3.3　幂函数 练测评（新教材人教A版必修第一册）（Word含答案解析）

3.3　幂函数
必备知识基础练
知识点一 幂函数的概念
1.下列函数为幂函数的是(　　)
①y＝－x2；②y＝2x；③y＝xn(n为常数)；④y＝(x－1)3；⑤y＝；⑥y＝x2＋.
A．①③⑤ B．①②⑤
C．③⑤ D．只有⑤
2．已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于(　　)
A．2 B．1
C. D．0
3．如果幂函数y＝(m2－3m＋3)x的图象不过原点，则m的取值范围为(　　)
A．－1≤m≤2 B．m＝－1或m＝2
C．m＝1 D．m＝1或m＝2
知识点二 幂函数的图象
4.如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
5．如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)
A．－1C．－11 D．n<－1，m>1
6．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　　)
知识点三 幂函数的性质
7.下列函数中是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数的是(　　)
A．y＝x－1 B．y＝x2
C．y＝x3 D．y＝
8．函数y＝x－2在区间上的最大值是(　　)
A. B.
C．4 D．－4
9．幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是________．
10．比较下列各题中两个值的大小：
(1)与；
(2)3与3.3；
(3)与；
(4)0.20.6与0.30.4；
(5)9与.
关键能力综合练
一、选择题
1．下列结论中，正确的是(　　)
A．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数
D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数
2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域是R，且为奇函数的所有α的值是(　　)
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
3．当0A．f(x)>g(x)>h(x)
B．g(x)>h(x)>f(x)
C．h(x)>f(x)>g(x)
D．h(x)>g(x)>f(x)
4．(易错题)已知y＝(m2－3m－3)xm－1是幂函数，则m的值为(　　)
A．4 B．－1
C．－1或4 D．3
5．已知幂函数f(x)＝xn的图象过点，且f(a＋1)A．(－3,1) B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
6．函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)
二、填空题
7．已知幂函数f(x)＝x (m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的解析式为________．
8．已知幂函数f(x)的图象过点(9,3)，则f＝______，函数f的定义域为________．
9．(探究题)已知函数f(x)＝若f(a)>1，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
10．已知幂函数f(x)＝x (m∈Z)的图象与x轴、y轴都无交点，且关于y轴对称，试确定f(x)的解析式．
学科素养升级练
1．(多选题)下列关于幂函数y＝xa的性质，描述正确的有(　　)
A．当α＝－1时函数在其定义域上是减函数
B．当α＝0时函数图象是一条直线
C．当α＝2时函数是偶函数
D．当α＝3时函数有一个零点0
2．定义函数f(x)＝max{x2，x－2}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f(x)的最小值为________．
3．(学科素养—逻辑推理)已知幂函数y＝f(x)＝x (m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
3．3　幂函数
必备知识基础练
1．解析：①y＝－x2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；②y＝2x是指数函数；④y＝(x－1)3的底数是 x－1 而不是x，故不是幂函数；⑥y＝x2＋是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．很明显③⑤是幂函数．
答案：C
2．解析：因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，
所以a＝1，－b＋1＝0，
即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.
答案：A
3．解析：依幂函数为y＝xα的形式知m2－3m＋3＝1.
又其图象不过原点，则指数m2－m－2≤0.
由可得得
故m＝1或m＝2.
答案：D
4．解析：根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B.
答案：B
5．解析：在(0,1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0答案：B
6．解析：选项A中，幂函数的指数a<0，则直线y＝ax－应为减函数，A错误；选项B中，幂函数的指数a>1，则直线y＝ax－应为增函数，B错误；选项D中，幂函数的指数a<0，则－>0，直线y＝ax－在y轴上的截距为正，D错误．
答案：C
7．解析：显然A，C中的函数是奇函数，B中的函数在(－∞，0]上是减函数，故选D.
答案：D
8．解析：易知y＝x－2在上单调递减，所以当x＝时，函数y＝x－2的最大值是－2＝4.
答案：C
9．解析：设f(x)＝xα，由2α＝，得α＝－2，即f(x)＝x－2，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
10．解析：(1)∵函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，
又>，∴>.
(2)∵y＝x在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.3，
∴3>3.3.
(3)∵＝.
函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，>，
∴<，∴<.
(4)由幂函数的单调性知0.20.6<0.30.6，又0.30.6<0.30.4，
∴0.20.6<0.30.4.
(5)∵9＝<<，
∴9<.
关键能力综合练
1．解析：当α＝－1时，幂函数不过原点，A错误；幂函数的图象不可能出现在第四象限，B错误；y＝x－1在(－∞，0)，(0，＋∞)上递减，在其整个定义域上不具有单调性，D错误，所以选C.
答案：C
2．解析：当α＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当α＝1时，函数y＝x的定义域是R且为奇函数；当α＝时，函数y＝x的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数．当α＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A.
答案：A
3．解析：分别作出f(x)，g(x)，h(x)的大致图象如图所示，可知h(x)>g(x)>f(x)．故选D.
答案：D
4．易错分析：本题往往忽视条件m－1对m的要求而错选C.
解析：由m2－3m－3＝1得m＝4或m＝－1.
又∵m－1为幂指数，要使式子m－1有意义需m≥0，∴m＝4.
答案：A
5．解析：因为幂函数f(x)＝xn的图象过点，所以2n＝，即2n＝2－2，解得n＝－2.因此f(x)＝x－2是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．由f(a＋1)2，解得a<－3或a>1.故选B.
答案：B
6．解析：函数y＝x－1的图象由幂函数y＝x的图象沿y轴向下平移一个单位长度得到，则函数y＝x－1过点(0，－1)，(1,0)且单调递增，则函数关于x轴对称的函数的图象一定过点(0,1)，(1,0)且单调递减，故大致图象如B所示．
答案：B
7．解析：因为幂函数f(x)＝x (m∈Z)为偶函数，所以－m2＋2m＋3为偶数．又f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，所以－m2＋2m＋3＞0，所以－1＜m＜3.又m∈Z，－m2＋2m＋3为偶数，所以m＝1，故所求解析式为f(x)＝x4.
答案：f(x)＝x4
8．解析：令f(x)＝xα，∵f(9)＝3，即9α＝3，∴α＝，
故f(x)＝x＝，∴f＝.
令－1≥0解得0故f的定义域为(0,1]．
答案：　(0,1]
9．解析：若，则a<－2.若，则a>1，所以a<－2或a>1.
答案：a<－2或a>1
10．解析：由解得m＝－1,1,3.
当m＝－1和3时，f(x)＝x0＝1(x≠0)；
当m＝1时，f(x)＝x－4.
学科素养升级练
1．解析：对于A，α＝－1时幂函数y＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)是减函数，在其定义域上不是减函数，A错误；对于B，α＝0时幂函数y＝x0＝1(x≠0)，其图象是一条直线，去掉点(0,1)，B错误；对于C，α＝2时幂函数y＝x2在定义域R上是偶函数，C正确；对于D，α＝3时幂函数y＝x3在R上为奇函数，且是增函数，有唯一零点是0，D正确．故选：CD.
答案：CD
2.
解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2与y＝x－2的图象，如图所示，则
f(x)＝
∴f(x)在x＝－1与x＝1处均取得最小值1，即f(x)min＝1.
答案：1
3．解析：(1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，
∴m与m＋1中必定有一个为偶数，
∴m2＋m为偶数，
∴函数f(x)＝x (m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，
并且函数y＝f(x)在其定义域上为增函数．
(2)∵函数f(x)经过点(2，)，
∴＝2，即2＝2，
∴m2＋m＝2，即m2＋m－2＝0.
∴m＝1或m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1.
∴f(x)＝x在[0，＋∞)上是增函数．
由f(2－a)>f(a－1)，得
解得1≤a<.
故m的值为1，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为1≤a<.