1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
必备知识基础练
知识点一
全称量词命题的否定
1.写出下列全称量词命题的否定：
(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)p：所有自然数的平方都是正数；
(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.
2．写出下列全称量词命题p的否定，并判断p的否定的真假．
(1)p：?x＞0，x＋≥2；
(2)p：所有矩形的对角线相等；
(3)p：不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实数根．
知识点二
存在量词命题的否定
3.写出下列存在量词命题p的否定，并判断其否定的真假．
(1)p：?x>1，x2－2x－3＝0；
(2)p：有些自然数是奇数；
(3)p：有些平行四边形不是矩形．
4．写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．
(1)有的素数是偶数；
(2)?x∈R，使x2＋x＋<0；
(3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
关键能力综合练
一、选择题
1．命题p：“有些三角形是等腰三角形”的否定是( )
A．有些三角形不是等腰三角形
B．所有三角形是等边三角形
C．所有三角形不是等腰三角形
D．所有三角形是等腰三角形
2．已知命题p：?x>0，(x＋1)ex>1，则綈p为( )
A．?x≤0，(x＋1)ex≤1
B．?x＞0，(x＋1)ex≤1
C．?x＞0，(x＋1)ex≤1
D．?x≤0，(x＋1)ex≤1
3．命题“?x∈?RQ，x3∈Q”的否定是( )
A．?x??RQ，x3∈Q
B．?x∈?RQ，x3?Q
C．?x??RQ，x3∈Q
D．?x∈?RQ，x3?Q
4．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( )
A．命题綈p是真命题
B．命题p是存在量词命题
C．命题p是全称量词命题
D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题
5．下列四个命题中的真命题为( )
A．?x∈Z,1＜4x＜3
B．?x∈Z,5x＋1＝0
C．?x∈R，x2－1＝0
D．?x∈R，x2＋x＋2＞0
6．(易错题)对下列命题的否定说法错误的是( )
A．p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形
D．p：?n∈N,2n≤100；綈p：?n∈N,2n>100.
二、填空题
7．命题?x∈R，x2－x＋3>0的否定是________，命题?x∈R，x2＋1<0的否定是________．
8．若命题“?x∈R,2x2＋3x＋a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
9．(探究题)已知p(x)：x2＋2x－m＞0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．
三、解答题
10．写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p：?x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：?x∈R，x2＋2x＋2≤0.
学科素养升级练
1．(多选题)已知命题“?x∈R，使4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围可以是( )
A．a<1
B．0≤a≤4
C．1≤a≤3
D．0
2．给出下列命题：
①?x∈R，x2>0；
②?x∈R，x2＋x＋1≤0；
③?x<3，函数y＝有意义；
④?a∈?RQ，b∈?RQ，使得a＋b∈Q.
其中是真命题的个数为________．
3．(情境命题—学术情境)已知命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>0”是假命题，求实数a的取值范围．
1．5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
必备知识基础练
1．解析：(1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．
(2)綈p：有些自然数的平方不是正数．
(3)綈p：存在实数x不是方程5x－12＝0的根．
(4)綈p：存在实数x，使得x2＋1＜0.
2．解析：(1)綈p：?x＞0，x＋＜2.假命题．
(2)綈p：有的矩形的对角线不相等．假命题．
(3)綈p：存在实数m，使x2＋x－m＝0没有实数根．真命题．
3．解析：(1)綈p：?x＞1，x2－2x－3≠0.(假)．
(2)綈p：所有的自然数都不是奇数．(假)．
(3)綈p：所有的平行四边形都是矩形．(假)．
4．解析：(1)题中命题的否定为“所有的素数都不是偶数”．这个命题是假命题，如2是素数也是偶数．
(2)题中命题的否定为“?x∈R，x2＋x＋≥0”．这个命题是真命题，因为当x∈R时，x2＋x＋＝2≥0.
(3)题中命题的否定为“?x∈R，x3＋1≠0”．这个命题是假命题，因为x＝－1时，x3＋1＝0.
关键能力综合练
1．解析：在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词：“有些”改为“所有”，否定结论：“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故綈p为“所有三角形不是等腰三角形”，故选C.
答案：C
2．解析：全称量词命题的否定是存在量词命题．因此綈p为?x＞0，(x＋1)ex≤1.故选B.
答案：B
3．解析：存在量词命题的否定是全称量词命题．因此选D.
答案：D
4．解析：命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故綈p是假命题，命题p是全称量词命题，故选C.
答案：C
5．解析：1＜4x＜3，＜x＜，这样的整数x不存在，故A为假命题；5x＋1＝0，x＝－?Z，故B为假命题；x2－1＝0，x＝±1，故C为假命题；对任意实数x，都有x2＋x＋2＝2＋＞0，故选D.
答案：D
6．解析：C中綈p：所有的三角形都不是正三角形，故C错误．
答案：C
7．答案：?x∈R，x2－x＋3≤0 ?x∈R，x2＋1≥0
8．解析：因为命题“?x∈R,2x2＋3x＋a≤0”是假命题，所以其否定“?x∈R,2x2＋3x＋a>0”是真命题，等价于方程2x2＋3x＋a＝0无实根，所以Δ＝32－4×2×a<0，解得a>.故实数a的取值范围是a>.
答案：
9．解析：∵p(1)是假命题，p(2)是真命题．
∴解得3≤m＜8.
答案：3≤m<8
10．解析：(1)綈p：?x∈R，x2－x＋<0，假命题．
∵?x∈R，x2－x＋＝2≥0，
∴綈p是假命题．
(2)綈q：有的正方形不是矩形，假命题．
(3)綈r：?x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．
∵?x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0，
∴綈r是真命题．
学科素养升级练
1．解析：∵命题“?x∈R，使4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，∴命题“?x∈R，使4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题，即判别式Δ＝(a－2)2－4×4×<0，即Δ＝(a－2)2<4，则－2答案：CD
2．解析：①当x＝0时，x2＝0，是假命题；②x2＋x＋1＝2＋≥0，是假命题；③x＝0时函数没有意义，是假命题；④当a＝2－，b＝3＋时，a＋b＝5，是真命题．
答案：1
3．解析：因为命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>0”的否定为“对于任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，
由命题真，其否定假；命题假，其否定真可知该命题的否定是真命题．
事实上，当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立；
当a≠0时，借助二次函数的图象(图略)，数形结合，易知不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等价条件是a<0且其判别式Δ＝4a2＋12a≤0，
即－3≤a<0；
综上知，实数a的取值范围是{a|－3≤a≤0}．1.5.1 全称量词与存在量词
必备知识基础练
知识点一
全称量词和全称量词命题
1.下列命题中全称量词命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分；
②梯形有两边平行；
③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A．0
B．1
C．2
D．3
2．试判断下列全称量词命题的真假：
(1)?x∈R，x2＋2＞0；
(2)?x∈N，x4≥1；
(3)?x∈R，x2＋1≥2.
3．若?x∈R，x2－x＋3(m－1)≠0，求实数m的取值范围．
知识点二
存在量词与存在量词命题
4.下列命题中存在量词命题的个数是( )
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|sin
x|≤1.
A．0
B．1
C．2
D．3
5．判断下列存在量词命题的真假．
(1)有的集合中不含有任何元素．
(2)存在对角线不互相垂直的菱形．
(3)?x∈R，满足3x2＋2>0.
(4)有些整数只有两个正因数．
6．若?x∈R，x2＋2x＋a＝0，求实数a的取值范围．
关键能力综合练
一、选择题
1．下列命题：
①今天有人请假；
②中国所有的江河都流入太平洋；
③中国公民都有受教育的权利；
④每一个中学生都要接受爱国主义教育；
⑤有人既能写小说，也能搞发明创造；
⑥任何一个数除0都等于0.
其中是全称量词命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
2．下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0
B．菱形的两条对角线相等
C．存在x∈R，使得x2＝x
D．二次函数y＝x2－ax－1的图象与x轴恒有交点
3．既是存在量词命题，又是真命题的是( )
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个x∈R，使x2≤0
C．两个无理数的和是无理数
D．存在一个负数x，使＞2
4．下列四个命题：
①没有一个无理数不是实数；
②空集是任何一个非空集合的真子集；
③1＋1<2；
④至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数．
其中是真命题的为( )
A．①②③④
B．①②③
C．①②④
D．②③④
5．下面四个命题：
①?x∈R，x2－3x＋2>0；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2.
其中真命题的个数为( )
A．3
B．2
C．1
D．0
6．(易错题)已知命题p：?x∈R，x2＋x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．a>
B．a≤
C．a<
D．a≥
二、填空题
7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x2)>0”用“?”写成存在量词命题为________．
8．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③有的实数是无限不循环小数；④有的菱形是正方形；⑤存在三角形其内角和大于180°.
既是全称量词命题又是真命题的是________，既是存在量词命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序号)．
9．已知命题“?x∈R，函数y＝2x2＋x＋a的函数值恒大于0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
10．(探究题)若存在一个实数x，使不等式m－(x2－2x＋5)>0成立，求实数m的取值范围．
学科素养升级练
1．(多选题)已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“?x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件可以是( )
A．a≥3
B．a≥4
C．a≥5
D．a≥6
2．若对于任意x∈R，都有ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围是________．
3．(学科素养—逻辑推理)已知函数y1＝x，y2＝－2x2－m，若对?x1∈{x|－1≤x≤3}，?x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围．
1．5 全称量词与存在量词
1．5.1 全称量词与存在量词
必备知识基础练
1．解析：①②是全称量词命题，③是存在量词命题．
答案：C
2．解析：(1)由于?x∈R，都有x2≥0.因而有x2＋2≥2＞0.即x2＋2＞0，所以命题“?x∈R，x2＋2＞0”是真命题．
(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“?x∈N，x4≥1”是假命题．
(3)由于0∈R，当x＝0时，x2＋1≥2不成立，所以“?x∈R，x2＋1≥2”是假命题．
3．解析：因为?x∈R，x2－x＋3(m－1)≠0，即关于x的一元二次方程x2－x＋3(m－1)＝0无解，所以Δ＝(－1)2－4×1×3(m－1)<0，解得m>.故实数m的取值范围为m>.
4．解析：命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④是全称量词命题．故有一个存在量词命题．
答案：B
5．解析：(1)由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题．
(2)由于所有菱形的对角线都互相垂直．所以不存在对角线不垂直的菱形．因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题．
(3)?x∈R，有3x2＋2>0，因此存在量词命题“?x∈R,3x2＋2>0”是真命题．
(4)由于存在整数3只有正因数1和3.所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题．
6．解析：因为?x∈R，x2＋2x＋a＝0，即关于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0有解，所以Δ＝22－4×1×a＝4－4a≥0.解得a≤1.
故实数a的取值范围为a≤1.
关键能力综合练
1．解析：②③④⑥都含有全称量词．
答案：D
2．解析：A中含有全称量词“任意的”，故是全称量词命题．由于a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题．B，D中在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的两条对角线不一定相等，所以B是假命题．C是存在量词命题．故选D.
答案：D
3．解析：A，C为全称量词命题．B是存在量词命题，当x＝0时，x2＝0，此命题正确．D显然是假命题．故选B.
答案：B
4．解析：①中表述的为所有无理数都是实数，正确；②空集是任何一个非空集合的真子集，正确；③1＋1＝2，故1＋1＜2为假命题；④当x为整数时，x2－x＋1即为整数，正确．故选C.
答案：C
5．解析：当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；因为x＝±时，x2＝2，而±为无理数，故②为假命题；因为x2＋1＞0(x∈R)恒成立，故③为假命题；原不等式可化为x2－2x＋1＞0，即(x－1)2＞0，当x＝1时，(x－1)2＝0，故④为假命题．故选D.
答案：D
6．解析：假设命题p为真，则?x∈R，x2＋x＋a＝0，即关于x的一元二次方程x2＋x＋a＝0有解，所以Δ＝12－4a≥0.解得a≤.因为命题p是假命题，所以a>.故选A.
答案：A
7．解析：命题可分两部分，条件“有些负数”写为“?x<0”，结论“不等式(1＋x)(1－9x2)>0”写为“(1＋x)(1－9x2)>0”．
答案：?x＜0，(1＋x)(1－9x2)＞0
8．解析：①是全称量词命题，是真命题；②是全称量词命题，是真命题；③含存在量词“有的”，是存在量词命题，是真命题；④是存在量词命题，是真命题；⑤是存在量词命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°.
答案：①② ③④
9．解析：由题意可得Δ＝12－4×2×a<0，解得a>.
答案：a>
10．解析：不等式m－(x2－2x＋5)>0可化为m>x2－2x＋5.
令t＝x2－2x＋5，若存在一个实数x使不等式m>x2－2x＋5成立，只需m>tmin.
又t＝(x－1)2＋4，∴tmin＝4，∴m>4.
所以所求实数m的取值范围是{m|m>4}．
学科素养升级练
1．解析：当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈A＝{x|1≤x≤2}．又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4a≥5，a≥5?a≥4，故C正确，同理D正确．故选CD.
答案：CD
2．解析：依题意，得
即∴a<－1.
答案：{a|a<－1}
3．解析：因为x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}，
所以y1∈{y|0≤y≤9}，y2∈{y|－4－m≤y≤－m}，
又因为对?x1∈{x|－1≤x≤3}，?x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，
即y1的最小值大于等于y2的最小值，即－4－m≤0，
所以m≥－4.