)内f(x)无零点，A错；又f(3)＝ln
3－>0，∴f(2)·f(3)<0，∴f(x)在(2,3)内有零点．
答案：B
5．解析：根据指数函数的性质可知函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)内是增函数，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，所以f(1)<0，且f(2)>0，求解可得0答案：C
6．解析：因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在区间(－3，－1)内必有实数根，又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在区间(2,4)内必有实数根，故选A.
答案：A
7．解析：f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0，x＝1，x＝－1，即函数的零点为－1,0,1，共3个．
答案：D
8．解析：当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x1＝－3，x2＝1(舍去)；当x>0时，由f(x)＝－2＋ln
x＝0得x＝e2.∴函数的零点个数为2.
答案：B
9．解析：当m＝0时，零点为x＝，满足题意．
当m≠0时，Δ＝4＋4m≥0，解得m>0或－1≤m<0，
设x1，x2是函数的两个零点，则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
若m＝－1，函数只有一个零点1，满足题意；
若－1若m>0，则x1，x2一正一负，满足题意．
综上，实数m的取值范围是{－1}∪[0，＋∞)．
答案：{－1}∪[0，＋∞)
关键能力综合练
1．解析：函数f(x)＝2，不能满足方程f(x)＝0，因此没有零点．
答案：B
2．解析：当零点在区间(a，b)内时，f(a)·f(b)>0也可能成立，因此A不正确，C正确；若y＝f(x)满足零点存在性定理的两个条件，则在该区间内必存在零点，但个数不能确定，故B，D都不正确．
答案：C
3．解析：f(x)＝－x－x3在[a，b]上单调递减，且f(a)·f(b)<0，∴f(x)＝0在[a，b]内有唯一解．
答案：D
4．解析：∵f(x)＝－log2x，∴f(x)为(0，＋∞)上的减函数，且f(1)＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－2＝－<0，由零点存在性定理，可知包含f(x)零点的区间是(2,4)．
答案：C
5．解析：∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，
∴即∴g(x)＝6x2－5x－1，
∴g(x)的零点为1和－，故选B.
答案：B
6．解析：令f(x)＝lg
x＋2x－8，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且在(0，＋∞)上连续，因为f(1)＝－6<0，f(2)＝lg
2－4<0，f(3)＝lg
3－2<0，f(4)＝lg
4>0，所以f(3)f(4)<0，函数零点所在的区间是(3,4)，所以k＝3.
答案：B
7．解析：由题意可知，函数f(x)＝x2－2x的零点个数，等于函数y＝2x，y＝x2的图象交点个数．如图，画出函数y＝2x，y＝x2的大致图象．
由图象可知有3个交点，即f(x)＝x2－2x有3个零点．
答案：3
8.
解析：设y1＝log2x，y2＝－2x＋7，可将y1，y2的图象作出，
由图可知y1与y2只有一个交点，则log2x＋2x－7＝0只有一个实数根，∴函数f(x)只有一个零点．
∵f(2)＝log22＋22－7＝－2<0，
f(3)＝log23＋23－7＝log23＋1>0，
∴f(2)·f(3)<0，∴零点的一个大致区间为(2,3)．
答案：1 (2,3)(答案不唯一)
9．解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a＞1时，两函数图象有两个交点，0＜a＜1时两函数图象有唯一交点，故a＞1.
答案：(1，＋∞)
10．解析：函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，
即函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点一个在(－1，0)内，一个在(1,2)内，
根据图象(图略)列出不等式组
解得
∴－学科素养升级练
1．解析：画出函数f(x)的图象，x∈[1，＋∞)时，f(x)＝－(x－2)2＋1.若函数g(x)＝f(x)－m恰有2个零点，则实数m＝1，或m≤0.因此m可以为－1,0,1.故选ABC.
答案：ABC
2．解析：令f(x)＝0?x＝－2或1.
令f(f(x)＋m)＝0得f(x)＋m＝－2或f(x)＋m＝1，∴f(x)＝－2－m或f(x)＝1－m.
作出y＝f(x)的图象，如图所示．
y＝f(f(x)＋m)有四个零点，
∴f(x)＝－2－m，f(x)＝1－m各有两个根，
∴解得－3≤m<－1.
答案：[－3，－1)
3.解析：(1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
因为y＝f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
所以f(x)＝
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；
所以当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.
所以据此可作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1,1)．