5.1.1 任意角
必备知识基础练
知识点一
任意角的概念
1.下列命题正确的是( )
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角
D．小于90°的角是锐角
2．已知中学生一节课的上课时间一般是45分钟，那么，经过一节课，分针旋转形成的角是( )
A．120°
B．－120°
C．270°
D．－270°
3．若将钟表拨慢10分钟，则时针转了________度，分针转了________度.
知识点二
终边相同的角与象限角
4.－2
019°是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
5．下列各对角中，终边相同的是( )
A．270°和k·360°－270°(k∈Z)
B．－36°和792°
C．－140°和220°
D．1
200°和2
440°
6．已知α为第三象限角，则所在的象限是( )
A．第一或第二象限
B．第二或第三象限
C．第一或第三象限
D．第二或第四象限
知识点三
区域角的表示
7.终边在直线y＝－x上的所有角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°＋225°，k∈Z}
D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}
8．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．
9．已知，如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
关键能力综合练
一、选择题
1．下列说法中，正确的是( )
A．第二象限的角都是钝角
B．第二象限角大于第一象限的角
C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合
D．若角α与角β的终边在一条直线上，则α－β＝k·180°(k∈Z)
2．与600°角终边相同的角可表示为( )
A．k·360°＋220°(k∈Z)
B．k·360°＋240°(k∈Z)
C．k·360°＋60°(k∈Z)
D．k·360°＋260°(k∈Z)
3．终边与坐标轴重合的角α的集合是( )
A．{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝k·90°，k∈Z}
4．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )
A．90°－α
B．90°＋α
C．360°－α
D．180°＋α
5．若角α与β的终边关于x轴对称，则有( )
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z
C．α＋β＝2k·180°，k∈Z
D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z
6．(易错题)已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是( )
A．第一象限角
B．第一或第二象限角
C．第一或第三象限角
D．第一或第四象限角
二、填空题
7．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．
8．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．
9．(探究题)若角θ的终边与60°角的终边相同，则在0°～360°内终边与角的终边相同的角为________．
三、解答题
10．(1)若α为第三象限角，试判断90°－α的终边所在的象限；
(2)若α为第四象限角，试判断的终边所在的象限．
学科素养升级练
1．(多选题)下列四个选项正确的有( )
A．－75°角是第四象限角
B．225°角是第三象限角
C．475°角是第二象限角
D．－315°是第一象限角
2．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α的取值范围是________．
3．(学科素养—运算能力)已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
5．1 任意角和弧度制
5．1.1 任意角
必备知识基础练
1．解析：终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．
答案：C
2．解析：分针旋转形成的角是负角，故所求分针旋转形成的角是(－360°)×＝－270°.
答案：D
3．解析：由题意可知，时针按逆时针方向转了10×＝5°，分针按逆时针方向转了10×＝60°.
答案：5° 60°
4．解析：－2
019°＝－6×360°＋141°，141°是第二象限角，所以－2
019°为第二象限角．
答案：B
5．解析：若两角的终边相同，则两角需相差k·360°(k∈Z)，经验证，220°＝360°＋(－140°)，故选C.
答案：C
6．解析：由于k·360°＋180°<α答案：D
7．解析：因为直线y＝－x为二、四象限角平分线，所以角终边落到第四象限可表示为k·360°－45°＝2k·180°－45°，k∈Z；终边落到第二象限可表示为k·360°－180°－45°＝(2k－1)·180°－45°，k∈Z，综上可得终边在直线y＝－x上的所有角的集合为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}．
答案：D
8．解析：观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α答案：{α|k·360°＋45°<α9．解析：(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由图可知，阴影部分角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
关键能力综合练
1．解析：A错误，495°＝135°＋360°是第二象限的角，但不是钝角；B错误，α＝135°是第二象限角，β＝360°＋45°是第一象限的角，但α<β；C错误，α＝360°，β＝720°，α≠β，但二者终边重合；D正确，α与β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180°的整数倍，故α－β＝k·180°(k∈Z)．
答案：D
2．解析：与600°终边相同的角α＝n·360°＋600°＝n·360°＋360°＋240°＝(n＋1)·360°＋240°＝k·360°＋240°，n∈Z，k∈Z.
答案：B
3．解析：终边在坐标轴上的角大小为90°或90°的整数倍，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．故选D.
答案：D
4．解析：特例法，取α＝30°，可知C正确．作为选择题，用特例求解更简便些．一般角所在的象限讨论，应学会用旋转的方法找角所在的象限．如，α＋90°，将角α的终边逆时针旋转90°，α－90°，则将α的终边顺时针旋转90°，角180°＋α的终边为角α的终边反向延长线，180°－α，先将角α的终边关于x轴对称，再关于原点对称，即可得到180°－α的终边等等．
答案：C
5．解析：∵α与β的终边关于x轴对称，∴β＝2k·180°－α，k∈Z.
∴α＋β＝2k·180°，k∈Z.故选C.
答案：C
6．解析：因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°<2α答案：C
7．解析：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1
080°，
又50°＋(－1
080°)＝－1
030°，故所得的角为－1
030°.
答案：－1
030°
8．解析：根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内的角为120°.
答案：120°，300°
9．解析：由题意设θ＝60°＋k·360°(k∈Z)，
则＝20°＋k·120°(k∈Z)，
则当k＝0,1,2时，＝20°，140°，260°.
答案：20°，140°，260°
10．解析：(1)因为α为第三象限角，
所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z，
则－180°－k·360°<90°－α<－90°－k·360°，k∈Z，
所以90°－α的终边在第三象限．
(2)由于α为第四象限角，
即α∈(k·360°－90°，k·360°)(k∈Z)，
所以∈(k·180°－45°，k·180°)(k∈Z)．
当k＝2n，n∈Z时，∈(n·360°－45°，n·360°)(n∈Z)，是第四象限角；
当k＝2n＋1，n∈Z时，∈(n·360°＋135°，n·360°＋180°)(n∈Z)，是第二象限角．
综上，可知的终边所在的象限是第二或第四象限．
学科素养升级练
1．解析：对于A：如图1所示，－75°角是第四象限角；对于B：如图2所示，225°角是第三象限角；对于C：如图3所示，475°角是第二象限角；对于D：如图4所示，－315°角是第一象限角．故选ABCD.
答案：ABCD
2．解析：解法一(并集法) 在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为30°<α<150°和210°<α<330°.
所以α∈{α|k·360°＋30°<α解法二(旋转法) 观察图形可知，图中阴影成“对角型”区域，其中一个区域逆(或顺)时针旋转180°，恰好与另一个区域重合，由此可知α∈{α|n·180°＋30°<α答案：{α|n·180°＋30°<α3．解析：由题意可知，
α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z，
α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.
取k＝1，得α＋β＝80°.①
∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β都是锐角，∴
∴－90°<α－β<90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°.②
由①②，得α＝15°，β＝65°.5.1.2 弧度制
必备知识基础练
知识点一
弧度制的概念
1.下列各说法中，错误的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角
C．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
D．不论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关
2．角－的终边所在的象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
知识点二
角度与弧度的互化
3.－630°化为弧度为________．
4．将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)－800°；(3)；(4)－.
知识点三
扇形的弧长与面积公式
5.已知扇形的周长为8
cm，圆心角为2，则扇形的面积为________
cm2.
6．已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形的圆心角的弧度数．
7．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为弧度．求：
(1)这个圆心角所对的弧长；
(2)这个扇形的面积．
关键能力综合练
一、选择题
1．下列说法中，错误的是( )
A．半圆所对的圆心角是π
rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
2．将－1
485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是( )
A．－－8π
B.－8π
C.－10π
D.－10π
3．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )
A.π
B．－π
C.
π
D．－π
4．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
5．圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为( )
A．1
B.
C.或
D.或
6．(探究题)如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是( )
A.(2－sin
1cos
1)R2
B.R2sin
1cos
1
C.R2
D．(1－sin
1cos
1)R2
二、填空题
7．已知一扇形的弧长为，面积为，则其半径r＝________，圆心角为________．
8．角的集合A＝与集合B＝之间的关系为________．
9．(易错题)已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________.
三、解答题
10．已知某扇形的周长是12
cm.
(1)若扇形的圆心角α＝30°，求该扇形的半径；
(2)当扇形半径为何值时，这个扇形的面积最大？并求出此时的圆心角．
学科素养升级练
1．(多选题)已知扇形的周长是6
cm，面积是2
cm2，下列选项正确的有( )
A．圆的半径为2
B．圆的半径为1
C．圆心角的弧度数是1
D．圆心角的弧度数是2
2．若角α，β的终边关于直线y＝x对称，且α＝，则在0～4π内满足要求的β＝________.
3．(学科素养—数学抽象)如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点
Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长．
5.1.2 弧度制
必备知识基础练
1．解析：根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是错误的，A，B，C正确．
答案：D
2．解析：－＝－4π＋，的终边位于第四象限．
答案：D
3．解析：－630°＝－630×＝－π.
答案：－π
4．解析：(1)20°＝20×＝.
(2)－800°＝－800×＝－.
(3)＝°＝105°.
(4)－＝－°＝－144°.
5．解析：设扇形的半径为r
cm，弧长为l
cm，由圆心角为2
rad，依据弧长公式可得l＝2r，从而扇形的周长为l＋2r＝4r＝8，解得r＝2，则l＝4.
故扇形的面积S＝lr＝×4×2＝4
cm2.
答案：4
6．解析：设扇形的圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，所在圆的半径为r.依题意得消去l，得r2－5r＋4＝0，
解得r＝1或r＝4.
当r＝1时，l＝8，此时θ＝8
rad>2π
rad，故舍去；
当r＝4时，l＝2，此时θ＝＝
rad，满足题意．
故θ＝
rad.
7．解析：(1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为弧度，所以半径r＝＝，
所以这个圆心角所对的弧长l＝×＝.
(2)由(1)得扇形的面积S＝××＝.
关键能力综合练
1．解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误．
答案：D
2．解析：－1
485°＝－5×360°＋315°，化为α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式为－10π，选D.
答案：D
3．解析：显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为－×2π＝－π.
答案：B
4．解析：当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z.故选C.
答案：C
5．解析：设该弦所对的圆周角为α，
则其圆心角为2α或2π－2α，
由于弦长等于半径，
所以可得2α＝或2π－2α＝，解得α＝或α＝.
答案：C
6．解析：∵l＝4R－2R＝2R，∴α＝＝2.
∵S弓形＝S扇形－S△
＝αR2－·
＝×2×R2－R2sin
1cos
1＝(1－sin
1cos
1)R2.
答案：D
7．解析：设圆心角度数为α，因为扇形的弧长为，面积为＝××r，解得r＝2，由于扇形的弧长为＝rα＝2α，解得α＝.
答案：2
8．解析：与分别表示终边在y轴的正、负半轴上的集合，∴集合B表示终边落在y轴上的角的集合，∴A＝B.
答案：A＝B
9．解析：如图所示，
∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．
答案：[－4，－π]∪[0，π]
10．解析：(1)设扇形的半径为r.
扇形的圆心角α＝30°＝，
则2r＋r＝12，解得r＝.
(2)设扇形的半径为R，弧长为l，
则由题意得l＋2R＝12，则l＝12－2R，
所以扇形面积S＝lR＝(12－2R)R＝－(R－3)2＋9，
所以当R＝3时，扇形的面积最大，此时圆心角为＝＝2，
故当扇形的圆心角为2时，扇形的面积最大．
学科素养升级练
1．解析：设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，
则由题意得∴或故选AC.
答案：AC
2．解析：由角α，β的终边关于直线y＝x对称，及α＝，可得β＝－α＋＋2kπ＝＋2kπ，令k＝0,1可得结果．
答案：，
3．解析：设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，
则t·＋t·＝2π.解得t＝4.
所以第一次相遇时所用的时间是4秒．
第一次相遇时点P已经运动到角·4＝的终边与圆交点的位置，点Q已经运动到角－的终边与圆交点的位置，所以点P走过的弧长为×4＝，
点Q走过的弧长为×4＝×4＝.
