第1课时 集合的概念
必备知识基础练
知识点一
元素与集合的概念
1.考察下列每组对象，能构成集合的是( )
①中国各地的美丽乡村；
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于3的自然数；
④截止到2020年1月1日，参加一带一路的国家．
A．③④
B．②③④
C．②③
D．②④
2．由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
知识点二
元素与集合的关系
3.给出下列关系：
①∈R；②?Q；③|－3|?N；④|－|∈Q；⑤0?N.其中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
4．集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
5．用适当的符号填空：
已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17________A；－5________A.
知识点三
集合中元素特性的应用
6.下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是( )
A．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合
C．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合
D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集
7．若由a2,2019a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以是( )
A．a＝0
B．a＝2019
C．a＝1
D．a＝0或a＝2019
8．已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a＝________.
关键能力综合练
一、选择题
1．以下各组对象不能组成集合的是( )
A．中国古代四大发明
B．地球上的小河流
C．方程x2－7＝0的实数解
D．周长为10
cm的三角形
2．“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是( )
A．5
B．6
C．7
D．8
3．集合A中有三个元素2,3,4，集合B中有三个元素2,4,6，若x∈A且x?B，则x等于( )
A．2
B．3
C．4
D．6
4．下列说法中，正确的个数是( )
①集合N
中最小的数是1；
②若－a?N
，则a∈N
；
③若a∈N
，b∈N
，则a＋b的最小值是2；
④x2＋4＝4x的解集中包含两个元素2,2.
A．0
B．1
C．2
D．3
5．(易错题)已知集合A中含有三个元素1，a，a－1，若－2∈A，则实数a的值为( )
A．－2
B．－1
C．－1或－2
D．－2或－3
6．已知集合A中元素满足2x＋a＞0，a∈R，若1?A,2∈A，则( )
A．a＞－4
B．a≤－2
C．－4＜a＜－2
D．－4＜a≤－2
二、填空题
7．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a＝________.
8．下列说法中：①集合N与集合N
是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________．
9．已知集合A中的元素满足x＝3k－1，k∈Z，则－1________A，－34________A．(填“∈”或“?”)
三、解答题
10．(探究题)已知集合A由0,1，x三个元素组成，且x2∈A，求实数x的值．
学科素养升级练
1．(多选题)已知x，y都是非零实数，z＝＋＋可能的取值组成集合A，则( )
A．2∈A
B．3∈A
C．－1∈A
D．1∈A
2．已知集合A由a，b，c三个元素组成，集合B由0,1,2三个元素组成，且集合A与集合B相等．下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．
3．(学科素养—逻辑推理)设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．求证：
(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
1．1 集合的概念
第1课时 集合的概念
必备知识基础练
1．解析：①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.
答案：B
2．解析：当a＝0时，四个数都是0，组成的集合只有一个数0，当a≠0时，＝|a|＝所以组成的集合中有两个元素，故选B.
答案：B
3．解析：①②正确；③④⑤不正确．
答案：B
4．解析：∵∈N，x∈N，∴当x＝0时，＝2∈N，∴x＝0满足题意；当x＝1时，＝3∈N，∴x＝1满足题意；当x＝2时，＝6∈N，∴x＝2满足题意，当x＞3时，＜0不满足题意，所以集合A中的元素为0,1,2.
答案：0,1,2
5．解析：由题意可设x＝3k＋2，k∈Z，令3k＋2＝17得，k＝5∈Z，所以17∈A.
令3k＋2＝－5得，k＝－?Z，所以－5?A.
答案：∈ ?
6．解析：由于C中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而A、B、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选C.
答案：C
7．解析：若集合M中有两个元素，则a2≠2019a.即a≠0，且a≠2019.故选C.
答案：C
8．解析：若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，a＝a2，集合A中有一个元素，
∴a≠1.
当a＝－1时，
集合A中含有两个元素1，－1，符合互异性．
∴a＝－1.
答案：－1
关键能力综合练
1．解析：因为没有明确的标准确定什么样的河流称为小河流，故地球上的小河流不能组成集合．
答案：B
2．解析：根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7.
答案：C
3．解析：集合A中的元素3不在集合B中，且仅有这个元素符合题意．
答案：B
4．解析：N
是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a?N
，a?N
，故②错误；若a∈N
，则a的最小值是1，同理，b∈N
，b的最小值也是1，所以当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性，知④错误．
答案：C
5．解析：由题意可知a＝－2或a－1＝－2，即a＝－2或a＝－1，故选C.
答案：C
6．解析：∵1?A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.
又∵2∈A，∴2×2＋a＞0，a＞－4，∴－4＜a≤－2.
答案：D
7．解析：若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0?A.故a＝2或4.
答案：2或4
8．解析：因为集合N
表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．
答案：②④
9．解析：当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A.
答案：∈ ∈
10．解析：因为x2∈A，
所以x2＝0或x2＝1或x2＝x.
若x2＝0，则x＝0，此时A中三个元素为0,1,0，不符合集合中元素的互异性，舍去．
若x2＝1，则x＝±1.
当x＝1时，集合A中三个元素为0,1,1，不符合集合中元素的互异性，舍去；
当x＝－1时，集合A中三个元素分别为0,1，－1，符合题意．
若x2＝x，则x＝0或x＝1，由以上可知，x＝0和x＝1都不符合题意．
综上所述，x＝－1.
学科素养升级练
1．解析：①当x>0，y>0时，z＝1＋1＋1＝3；
②当x>0，y<0时，z＝1－1－1＝－1；
③当x<0，y>0时，z＝－1＋1－1＝－1；
④当x<0，y<0时，z＝－1－1＋1＝－1，
∴集合A由元素－1,3组成．
∴－1∈A,3∈A.
答案：BC
2．解析：可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0，易知a≠0，b≠0，所以a＝b＝1，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.
答案：201
3．证明：(1)若a∈A，则∈A.
又因为2∈A，所以＝－1∈A.
因为－1∈A，所以＝∈A.
因为∈A，所以＝2∈A.
所以A中必还有另外两个元素，且为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无实数解．
所以a≠，所以集合A不可能是单元素集．第2课时 集合的表示
必备知识基础练
知识点一
列举法表示集合
1.用列举法表示下列集合：
(1)15的正约数组成的集合；
(2)不大于10的正偶数集；
(3)方程组的解集．
知识点二
描述法表示集合
2.用描述法表示下列集合：
(1)所有被5整除的数；
(2)方程6x2－5x＋1＝0的实数解集；
(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．
知识点三
集合表示法的应用
3.下列集合的表示方法正确的是( )
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的解集为{x<5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
4．用列举法表示集合A＝＝________.
5．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．
6．已知A＝{x|kx＋2>0，k∈R}，若－2∈A，则k的取值范围是________．
关键能力综合练
一、选择题
1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )
A．{1,1}
B．{1}
C．{x＝1}
D．{x2－2x＋1＝0}
2．方程组的解组成的集合是( )
A．{2,1}
B．(2,1)
C．{(2,1)}
D．{－1,2}
3．下列各组集合中，表示同一集合的是( )
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{3,2}，N＝{2,3}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{3,2}，N＝{(3,2)}
4．已知M＝{x|x－1<}，那么( )
A．2∈M，－2∈M
B．2∈M，－2?M
C．2?M，－2?M
D．2?M，－2∈M
5．集合可表示为( )
A.
B.
C.
D.
6．(易错题)若集合A＝{x|ax2－8x＋16＝0，a∈R}中只有一个元素，则a的值为( )
A．1
B．4
C．0
D．0或1
二、填空题
7．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，若a∈A，a∈B，则a为________．
8．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________.
9．(探究题)若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1,1,2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集________．(答案不唯一)
三、解答题
10．用适当的方法表示下列集合，并判断是有限集，还是无限集．
(1)方程x2(x＋1)＝0的解组成的集合；
(2)平面直角坐标系中，不在第一、三象限内的点组成的集合；
(3)自然数的平方组成的集合．
学科素养升级练
1．(多选题)已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是( )
A．x1x2∈A
B．x2x3∈B
C．x1＋x2∈B
D．x1＋x2＋x3∈A
2．给出下列说法：
①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为{(x，y)|x>0，y>0}；
②方程＋|y＋2|＝0的解集为{2，－2}；
③集合{y|y＝x2－1，x∈R}与{y|y＝x－1，x∈R}是不相等的．
其中正确的是________(填序号)．
3．(学科素养—数学运算)设集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0}．
(1)当a＝2时，试求出集合A；
(2)a为何值时，集合A中只有一个元素；
(3)a为何值时，集合A中有两个元素．
第2课时 集合的表示
必备知识基础练
1．解析：(1)因为15的正约数为1,3,5,15，
所以所求集合可表示为{1,3,5,15}．
(2)因为不大于10的正偶数有2,4,6,8,10，
所以所求集合可表示为{2,4,6,8,10}．
(3)解方程组得
所以所求集合可表示为{(－3,0)}．
2．解析：(1)被5整除的数可用式子x＝5n，n∈Z表示，所以所有被5整除的数的集合可表示为{x|x＝5n，n∈Z}．
(2)由6x2－5x＋1＝0解得x＝或x＝，所以方程6x2－5x＋1＝0的实数解集为.
(3)直线y＝x上除去原点，即x≠0，所以直线y＝x上去掉原点的点的集合为{(x，y)|y＝x，且x≠0}．
3．解析：选项A中应是xy<0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{ }”与“全体”意思重复．
答案：D
4．解析：∵x∈Z且∈N，∴1≤6－x≤8，－2≤x≤5.当x＝－2时，1∈N；当x＝－1时，?N；当x＝0时，?N；当x＝1时，?N；当x＝2时，2∈N；当x＝3时，?N；当x＝4时，4∈N；当x＝5时，8∈N.综上可知A＝{－2,2,4,5}．
答案：{－2,2,4,5}
5．解析：当t＝－2时，x＝4；当t＝2时，x＝4；当t＝3时，x＝9；
当t＝4时，x＝16；∴B＝{4,9,16}．
答案：{4,9,16}
6．解析：∵－2∈A，∴－2k＋2>0，得k<1.
答案：k<1
关键能力综合练
1．解析：∵x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，∴x＝1，选B.
答案：B
2．解析：先求出方程组的解再写成集合的形式．注意集合的元素是有序实数对(2,1)，故选C.
答案：C
3．解析：由于集合中的元素具有无序性，故{3,2}＝{2,3}．
答案：B
4．解析：若x＝2，则x－1＝1<，所以2∈M；若x＝－2，则x－1＝－3<，所以－2∈M.故选A.
答案：A
5．解析：∵3＝，观察集合中的元素，不难发现，若令分母为n，则分子为2n＋1，且n∈N
，∴集合为.
答案：D
6．解析：①当a＝0时，原方程为16－8x＝0.
∴x＝2，此时A＝{2}；
②当a≠0时，由集合A中只有一个元素，
∴方程ax2－8x＋16＝0有两个相等实根，
则Δ＝64－64a＝0，即a＝1.
从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}．
综上所述，实数a的值为0或1.故选D.
答案：D
7．解析：由题知，a∈A，a∈B，所以a是方程组的解，解得即a为(2,5)．
答案：(2,5)
8．解析：∵x∈A，∴当x＝－1时，y＝|x|＝1；
当x＝0时，y＝|x|＝0；当x＝1时，y＝|x|＝1.
∴B＝{0,1}．
答案：{0,1}
9．解析：由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集．若一个元素a∈A，则∈A.若集合中有三个元素，故必有一个元素a＝，即a＝±1，故可取的集合有，等．
答案：不是
10．解析：(1)由x2(x＋1)＝0，得x＝－1或x＝0，所以该集合可表示为{－1,0}．故该集合为有限集．
(2)平面直角坐标系中，不在第一、三象限内的点组成的集合可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}．故该集合为无限集．
(3)自然数的平方组成的集合用列举法可表示为{0,12,22,32，…}，用描述法可表示为{x|x＝n2，n∈N}．故该集合为无限集．
学科素养升级练
1．解析：由题意易知集合A表示奇数集，集合B表示偶数集．又由x1，x2∈A，x3∈B，则x1，x2是奇数，x3是偶数．对于A，两个奇数的积为奇数，即x1x2∈A，故A正确；对于B，一奇一偶两个数的积为偶数，即x2x3∈B，故B正确；对于C，两个奇数的和为偶数，即x1＋x2∈B，故C正确；对于D，两个奇数与一个偶数的和为偶数，即x1＋x2＋x3∈B，故D错误．
答案：ABC
2．解析：对于①，在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横、纵坐标均大于0，且集合中的代表元素为点(x，y)，所以①正确；对于②，方程＋|y＋2|＝0的解为解集为{(2，－2)}或，
所以②不正确；对于③，因为集合{y|y＝x2－1，x∈R}等于集合{y|y≥－1}，集合{y|y＝x－1，x∈R}等于R，故这两个集合不相等，所以③正确．
答案：①③
3．解析：集合A是方程x2＋ax＋1＝0的解构成的集合．
(1)当a＝2时，x2＋2x＋1＝0，即(x＋1)2＝0，x＝－1，所以A＝{－1}．
(2)A中只有一个元素，即方程x2＋ax＋1＝0有两个相等实根，由Δ＝a2－4＝0，得a＝±2.
所以a＝±2时，集合A中只有一个元素．
(3)A中有两个元素，即方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的实根，由Δ＝a2－4>0，得a<－2或a>2.
所以a<－2或a>2时，集合A中有两个元素．
