第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
必备知识基础练
知识点一
公式的正用
1.设α是第四象限角，已知sin
α＝－，则sin
2α，cos
2α和tan
2α的值分别为( )
A．－，，－
B.，，
C．－，－，
D.，－，－
2．求下列各式的值．
(1)cos2－sin2＝________；
(2)－cos215°＝________；
(3)cos
20°cos
40°cos
80°＝________.
知识点二
公式的逆用
3.cos275°＋cos215°＋cos
75°cos
15°的值等于( )
A.
B.
C.
D．1＋
4.等于( )
A.
B.
C．1
D．－1
5.等于( )
A.
B．1
C.
D．2
知识点三
公式的综合应用
6.若tan
θ＋＝4，则sin
2θ＝( )
A.
B.
C.
D.
7．若α∈，则＋的值为( )
A．2cos
B．－2cos
C．2sin
D．－2sin
8．已知角α在第一象限且cos
α＝，则等于( )
A.
B.
C.
D．－
9．已知＝－，则sin的值是________．
10．求证：＝tan4A.
关键能力综合练
一、选择题
1．已知cos
x＝－，x为第二象限角，那么sin
2x＝( )
A．－
B．±
C．－
D.
2．cos4－sin4的值为( )
A．0
B.
C．1
D．－
3．已知cos＝，则sin
2x的值为( )
A.
B.
C．－
D．－
4．若＝，则tan
2α等于( )
A．－
B.
C．－
D.
5．(易错题)－＝( )
A．－2cos
5°
B．2cos
5°
C．－2sin
5°
D．2sin
5°
6．已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是( )
A.
B.
C．－
D．－
二、填空题
7．若sin
α－cos
α＝，则sin
2α＝________.
8．已知θ∈(0，π)，且sin＝，则tan
2θ＝________.
9．(探究题)已知tan＝3，则tan
θ＝__________，cos＝________.
三、解答题
10．求下列各式的值：
(1)sinsin；(2)cos215°－cos275°；
(3)2cos2－1；(4)；
(5)求sin
10°sin
30°sin
50°sin
70°的值．
学科素养升级练
1．(多选题)下列选项中，值为的是( )
A．cos
72°cos
36°
B．sinsin
C.＋
D.－cos215°
2．函数f(x)＝sin－3cos
x的最小值为________．
3．(学科素养—数学建模)如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前进30
m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10
m到点D，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．
第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
必备知识基础练
1．解析：因为α是第四象限角，且sin
α＝－，所以cos
α＝，所以sin
2α＝2sin
αcos
α＝－，cos
2α＝2cos2α－1＝，tan
2α＝＝－.
答案：A
2．解析：(1)原式＝cos＝.
(2)原式＝(1－2cos215°)＝－cos
30°＝－.
(3)原式＝·2sin
20°cos
20°cos
40°cos
80°
＝·sin
40°·cos
40°cos
80°
＝sin
80°cos
80°
＝·sin
160°
＝＝.
答案：(1) (2)－ (3)
3．解析：原式＝sin215°＋cos215°＋sin
15°cos
15°＝1＋sin
30°＝1＋＝.
答案：C
4．解析：原式＝＝＝.
答案：A
5．解析：原式＝＝＝＝1.
答案：B
6．解析：解法一 ∵tan
θ＋＝＝4，∴4tan
θ＝1＋tan2θ，∴sin
2θ＝2sin
θcos
θ＝＝＝＝.
解法二 ∵tan
θ＋＝＋＝＝，
∴4＝，∴sin
2θ＝.
答案：D
7．解析：∵α∈，∴∈，
∴原式＝＋
＝－sin－cos－sin＋cos＝－2sin.
答案：D
8．解析：∵cos
α＝且α在第一象限，∴sin
α＝.
∴cos
2α＝cos2α－sin2α＝－，
sin
2α＝2sin
αcos
α＝，
∴原式＝
＝＝.
答案：C
9．解析：由＝＝＝－，得3tan2α－5tan
α－2＝0，解得tan
α＝2，或tan
α＝－.
sin＝sin
2αcos＋cos
2αsin
＝(sin
2α＋cos
2α)
＝
＝，①
当tan
α＝2时，①＝×＝；
当tan
α＝－时，
①＝×＝.
综上，sin＝.
答案：
10．证明：∵左边＝
＝2＝2＝(tan2A)2
＝tan4A＝右边，
∴＝tan4A.
关键能力综合练
1．解析：因为cos
x＝－，x为第二象限角，所以sin
x＝，所以sin
2x＝2sin
xcos
x＝2××＝－，故选C.
答案：C
2．解析：cos4－sin4＝＝cos＝.
答案：B
3．解析：因为sin
2x＝cos＝cos
2＝2cos2－1，所以sin
2x＝2×2－1＝－1＝－.
答案：C
4．解析：因为＝，
整理得tan
α＝－3，
所以tan
2α＝＝＝.
答案：B
5．解析：原式＝－
＝(cos
50°－sin
50°)＝2
＝2sin(45°－50°)＝－2sin
5°.
答案：C
6．解析：设底角为θ，则θ∈，顶角为π－2θ.
∵sin
θ＝，∴cos
θ＝＝.
∴sin(π－2θ)＝sin
2θ＝2sin
θcos
θ＝2××＝.
答案：A
7．解析：(sin
α－cos
α)2＝sin2α＋cos2α－2sin
αcos
α＝1－sin
2α＝2?sin
2α＝1－2＝.
答案：
8．解析：由sin＝，得(sin
θ－cos
θ)＝?sin
θ－cos
θ＝.解方程组得
或因为θ∈(0，π)，所以sin
θ＞0，所以不符合题意，舍去，所以tan
θ＝，所以tan
2θ＝＝＝－.
答案：－
9．解析：由tan
θ＝tan＝＝＝＝，
cos＝(cos
2θ＋sin
2θ)＝(cos2θ－sin2θ＋2sin
θcos
θ)＝×＝×＝×＝×＝.
答案：
10．解析：(1)∵sin＝sin＝cos，
∴sinsin＝sincos＝·2sincos＝sin＝.
(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，
∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos
30°＝.
(3)2cos2－1＝cos＝－.
(4)＝＝tan
60°＝.
(5)解法一 ∵sin
10°sin
50°sin
70°＝
＝＝＝
＝＝，∴sin
10°sin
30°sin
50°sin
70°＝.
解法二 sin
10°sin
30°sin
50°sin
70°＝cos
20°cos
40°cos
80°
＝＝
＝＝·＝.
学科素养升级练
1．解析：对于A中cos
36°cos
72°＝＝＝＝.对于B中sinsin＝sincos＝＝＝.对于C中原式＝＝＝＝＝4.对于D中－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos
30°＝－，故选AB.
答案：AB
2．解析：∵f(x)＝sin－3cos
x
＝－cos
2x－3cos
x
＝－2cos2x－3cos
x＋1，
令t＝cos
x，则t∈[－1,1]，
∴f(t)＝－2t2－3t＋1.
又函数f(t)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下，
∴当t＝1时，f(t)有最小值－4.
综上，f(x)的最小值为－4.
答案：－4
3．解析：∵∠ACD＝θ＋∠BAC＝2θ，
∴∠BAC＝θ，∴AC＝BC＝30
m.
又∠ADE＝2θ＋∠CAD＝4θ，∴∠CAD＝2θ，
∴AD＝CD＝10
m.
∴在Rt△ADE中，AE＝AD·sin
4θ＝10sin
4θ(m)，
在Rt△ACE中，AE＝AC·sin
2θ＝30sin
2θ(m)，
∴10sin
4θ＝30sin
2θ，
即20sin
2θcos
2θ＝30sin
2θ，∴cos
2θ＝，
又2θ∈，∴2θ＝，∴θ＝，
∴AE＝30sin＝15(m)，
∴θ＝，建筑物AE的高为15
m.5.5.2 简单的三角恒等变换
必备知识基础练
知识点一
半角公式
1.已知sin
θ＝－，3π<θ<，则tan的值为( )
A．3
B．－3
C.
D．－
2．已知2π<θ<3π，cos
θ＝m，则sin＝( )
A．－
B.
C．－
D.
3．函数y＝cos2＋sin2－1( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
知识点二
辅助角公式
4.函数f(x)＝sin
x－cos的值域为( )
A．[－2,2]
B．[－，]
C．[－1,1]
D.
5．函数f(x)＝sin
x－cos
x(x∈R)的值域是________．
6．化简：(1)(cos
x－sin
x)；
(2)3sin
x＋3cos
x.
知识点三
三角恒等变换的应用
7.函数y＝cos2ωx－sin2ωx(ω>0)的最小正周期是π，则函数f(x)＝2sin的一个单调递增区间是( )
A.
B.
C.
D.
8．在△ABC中，求证：tantan＋tantan＋tantan＝1.
9．如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
关键能力综合练
一、选择题
1．设5π<θ<6π，cos＝a，则sin等于( )
A.
B.
C．－
D．－
2．若2sin
x＝1＋cos
x，则tan的值等于( )
A.
B.或不存在
C．2
D．2或
3．设a＝cos
6°－sin
6°，b＝2sin
13°cos
13°，c＝，则有( )
A．c
B．aC．aD．b4．sin＝，则cos＝( )
A．－
B．－
C.
D.
5．若cos
α＝－，α是第三象限角，则的值为( )
A．－
B.
C．2
D．－2
6．(易错题)设函数f(x)＝2cos2x＋sin
2x＋a(a为实常数)在区间上的最小值为－4，那么a的值等于( )
A．4
B．－6
C．－4
D．－3
二、填空题
7．化简的结果是________．
8．若θ是第二象限角，且25sin2θ＋sin
θ－24＝0，则cos＝________.
9．函数y＝sin2x＋sin
xcos
x＋1的最小正周期是________，单调递增区间是________．
三、解答题
10．(探究题)证明：··＝tan.
学科素养升级练
1．(多选题)对于函数f(x)＝sin
x＋cos
x，给出下列选项其中不正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于点对称
B．存在α∈，使f(α)＝1
C．存在α∈，使函数f(x＋α)的图象关于y轴对称
D．存在α∈，使f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立
2．已知A＋B＝，那么cos2A＋cos2B的最大值是________，最小值是________．
3．(学科素养—数学建模)如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，四边形ABCD是扇形的内接矩形，B，C两点在圆弧上，OE是∠POQ的平分线，E在上，连接OC，记∠COE＝α，则角α为何值时矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．
5．5.2 简单的三角恒等变换
必备知识基础练
1．解析：∵3π<θ<，sin
θ＝－，
∴cos
θ＝－＝－，
∵3π<θ<，∴<<.
则tan＝－＝－＝－3.
答案：B
2．解析：因为2π<θ<3π，所以π<<.又cos
θ＝m，所以sin＝－＝－，故选A.
答案：A
3．解析：y＝＋－1＝＝sin
2x，是奇函数．故选A.
答案：A
4．解析：f(x)＝sin
x－cos＝sin
x－cos
x＋sin
x＝sin
x－cos
x＝sin，
所以函数f(x)的值域为[－，]，故选B.
答案：B
5．解析：∵f(x)＝2＝2sin.
∴f(x)∈[－2,2]．
答案：[－2,2]
6．解析：(1)(cos
x－sin
x)＝×
＝2＝2cos.
(2)3sin
x＋3cos
x＝6
＝6＝6cos.
7．解析：y＝cos2ωx－sin2ωx＝cos
2ωx(ω>0)，
因为函数的最小正周期为π，故＝π，所以ω＝1.
则f(x)＝2sin＝2sin.
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，
得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，当k＝1时，函数的一个单调递增区间是.
答案：B
8．证明：∵A，B，C是△ABC的三个内角，
∴A＋B＋C＝π，从而有＝－.
左边＝tan＋tantan
＝tantan＋tantan
＝tantan＋tantan
＝1－tantan＋tantan
＝1＝右边，
∴等式成立．
9.
解析：设∠AOB＝α，则0<α<，△OAB的周长为l，
则AB＝Rsin
α，OB＝Rcos
α，
∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin
α＋Rcos
α
＝R(sin
α＋cos
α)＋R
＝Rsin＋R.
∵0<α<，∴<α＋<.
∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R，
此时，α＋＝，即α＝，
即当α＝时，△OAB的周长最大．
关键能力综合练
1．解析：若5π<θ<6π，则<<，则sin＝－＝－＝－.
答案：D
2．解析：由已知得＝，tan＝
＝＝＝.
当x＝π＋2kπ，k∈Z时，tan不存在．
答案：B
3．解析：由题意可知，a＝sin
24°，b＝sin
26°，c＝sin
25°，而当0°x为增函数，∴a答案：C
4．解析：cos＝2cos2－1.
∵＋＝，
∴cos＝sin＝.
∴cos＝2×2－1＝－.故选A.
答案：A
5．解析：由cos
α＝－，α是第三象限角，可得sin
α＝－＝－.
所以＝＝＝＝－.
答案：A
6．解析：f(x)＝2cos2x＋sin
2x＋a＝1＋cos
2x＋sin
2x＋a
＝2sin＋a＋1.
当x∈时，2x＋∈，
∴f(x)min＝2·＋a＋1＝－4.
∴a＝－4.
答案：C
7．解析：＝
＝＝|sin
1＋cos
1|，
因为1∈，所以sin
1>0，cos
1>0，
则＝sin
1＋cos
1.
答案：sin
1＋cos
1
8．解析：由25sin2θ＋sin
θ－24＝0，
又θ是第二象限角，
得sin
θ＝或sin
θ＝－1(舍去)．
故cos
θ＝－＝－，
由cos2＝得cos2＝.
又是第一、三象限角，
所以cos＝±.
答案：±
9．解析：y＝sin2x＋sin
xcos
x＋1＝＋＋1
＝sin＋.
最小正周期T＝＝π.
令－＋2kπ<2x－<＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
答案：π ，k∈Z
10．证明：左边＝··
＝·＝·
＝＝＝tan＝右边．
所以原等式成立．
学科素养升级练
1．解析：函数f(x)＝sin
x＋cos
x＝2sin，
对于A：函数f(x)＝2sin，当x＝时，2sin＝2，不能得到函数f(x)的图象关于点对称．∴A不对．
对于B：α∈，可得α＋∈，f(α)∈(，2]，不存在f(α)＝1.∴B不对．
对于C：函数f(x＋α)的对称轴方程为：x＋α＋＝＋kπ，可得x＝kπ＋－α(k∈Z)，当k＝0，α＝时，可得图象关于y轴对称．∴C对．
对于D：f(x＋α)＝f(x＋3α)说明2α是函数的周期，函数f(x)的周期为2π，故α＝π，∴不存在α∈，使f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立，∴D不对．故选A，B，D.
答案：ABD
2．解析：∵A＋B＝，
∴cos2A＋cos2B＝(1＋cos
2A＋1＋cos
2B)
＝1＋(cos
2A＋cos
2B)＝1＋cos(A＋B)cos(A－B)
＝1＋cos·cos(A－B)＝1－cos(A－B)，
∴当cos(A－B)＝－1时，
原式取得最大值；
当cos(A－B)＝1时，原式取得最小值.
答案：
3.
解析：如图所示，
设OE交AD于M，交BC于N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N分别为AD，BC的中点，在Rt△ONC中，CN＝sin
α，ON＝cos
α，OM＝＝DM＝CN＝sin
α，
所以MN＝ON－OM＝cos
α－sin
α，
即AB＝cos
α－sin
α，而BC＝2CN＝2sin
α，
故S矩形ABCD＝AB·BC＝·2sin
α
＝2sin
αcos
α－2sin2α＝sin
2α－(1－cos
2α)
＝sin
2α＋cos
2α－＝2－
＝2sin－.
因为0<α<，所以0<2α<，<2α＋<.
故当2α＋＝，即α＝时，S矩形ABCD取得最大值，
此时S矩形ABCD＝2－.第1课时 两角差的余弦公式
必备知识基础练
知识点一
给角求值
1.cos(－15°)的值是( )
A.
B.
C.
D.
2．cos
54°cos
9°＋sin
54°cos
81°的值是( )
A.
B.
C.
D.
3．cos(α＋30°)cos
α＋sin(α＋30°)sin
α等于( )
A.
B.
C.
D．－
知识点二
给值求值
4.已知cos
θ＝，θ∈，则cos＝( )
A.
B.
C.
D.
5．已知α∈，sin＝，则cos
α＝( )
A．－
B.
C．－或
D．－
6．已知锐角α，β满足cos
α＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
知识点三
给值求角
7.已知cos
α＝，cos(α＋β)＝－，α，β∈，则β＝________.
8．已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0＜β＜α＜，则β＝________.
9．已知0<α<，－<β<0，且α，β满足sin
α＝，cos
β＝，求α－β.
关键能力综合练
一、选择题
1．cos
295°sin
70°－sin
115°cos
110°的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
2．满足cos
αcos
β＝－sin
αsin
β的一组α，β的值是( )
A．α＝，β＝
B．α＝，β＝
C．α＝，β＝
D．α＝，β＝
3．已知cos＝－，则cos
x＋cos＝( )
A．－
B．±
C．－1
D．±1
4．若cos(α－β)＝，cos
2α＝，并且α，β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为( )
A.
B.
C.
D.
5．已知sin
α－sin
β＝1－，cos
α－cos
β＝，则cos(α－β)的值为( )
A.
B.
C.
D．1
6．(易错题)设α，β是锐角，且cos
α＝，sin(α＋β)＝，则cos
β＝( )
A.
B.
C.或
D.或
二、填空题
7．已知α，β均为锐角，且cos
α＝，cos
β＝，则α－β＝________.
8．已知△ABC中，sin(A＋B)＝，cos
B＝－，则sin
B＝________，cos
A＝________.
9．(探究题)已知sin(α－2β)＝－，cos(2α－β)＝，其中0<α<，<β<，则cos(α＋β)＝________.
三、解答题
10．若x∈，且sin
x＝，求2cos＋2cos
x的值．
学科素养升级练
1．(多选题)下列四个选项，化简正确的是( )
A．cos(－15°)＝
B．cos
15°cos
105°＋sin
15°sin
105°＝cos(15°－105°)＝0
C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos
60°＝.
D．sin
14°cos
16°＋sin
76°cos
74°＝.
2．已知sin
α＋sin
β＋sin
γ＝0，cos
α＋cos
β＋cos
γ＝0，则cos(α－β)的值是________．
3．(学科素养—运算能力)已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α－β)的值．
5．5 三角恒等变换
5．5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时 两角差的余弦公式
必备知识基础练
1．解析：cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos
30°cos
45°＋sin
30°sin
45°＝×＋×＝.
答案：D
2．解析：cos
54°cos
9°＋sin
54°cos
81°＝cos
54°cos
9°＋sin
54°sin
9°＝cos(54°－9°)＝cos
45°＝.
答案：C
3．解析：原式＝cos(α＋30°－α)＝cos
30°＝.
答案：B
4．解析：∵cos
θ＝，θ∈，∴sin
θ＝，
∴cos＝cos
θ·cos＋sin
θ·sin＝×＋×＝.故选B.
答案：B
5．解析：∵α∈，∴α＋∈.
∵sin＝，∴cos＝－，
∴cos
α＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝－.
答案：A
6．解析：因为α，β为锐角，cos
α＝，cos(α＋β)＝－，
所以sin
α＝，sin(α＋β)＝，
所以cos(2π－β)＝cos
β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)·sin
α
＝－×＋×
＝.故选A.
答案：A
7．解析：∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)．
∵cos
α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin
α＝，sin(α＋β)＝，
∴cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)·sin
α
＝×＋×＝.
∵0<β<，∴β＝.
答案：
8．解析：因为sin(π－α)＝，所以sin
α＝.
因为0<α<，所以cos
α＝＝.
因为cos(α－β)＝，且0<β<α<，
所以0<α－β<，
所以sin(α－β)＝＝.
所以cos
β＝cos[α－(α－β)]＝cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β)＝×＋×＝.
因为0<β<，所以β＝.
答案：β＝
9．解析：因为0<α<，－<β<0，
且sin
α＝，cos
β＝，
故cos
α＝＝＝，
sin
β＝－＝－＝－，
故cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
＝×＋×＝.
由0<α<，－<β<0得，0<α－β<π，
又cos(α－β)>0，所以α－β为锐角，所以α－β＝.
关键能力综合练
1．解析：原式＝－cos
115°cos
20°＋sin
115°sin
20°＝cos
65°cos
20°＋sin
65°sin
20°＝cos(65°－20°)＝cos
45°＝.
答案：A
2．解析：由已知得cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝，代入检验，得B正确，故选B.
答案：B
3．解析：因为cos＝－，
所以cos
x＋cos＝cos
x＋cos
xcos＋sin
xsin
＝cos
x＋sin
x＝
＝cos＝×＝－1.故选C.
答案：C
4．解析：∵0<α<β<，∴－<α－β<0,0<2α<π.
由cos(α－β)＝，得sin(α－β)＝－.
由cos
2α＝，得sin
2α＝.∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos
2αcos(α－β)＋sin
2αsin(α－β)＝×＋×＝－.
又∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
答案：C
5．解析：因为sin
α－sin
β＝1－，
所以sin2α－2sin
αsin
β＋sin2β＝－.①
又因为cos
α－cos
β＝，
所以cos2α－2cos
αcos
β＋cos2β＝.②
所以①＋②得2cos(α－β)＝，
所以cos(α－β)＝，故选B.
答案：B
6．解析：∵α，β都是锐角，且cos
α＝<，∴<α<，又sin(α＋β)＝>，∴<α＋β<π，∴cos(α＋β)＝－＝－，sin
α＝＝，则cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝－×＋×＝.故选A.
答案：A
7．解析：由条件得sin
α＝，sin
β＝.
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝×＋×＝，
又α－β∈，∴α－β＝±，
又因为cos
α＞cos
β，所以α＜β，则α－β＝－.
答案：－
8．解析：在△ABC中，
因为cos
B＝－<0，所以B为钝角，
则sin
B＝，所以A＋B∈，
由sin(A＋B)＝，得cos(A＋B)＝－，
所以cos
A＝cos
[(A＋B)－B]
＝cos(A＋B)cos
B＋sin(A＋B)sin
B
＝－×＋×＝.
答案：
9．解析：因为0<α<，<β<，所以－<α－2β<－，－<2α－β<0，所以由sin(α－2β)＝－，得cos(α－2β)＝－＝－，由cos(2α－β)＝，得sin(2α－β)＝－＝－，则cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝×＋×＝.
答案：
10．解析：因为x∈，sin
x＝，
所以cos
x＝－.
所以2cos＋2cos
x
＝2＋2cos
x
＝2＋2cos
x
＝sin
x＋cos
x
＝－＝.
学科素养升级练
1．解析：对于A：解法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos
30°cos
45°＋sin
30°sin
45°＝×＋×＝，A错误．
解法二 原式＝cos
15°＝cos(45°－30°)＝cos
45°cos
30°＋sin
45°sin
30°＝×＋×＝，A错误．
对于B：原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos
90°＝0，B正确；对于C：原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos
60°＝，C正确；对于D：原式＝cos
76°cos
16°＋sin
76°sin
16°＝cos(76°－16°)＝cos
60°＝，D正确．故选BCD.
答案：BCD
2．解析：由
①2＋②2?2＋2(sin
αsin
β＋cos
αcos
β)＝1?cos(α－β)＝－.
答案：－
3．解析：(1)由于函数f(x)的最小正周期为10π，
所以10π＝，所以ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝2cos
因为f＝－，
所以2cos＝2cos＝－，
所以sin
α＝，
又因为f＝，
所以2cos＝2cos
β＝，
所以cos
β＝，
因为α，β∈，
所以cos
α＝，sin
β＝，
所以cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝×＋×＝.第3课时 两角和与差的正切公式
必备知识基础练
知识点一
利用两角和与差的正切公式求值
1.若tan
α＝3，tan
β＝，则tan(α－β)等于( )
A.
B．－
C．3
D．－3
2．已知α∈，sin
α＝，则tan＝( )
A.
B．7
C．－
D．－7
3．在△ABC中，∠C＝120°，tan
A＋tan
B＝，则tan
Atan
B的值为( )
A.
B.
C.
D.
4.＝________.
5．tan
19°＋tan
26°＋tan
19°tan
26°＝________.
知识点二
利用两角和与差的正切公式求角
6.已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于
( )
A.
B.
C.
D.
7．在△ABC中，tan
A＋tan
B＋＝tan
Atan
B，则C等于( )
A.
B.
C.
D.
8．已知tan
α，tan
β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为( )
A.
B．－
C．－或
D．无法确定
关键能力综合练
一、选择题
1．tan
255°等于( )
A．－2－
B．－2＋
C．2－
D．2＋
2．若tan(180°－α)＝－，则tan(α＋405°)等于( )
A.
B．7
C．－
D．－7
3．设tan
α，tan
β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
4．化简tan
10°tan
20°＋tan
20°tan
60°＋tan
60°tan
10°的值等于( )
A．1
B．2
C．tan
10°
D.tan
20°
5．已知A＋B＝45°，则(1＋tan
A)(1＋tan
B)的值为( )
A．1
B．2
C．－2
D．不确定
6．(易错题)已知sin
α＝，且α为锐角，tan
β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
7．已知tan(α＋β)＝3，tan＝2，那么tan
β＝________.
8．设tan
θ＝2，则tan＝________，＝________.
9.＝________.
三、解答题
10．(探究题)已知tan＝2，tan
β＝.
(1)求tan
α的值；
(2)求的值．
学科素养升级练
1．(多选题)下列计算正确的选项有( )
A．sin
158°cos
48°＋cos
22°sin
48°＝1
B．sin
20°cos
110°＋cos
160°sin
70°＝1
C.＝
D．cos
74°sin
14°－sin
74°cos
14°＝－
2．(1＋tan
1°)·(1＋tan
2°)·(1＋tan
3°)·…·(1＋tan
44°)·(1＋tan
45°)的值是________．
3．(情境命题—学术情境)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
求：(1)tan(α＋β)的值；
(2)α＋2β的大小．
第3课时 两角和与差的正切公式
必备知识基础练
1．解析：tan(α－β)＝＝.
答案：A
2．解析：sin
α＝?cos
α＝－?tan
α＝－.
∴tan＝＝＝.
答案：A
3．解析：∵∠C＝120°，∴∠A＋∠B＝60°，∴tan(A＋B)＝＝，∴tan
A＋tan
B＝(1－tan
A·tan
B)＝，解得tan
A·tan
B＝.故选B.
答案：B
4．解析：＝＝tan
60°＝.
答案：
5．解析：tan
45°＝tan(19°＋26°)＝＝1.
所以tan
19°＋tan
26°＝1－tan
19°tan
26°，
则tan
19°＋tan
26°＋tan
19°tan
26°
＝1－tan
19°tan
26°＋tan
19°tan
26°＝1.
答案：1
6．解析：∵tan
2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝
＝＝－1，
∴2α＝－＋kπ(k∈Z)，∴α＝－＋(k∈Z)．
又∵α为锐角，∴α＝－＝.
答案：C
7．解析：因为tan(A＋B)＝，
故tan(A＋B)＋＝＋
＝；
根据题意可知，tan
A＋tan
B＋－tan
Atan
B＝0，
故tan(A＋B)＋＝0，因为C＝π－A－B，故tan(A＋B)＝－tan
C，所以tan
C＝，因为在三角形中0答案：A
8．解析：由已知得
所以tan(α＋β)＝＝＝，
又由①②可知tan
α<0，tan
β<0.
∴－<α<0，－<β<0，∴－π<α＋β<0，
∴α＋β＝－π.故选B.
答案：B
关键能力综合练
1．解析：tan
255°＝tan(180°＋75°)＝tan
75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.
答案：D
2．解析：∵tan(180°－α)＝－tan
α＝－，∴tan
α＝，
∴tan(α＋405°)＝tan(α＋45°)＝＝＝－7.
答案：D
3．解析：由题意知tan
α＋tan
β＝3，tan
α·tan
β＝2，所以tan(α＋β)＝＝＝－3.
答案：A
4．解析：原式＝tan
10°tan
20°＋tan
20°＋tan
10°
＝
＝
＝tan
30°＝1，故选A.
答案：A
5．解析：(1＋tan
A)(1＋tan
B)
＝1＋(tan
A＋tan
B)＋tan
Atan
B
＝1＋tan(A＋B)(1－tan
Atan
B)＋tan
Atan
B
＝1＋1－tan
Atan
B＋tan
Atan
B＝2.
答案：B
6．解析：sin
α＝，且α为锐角，
则cos
α＝，tan
α＝，
所以tan(α＋β)＝＝＝－1.
又α＋β∈，故α＋β＝.
答案：B
7．解析：由题意，tan＝＝2，则tan
α＝.又tan(α＋β)＝＝3，所以tan
β＝.
答案：
8．解析：由tan
θ＝2，得tan＝＝－3，＝＝.
答案：－3
9．解析：因为tan
18°＋tan
42°＋tan
120°
＝tan
60°(1－tan
18°tan
42°)＋tan
120°
＝－tan
60°tan
18°tan
42°，
所以原式＝－1.
答案：－1
10．解析：(1)因为tan＝2，
所以＝2，
所以＝2，解得tan
α＝.
(2)＝
＝＝＝tan(β－α)＝
＝＝.
学科素养升级练
1．解析：对于A：sin
158°cos
48°＋cos
22°sin
48°＝sin
22°cos
48°＋cos
22°sin
48°＝sin(22°＋48°)＝sin
70°≠1，所以A错误；
对于B：sin
20°cos
110°＋cos
160°sin
70°
＝sin
20°(－cos
70°)＋(－cos
20°)sin
70°
＝－(sin
20°cos
70°＋cos
20°sin
70°)＝－sin(20°＋70°)＝－1，所以B错误；
对于C:
根据正切函数和角公式，化简得＝＝＝tan(45°＋15°)＝tan
60°＝，所以C正确；
对于D：cos
74°sin
14°－sin
74°cos
14°＝sin(14°－74°)＝－sin
60°＝－，所以D正确，故选CD.
答案：CD
2．解析：若A＋B＝45°，则(1＋tan
A)(1＋tan
B)＝1＋tan
A＋tan
B＋tan
Atan
B＝1＋tan(A＋B)(1－tan
Atan
B)＋tan
Atan
B＝2，所以原式＝[(1＋tan
1°)(1＋tan
44°)]·[(1＋tan
2°)(1＋tan
43°)]·…·[(1＋tan
22°)(1＋tan
23°)]·(1＋tan
45°)＝223.
答案：223
3．解析：(1)由条件得cos
α＝，cos
β＝.
∵α，β为锐角，∴sin
α＝＝，
sin
β＝＝.
因此tan
α＝＝7，
tan
β＝＝.
∴tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)∵tan
2β＝tan(β＋β)＝＝＝，
∴tan(α＋2β)＝＝＝－1.
∵α，β为锐角，
∴0<α＋2β<，∴α＋2β＝.第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式
必备知识基础练
知识点一
两角和的余弦公式
1.sin
7°cos
37°－sin
83°cos
53°＝( )
A．－
B.
C.
D．－
2．已知<α<π，tan
α＝－，则cos的值是( )
A.
B．－
C.
D．－
3．设α，β为钝角，且sin
α＝，cos
β＝－，则α＋β的值为( )
A.
B.
C.
D.或
知识点二
两角和与差的正弦公式
4.sin
20°cos
10°－cos
160°sin
10°等于( )
A．－
B.
C．－
D.
5．已知cos
θ＝，则sin的值为________，sin的值为________．
6．已知0＜α＜＜β＜π，sin
α＝，sin(α＋β)＝，则sin
β＝________.
7．已知：α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin
β＝－，求角α的大小．
关键能力综合练
一、选择题
1．化简sin＋sin等于( )
A．－sin
x
B．sin
x
C．－cos
x
D．cos
x
2.＝( )
A．－
B．－
C.
D.
3．已知sin
α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则sin
β等于( )
A．－
B.
C．－
D.
4．已知α为钝角，且sin＝，则cos的值为( )
A.
B.
C．－
D．－
5．已知cos
α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，那么β等于( )
A.
B.
C.
D.
6．在△ABC中，三内角分别是A，B，C，若sin
C＝2cos
Asin
B，则△ABC一定是( )
A．直角三角形
B．正三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
二、填空题
7．sin＝________.
8．函数y＝cos
x＋cos的最小值是________，最大值是________．
9．(探究题)定义运算＝ad－bc.若cos
α＝，＝，0<β<α<，则β＝________.
三、解答题
10．已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
学科素养升级练
1．(多选题)下列说法中正确的是( )
A．存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
B．不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
C．对任意的α和β，有cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β
D．存在这样的α和β的值，使得sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β
2．在△ABC中，3sin
A＋4cos
B＝6,3cos
A＋4sin
B＝1，则C的大小为( )
A.
B.π
C.或π
D.或π
3．(学科素养—运算能力)已知cos
α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.
求：(1)sin(2α－β)的值；
(2)β的值．
4．已知sin
α＝，α∈，cos
β＝－，β是第三象限角，求cos(α－β)的值．
第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式
必备知识基础练
1．解析：sin
7°cos
37°－sin
83°cos
53°＝cos
83°cos
37°－sin
83°·sin
37°＝cos(83°＋37°)＝cos
120°＝－，故选A.
答案：A
2．解析：∵<α<π，tan
α＝－，∴sin
α＝，cos
α＝－.
∴cos＝cos
αcos－sin
αsin＝－×－×＝－.
答案：B
3．解析：∵α，β为钝角，sin
α＝，
∴cos
α＝－＝－＝－，
由cos
β＝－，得
sin
β＝＝＝，
∴cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β
＝×－×＝.
又∵π<α＋β<2π，∴α＋β＝.故选C.
答案：C
4．解析：sin
20°cos
10°－cos
160°sin
10°＝sin
20°cos
10°＋cos
20°sin
10°＝sin
30°＝.
答案：D
5．解析：因为cos
θ＝，所以sin
θ＝＝，所以sin＝sin
θcos＋cos
θsin＝×＝；sin＝sin
θcos－cos
θsin＝×－×＝.
答案：
6．解析：由0＜α＜＜β＜π，得＜α＋β＜，又sin
α＝，sin(α＋β)＝，∴cos
α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin
β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)sin
α＝×－×＝.
答案：
7．解析：因为α∈，β∈，所以α－β∈(0，π)．
由cos(α－β)＝，知sin(α－β)＝.
由sin
β＝－，知cos
β＝.
所以sin
α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos
β＋cos(α－β)sin
β
＝×＋×＝.
又α∈，所以α＝.
关键能力综合练
1．解析：sin＋sin
＝sin
x＋cos
x＋sin
x－cos
x＝sin
x.
答案：B
2．解析：
＝
＝
＝＝sin
30°＝.
答案：C
3．解析：因为sin
α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，所以cos
α＝，sin(α＋β)＝.
sin
β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)sin
α＝，故选D.
答案：D
4．解析：∵α为钝角，且sin＝，∴cos＝－.
∴cos＝cos
＝coscos－sinsin
＝×－×＝－.
答案：C
5．解析：∵0<β<α<，
∴0<α－β<，
由cos
α＝得sin
α＝，
由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，
∴sin
β＝sin[α－(α－β)]＝sin
αcos(α－β)－cos
αsin(α－β)＝×－×＝＝，
∴β＝.
答案：C
6．解析：∵sin
C＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝2cos
Asin
B，∴sin
Acos
B－cos
Asin
B＝0.即sin(A－B)＝0，∴A＝B.
答案：C
7．解析：sin＝－sin＝－sin＝sin
＝sin＝sincos－cossin＝.
答案：
8．解析：解法一 y＝cos
x＋cos
xcos－sin
xsin
＝cos
x－sin
x＝
＝cos，
当cos＝－1时，ymin＝－.
当cos＝1时，ymax＝.
解法二 y＝cos＋cos
＝cos·cos＋sinsin＋cos
＝cos＋sin
＝
＝cos＝cos，
所以－≤y≤.
答案：－
9．解析：依题设得，＝sin
α·cos
β－cos
α·sin
β＝sin(α－β)＝.
∵0<β<α<，∴cos(α－β)＝.
又∵cos
α＝，∴sin
α＝，
∴sin
β＝sin[α－(α－β)]＝sin
α·cos(α－β)－cos
α·sin(α－β)＝×－×＝，∴β＝.
答案：
10．解析：(1)由f＝Asin
＝Asin＝A＝，可得A＝3.
(2)由(1)知，f(x)＝3sin，
又f(θ)－f(－θ)＝，
则3sin－3sin＝，
即3－3＝，
故sin
θ＝.
因为θ∈，所以cos
θ＝，
所以f＝3sin＝3sin＝3cos
θ＝.
学科素养升级练
1．解析：对于A，当α＝β＝0时，cos(0＋0)＝cos
0cos
0＋sin
0sin
0＝1，故正确；对于B，当α＝β＝2kπ(k∈Z)时，sin
α＝sin
β＝0，cos
α＝cos
β＝1，cos(α＋β)＝1，则cos(α＋β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β，故错误；对于C，对任意的α和β，有cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β，这是两角和的余弦公式，故正确；对于D，当α＝0，当β＝时使得sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β，故正确，故选ACD.
答案：ACD
2．解析：由题意知
①2＋②2得9＋16＋24sin(A＋B)＝37.
则sin(A＋B)＝.
∴在△ABC中，sin
C＝，
∴C＝或C＝π.
若C＝π，则A＋B＝，
∴1－3cos
A＝4sin
B>0.
∴cos
A<.
又<，∴A>.
此时A＋C>π，不符合题意，
∴C≠π，同理，若C＝，符合题意，∴C＝.
答案：A
3．解析：(1)因为α，β∈，所以α－β∈，
又sin(α－β)＝>0，所以0<α－β<.
所以sin
α＝＝，
cos(α－β)＝＝，
sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin
αcos(α－β)＋cos
αsin(α－β)
＝×＋×＝.
(2)cos
β＝cos[α－(α－β)]＝cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β)
＝×＋×＝，
又因为β∈，所以β＝.
4．解析：由sin
α＝，α∈，得
cos
α＝－＝－＝－.
又由cos
β＝－，β是第三象限角，得
sin
β＝－＝－＝－.
所以cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝－×＋×＝－.