第1课时 诱导公式二、三、四
必备知识基础练
知识点一
给角求值
1.sin
600°＋tan
240°＋cos
120°的值是( )
A．－
B.
C．－＋
D.＋
2．sin＋tan－cos＝________.
知识点二
给值(式)求值
3.已知cos(π－α)＝－，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )
A.
B．－
C．±
D.
4．已知sin＝m，则cos的值等于( )
A．m
B．－m
C.
D．－
5．已知tan
α＝，且α为第一象限角，则sin(π＋α)＋cos(π－α)＝________.
知识点三
化简求值
6.以下四种化简过程，其中正确的有( )
①sin(360°＋200°)＝sin
200°；②sin(180°－200°)＝－sin
200°；③sin(180°＋200°)＝sin
200°；④sin(－200°)＝sin
200°.
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
7．计算下列各式的值：
(1)cos＋cos＋cos＋cos；
(2)sin
420°cos
330°＋sin(－690°)cos(－660°)．
8．化简下列各式．
(1)；
(2)
关键能力综合练
一、选择题
1．cos的值为( )
A．－
B.
C．－
D.
2．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cos(π－θ)的值为( )
A．－
B．－
C.
D.
3．设tan(5π＋α)＝m，则的值等于( )
A.
B.
C．－1
D．1
4．已知tan＝，则tan等于( )
A.
B．－
C.
D．－
5．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，若f(2
019)＝5，则f(2
020)等于( )
A．4
B．3
C．－5
D．5
6．(易错题)已知n为整数，化简所得的结果是( )
A．tan(nα)
B．－tan(nα)
C．tan
α
D．－tan
α
二、填空题
7．求值：(1)cos＝________；(2)tan(－855°)＝______.
8．若cos(π＋α)＝－，<α<2π，则sin(α－2π)＝________.
9．满足sin(3π－x)＝，x∈[－2π，2π]的x的取值集合是________．
三、解答题
10．(探究题)已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
学科素养升级练
1．(多选题)若1＋sin(π－θ)·－cos(π＋θ)·＝0成立，则角θ不可能是
( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
2．已知f(x)＝则f＋f的值为________．
3．(学科素养—运算能力)已知＝3＋2，求：[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值．
5．3 诱导公式
第1课时 诱导公式二、三、四
必备知识基础练
1．解析：sin
600°＋tan
240°＋cos
120°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＋cos(180°－60°)＝sin
240°＋tan
60°－cos
60°＝sin(180°＋60°)＋tan
60°－cos
60°＝－sin
60°＋tan
60°－cos
60°＝－＋－＝－＋.
答案：C
2．解析：原式＝sin＋tan－cos
＝sin＋tan－cos
＝sin－tan＋cos＝－1＋＝0.
答案：0
3．解析：因为cos(π－α)＝－cos
α＝－，所以cos
α＝，
因为α是第一象限角，所以sin
α>0，
所以sin
α＝＝＝.
所以sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin
α＝－.
答案：B
4．解析：cos＝cos＝－cos
＝－＝.
答案：C
5．解析：由tan
α＝＝，sin2α＋cos2α＝1，且α为第一象限角，解得sin
α＝，cos
α＝.
所以sin(π＋α)＋cos(π－α)＝－sin
α－cos
α＝－.
答案：－
6．解析：由诱导公式一知①正确；由诱导公式四知②错误；由诱导公式二知③错误；由诱导公式三知④错误．
答案：B
7．解析：(1)原式＝＋
＝cos＋cos＋cos＋cos
＝＋＝0.
(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)＝sin
60°cos
30°＋sin
30°·cos
60°＝×＋×＝1.
8．解析：(1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝
＝＝＝.
关键能力综合练
1．解析：cos＝cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－，故选C.
答案：C
2．解析：由三角函数的定义知cos
θ＝－，
则cos(π－θ)＝－cos
θ＝，故选C.
答案：C
3．解析：因为tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝tan(π＋α)＝tan
α，所以tan
α＝m.所以原式＝＝＝＝.
答案：A
4．解析：因为tan＝tan＝－tan，所以tan＝－.
答案：B
5．解析：∵f(2
019)＝asin(2
019π＋α)＋bcos(2
019π＋β)＝－asin
α－bcos
β＝5，∴f(2
020)＝asin(2
020π＋α)＋bcos(2
020π＋β)＝asin
α＋bcos
β＝－5.
答案：C
6．解析：当n为偶数时，原式＝＝tan
α；当n为奇数时，原式＝＝tan
α.故选C.
答案：C
7．解析：(1)cos＝cos＝cos＝cos
＝－cos＝－.
(2)tan(－855°)＝－tan
855°＝－tan(2×360°＋135°)
＝－tan
135°＝－tan(180°－45°)＝tan
45°＝1.
答案：(1)－ (2)1
8．解析：由cos(π＋α)＝－，得cos
α＝，故sin(α－2π)＝sin
α＝－＝－＝－(α为第四象限角)．
答案：－
9．解析：sin(3π－x)＝sin(π－x)＝sin
x＝.当x∈[0,2π]时，x＝或；当x∈[－2π，0]时，x＝－或－.所以x的取值集合为.
答案：
10．解析：(1)f(α)＝－＝－cos
α.
(2)∵sin(α－π)＝－sin
α＝，∴sin
α＝－.
又α是第三象限角，
∴cos
α＝－，∴f(α)＝.
(3)∵－＝－6×2π＋，
∴f＝－cos＝－cos＝－cos＝－.
学科素养升级练
1．解析：由诱导公式可知：1＋sin
θ·＋cos
θ＝0，且1－sin2θ－cos2θ＝0，所以sin
θ≤0，cos
θ≤0，故选ABD.
答案：ABD
2．解析：因为f＝sin＝sin＝sin＝；
f＝f－1＝f－2
＝sin－2＝－－2＝－.
所以f＋f＝－2.
答案：－2
3．解析：由＝3＋2，
得(4＋2)tan
θ＝2＋2，
所以tan
θ＝＝，
故[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·＝(cos2θ＋sin
θcos
θ＋2sin2θ)·
＝1＋tan
θ＋2tan2θ＝1＋＋2×2＝2＋.第2课时 诱导公式五、六
必备知识基础练
知识点一
化简求值
1.已知cos＝－，且α是第二象限角，则sin的结果是( )
A.
B．－
C．±
D.
2．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )
A.
B.
C．－
D．－
3．已知sin＝，则cos的值等于( )
A.
B．－
C.
D．－
4．已知cos＝2sin，则
＝________.
知识点二
利用诱导公式证明三角恒等式
5.求证：＝.
6．求证：＝－tan
α.
知识点三
诱导公式的综合应用
7.已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tan
A－sin
A的值．
关键能力综合练
一、选择题
1．如果|sin
α|＝，且α是第二象限角，那么sin＝( )
A．－
B.
C．－
D.
2．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )
A．－a
B．－a
C.a
D.a
3．如果角θ的终边经过点，那么sin＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)等于( )
A．－
B.
C.
D．－
4．(易错题)已知cos
31°＝m，则sin
239°tan
149°的值是( )
A.
B.
C．－
D．－
5．已知sin＝，则cos的值是( )
A．－
B.
C.
D．－
6．设α是第二象限角，且cos＝－，则是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
二、填空题
7．若cos
θ＝，θ为锐角，则sin
θ＝________，＝________.
8．若f(cos
x)＝cos
2x，则f(sin
15°)＝________.
9．(探究题)在△ABC中，sin＝sin，则△ABC的形状是________．
三、解答题
10．已知sin
α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求的值．
学科素养升级练
1．(多选题)若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A．cos(A＋B)＝cos
C
B．sin(A＋B)＝sin
C
C．cos＝sin
B
D．sin＝cos
2．已知sin＝，则sin＝____________，
cos＝____________.
3．(学科素养—逻辑推理)已知f(cos
x)＝cos
17x.
(1)求证：f(sin
x)＝sin
17x；
(2)对于怎样的整数n，能由f(sin
x)＝sin
nx推出f(cos
x)＝cos
nx?
第2课时 诱导公式五、六
必备知识基础练
1．解析：∵cos＝－sin
α＝－，
∴sin
α＝，且α是第二象限角，
∴cos
α＝－＝－.
而sin＝－sin＝－(－cos
α)＝cos
α＝－.
答案：B
2．解析：sin(α－15°)＋cos(105°－α)
＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]
＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)
＝－2cos(75°＋α)＝－.
答案：D
3．解析：∵＋α－＝，∴cos＝
cos＝－sin＝－.故选D.
答案：D
4．解析：∵cos＝2sin，
∴sin
α＝2cos
α.
原式＝＝＝.
答案：
5．证明：左边＝＝
＝＝，
右边＝，所以原等式成立．
6．证明：左边＝
＝
＝
＝＝－＝－tan
α＝右边．
∴原等式成立．
7．解析：(1)f(α)＝＝cos
α.
(2)由(1)知，cos
A＝，因为A是△ABC的内角，
所以0
所以sin
A＝＝，
所以tan
A＝＝，
所以tan
A－sin
A＝－＝.
关键能力综合练
1．解析：∵α是第二象限角，∴sin
α＝，∴sin＝－sin＝－cos
α＝＝，故选D.
答案：D
2．解析：由条件得－sin
α－sin
α＝－a，故sin
α＝，
原式＝－sin
α－2sin
α＝－3sin
α＝－a.
答案：B
3．解析：易知sin
θ＝，cos
θ＝－，tan
θ＝－.
原式＝cos
θ－cos
θ－tan
θ＝.
答案：B
4．解析：sin
239°tan
149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)
＝－sin
59°(－tan
31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan
31°)
＝－cos
31°·(－tan
31°)＝sin
31°＝＝.
答案：B
5．解析：因为cos＝cos＝sin＝，故选B.
答案：B
6．解析：α是第二象限角，是第一或第三象限角．
－＝－＝－＝cos，
∴为第三象限角．
答案：C
7．解析：∵cos
θ＝，θ为锐角，∴sin
θ＝＝，
则＝＝＝1.
答案： 1
8．解析：f(sin
15°)＝f(cos
75°)＝cos
150°＝－cos
30°＝－.
答案：－
9．解析：∵A＋B＋C＝π，∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.又∵sin＝sin，
∴sin＝sin.
∴sin＝sin.∴cos
C＝cos
B.
又∵B，C为△ABC的内角，∴C＝B.
∴△ABC为等腰三角形．
答案：等腰三角形
10．解析：因为5x2－7x－6＝0的两根为x＝2或x＝－，
所以sin
α＝－，
又因为α为第三象限角，
所以cos
α＝－＝－.所以tan
α＝.
故原式＝＝tan
α＝.
学科素养升级练
1．解析：因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，＝，＝，
所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos
C，
sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin
C，
cos＝cos＝sin，
sin＝sin＝cos.所以BD正确．故选BD.
答案：BD
2．解析：sin＝sin＝－sin＝－；
cos＝cos＝sin＝.
答案：－
3．解析：(1)证明：f(sin
x)＝f＝cos
＝cos＝cos＝sin
17x.
(2)f(cos
x)＝f＝sin＝sin
＝k∈Z
故所求的整数为n＝4k＋1，k∈Z.