第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
必备知识基础练
知识点一
一元二次不等式的解法
1.解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3>0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2<0；
(4)－x2＋3x－5>0.
2．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A.
B.
C．?
D.
知识点二
三个“二次”间的关系及应用
3.若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a＜0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为( )
A．{x|x＜－1或x＞2}
B．{x|x≤－1或x≥2}
C．{x|－1＜x＜2}
D．{x|－1≤x≤2}
4．若不等式2x2＋mx＋n＞0的解集是{x|x＞3或x＜－2}，则m，n的值分别是( )
A．2,12
B．2，－2
C．2，－12
D．－2，－12
5．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a－b的值为( )
A．14
B．－14
C．10
D．－10
知识点三
含参数的一元二次不等式的解法
6.若0
A.
B.
C.
D.
7．当a>－1时，关于x的不等式x2＋(a－1)x－a>0的解集是________．
8．已知A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}，若A?B，则a的取值范围是________．
关键能力综合练
一、选择题
1．不等式4x2－12x＋9≤0的解集是( )
A．?
B．R
C.
D.
2．已知集合M＝{x|－4A．{x|－4B．{x|－4C．{x|－2D．{x|23．不等式x2－|x|－2＜0的解集是( )
A．{x|－2＜x＜2}
B．{x|x＜－2或x＞2}
C．{x|－1＜x＜1}
D．{x|x＜－1或x＞1}
4．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B，则a＋b等于( )
A．－3
B．1
C．－1
D．3
5．若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－26．(探究题)在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．0B．－2C．x<－2或x>1
D．－1二、填空题
7．不等式－1＜x2＋2x－1≤2的解集是________．
8．若关于x的不等式ax2－6x＋a2>0的解集为{x|19．(易错题)关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是________．
三、解答题
10．解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2>0；
(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1.
学科素养升级练
1．(多选题)关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0(a∈Z)的解集中有且仅有3个整数，则a的取值可以是( )
A．6
B．7
C．8
D．9
2．关于x的不等式组的整数解的集合为{－2}，则实数k的取值范围是________．
3．(学科素养—数学运算)已知不等式ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立，解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
2．3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
必备知识基础练
1．解析：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为2≤0，所以原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为?.
2．解析：原不等式可化为(3x＋1)2≤0，
∴3x＋1＝0，∴x＝－.
答案：D
3．解析：由题意知，－＝1，＝－2，
∴b＝－a，c＝－2a，
又∵a＜0，∴x2－x－2≤0，∴－1≤x≤2.
答案：D
4．解析：由题意知－2,3是方程2x2＋mx＋n＝0的两个根，所以－2＋3＝－，－2×3＝，∴m＝－2，n＝－12.
答案：D
5．解析：不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，可得－，是一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的两个实数根，
∴－＋＝－，－×＝，
解得a＝－12，b＝－2，
∴a－b＝－12－(－2)＝－10，
所以D选项是正确的．
答案：D
6．解析：∵01>m，
故原不等式的解集为，故选D.
答案：D
7．解析：原不等式可化为(x＋a)(x－1)>0，
方程(x＋a)(x－1)＝0的两根为－a,1，
∵a>－1，
∴－a<1，故不等式的解集为{x|x<－a或x>1}．
答案：{x|x<－a或x>1}
8．解析：A＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}；
当a≤1时，B＝{x|a≤x≤1}，A?B不成立；
当a>1时，B＝{x|1≤x≤a}，若A?B，须a>2.
答案：a>2
关键能力综合练
1．解析：原不等式可化为(2x－3)2≤0，故x＝.故选D.
答案：D
2．解析：∵N＝{x|－2答案：C
3．解析：令t＝|x|，则原不等式可化为t2－t－2＜0，
即(t－2)(t＋1)＜0.
∵t＝|x|≥0.∴t－2＜0.∴t＜2.
∴|x|＜2，解得－2＜x＜2.
答案：A
4．解析：由题意得，A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，所以A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由题意知，－1,2为方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系可知，a＝－1，b＝－2，则a＋b＝－3.
答案：A
5．解析：因为不等式的解集为{x|－2答案：B
6．解析：根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故x的取值范围为－2答案：B
7．解析：∵
∴－3≤x＜－2或0＜x≤1.
答案：{x|－3≤x＜－2或0＜x≤1}
8．解析：可知1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的两个根，且a<0，
∴解得或(舍去)．
答案：－3 －3
9．解析：∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为，
∴方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，
且解得m<0，∴m的取值范围是m<0.
答案：{m|m<0}
10．解析：(1)原不等式可化为2x2－3x－2<0，
即(2x＋1)(x－2)<0.
故原不等式的解集是.
(2)原不等式可化为2x2－x－1≥0，
即(2x＋1)(x－1)≥0，
故原不等式的解集是.
学科素养升级练
1．解析：设f(x)＝x2－6x＋a，其图象是开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示；
若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则
即
解得5＜a≤8，又a∈Z，
所以a＝6,7,8.
故选：ABC.
答案：ABC
2．解析：由x2－x－2＞0，解得x＞2或x＜－1，又由2x2＋(2k＋5)x＋5k＜0可得，(2x＋5)(x＋k)＜0，如图所示，由已知条件可得解得－3≤k＜2.
答案：－3≤k<2
3．解析：∵ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立．
当a＝0时，1≥0，不等式恒成立；
当a≠0时，则解得0综上，0≤a≤1.
由x2－x－a2＋a<0，得(x－a)(x＋a－1)<0.
∵0≤a≤1，∴①当1－a>a，即0≤a<时，a②当1－a＝a，即a＝时，2<0，不等式无解；
③当1－a综上，当0≤a<时，原不等式的解集为{x|a当a＝时，原不等式的解集为?；
当
必备知识基础练
知识点一
分式不等式的解法
1.解下列不等式：
(1)<0；(2)≤2.
2．不等式>0的解集是( )
A.
B.
C.
D.
知识点二
一元二次不等式恒成立问题
3.若不等式x2＋mx＋>0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．m>2
B．m<2
C．m<0或m>2
D．04．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是( )
A．－4≤a≤4
B．－4C．a≤－4或a≥4
D．a<－4或a>4
5．若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A．－3B．－3≤k<0
C．－3≤k≤0
D．－3知识点三
一元二次不等式的实际应用
6.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3
000＋20x－0.1x2(0A．100台
B．120台
C．150台
D．180台
7．某地每年销售木材约20万m3，每立方米的价格为2
400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．
关键能力综合练
一、选择题
1．不等式≥0的解集为( )
A．{x|－1B．{x|－1≤x<1}
C．{x|－1≤x≤1}
D．{x|－12．关于x的不等式＜0(其中a＜－1)的解集为( )
A.
B.
C.
D.
3．若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为( )
A．{x|x>1或x<－2}
B．{x|1C．{x|x>2或x<－1}
D．{x|－14．若不等式x2＋px＋q<0的解集是{x|10的解集是
( )
A．{x|1B．{x|x<－1或x>6}
C．{x|－1D．{x|x<－1或16}
5．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300
m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )
A．15≤x≤30
B．12≤x≤25
C．10≤x≤30
D．20≤x≤30
6．(易错题)对任意－1≤a≤1，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( )
A．1B．x<1或x>3
C．1D．x<1或x>2
二、填空题
7．不等式≤3的解集为________．
8．若不等式x2－4x＋3m<0的解集为空集，则实数m的取值范围是________．
9．(探究题)若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为R，则实数a的取值范围是________；若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
10．已知y＝ax2＋x－a.
(1)若函数y有最大值，求实数a的值；
(2)若不等式y＞－2x2－3x＋1－2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
学科素养升级练
1．(多选题)对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)＞0的解集可能为( )
A．?
B．(－1，a)
C．(a，－1)
D．(－∞，－1)∪(a，＋∞)
2．在R上定义运算：x
y＝x(1－y)．若不等式(x－a)
(x＋a)<1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是________．
3．(学科素养—数据分析)某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为a
kW·h，本年度计划将电价降低到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?
注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)．
第2课时 一元二次不等式的应用
必备知识基础练
1．解析：(1)由＜0，得＞0，
此不等式等价于(x＋4)(x－3)>0，
∴原不等式的解集为{x|x<－4或x>3}．
(2)移项得－2≤0，
左边通分并化简有≤0，即≥0，
同解不等式组为
∴x<2或x≥5.
∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．
2．解析：>0?(4x＋2)(3x－1)>0?x>或x<－，此不等式的解集为.
答案：A
3．解析：由题意得Δ＝m2－4×<0，即m2－2m<0，解得0答案：D
4．解析：依题意应有Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4，故选A.
答案：A
5．解析：当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则
解得－3答案：D
6．解析：3
000＋20x－0.1x2≤25x，即x2＋50x－30
000≥0，
解得x≤－200(舍去)或x≥150.
故生产者不亏本时最低产量是150台．
答案：C
7．解析：设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y
万元，
则y＝2
400×t%＝60(8t－t2)．
令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.
答案：{t|3≤t≤5}
关键能力综合练
1．解析：原不等式?∴－1≤x＜1.
答案：B
2．解析：将原不等式变形，得(ax－1)(x＋1)＜0，
又a＜－1，∴(x＋1)＞0，解得x＜－1或x＞.
则原不等式的解集为.
答案：D
3．解析：x＝1为ax－b＝0的根，∴a－b＝0，即a＝b，
∵ax－b>0的解集为{x|x>1}，∴a>0，
故＝>0，
等价为(x＋1)(x－2)>0.
∴x>2或x<－1.
答案：C
4．解析：由题意知x2＋px＋q＝(x－1)(x－2)，则待解不等式等价于(x－1)(x－2)(x2－5x－6)>0?(x－1)·(x－2)(x－6)(x＋1)>0?x<－1或16.
答案：D
5．解析：设矩形的另一边长为y
m，则由三角形相似知，＝，∴y＝40－x，∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30.
答案：C
6．解析：y>0，∴x2＋(a－4)x＋4－2a>0，
即(x－2)a＋(x2＋4－4x)＞0，
设z＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，
由题意知∴x<1或x>3.
答案：B
7．解析：≤3?－3≤0?≥0?x(2x－1)≥0且x≠0，解得x<0或x≥.
答案：
8．解析：由题意，知x2－4x＋3m≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m≤0，解得m≥.
答案：m≥
9．解析：由Δ1<0即a2－4(－a)<0得－4答案：－410．解析：(1)显然a＜0，且＝，
解得a＝－2或a＝－.
(2)由y＞－2x2－3x＋1－2a，得
(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0.
当a＝－2时，不符合题意；当a≠－2时，得
解得a＞2.
综上，a的取值范围为a>2.
学科素养升级练
1．解析：对于a(x－a)(x＋1)＞0，
当a＞0时，y＝a(x－a)(x＋1)开口向上，与x轴的交点为a，－1，
故不等式的解集为x∈(－∞，－1，)∪(a，＋∞)；
当a＜0时，y＝a(x－a)(x＋1)开口向下，
若a＝－1，不等式解集为?；
若－1＜a＜0，不等式的解集为(－1，a)，
若a＜－1，不等式的解集为(a，－1)，
综上，ABCD都成立，
故选：ABCD.
答案：ABCD
2．解析：根据定义得(x－a)?(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，又(x－a)?(x＋a)<1对任意的实数x都成立，所以x2－x＋a＋1－a2>0对任意的实数x都成立，所以Δ<0，即1－4(a＋1－a2)<0，解得－答案：－3．解析：(1)设下调后的电价为x元/kW·h，依题意知，用电量增至＋a，电力部门的收益为y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．
(2)依题意，有
整理，得
解此不等式组，得0.60≤x≤0.75.
∴当电价最低定为0.60元/kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.