5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
必备知识基础练
知识点一
正弦函数的图象
1.在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin
x，x∈[0,2π]与y＝sin
x，x∈[2π，4π]的图象( )
A．重合
B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称
D．形状不同，位置不同
2．用“五点法”画函数y＝2－3sin
x的图象时，首先应描出五点的横坐标是( )
A．0，，，，π
B．0，，π，，2π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，，，，
3．函数y＝1－sin
x，x∈[0,2π]的大致图象是图中的( )
知识点二
余弦函数的图象
4.对于余弦函数y＝cos
x的图象，有以下三项描述：
①向左向右无限延伸；
②与x轴有无数多个交点；
③与y＝sin
x的图象形状一样，只是位置不同．
其中正确的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
5．函数y＝－cos
x(x>0)的图象中与y轴距离最近的最高点的坐标为( )
A.
B．(π，1)
C．(0,1)
D．(2π，1)
知识点三
正、余弦函数图象的应用
6.在[0,2π]内，不等式sin
x<－的解集是( )
A．(0，π)
B.
C.
D.
7．在(0,2π)内使sin
x>|cos
x|的x的取值范围是( )
A.
B.∪
C.
D.
8．函数y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点有________个．
关键能力综合练
一、选择题
1．用五点法画y＝3sin
x，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( )
A.
B.
C．(π，0)
D．(2π，0)
2．要得到函数y＝－sin
x的图象，只需将函数y＝cos
x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移π个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移π个单位长度
3．使不等式－2sin
x≥0成立的x的取值集合是( )
A.
B.
C.
D.
4．函数y＝cos
x＋|cos
x|，x∈[0,2π]的大致图象为( )
5．(易错题)方程sin
x＝的根的个数是( )
A．7
B．8
C．9
D．10
6．若函数y＝2cos
x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )
A．4
B．8
C．2π
D．4π
二、填空题
7．已知函数f(x)＝3＋2cos
x的图象经过点，则b＝________.
8．函数y＝cos
x＋4，x∈[0,2π]的图象与直线y＝4的交点坐标为________．
9．(探究题)已知函数f(x)＝sin
x＋2|sin
x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________，若与直线y＝k有四个不同的交点，则k的取值范围是________．
三、解答题
10．(1)用“五点法”作出函数y＝cos，x∈的图象；
(2)求函数y＝＋的定义域．
学科素养升级练
1．(多选题)关于三角函数的图象，下列命题正确的是( )
A．y＝sin
|x|与y＝sin
x的图象关于y轴对称
B．y＝cos(－x)与y＝cos
|x|的图象相同
C．y＝|sin
x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称
D．y＝cos
x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称
2．函数f(x)＝则不等式f(x)>的解集是________．
3．(情境命题—学术情境)把函数f(x)的图象与直线x＝a，x＝b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积．已知函数y＝sin
nx在上的面积为(n∈N
)，求函数y＝sin(3x－π)＋1在上的面积．
5．4 三角函数的图象与性质
5．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
必备知识基础练
1．解析：根据正弦曲线的作法过程，可知函数y＝sin
x，x∈[0,2π]与y＝sin
x，x∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．
答案：B
2．解析：所描出的五点的横坐标与函数y＝sin
x的五点的横坐标相同，即0，，π，，2π，故选B.
答案：B
3．解析：由y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象，作出y＝－sin
x，x∈[0,2π]的图象，再画出y＝1－sin
x，x∈[0,2π]的图象，可知B正确．
答案：B
4．解析：如图所示为y＝cos
x的图象．
可知三项描述均正确．
答案：D
5.
解析：作出函数y＝－cos
x(x>0)的图象，如图所示，由图易知与y轴距离最近的最高点的坐标为(π，1)．
答案：B
6．解析：画出y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象如下：
因为sin＝，所以sin＝－，
sin＝－.
即在[0,2π]内，满足sin
x＝－的是x＝或x＝.
由图可知不等式sin
x<－的解集是.
答案：C
7．解析：∵sin
x>|cos
x|，∴sin
x>0，∴x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sin
x，x∈(0，π)与y＝|cos
x|，x∈(0，π)的图象，观察图象易得x∈.
答案：A
8．解析：作y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象及直线y＝－(图略)，知两函数图象有两个交点．
答案：2
关键能力综合练
1．解析：五个关键点的横坐标依次是0，，π，，2π.
答案：A
2．解析：因为y＝cos＝－sin
x，由图象平移变换可知，y＝cos
x图象向左平移个单位即可得到y＝－sin
x的图象，故选C.
答案：C
3．解析：∵－2sin
x≥0，∴sin
x≤，作出y＝sin
x在内的图象，如图所示，则满足条件的x∈.∴使不等式成立的x的取值范围为.
答案：C
4．解析：y＝cos
x＋|cos
x|＝故选D.
答案：D
5．解析：在同一坐标系内画出y＝和y＝sin
x的图象如图所示：
根据图象可知方程有7个根．
答案：A
6．解析：作出函数y＝2cos
x，x∈[0,2π]的图象，函数y＝2cos
x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分．
利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又∵OA＝2，OC＝2π，∴S阴影部分＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.
答案：D
7．解析：由题意知，b＝3＋2cos＝3＋2×＝4.
答案：4
8．解析：作出函数y＝cos
x＋4，x∈[0,2π]的图象(图略)，容易发现它与直线y＝4的交点坐标为，.
答案：，
9．解析：f(x)＝sin
x＋2|sin
x|＝的图象如图．若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据图象可得k的取值范围是(1,3)．若有四个不同的交点，则k的取值范围是(0,1)．
答案：(1,3) (0,1)
10．解析：(1)找出五个关键点，列表如下：
u＝x＋
0
π
2π
x
－
y＝cos
u
1
0
－1
0
1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来．
(2)由
得
所以2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，即函数y＝＋的定义域为(k∈Z)．
学科素养升级练
1．解析：对B，y＝cos(－x)＝cos
x，y＝cos
|x|＝cos
x，故其图象相同；对D，y＝cos(－x)＝cos
x，故其图象关于y轴对称，由作图可知AC均不正确．故选BD.
答案：BD
2．解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y＝的图象，由图易得－答案：
3．解析：y＝sin(3x－π)＋1＝－sin
3x＋1，作这个函数在区间上的图象，如图中实线所示，
由题意知S1＝S2＝S3＝，直线x＝，x＝，y＝1及x轴所围成的矩形面积为π.将S2割下补在S3处，则图中阴影部分的面积为π＋，∴函数y＝sin(3x－π)＋1在上的面积为π＋.第1课时 周期性与奇偶性
必备知识基础练
知识点一
正、余弦函数的周期性
1.下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
2x
C．y＝cos
D．y＝cos
4x
2．设函数f(x)＝sinx，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
019)＝________.
3．求下列函数的周期：
(1)y＝2sin，x∈R；
(2)y＝1－2cos，x∈R；
(3)y＝|sin
x|，x∈R.
知识点二
正、余弦函数的奇偶性
4.函数y＝cos的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数，又是偶函数
5．函数f(x)＝的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
6．若函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ＝________.
知识点三
正、余弦函数周期性与奇偶性的应用
7.下列函数中周期为，且为偶函数的是( )
A．y＝sin
4x
B．y＝cosx
C．y＝sin
D．y＝cos
8．定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，f＝1，则f的值为( )
A．1
B．－1
C．0
D．2
9．已知函数f(x)＝ax＋bsin
x＋1，若f(2
019)＝7，则f(－2
019)＝________.
关键能力综合练
一、选择题
1．函数f(x)＝sin是
( )
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数
D．周期为的偶函数
2．若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )
A.
B.
C.
D.
3．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cos|2x|
B．y＝|sin
x|
C．y＝sin
D．y＝cos
4．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是( )
5．定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin
x，则f等于
( )
A．－
B.
C．－
D.
6．(易错题)函数y＝的奇偶性为( )
A．奇函数
B．既是奇函数也是偶函数
C．偶函数
D．非奇非偶函数
二、填空题
7．函数y＝sin的最小正周期为2，则ω的值为________．
8．已知函数f(x)＝cos，则f(x)的最小正周期是________；f(x)的对称中心是________．
9．若f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝cos
x－sin
x，当x<0时，f(x)的解析式为________．
三、解答题
10．(探究题)已知函数y＝sin
x＋|sin
x|.
(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
学科素养升级练
1．(多选题)关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下四个选项，错误的有( )
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．存在φ，使f(x)是偶函数
C．存在φ，使f(x)是奇函数
D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数
2．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f的值等于( )
A．1
B.
C．0
D．－
3．(学科素养—数学抽象)已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0)．
(1)求证：函数f(x)是周期函数；
(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．
5．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性与奇偶性
必备知识基础练
1．解析：选项A，周期T＝＝4π；选项B，周期T＝＝π；选项C，周期T＝＝8π；选项D，周期T＝＝.
答案：D
2．解析：∵f(x)＝sinx的周期T＝＝6.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
019)
＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2
017)＋f(2
018)＋f(2
019)
＝336＋f(2
017)＋f(2
018)＋f(2
019)＝336×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)
＝sin＋sin＋sin
π＝.
答案：
3．解析：(1)∵2sin
＝2sin＝2sin，
∴自变量x只需并且至少要增加到x＋4π，
函数y＝2sin，x∈R的值才能重复出现，
∴函数y＝2sin，x∈R的周期是4π.
(2)∵1－2cos＝1－2cos＝1－2cos，
∴自变量x只需并且至少要增加到x＋4，函数y＝1－2cos，x∈R的值才能重复出现，
∴函数y＝1－2cos，x∈R的周期是4.
(3)作图如下：
观察图象可知最小正周期为π.
4．解析：函数的定义域为R，且y＝cos＝sinx，故所给函数是奇函数．
答案：A
5．解析：由题意知1＋cos
x≠0，即cos
x≠－1.所以函数f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}，定义域关于原点对称．因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A.
答案：A
6．解析：∵函数y＝sin(x＋φ)是R上的偶函数，
∴φ＝＋kπ，k∈Z，
又∵0≤φ≤π，∴φ＝.
答案：
7．解析：显然周期为的有A和C，又因为y＝sin＝cos
4x是偶函数，故选C.
答案：C
8．解析：由题意得f＝f＝f＝－f＝－1.
答案：B
9．解析：由f(2
019)＝2
019a＋bsin
2
019＋1＝7，得2
019a＋bsin
2
019＝6，∴f(－2
019)＝－2
019a－bsin
2
019＋1＝－(2
019a＋bsin
2
019)＋1＝－6＋1＝－5.
答案：－5
关键能力综合练
1．解析：f(x)＝－sin＝－cos
2x，则f(－x)＝f(x)，故是偶函数，且周期为π，选B.
答案：B
2．解析：∵f(x)＝sin是偶函数，∴f(0)＝±1.
∴sin＝±1.∴＝kπ＋(k∈Z)．∴φ＝3kπ＋(k∈Z)．又∵φ∈[0,2π]，∴当k＝0时，φ＝.故选C.
答案：C
3．解析：y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin
x|是偶函数，y＝sin＝cos
2x是偶函数，y＝cos＝－sin
2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.
答案：D
4．解析：由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.故选B.
答案：B
5．解析：f＝f＝f＝f＝f＝f＝sin＝.
答案：D
6．解析：由题意知，当1－sin
x≠0，即sin
x≠1时，y＝＝|sin
x|，
所以函数的定义域为，
由于定义域不关于原点对称，
所以该函数是非奇非偶函数．
答案：D
7．解析：T＝＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π.
答案：±π
8．解析：由f(x)＝cos，得T＝＝4π；令＋＝kπ＋，求得x＝2kπ＋，k∈Z，可得f(x)的对称中心是，k∈Z.
答案：4π ，k∈Z
9．解析：x<0时，－x>0，f(－x)＝cos(－x)－sin(－x)＝cos
x＋sin
x，
因为f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－cos
x－sin
x，
即x<0时，f(x)＝－cos
x－sin
x.
答案：f(x)＝－cos
x－sin
x
10．解析：(1)y＝sin
x＋|sin
x|
＝
图象如图所示：
(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.
学科素养升级练
1．解析：φ＝0时，f(x)＝sin
x，是奇函数，A错误，φ＝时，f(x)＝cos
x是偶函数，显然D错误．
答案：AD
2．解析：f＝f＝f＝sin＝.
答案：B
3．解析：(1)证明：∵f(x＋2)＝－，
∴f(x＋4)＝－＝－＝f(x)，
∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期，
(2)解：∵4是f(x)的一个周期．
∴f(5)＝f(1)＝－5，
∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝＝＝.5.4.3 正切函数的性质与图象
必备知识基础练
知识点一
正切函数的单调性及应用
1.下列说法正确的是( )
A．y＝tan
x是增函数
B．y＝tan
x在第一象限是增函数
C．y＝tan
x在某一区间上是减函数
D．y＝tan
x在区间(k∈Z)上是增函数
2．比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)：
①tan________tan；
②tan________tan.
3．函数y＝tan的单调增区间为________.
知识点二
正切函数的定义域、值域
4.函数y＝3tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
5．函数y＝tan
x的值域是________．
6．函数y＝sin
x＋tan
x，x∈的值域为________.
知识点三
正切函数的图象及周期性、奇偶性性质应用
7.函数y＝tan的最小正周期是( )
A．4
B．4π
C．2π
D．2
8．下列图形分别是①y＝|tan
x|；②y＝tan
x；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是( )
A．①②③④
B．①③④②
C．③②④①
D．①②④③
9．观察正切曲线，写出满足下列条件的x的取值范围．
(1)tan
x>1；
(2)－x<.
关键能力综合练
一、选择题
1．函数f(x)＝tan与函数g(x)＝sin的最小正周期相同，则ω＝( )
A．±1
B．1
C．±2
D．2
2．函数f(x)＝tan的单调增区间是( )
A.，k∈Z
B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
3．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝
B．x＝－
C．x＝
D．x＝
4．函数y＝tan
x＋是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
5．函数y＝(－A．(－1,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－1，＋∞)
6．函数y＝tan
x＋sin
x－|tan
x－sin
x|在区间内的图象是( )
二、填空题
7．函数y＝的定义域为________．
8．已知函数f(x)＝2tan(a>0)的最小正周期是3.则a＝________，f(x)的对称中心为________．
9．(探究题)函数y＝tan，x∈∪的值域为________．
三、解答题
10．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
学科素养升级练
1．(多选题)下列关于函数y＝tan的说法正确的是( )
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于成中心对称
D．图象关于直线x＝成轴对称
2．函数y＝－tan2x＋4tan
x＋1，x∈的值域为________．
3．(学科素养—数学抽象)是否存在实数a，且a∈Z，使得函数y＝tan在x∈上是单调递增的？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由．
5．4.3 正切函数的性质与图象
必备知识基础练
1．解析：由正切函数的图象可知D正确．
答案：D
2．解析：①tan＝tan，且0<<<，
又y＝tan
x在上单调递增，
所以tan②tan＝tan，tan＝tan，
因为0<<<，又y＝tan
x在上单调递增，
所以tan答案：①< ②<
3．解析：由于正切函数y＝tan
x的单调递增区间是，k∈Z，
故令－＋kπ<2x－<＋kπ，k∈Z，
得－＋kπ<2x<＋kπ，k∈Z，
即－＋故y＝tan的单调递增区间是，k∈Z，无单调递减区间．
答案：，k∈Z
4．解析：由2x＋≠kπ＋，得x≠＋(k∈Z)．
答案：C
5．解析：∵y＝tan
x在，上都是增函数，∴y≥tan＝1或y≤tan＝－1.
答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)
6．解析：∵y＝sin
x和y＝tan
x两函数在上都是增函数，∴x＝－时，ymin＝－－1，
当x＝时，ymax＝＋1.
答案：
7．解析：函数y＝tan的最小正周期T＝＝2，故选D.
答案：D
8．解析：y＝tan(－x)＝－tan
x在上是单调递减的，只有图象d符合，即d对应③.故选D.
答案：D
9．解析：(1)观察正切曲线(图略)，可知tan＝1.在区间内，满足tan
x>1的区间是.
又由正切函数的最小正周期为π，可知满足tan
x>1的x的取值范围是(k∈Z)．
(2)观察正切曲线(图略)，可知tan＝－，
tan＝.在区间内，满足－x<的区间是.
又由正切函数的最小正周期为π，可知满足－x<的x的取值范围是(k∈Z)．
关键能力综合练
1．解析：由题意可得＝，解得|ω|＝1，即ω＝±1.
答案：A
2．解析：由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，得－＋kπ＜x＜＋kπ，故f(x)的单调增区间是，k∈Z.
答案：C
3．解析：当x＝时，2x＋＝，而的正切值不存在，所以直线x＝与函数的图象不相交．故选D.
答案：D
4．解析：函数的定义域是，且tan(－x)＋＝－tan
x－＝－，所以函数y＝tan
x＋是奇函数．
答案：A
5．解析：∵－x<1且tan
x≠0，∴∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选B.
答案：B
6．解析：当x∈时，sin
x>0，tan
x<0，y＝tan
x＋sin
x－(sin
x－tan
x)＝2tan
x；当x∈时，sin
x<0，tan
x>0，y＝tan
x＋sin
x－(tan
x－sin
x)＝2sin
x．当x＝π时，y＝0，故选D.
答案：D
7．解析：若使函数y＝有意义，
需使tan
x－1>0，即tan
x>1.
结合正切曲线，可得kπ＋所以函数y＝的定义域是(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
8．解析：函数f(x)＝2tan(a>0)的最小正周期是3，则3＝，得a＝，
所以函数f(x)＝2tan，
由πx＋＝kπ，k∈Z，得x＝k－，故对称中心为，k∈Z.
答案： ，k∈Z
9．解析：∵x∈∪，
∴＋∈∪，
令t＝＋，
由y＝tan
t，t∈∪的图象(如图所示)．
可得，所求函数的值域为∪[，＋∞)．
答案：∪[，＋∞)
10．解析：(1)由题意，知函数f(x)的最小正周期T＝，即＝.
因为ω>0，所以ω＝2.从而f(x)＝tan(2x＋φ)．
因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，
所以2×＋φ＝，k∈Z，
即φ＝＋，k∈Z.
因为0<φ<，所以φ＝.
故f(x)＝tan.
(2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，得
－＋kπ<2x即－＋所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间．
(3)由(1)，知f(x)＝tan.
由－1≤tan≤，得
－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z，
即－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以不等式－1≤f(x)≤的解集为
.
学科素养升级练
1．解析：令kπ－答案：AB
2．解析：∵－≤x≤，∴－1≤tan
x≤1.
令tan
x＝t，则t∈[－1,1]，
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4,4]．
答案：[－4,4]
3．解析：∵y＝tan
θ在区间(k∈Z)上为增函数，
∴a＜0.
又x∈，∴－ax∈，
∴－ax∈，
∴
解得－－≤a≤6－8k(k∈Z)．
令－－＝6－8k，解得k＝1，此时－2≤a≤－2，
∴a＝－2＜0，∴存在a＝－2∈Z，满足题意．第2课时 单调性与最值
必备知识基础练
知识点一
正、余弦函数的单调性
1.下列函数，在上是增函数的是( )
A．y＝sin
x
B．y＝cos
x
C．y＝sin
2x
D．y＝cos
2x
2．函数f(x)＝sin的一个递减区间是( )
A.
B．[－π，0]
C.
D.
3．求下列函数的单调区间：
(1)y＝cos
2x；
(2)y＝2sin.
知识点二
三角函数值的大小比较
4.下列关系式中正确的是( )
A．sin
11°10°168°
B．sin
168°11°10°
C．sin
11°168°10°
D．sin
168°10°11°
5．比较下列各组数的大小．
(1)cos与cos；(2)sin
194°与cos
160°.
知识点三
正、余弦函数的值域、最值
6.函数y＝1－2cosx的最小值，最大值分别是( )
A．－1,3
B．－1,1
C．0,3
D．0,1
7．函数y＝3cos在x＝________时，y取最大值．
8．求下列函数的值域：
(1)y＝sin，x∈；
(2)y＝cos2x－4cos
x＋5.
关键能力综合练
一、选择题
1．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列结论错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)为奇函数
2．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin
B．y＝cos
C．y＝sin
D．y＝cos
3．函数y＝2sin(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
4．当－≤x≤时，函数f(x)＝2sin有( )
A．最大值为1，最小值为－1
B．最大值为1，最小值为－
C．最大值为2，最小值为－2
D．最大值为2，最小值为－1
5．(易错题)函数y＝2sin(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A.
B.
C.
D.
6．函数y＝2sin－cos(x∈R)的最小值等于( )
A．－3
B．－2
C．－1
D．－
二、填空题
7．sin
1，sin
2，sin
3按从小到大排列的顺序为________．
8．函数y＝sin的图象的对称轴方程是________，对称中心的坐标是________．
9．若f(x)＝2sin
ωx(0＜ω＜1)在区间上的最大值是，则ω＝________.
三、解答题
10．(探究题)求函数y＝cos2x＋4sin
x的最大值和最小值，及取到最大值和最小值时的x的取值集合．
11．设函数f(x)＝asin＋b.
(1)若a>0，求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，f(x)的值域为[1,3]，求a，b的值．
学科素养升级练
1．(多选题)对于函数f(x)＝，下列四个结论正确的是( )
A．f(x)是以π为周期的函数
B．当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值－1
C．f(x)图象的对称轴为直线x＝＋kπ(k∈Z)
D．当且仅当2kπ2．函数y＝sin
x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值和最小值之和等于( )
A.
B.
C．2π
D．4π
3．(学科素养—逻辑推理)设函数f(x)＝sin(k∈N
)，若在区间[a，a＋3](a为实数)上存在不少于4个且不多于8个不同的x0，使f(x0)＝，求k的值．
第2课时 单调性与最值
必备知识基础练
1．解析：对于函数y＝cos
2x，令π＋2kπ≤2x≤2π＋2kπ(k∈Z)，即＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)，
故y＝cos
2x的单调递增区间是(k∈Z)，当k＝0时为，故选D.
答案：D
2．解析：∵2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
令k＝0得≤x≤.
又∵?
∴函数f(x)＝sin的一个递减区间为.故选D.
答案：D
3．解析：(1)函数y＝cos
2x的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定：
2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z,2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z.
∴kπ－≤x≤kπ，k∈Z，kπ≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝cos
2x的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z.
(2)y＝2sin＝－2sin，
函数y＝－2sin的单调递增、递减区间，是函数y＝2sin的单调递减、递增区间．
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z.
得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.即函数y＝2sin的单调递增区间为，k∈Z.
令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z.
得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.即函数y＝2sin的单调递减区间为，k∈Z.
4．解析：∵sin
168°＝sin(180°－12°)＝sin
12°，cos
10°＝sin(90°－10°)＝sin
80°，由函数y＝sin
x的单调性，得sin
11°12°80°，即sin
11°168°10°.
答案：C
5．解析：(1)∵cos＝cos，
cos＝cos＝cos，
而0<<<，
且y＝cos
x在上单调递减，
∴cos>cos.即cos>cos.
(2)∵sin
194°＝sin(90°＋104°)＝cos
104°，
而0°<104°<160°<180°，
且y＝cos
x在[0，π]上单调递减．
∴cos
104°>cos
160°.即sin
194°>cos
160°.
6．解析：∵x∈R，∴x∈R，
∴y＝cosx的值域为[－1,1]．
∴y＝1－2cosx的最大值为3，最小值－1.
答案：A
7．解析：当函数取最大值时，x－＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋(k∈Z)．
答案：4kπ＋(k∈Z)
8．解析：(1)因为0≤x≤，所以0≤2x≤π，
所以－≤2x－≤.
令2x－＝t，
则原式转化为y＝sin
t，t∈，
由y＝sin
t的图象知－≤y≤1，
所以所求函数的值域为.
(2)令t＝cos
x，则－1≤t≤1.
∴y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，
∴t＝－1时，y取得最大值10，
t＝1时，y取得最小值2.
所以y＝cos2x－4cos
x＋5的值域为[2,10]．
关键能力综合练
1．解析：因为f(x)＝sin＝－cos
x，所以T＝2π，故A项正确；因为y＝cos
x在上是减函数，所以y＝－cos
x在上是增函数，故B项正确；因为f(0)＝sin＝－1，所以f(x)的图象关于直线x＝0对称，故C项正确；f(x)＝－cos
x是偶函数，故D项错误．
答案：D
2．解析：因为函数周期为π，所以排除C，D.又因为y＝cos＝－sin
2x在上为增函数，故B不符合．故选A.
答案：A
3．解析：周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2.
∴y＝2sin.
由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－π≤x≤kπ＋，k∈Z.
答案：C
4．解析：∵－≤x≤，∴－≤x＋≤，
∴sin∈，
故函数f(x)的最大值为2，最小值为－1.
答案：D
5．解析：解法一 y＝2sin，其单调递增区间为－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，则－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.由于x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为.
解法二 函数在取得最大值，且其最小正周期为2π，则其单调递增区间为，即，又因为x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为.
答案：D
6．解析：∵＋＝，
∴y＝2sin－cos
＝2cos－cos＝cos，
∴ymin＝－1.
答案：C
7．解析：∵1＜＜2＜3＜π，
sin(π－2)＝sin
2，sin(π－3)＝sin
3.
y＝sin
x在上递增，且0＜π－3＜1＜π－2＜，
∴sin(π－3)＜sin
1＜sin(π－2)，即sin
3＜sin
1＜sin
2.
答案：sin
3＜sin
1＜sin
2
8．解析：根据正弦函数的周期性知，过函数图象的最高点或最低点且与x轴垂直的直线均是对称轴，而图象与x轴的交点均为对称中心．
要使sin＝±1，必有2x＋＝kπ＋(k∈Z)，所以x＝π＋(k∈Z)，
即对称轴方程为x＝π＋(k∈Z)，
而函数y＝sin的图象与x轴的交点即为对称中心，
所以令y＝0，即sin＝0，
所以2x＋＝kπ(k∈Z)，即x＝π－(k∈Z)，
故函数y＝sin的图象的对称中心的坐标为(k∈Z)．
答案：x＝π＋(k∈Z) (k∈Z)
9．解析：∵x∈，即0≤x≤，且0＜ω＜1，
∴0≤ωx≤＜.
∵f(x)max＝2sin＝，
∴sin＝，＝，即ω＝.
答案：
10．解析：函数y＝cos2x＋4sin
x＝1－sin2x＋4sin
x＝－sin2x＋4sin
x＋1＝－(sin
x－2)2＋5.
∵－1≤sin
x≤1，∴当sin
x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝4；
当sin
x＝－1，即x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－4.
∴ymax＝4，此时x的取值集合是；
ymin＝－4，此时x的取值集合是.
11．解析：(1)由于a>0，
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(2)当x∈时，≤2x＋≤，
则≤sin≤1，
由f(x)的值域为[1,3]知，
解得
或解得
综上得或
学科素养升级练
1．解析：函数f(x)＝的最小正周期为2π，
画出f(x)在一个周期内的图象，
可得当2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z时，
f(x)＝cos
x，
当2kπ＋f(x)＝sin
x，
可得f(x)的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z，
当x＝2kπ＋π或x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最小值－1；
当且仅当2kπ0，
f(x)的最大值为f＝，可得0综上可得，正确的有CD.
故选CD.
答案：CD
2．解析：作出y＝sin
x的一个简图，如图所示，
∵函数的值域为，
且sin＝sin＝，sin＝－1，
∴定义域[a，b]中b－a的最小值为－＝，
定义域[a，b]中b－a的最大值为2π＋－＝，
故可得，最大值与最小值之和为2π.
答案：C
3．解析：∵f(x)在一个周期内有且只有2个不同的x0，使f(x0)＝，∴f(x)在区间[a，a＋3]上至少有2个周期，至多有4个周期．而这个区间的长度为3个单位，∴即≤T≤，即≤≤，解得≤k≤，因为k∈N
，∴k＝2或k＝3.
