5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)(一)
必备知识基础练
知识点一
平移变换
1.要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin
4x的图象( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
2．将函数y＝sin
2x的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数是( )
A．y＝cos
2x
B．y＝1＋cos
2x
C．y＝1＋sin
D．y＝cos
2x－1
3．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos
2x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
知识点二
伸缩变换
4.为了得到y＝3sin(x∈R)的图象，只需把函数y＝3sin(x∈R)的图象上所有的点的( )
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
5．将函数y＝sin
x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
6．把函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，向下平移1个单位长度，然后再把所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sin
x的图象，则y＝f(x)的解析式为( )
A．y＝sin＋1
B．y＝sin＋1
C．y＝sin－1
D．y＝sin－1
知识点三
图象变换的综合应用
7.由y＝3sin
x的图象变换得到y＝3sin的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位长度，后者需向左平移________个单位长度．
8．函数f(x)＝5sin－3的图象是由y＝sin
x的图象经过怎样的变换得到的？
关键能力综合练
一、选择题
1．函数y＝cos
x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos
ωx，则ω的值为( )
A．2
B.
C．4
D.
2．为了得到函数y＝2sin，x∈R的图象，只需把函数y＝2sin
x，x∈R的图象上所有的点( )
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
3．把函数y＝sin的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数是( )
A．非奇非偶函数
B．既是奇函数又是偶函数
C．奇函数
D．偶函数
4．要得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin
2x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
5．下列表示函数y＝sin在区间上的简图正确的是( )
6．(易错题)把函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度可以得到函数g(x)的图象．若g(x)的图象关于y轴对称，则φ的值为( )
A.
B.
C.或
D.或
二、填空题
7．将函数y＝sin
4x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin(4x＋φ)(0<φ<π)的图象，则φ的值为________．
8．函数y＝sin
2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为________．
9．(探究题)给出下列六种图象变换的方法：
①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；
②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；
③图象向右平移个单位长度；
④图象向左平移个单位长度；
⑤图象向右平移个单位长度；
⑥图象向左平移个单位长度．
请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sin
x的图象变换为函数y＝sin的图象，那么这两种变换正确的标号是________(按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象；
(3)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin
x的图象经过怎样的变换得到？写出变换过程．
学科素养升级练
1．(多选题)下列说法正确的是( )
A．将y＝cos
x的图象向右平移个单位，得到y＝sin
x的图象；
B．将y＝sin
x的图象向右平移2个单位，可得到y＝sin(x＋2)的图象；
C．将y＝sin(－x)的图象向左平移2个单位，得到y＝sin(－x－2)的图象；
D．函数y＝sin的图象是由y＝sin
2x的图象向左平移个单位而得到的．
2．要得到y＝sin的图象，需将函数y＝cos的图象上所有的点至少向左平移________个单位长度．
3．(学科素养—逻辑推理)已知函数f(x)＝2sin
ωx，其中常数ω>0.
(1)若y＝f(x)在上单调递增，求ω的取值范围；
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a5．6 函数y＝Asin(ωx＋φ)(一)
必备知识基础练
1．解析：由y＝sin＝sin
4得，只需将y＝sin
4x的图象向右平移个单位即可，故选B.
答案：B
2．解析：将函数y＝sin
2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，即y＝sin＝cos
2x的图象，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数为y＝1＋cos
2x.
答案：B
3．解析：y＝sin＝cos＝cos＝cos＝cos.故选B.
答案：B
4．解析：y＝3sin，x∈R图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到y＝3sin，故选B.
答案：B
5．解析：将y＝sin
x的图象向右平移个单位长度得到y＝sin的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin的图象．
答案：C
6．解析：将函数y＝sin
x的图象上每个点的横坐标缩短到原来的(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sin
2x的图象，将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝sin
2x＋1的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin＋1＝sin＋1的图象．故选B.
答案：B
8．解析：先把函数y＝sin
x的图象向右平移个单位，得y＝sin的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得y＝sin的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y＝5sin的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位，得函数y＝5sin－3的图象．
关键能力综合练
1．解析：由题意可知得到图象的解析式为y＝cosx，所以ω＝.
答案：B
2．解析：先将y＝2sin
x，x∈R的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin，x∈R的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y＝2sin，x∈R的图象．
答案：C
3．解析：y＝sin的图象向右平移个单位得到y＝sin＝sin＝－cos
2x的图象，y＝－cos
2x是偶函数．
答案：D
4．解析：y＝cos＝sin
＝sin＝sin.
由题意知，要得到y＝sin的图象，
只需将y＝sin
2x的图象向左平移个单位长度．
答案：A
5．解析：将y＝sin
x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所有点向右平移个单位长度即得y＝sin的图象，依据此变换过程可得到A中图象是正确的．也可以分别令2x－＝0，，π，，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y＝sin的图象．
答案：A
6．解析：由题意，得g(x)＝sin＝sin.∵g(x)的图象关于y轴对称，
∴g(x)为偶函数，∴2φ－＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝＋(k∈Z)．当k＝0时，φ＝；当k＝1时，φ＝，故选D.
答案：D
7．解析：将函数y＝sin
4x的图象向左平移个单位长度，
得y＝sin＝sin，
所以φ的值为.
答案：
8．解析：平移后解析式为y＝sin(2x－2φ)，图象关于x＝对称，
∴2×－2φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝－－(k∈Z)，又∵φ>0，
∴当k＝－1时，φ的最小值为.
答案：
9．解析：y＝sin
xy＝siny＝sin或y＝sin
xy＝siny＝sin＝sin.
答案：④②或②⑥
10．解析：(1)ω＝＝＝2.
(2)由(1)可知f(x)＝sin.列表：
2x－
0
π
2π
x
sin
0
1
0
－1
0
作图(如图所示)．
(3)把函数y＝sin
x的图象上的所有点向右平行移动个单位长度，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把函数y＝sin的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象．
学科素养升级练
1．解析：A正确；B错，y＝sin
x的图象向右平移2个单位，得y＝sin(x－2)的图象；C正确；D错，应向左平移个单位．
答案：AC
2．解析：cos＝sin，将y＝sin的图象上所有的点向左平移φ(φ>0)个单位长度得y＝sin的图象．令＋＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝4kπ－，k∈Z.
∴当k＝1时，φ＝是φ的最小正值．
答案：
3．解析：(1)因为ω>0，根据题意有
解得0<ω≤.
所以ω的取值范围是.
(2)由f(x)＝2sin
2x可得，
g(x)＝2sin＋1＝2sin＋1，
g(x)＝0?sin＝－?x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z，
即g(x)的零点相邻间隔依次为和，
故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，
则b－a的最小值为14×＋15×＝.5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)(二)
必备知识基础练
知识点一
求函数y＝Asin(ωx＋φ)的表达式
1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝2sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
2．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ的值为( )
A．－
B.
C．－
D.
3．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的周期为T，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是( )
A．A＝3，T＝2π
B．B＝－1，ω＝2
C．T＝4π，φ＝－
D．A＝3，φ＝
知识点二
三角函数性质的综合应用
4.若将函数y＝2sin
2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A．x＝－(k∈Z)
B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z)
D．x＝＋(k∈Z)
5．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A. B.
C.
D.
6．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A. B.
C．0 D．－
7．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，B，C为图象上相邻的最高点和最低点，将函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象．
(1)求f(x)的最小正周期及解析式；
(2)求函数g(x)在上的最大值和最小值．
关键能力综合练
一、选择题
1．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝cos
D．y＝cos
2．已知函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点的距离为，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝cos
ωx的图象( )
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
3．已知ω>0，函数f(x)＝cos的一条对称轴为x＝，一个对称中心为，则ω有( )
A．最小值2
B．最大值2
C．最小值1
D．最大值1
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
022)的值等于( )
A.
B．2＋2
C.＋2
D.－2
5．已知点P是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋m的图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为，则( )
A．f(x)的最小正周期是π
B．f(x)的值域为[0,4]
C．f(x)的初相φ＝
D．f(x)在区间上单调递增
6．(易错题)已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin
ax的图象不可能是( )
二、填空题
7．在函数y＝2sin的图象的对称中心中，离原点最近的一个对称中心的坐标是________．
8．已知函数f(x)＝3sin，则f(x)图象的一条对称轴方程是____________；当x∈时，f(x)的值域为__________．
9．(探究题)关于f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；
③y＝f(x)的图象关于对称；
④y＝f(x)的图象关于x＝－对称．
其中正确命题的序号为________．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．
(1)求f(x)的解析式及x0的值；
(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．
学科素养升级练
1．(多选题)已知函数f(x)＝2sin
xcos
x－2sin2x，给出下列四个选项，正确的有( )
A．函数f(x)的最小正周期是π；
B．函数f(x)在区间上是减函数；
C.
函数f(x)的图象关于点对称；
D．函数f(x)的图象可由函数y＝sin
2x的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到．
2．已知函数f(x)＝sin(ω>0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________.
3．(学科素养—逻辑推理)设m为实常数，已知方程sin＝m在开区间(0,2π)内有两相异实根α，β.
(1)求m的取值范围；
(2)求α＋β的值．
5．6 函数y＝Asin(ωx＋φ)(二)
必备知识基础练
1．解析：由图象可知＝－＝，所以T＝2π，ω＝＝1.又因为sin＝0，且0<φ<，所以φ＝.由图象可知A＝2，所以f(x)＝2sin，故选B.
答案：B
2．解析：由图象知T＝＝2＝π，所以ω＝2,2×＋φ＝2kπ(k∈Z)，又因为－<φ<，所以φ＝－.故选A.
答案：A
3．解析：由题图得解得
T＝＝2＝4π，∴ω＝.
又×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，∴φ＝－.故选C.
答案：C
4．解析：将函数y＝2sin
2x的图象向左平移个单位长度，所得到的图象对应函数的解析式为y＝2sin
＝2sin，由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z.
答案：B
5．解析：依题意得3cos＝0，＋φ＝kπ＋，φ＝kπ－(k∈Z)，因此|φ|的最小值是.
答案：A
6．解析：将函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后，得到y＝sin的图象，因为它是偶函数，所以φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝.
答案：B
7．解析：(1)由图象知，A＝，＝－2＝，T＝6，
ω＝＝，故f(x)＝sin.
又由f(x)的图象过点(2,0)，得sin＝0，
所以＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z，
又因为|φ|<，所以φ＝，
故f(x)＝sin.
所以f(x)的最小正周期为6，
f(x)＝sin.
(2)由题意，得
g(x)＝sin＝sin.
由x∈，得x－∈.
故当x－＝，即x＝1时，g(x)取得最大值，且g(x)max＝；
当x－＝－，即x＝－1时，g(x)取得最小值，且g(x)min＝－.
关键能力综合练
1．解析：由图知T＝4×＝π，∴ω＝＝2.又x＝时，y＝1，经验证，可得D项解析式符合题目要求．
答案：D
2．解析：由已知得＝2×，故ω＝2.
y＝cos
2x向右平移个单位长度可得
y＝cos
2＝cos的图象．
答案：A
3．解析：由题意知－≥，故T＝≤π，ω≥2.
答案：A
4．解析：由图象可知A＝2，φ＝2kπ，k∈Z，T＝8，
∴＝8，即ω＝，∴f(x)＝2sin.
∵周期为8，且f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2
022)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝2sin＋2sin＋2sin＋2sin
π＋2sin＋2sin＝.
答案：A
5．解析：由题意，得且函数的最小正周期T＝4×＝2π，故ω＝＝1.代入①式得φ＝kπ＋(k∈Z)．又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin＋2.故函数f(x)的值域为[1,3]，初相为，A，B，C均错误．令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，令k＝1，则≤x≤，故f(x)在上单调递增，D正确．
答案：D
6．解析：当a＝0时，f(x)＝1，C符合，当0<|a|<1时，T>2π，且最小值为正数，A符合，当|a|>1时，T<2π，且最小值为负数，B符合，排除A，B，C.D项中，由振幅得a>1，∴T<2π，而由图象知T>2π矛盾，故选D.
答案：D
7．解析：由4x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－＋，k∈Z，所以当k＝1时，x＝－＝，即离原点最近．
答案：
8．解析：①当x＝时，函数的值为3.②当x∈时，－≤2x－≤，
所以f(x)的值域为.
答案：x＝
9．解析：对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)．
∴x＝－，∴x1－x2是的整数倍，∴①错误；
对于②，f(x)＝4sin利用公式得：
f(x)＝4cos＝4cos，∴②正确；
对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ，k∈Z，∴x＝－，k∈Z.
∴是函数y＝f(x)的一个对称中心，∴③正确；
对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ，k∈Z.
∴x＝＋，k∈Z，∴④错误．
答案：②③
10．解析：(1)由题意作出f(x)的简图如图．
由图象知A＝2，由＝2π，得T＝4π，
∴4π＝，即ω＝，∴f(x)＝2sin，
∴f(0)＝2sin
φ＝1，
又∵|φ|<，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin.
∵f(x0)＝2sin＝2，
∴x0＋＝＋2kπ，k∈Z.
∴x0＝4kπ＋，k∈Z，
又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点，∴x0＝.
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(3)∵－π≤x≤π，∴－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，∴－≤f(x)≤2，
故f(x)的值域为[－，2]．
学科素养升级练
1．解析：f(x)＝sin
2x－2sin2x＋1－1＝sin
2x＋cos
2x－1＝sin－1.
对于A：因为ω＝2，则f(x)的最小正周期T＝π，结论正确．
对于B：当x∈时，2x＋∈，则sin
x在上是减函数，结论正确．
对于C：因为f＝－1，得到函数f(x)图象的一个对称中心为，结论不正确．
对于D：函数f(x)的图象可由函数y＝sin
2x的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位得到，结论不正确．
故正确结论有A，B，故选A，B.
答案：AB
2．解析：依题意知f(x)＝sin(ω>0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，∴f(x)图象关于直线x＝对称，
即关于直线x＝对称，且－∴·ω＋＝＋2kπ，k∈Z，且0<ω<12，∴ω＝.
答案：
3．解析：作出函数y＝sin在区间(0,2π)上的图象如图所示．
(1)若方程sin＝m在区间(0,2π)内有两相异实根α，β，则y＝sin的图象与y＝m有两个相异的交点．观察图象知，当－＜m＜且m≠1时有两个相异的交点，即方程sin＝m在区间(0,2π)内有两个相异实根，故实数m的取值范围为(－，1)∪(1，)．
(2)当m∈(－，1)时，由图象易知两交点关于直线x＝对称，
∴＝，α＋β＝.
当m∈(1，)时，由图象易知两交点关于直线x＝对称，
∴＝，α＋β＝，故α＋β的值为或.
