第2课时 函数的最大(小)值
必备知识基础练
知识点一
图象法求函数的最大(小)值
1.函数f(x)的图象如图，则f(x)在[－2,2]上的最大、最小值分别为( )
A．f，f
B．f(0)，f
C．f(0)，f
D．f(0)，f(－1)
2．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为________，最大值为________．
知识点二
单调性法求函数的最大(小)值
3.函数y＝x＋( )
A．有最小值，无最大值
B．有最大值，无最小值
C．有最小值，有最大值2
D．无最大值，也无最小值
4．求函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值与最小值．
知识点三
求二次函数的最大(小)值
5.二次函数f(x)＝x2－2x＋3在[0，m]上有最大值3，最小值1，则实数m的取值范围是________．
6．已知函数f(x)＝x2－2x－1，x∈A，当A为下列区间时，分别求f(x)的最大值和最小值．
(1)A＝[－2,0]；
(2)A＝[－1,2]；
(3)A＝[2,3]．
关键能力综合练
进阶训练第二层
一、选择题
1．函数f(x)＝2－在区间[1,3]上的最大值是( )
A．2
B．3
C．－1
D．1
2．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( )
A．10,5
B．10,1
C．5,1
D．以上都不对
3．函数f(x)＝的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
4．函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为( )
A．10,6
B．10,8
C．8,6
D．以上都不对
5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
6．(易错题)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是
( )
A．(0,4]
B.
C.
D.
二、填空题
7．函数g(x)＝2x－的值域为________．
8．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a＜b＜3)上有最大值9，最小值－7，则a＝________，b＝________.
9．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，且函数f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
10．设函数f(x)＝x2－2x＋2(其中x∈[t，t＋1]，t∈R)的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．
学科素养升级练
1．(多选题)关于函数f(x)＝的结论正确的是( )
A．定义域、值域分别是[－1,3]，[0，＋∞)
B．单调增区间是(－∞，1]
C．定义域、值域分别是[－1,3]，[0,2]
D．单调增区间是[－1,1]
2．已知f(x)＝x，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)的最值情况是( )
A．最大值为3，最小值为－1
B．最小值为－1，无最大值
C．最大值为3，无最小值
D．既无最大值，又无最小值
3．(情境命题—生活情境)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20
000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为关于月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
第2课时 函数的最大(小)值
必备知识基础练
1．解析：由最大(小)值的几何意义及定义可知f(0)为最大值，f为最小值．
答案：C
2．解析：由最大(小)值的定义可知最小值为－1，最大值为2.
答案：－1 2
3．解析：设y1＝x，y2＝，则y＝y1＋y2，∵y1＝x在R上为增函数，y2＝在上为增函数，∴y＝x＋在上为增函数，∴y有最小值，无最大值．
答案：A
4．解析：任取2≤x1＜x2≤5，
则f(x1)＝，f(x2)＝，
f(x2)－f(x1)＝－＝.
因为2≤x1＜x2≤5，所以x1－x2＜0，x2－1＞0，x1－1＞0.
所以f(x2)－f(x1)＜0.所以f(x2)＜f(x1)．
所以f(x)＝在区间[2,5]上是减函数．
所以f(x)max＝f(2)＝＝2，
f(x)min＝f(5)＝＝.
5．解析：因为f(x)＝x2－2x＋3在[0,2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增．则当04时，最大值必大于f(4)＝3，此时条件不成立．综上可知，实数m的取值范围是[2,4]．
答案：[2,4]
6．解析：(1)当A＝[－2,0]时，函数f(x)在[－2,0]上为减函数，∴f(x)max＝f(－2)＝7，f(x)min＝f(0)＝－1.
(2)当A＝[－1,2]时，函数f(x)在[－1,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数．
∴f(x)min＝f(1)＝－2，f(x)max＝max{f(－1)，f(2)}＝f(－1)＝2.
(3)当A＝[2,3]时，f(x)在[2,3]上是增函数，
∴f(x)max＝f(3)＝2，f(x)min＝f(2)＝－1.
关键能力综合练
1．解析：函数f(x)＝2－在[1,3]上单调递增，
∴f(x)的最大值为f(3)＝2－＝2－1＝1.
故选D.
答案：D
2．解析：因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2,3]，所以当x＝1时，ymin＝1，当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.
答案：B
3．解析：因为1－x(1－x)＝x2－x＋1＝2＋≥，所以≤.故f(x)的最大值为.
答案：C
4．解析：∵x∈[1,2]时，f(x)max＝2×2＋6＝10，f(x)min＝2×1＋6＝8；x∈[－1,1]时，f(x)max＝1＋7＝8，f(x)min＝－1＋7＝6，∴f(x)max＝10，f(x)min＝6.
答案：A
5．解析：因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，所以函数f(x)图象的对称轴为x＝2.又因为函数图象开口向下，所以f(x)在[0,1]上单调递增．又因为f(x)min＝－2，所以f(0)＝－2，即a＝－2.所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
答案：C
6．解析：∵f(x)＝x2－3x－4＝2－，
∴f＝－，又f(0)＝－4，故由二次函数图象可知(如图)：m的值最小为，最大为3，即m的取值范围是，故选C.
答案：C
7．解析：设＝t(t≥0)，则x＋1＝t2，即x＝t2－1，
∴y＝2t2－t－2＝22－，t≥0，∴当t＝时，
ymin＝－，∴函数g(x)的值域为.
答案：
8．解析：y＝－(x－3)2＋18，∵a∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，
解得b＝0(b＝6不符合题意，舍去)．
－a2＋6a＋9＝－7，解得a＝－2(a＝8不符合题意，舍去)．
答案：－2 0
9．解析：∵函数f(x)＝x2－6x＋8的图象的对称轴为直线x＝3，且在区间[1，a]上，f(x)min＝f(a)，∴a≤3.又a＞1，∴1＜a≤3.
答案：(1,3]
10．解析：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，其对称轴为直线x＝1.
①当t＋1≤1，即t≤0时，由图(1)知，[t，t＋1]为函数的减区间，所以g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；
②当t≤1③当t>1时，由图(3)知，[t，t＋1]为函数的增区间，所以g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.
综上，g(t)＝
学科素养升级练
1．解析：由－x2＋2x＋3≥0可得，x2－2x－3≤0，
解可得，－1≤x≤3，即函数的定义域是[－1,3]，
由二次函数的性质可知，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4∈[0,4]，
∴函数的值域是[0,2]，
结合二次函数的性质可知，函数在[－1,1]上单调递增．在[1,3]上单调递减．
故选：CD.
答案：CD.
2．解析：由f(x)≥g(x)得0≤x≤3；
由f(x)3，
所以F(x)＝
作出函数F(x)的图象(图略)，可得F(x)无最大值，无最小值．
答案：D
3．解析：(1)月产量为x台，则总成本为(20
000＋100x)元，
从而f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25
000，
当x＝300时，f(x)max＝25
000；
当x>400时，f(x)＝60
000－100x是减函数，f(x)<60
000－100×400＝20
000<25
000.
∴当x＝300时，f(x)max＝25
000.
即每月生产300台仪器时公司所获利润最大，最大利润为25
000元．第1课时 函数的单调性
必备知识基础练
知识点一
函数单调性的判断与证明
1.设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为( )
A．f(x1)＜f(x2)
B．f(x1)＞f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)
D．不能确定
2．已知函数f(x)的定义域为A，如果对于属于定义域内某个区间I上的任意两个不同的自变量x1，x2，都有＞0，则( )
A．f(x)在这个区间上为增函数
B．f(x)在这个区间上为减函数
C．f(x)在这个区间上的增减性不确定
D．f(x)在这个区间上为常函数
3．(1)证明：函数f(x)＝x＋在(－∞，－2)上是增函数．
(2)证明：函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数．
知识点二
求函数的单调区间
4.如图所示，函数y＝f(x)在下列哪个区间上是增函数( )
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
5．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的单调递减区间是( )
A.
B．[－1，＋∞)
C.
D．(－∞，＋∞)
6．函数y＝的单调递减区间是________.
知识点三
函数单调性的应用
7.若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )
A．f(a)>f(2a)
B．f(a2)C．f(a2＋a)D．f(a2＋1)8．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________．
9．若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)关键能力综合练
一、选择题
1．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( )
A．y＝5－x
B．y＝x2＋2
C．y＝
D．y＝－|x|
2．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
3．下列说法中，正确的有( )
①若任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，＜0，则y＝f(x)在I上是减函数；
②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－在定义域上是增函数；
④函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
4．当y＝x2＋bx＋c(x∈(－∞，1))是单调函数时，b的取值范围是( )
A．[－2，＋∞)
B．(－∞，－2]
C．(－2，＋∞)
D．(－∞，－2)
5．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－1,1)
C．(0,1)
D．(0,1]
6．(易错题)已知f(x)＝是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.∪
二、填空题
7．已知函数f(x)＝则f(x)的单调递减区间是________，单调递增区间是________．
8．已知函数f(x)＝|x＋a|在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围是________．
9．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是单调________函数．
三、解答题
10．(探究题)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明．
学科素养升级练
1．(多选题)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2,3)，则函数f(|x|)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－1)
B．(－3，－1)
C．(0,1)
D．(1,3)
2．设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为________．
3．(学科素养—数学抽象)函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)＞1.
(1)求证：f(x)在R上是增函数；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)<3.
3.2 函数的基本性质
3．2.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
必备知识基础练
1．解析：由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定．故选D.
答案：D
2．解析：①当x1＞x2时，x1－x2＞0，则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在区间I上是增函数．
②当x1＜x2时，x1－x2＜0，则f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在区间I上是增函数．
综合①②可知，f(x)在区间I上是增函数．故选A.
答案：A
3．证明：(1)?x1，x2∈(－∞，－2)，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋
＝.
∵x14，
x1x2－4>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)∴函数f(x)＝x＋在(－∞，－2)上是增函数．
(2)设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则x2－x1＞0，
而f(x2)－f(x1)＝(x＋x2)－(x＋x1)
＝(x2－x1)(x＋x2x1＋x)＋(x2－x1)
＝(x2－x1)(x＋x2x1＋x＋1)
＝(x2－x1).
因为2＋x＋1>0，x2－x1>0，
所以f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)．
因此函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数．
4．解析：观察题中图象知，函数在[－3,1]上是增函数．
答案：C
5．解析：y＝x2＋x＋1＝2＋，其对称轴为x＝－，在对称轴左侧单调递减，∴当x≤－时单调递减．
答案：C
6.
解析：方法一 y＝的图象可由y＝的图象向右平移一个单位得到，如图，所以单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．
方法二 函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
设x1，x2∈(－∞，1)，且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为x1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．
答案：(－∞，1)，(1，＋∞)
7．解析：∵f(x)在(－∞，＋∞)为减函数，且a2＋1>a2，
∴f(a2＋1)答案：D
8．解析：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的开口方向向上，对称轴为x＝1－a，
∵f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，
∴4≤1－a，
∴a≤－3，
∴a的取值范围是(－∞，－3]．
答案：(－∞，－3]
9．解析：因为y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，
f(1－a)，
所以所求a的取值范围是.
答案：
关键能力综合练
1．解析：A，C，D中的函数在(0,2)上是减函数，只有函数y＝x2＋2在(0,2)上是增函数．
答案：B
2．解析：由一次函数的性质得2a－1<0，即a<.故选D.
答案：D
3．解析：①若任意x1，x2∈I，当x1答案：B
4．解析：由y＝x2＋bx＋c可知，二次函数的对称轴为
x＝－，要使函数y＝x2＋bx＋c在(－∞，1)上是单调函数，则－≥1，所以b≤－2.故选B.
答案：B
5．解析：由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数，得a≤1.由函数g(x)＝在[1,2]上是减函数，得a>0，故a的取值范围为(0,1]．
答案：D
6．解析：要使f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，必须同时满足3个条件：
①g(x)＝(3a－1)x＋4a在(－∞，1)上为减函数；
②h(x)＝－x＋1在[1，＋∞)上为减函数；
③g(1)≥h(1)．
所以
所以≤a＜.
答案：C
7．解析：当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，
所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
答案：(－∞，1)，(1，＋∞)
8．解析：当x∈R时，f(x)＝|x＋a|＝
∴f(x)的递减区间为(－∞，－a]．
由题意，(－∞，1]?(－∞，－a]，
∴－a≥1，即a≤－1.
答案：a≤－1
9．解析：y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，
∴a<0，b<0，y＝ax2＋bx＝a2－，
对称轴x＝－<0，
∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是单调减函数．
答案：减
10．解析：(1)由x2－1≠0，得x≠±1，
所以函数f(x)＝的定义域为{x∈R|x≠±1}．
(2)函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为x2>x1>1，所以x－1>0，x－1>0，x2－x1>0，x2＋x1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
学科素养升级练
1．解析：因为函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2,3)，对称轴为直线x＝1，开口向下，所以函数f(|x|)满足－2<|x|<3，所以－3又f(|x|)＝－x2＋2|x|＋1＝且y＝－x2－2x＋1图象的对称轴为直线x＝－1，所以由二次函数的图象与性质可知，函数f(|x|)的单调递增区间是(－3，－1)和(0,1)．
故选BC.
答案：BC
2．解析：由条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，又f(3)＝1，∴不等式f(x)＋f(－2)>1，即为f(－2x)>f(3)．
∵f(x)是定义在R上的增函数，∴－2x>3，
解得x<－.故不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为.
答案：
3．解析：(1)证明：设x1，x2∈R，且x1则x2－x1>0，f(x2－x1)＞1.
∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)
＝f(x2－x1)－1>0.
∴f(x2)>f(x1)．故f(x)在R上是增函数．
(2)∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，
∴f(2)＝3.
∴原不等式可化为f(3m－2)∵f(x)在R上是增函数，∴3m－2<2，解得m＜.故不等式的解集为.第2课时 函数奇偶性的应用
必备知识基础练
知识点一
利用奇偶性求函数解析式
1.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝－x＋1
B．f(x)＝－x－1
C．f(x)＝x＋1
D．f(x)＝x－1
2．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.
知识点二
函数奇偶性与单调性
3.已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则下列关系式中，正确的是( )
A．f(5)>f(－5)
B．f(4)>f(3)
C．f(－2)>f(2)
D．f(－8)＝f(8)
4．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A.
B.
C.
D.
5．若奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是6，那么f(x)在区间[－5，－2]上有( )
A．最小值6
B．最小值－6
C．最大值－6
D．最大值6
6．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．
关键能力综合练
一、选择题
1．下列各函数在其定义域中，既是奇函数，又是增函数的是( )
A．y＝x＋1
B．y＝－x3
C．y＝－
D．y＝x|x|
2．对于定义域为R的奇函数f(x)，下列结论成立的是( )
A．f(x)－f(－x)＞0
B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)·f(－x)≤0
D．f(x)·f(－x)＞0
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的表达式是( )
A．y＝x(x－2)
B．y＝x(|x|＋2)
C．y＝|x|(x－2)
D．y＝x(|x|－2)
4．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为( )
A．(－∞，0]
B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．[1，＋∞)
5．f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减，若f(2－a)＋f(4－a)<0，则a的取值范围是( )
A．a<1
B．a<3
C．a>1
D．a>3
6．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是( )
A．f(－π)＞f(3)＞f(－2)
B．f(－π)＞f(－2)＞f(3)
C．f(3)＞f(－2)＞f(－π)
D．f(3)＞f(－π)＞f(－2)
二、填空题
7．设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)＜0的解集用区间表示为________．
8．如果定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)在(0，＋∞)内是减函数，又有f(3)＝0，则x·f(x)<0的解集为________．
9．(探究题)已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝－，则函数f(x)的解析式f(x)＝________.
三、解答题
10．(易错题)已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围．
学科素养升级练
1．(多选题)已知函数f(x)＝x2－2x－3，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的最小值为－4
B．函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增
C．函数f(|x|)为偶函数
D．若方程f(|x－1|)＝a在R上有4个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝4
2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x)在[1，＋∞)上为单调减函数，则当x＝________时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)3．(学科素养－数学抽象)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有>0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
第2课时 函数奇偶性的应用
必备知识基础练
1．解析：设x<0，则－x>0.
∴f(－x)＝x＋1，又函数f(x)是奇函数．
∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，
∴f(x)＝－x－1(x<0)．
答案：B
2．解析：当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，
又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.
答案：－x＋1
3．解析：∵f(x)为奇函数，且在[0，＋∞)上是减函数，
∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，又－2<2，∴f(－2)>f(2)，故选C.
答案：C
4．解析：由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)答案：A
5．解析：因为奇函数f(x)在[2,5]上有最小值6，所以可设a∈[2,5]，有f(a)＝6.由奇函数的性质，f(x)在[－5，－2]上必有最大值，且最大值为f(－a)＝－f(a)＝－6.
答案：C
6．解析：∵f(2)＝0，f(x－1)＞0，∴f(x－1)＞f(2)．
又∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(|x－1|)＞f(2)，
∴|x－1|＜2，∴－2＜x－1＜2，∴－1＜x＜3，
∴x∈(－1,3)．
答案：(－1,3)
关键能力综合练
1．解析：A中函数不具有奇偶性；B中函数在定义域内为减函数；C中函数在定义域内不具有单调性．故选D.
答案：D
2．解析：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－f2(x)≤0.
答案：C
3．解析：由x≥0时，f(x)＝x2－2x，
f(x)是定义在R上的奇函数得，
当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝x(－x－2)．
∴f(x)＝即f(x)＝x(|x|－2)．
答案：D
4．解析：因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数f(x)＝－2x2＋1，所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．
答案：A
5．解析：∵f(x)在R上为奇函数，
∴f(2－a)＋f(4－a)<0转化为f(2－a)<－f(4－a)＝f(a－4)．
又f(x)在R上单调递减，
∴2－a>a－4，得a<3.
答案：B
6．解析：∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，
又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2＜3＜π，
∴f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(－π)＞f(3)＞f(－2)．
答案：A
7．解析：由f(x)在[0,6]上的图象知，满足f(x)＜0的不等式的解集为(0,3)．又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f(x)＜0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f(x)＜0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．
答案：[－6，－3)∪(0,3)
8.
解析：由题意可画出函数f(x)的草图．当x>0时，f(x)<0，所以x>3；当x<0时，f(x)>0，所以x<－3.综上x>3或x<－3.
答案：{x|x<－3或x>3}
9．解析：f(x)的定义域为∪，若f(x)是奇函数，则＝0，得q＝0.故f(x)＝，又f(2)＝－，得＝－，得p＝2，因此f(x)＝＝－.
答案：－
10．解析：由f(1－a2)＋f(1－a)<0，
得f(1－a2)<－f(1－a)．
∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，
∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)又f(x)在[－1,1]上单调递减，
∴解得
∴0≤a<1.∴a的取值范围是[0,1)．
学科素养升级练
1.
解析：二次函数f(x)在对称轴x＝1处取得最小值，且最小值f(1)＝－4，故选项A正确；二次函数f(x)的对称轴为x＝1，其在(0，＋∞)上有增有减，故选项B错误；由f(x)得，f(|x|)＝|x|2－2|x|－3，显然f(|x|)为偶函数，故选项C正确；令h(x)＝f(|x－1|)＝|x－1|2－2|x－1|－3，方程f(|x－1|)＝a的零点转化为y＝h(x)与y＝a
的交点，作出h(x)图象如图所示：图象关于x＝1对称，当y＝h(x)与y＝a有四个交点时，两两分别关于x＝1对称，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4，故选项D正确．故选ACD.
答案：ACD
2．解析：由f(1－x)＝f(1＋x)知，f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以当x＝1时f(x)取到最大值．由对称性可知f(0)＝f(2)，所以f(0)答案：1 (0,2)
3．解析：(1)因为a>b，所以a－b>0，
由题意得>0，
所以f(a)＋f(－b)>0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－b)＝－f(b)，
所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．
(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，
因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)，
所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.
所以实数m的取值范围为(－∞，4]．第1课时 函数奇偶性的概念
必备知识基础练
知识点一
函数奇偶性的判断
1.判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
知识点二
奇偶函数的图象
2.已知函数y＝f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．4
B．2
C．1
D．0
3．函数f(x)＝＋x3的图象( )
A．关于y轴对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称
D．关于直线y＝－x对称
知识点三
利用函数的奇偶性求值
4.若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；
5．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
6．已知f(x)＝ax5＋bx3＋cx－8，且f(d)＝10，则f(－d)＝________.
关键能力综合练
一、选择题
1．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝－|x|
B．y＝2－x
C．y＝
D．y＝－x2＋8
2．函数f(x)＝－x的图象关于( )
A．y轴对称
B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称
D．直线y＝x对称
3．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－2，若f(－3)＝10，则f(3)＝( )
A．－8
B．18
C．10
D．－14
4．若f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx( )
A．是奇函数但不是偶函数
B．是偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
5．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
6．已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝则f[f(－2)]的值为( )
A．1
B．3
C．－2
D．－3
二、填空题
7．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.
8．函数f(x)＝的定义域为______，为________函数(填“奇”或“偶”)．
9．(探究题)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________.
三、解答题
10．用定义判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝－3x2＋1；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
学科素养升级练
1．(多选题)对于定义在R上的函数f(x)，下面结论正确的是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)
B．若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数
C．若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数
D．若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数
2．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．|f(x)|－g(x)是奇函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．f(x)＋|g(x)|是偶函数
3．(学科素养—数学抽象)已知函数f(x)对一切x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．
3．2.2 奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念
必备知识基础练
1．解析：(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－2x)＝1＋2x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－2x)＝1－2x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
2．解析：因为f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的，故所有实根之和为0.选D.
答案：D
3．解析：∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－x3＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
答案：C
4．解析：∵函数f(x)在[a－1,2a]上是偶函数，
∴a－1＋2a＝0，得a＝.
又f(－x)＝f(x)，即x2－bx＋1＋b＝x2＋bx＋1＋b
对x∈均成立，
∴b＝0.
答案： 0
5．解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.
答案：－1
6．解析：令g(x)＝ax5＋bx3＋cx，则g(x)为奇函数．
f(d)＝g(d)－8＝10，∴g(d)＝18，
f(－d)＝g(－d)－8＝－g(d)－8＝－26.
答案：－26
关键能力综合练
1．解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶，而C项中函数为奇函数．
答案：C
2．解析：∵函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－＋x＝－f(x)，∴f(x)＝－x是奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，故选C.
答案：C
3．解析：由f(x)＝x5＋ax3＋bx－2，
得f(x)＋2＝x5＋ax3＋bx.
令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋2，
∵G(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)
＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)，
∴G(x)是奇函数．∴G(－3)＝－G(3)，
即f(－3)＋2＝－f(3)－2，又f(－3)＝10，
∴f(3)＝－f(－3)－4＝－10－4＝－14.
答案：D
4．解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)是偶函数，∴b＝0，
∴g(x)＝ax3＋cx，∴g(－x)＝－g(x)，∴g(x)是奇函数，故选A.
答案：A
5．解析：F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．
又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．
答案：B
6．解析：∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝2－2＝0，f(0)＝0＋1＝1.∴f[f(－2)]＝f(0)＝1.故选A.
答案：A
7．解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0，∴f(－2)＝－f(2)＝－5，∴f(－2)＋f(0)＝－5.
答案：－5
8．解析：依题意有
解得－2≤x≤2且x≠0，
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]．
∵f(x)＝＝＝－，定义域关于原点对称，
∴f(－x)＝＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
答案：[－2,0)∪(0,2] 奇
9．解析：在f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1中，令x＝－1，得f(－1)－g(－1)＝1，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f(1)＋g(1)＝1.
答案：1
10．解析：(1)f(x)＝的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数．
(2)f(x)＝－3x2＋1的定义域是R，f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(3)f(x)＝的定义域是[－1,0)∪(0,1]，
所以f(x)的解析式可化简为f(x)＝，满足f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(4)函数的定义域为R.
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)；
当x＝0时，f(－x)＝f(x)＝1；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x＋1＝f(x)．
综上，对任意x∈R，
都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
学科素养升级练
1．解析：A正确；B错误，仅两个特殊的函数值相等不足以确定函数的奇偶性，需要满足“任意”；C正确；D错误，反例：f(x)＝0满足条件，该函数既是奇函数，又是偶函数．
答案：AC
2．解析：∵函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
对于选项A，|f(－x)|－g(－x)＝|f(x)|＋g(x)≠±(|f(x)|－g(x))，故其不具有奇偶性；
对于选项B，f(－x)－|g(－x)|＝f(x)－|g(x)|，故函数为偶函数；
对于选项C，|f(－x)|＋g(－x)＝|f(x)|－g(x)≠±(|f(x)|＋g(x))，故其不具有奇偶性；
对于选项D，f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|，故函数为偶函数．
综上，选D.
答案：D
3．解析：(1)证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.
所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
(2)因为f(x)为奇函数．
所以f(－3)＝－f(3)＝a，
所以f(3)＝－a.
又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，
所以f(12)＝－4a.
