第1课时 不等关系与不等式
必备知识基础练
知识点一
用不等式表示不等关系
1.用不等式表示下列关系：
(1)最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里；
(2)限制质量：装载总质量G不得超过10
t；
(3)限制高度：装载高度h不得超过3.5米；
(4)限制宽度：装载宽度a不得超过3米．
2．用不等式表示下列关系：
(1)x为非负数；
(2)x为实数，而且大于1不大于6；
(3)x与y的平方和不小于2，而且不大于10.
知识点二
用不等式组表示不等关系
3.某矿山车队有4辆载重为10
t的甲型卡车和7辆载重为6
t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360
t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
4．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是( )
A.
B.
C.
D.
知识点三
比较大小
5.若0＜a1＜a2,0＜b1＜b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是( )
A．a1b1＋a2b2
B．a1a2＋b1b2
C．a1b2＋a2b1
D.
6．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则( )
A．a>b
B．a
C．a≥b
D．a≤b
7．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是________．
关键能力综合练
一、选择题
1．完成一项装修工程，请木工每人需付工资500元，请瓦工每人需付工资400元，现工人工资预算为20
000元，设请木工x人，瓦工y人，则x，y满足的关系式是( )
A．5x＋4y＜200
B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200
D．5x＋4y≤200
2．按照神州十一号飞船环境控制与生命保障系统的设计指标，要求神州六号飞船返回舱的温度在(21±4)
℃之间(包含端点)，则该返回舱中温度t(单位：℃)的取值范围是( )
A．t≤25
B．t≥17
C．17≤t≤25
D．173．“里约奥运会”期间，中国球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A，B两个出租车队，A队比B队少3辆车．若全部安排乘A队的车，每辆车坐5人，车不够，每辆车坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满．则A队有出租车( )
A．11辆
B．10辆
C．9辆
D．8辆
4．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( )
A．a>b>－b>－a
B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a
D．a>b>－a>－b
5．如图，在一个面积为200
m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上述的不等关系正确的是( )
A．a>4b
B．(a＋4)(b＋4)＝200
C.
D.
6．(易错题)已知a，b∈(0,1)，记M＝ab，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是( )
A．M＜N
B．M＞N
C．M＝N
D．不确定
二、填空题
7．给出下列命题：①a>b?ac2>bc2；②a>|b|?a2>b2；③a>b?a3>b3；④|a|>b?a2>b2.其中正确的命题序号是________．
8．一辆汽车原来每天行驶x
km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19
km，那么在8天内它的行程就超过2
200
km，写出不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12
km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．
9．(探究题)若x∈R，则与的大小关系为________．
三、解答题
10．有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输量如下表：
现在要在一天内至少运输2
000
t粮食和1
500
t石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式．
学科素养升级练
1．(多选题)给出四个选项能推出＜的有( )
A．b＞0＞a
B．0＞a＞b
C．a＞0＞b
D．a＞b＞0
2．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，那么P与Q的大小关系是( )
A．P>Q
B．P≥Q
C．PD．P≤Q
3．(情境命题—生活情境)甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试探究谁先到达教室？
2．1 等式性质与不等式性质
第1课时 不等关系与不等式
必备知识基础练
1．解析：(1)v≥50；(2)G≤10；(3)h≤3.5；(4)a≤3.
2．解析：(1)x≥0.
(2)x∈R且1(3)2≤x2＋y2≤10.
3．解析：设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．根据题意，应有如下的不等关系：
(1)甲型卡车和乙型卡车的数量总和不能超过驾驶员人数．
(2)车队每天至少要运360
t矿石．
(3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆．
要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
即
4．解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45.
答案：D
5．解析：令a1＝0.1，a2＝0.9；b1＝0.2，b2＝0.8.则A项，a1b1＋a2b2＝0.74；B项，a1a2＋b1b2＝0.25；C项，a1b2＋a2b1＝0.26，故最大值为A.
答案：A
6．解析：a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b.
答案：C
7．解析：x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以x答案：x关键能力综合练
1．解析：由题意知500x＋400y≤20
000，故选D.
答案：D
2．解析：由题意知21－4≤t≤21＋4，即17≤t≤25.
答案：C
3．解析：设A队有出租车x辆，则B队有出租车(x＋3)辆，
由题意得解得
∴9答案：B
4．解析：解法一 ∵a＋b>0，∴a>－b，
又b<0，∴a>0，且|a|>|b|，
∴a>－b>b>－a.
解法二 设a＝3，b＝－2，则a>－b>b>－a.
答案：C
5．解析：由题意知a>4b，根据面积公式可以得到(a＋4)(b＋4)＝200，故选C.
答案：C
6．解析：M－N＝ab－(a＋b－1)＝ab－a－b＋1＝(a－1)(b－1)．
∵a，b∈(0,1)，∴a－1<0，b－1<0，
∴M－N>0，∴M>N.
答案：B
7．解析：①当c2＝0时不成立．
②一定成立．
③当a>b时，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·＞0成立．
④当b<0时，不一定成立．如：|2|>－3，但22<(－3)2.
答案：②③
8．解析：由题意知，汽车原来每天行驶x
km,8天内它的行程超过2
200
km，则8(x＋19)＞2
200.若每天行驶的路程比原来少12
km，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即＞9(x≠12)．
答案：8(x＋19)＞2
200 ＞9(x≠12)
9．解析：∵－＝＝≤0.
∴≤.
答案：≤
10．解析：设需安排x艘轮船和y架飞机，
则∴
学科素养升级练
1．解析：＜?＜0?ab(a－b)＞0，
A．ab＜0，a－b＜0，ab(a－b)＞0成立；
B．ab＞0，a－b＞0，ab(a－b)＞0成立；
C．ab＜0，a－b＞0，ab(a－b)＜0，不成立；
D．ab＞0，a－b＞0，ab(a－b)＞0成立．
故选：ABD.
答案：ABD
2．解析：∵P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2(a＋b＋c)
＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2－2c＋1
＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2≥0，
又∵a，b，c为不全相等的实数，∴等号取不到，
∴P>Q，故选A.
答案：A
3．解析：设寝室到教室的路程为s，步行速度为v1，跑步速度为v2，则甲用时t1＝＋，乙用时t2＝，t1－t2＝＋－＝s＝·s＝>0，
∴甲用时多．∴乙先到达教室．第2课时 等式性质与不等式性质
必备知识基础练
知识点一
用不等式的性质判断命题真假
1.下列命题正确的是( )
A．若ac＞bc，则a＞b
B．若a2＞b2，则a＞b
C．若＞，则a＜b
D．若＜，则a＜b
2．给出下列命题：
①若ab>0，a>b，则<；
②若a>b，c>d，则a－c>b－d；
③对于正数a，b，m，若a知识点二
用不等式的性质比较大小
3.已知a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )
A．a2＞a＞－a2＞－a
B．－a＞a2＞－a2＞a
C．－a＞a2＞a＞－a2
D．a2＞－a＞a＞－a2
4．若P＝＋，Q＝＋(a>－5)，则P，Q的大小关系为( )
A．PB．P＝Q
C．P>Q
D．不能确定
5．若x＞0，y＞0，M＝，N＝＋，则M，N的大小关系是( )
A．M＝N
B．M＜N
C．M≤N
D．M＞N
知识点三
用不等式的性质证明不等式或求范围
6.(1)已知a＜b＜0，求证：＜；
(2)已知a＞b，＜，求证：ab＞0.
7．已知12关键能力综合练
一、选择题
1．如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是( )
A.<
B.<
C．a2D．|a|>|b|
2．已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是( )
A．ad>bc
B．ac>bd
C．a＋c>b＋d
D．a－c>b－d
3．下列命题中，正确的是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若－2＜a＜3,1＜b＜2，则－3＜a－b＜1
C．若a＞b＞0，m＞0，则<
D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
4．已知a，b，c均为正实数，若<<，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＜a＜b
B．b＜c＜a
C．a＜b＜c
D．c＜b＜a
5．下列命题中，一定正确的是( )
A．若a>b，且＞，则a>0，b<0
B．若a>b，b≠0，则>1
C．若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d
D．若a>b，且ac>bd，则c>d
6．(探究题)已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是( )
A．xy＞yz
B．xz＞yz
C．xy＞xz
D．x|y|＞z|y|
二、填空题
7．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是________．
8．已知19．已知a＋b＞0，则＋与＋的大小关系是________．
三、解答题
10．(易错题)已知实数x，y满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，求9x－3y的取值范围．
学科素养升级练
1．(多选题)已知a、b、c、d是实数，则下列一定正确的有( )
A．a2＋b2≥
B．a＋≥2
C．若＞，则a＜b
D．若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd
2．有外表一样、重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋cA．d>b>a>c
B．b>c>d>a
C．d>b>c>a
D．c>a>d>b
3．(学科素养—逻辑推理)若a>b>0，c.
第2课时 等式性质与不等式性质
必备知识基础练
1．解析：对于A，若c＜0，其不成立；对于B，若a，b均小于0或a＜0，其不成立；对于C，若a＞0，b＜0，其不成立；对于D，其中a≥0，b＞0，平方后显然有a＜b.
答案：D
2．解析：对于①，若ab>0，则>0，
又a>b，所以>，所以<，所以①正确；
对于②，若a＝7，b＝6，c＝0，d＝－10，
则7－0<6－(－10)，②错误；
对于③，对于正数a，b，m，
若a所以am＋ab所以0又>0，所以<，③正确．
综上，真命题的序号是①③.
答案：①③
3．解析：∵a2＋a＜0，∴0＜a2＜－a，∴0＞－a2＞a，
∴a＜－a2＜a2＜－a.故选B.
答案：B
4．解析：P2＝2a＋13＋2，
Q2＝2a＋13＋2，
因为(a＋6)(a＋7)－(a＋5)(a＋8)＝a2＋13a＋42－(a2＋13a＋40)＝2>0，
所以>，
所以P2>Q2，所以P>Q.
答案：C
5．解析：∵x＞0，y＞0，
∴x＋y＋1＞1＋x＞0,1＋x＋y＞1＋y＞0，
∴<，<，
故M＝＝＋<＋＝N，即M＜N.故选B.
答案：B
6．证明：(1)证法一 ∵a－b>0，
∴0<－<－，①
∵0<－b<－a,
②
①②相乘，<.
证法二 －＝＝，
∵a＜b＜0，∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，
∴＜0，故＜.
(2)∵＜，∴－＜0，即＜0，
又a＞b，∴b－a＜0，∴ab＞0.
7．解析：∵15∴12－36又<<，∴<<，即<<4.
故－24关键能力综合练
1．解析：∵a<0，b>0，∴<0，>0，∴<，故选A.
答案：A
2．解析：由a>b，c>d得a＋c>b＋d，故选C.
答案：C
3．解析：对于选项A，当c＝0时，ac2＝bc2，故错误；对于选项B，因为1＜b＜2，所以－2＜－b＜－1，同向不等式相加得－4＜a－b＜2，故错误；对于选项C，因为a＞b＞0，所以＜，又m＞0，从而<，故正确；对于选项D，只有当a＞b＞0，c＞d＞0时，ac＞bd，故错误．故选C.
答案：C
4．解析：∵<，∴c(b＋c)＜a(a＋b)，bc＋c2＜a2＋ab，移项后因式分解得，(a－c)(a＋b＋c)＞0，∵a，b，c均为正实数，∴a＞c，同理b＞a.∴c＜a＜b，故选A.
答案：A
5．解析：对于A，∵>，∴>0，又a>b，∴b－a<0，∴ab<0，∴a>0，b<0，故正确；对于B，当a>0，b<0时，有<1，故错误；对于C，当a＝10，b＝2时，有10＋1>2＋3，但1<3，故错误；对于D，当a＝－1，b＝－2时，有(－1)×(－1)>(－2)×3，但－1<3，故错误．故选A.
答案：A
6．解析：因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，
所以3x＞x＋y＋z＝0,3z＜x＋y＋z＝0，
所以x＞0，z＜0.所以由可得xy＞xz.故选C.
答案：C
7．解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4，
∴－4＜－|β|≤0，∴－3＜α－|β|＜3.
答案：－3<α－|β|<3
8．解析：∵2答案：(－15,0)
9．解析：＋－＝
∵a2b2＞0，所以只需判断a3＋b3－ab2－a2b的符号．
a3＋b3－ab2－a2b＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)≥0，
等号当a＝b时成立，所以＋≥＋.
答案：＋≥＋
10．解析：设9x－3y＝a(x－y)＋b(4x－y)＝(a＋4b)x－(a＋b)y，
∴?∴9x－3y＝(x－y)＋2(4x－y)，
∵－1≤4x－y≤5，∴－2≤2(4x－y)≤10，
又－4≤x－y≤－1，∴－6≤9x－3y≤9.
学科素养升级练
1．解析：由于2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，故a2＋b2≥(a＋b)2，故A正确；B中：当a＝－1时显然不成立，B错误；C中：a＝1，b＝－1显然有＞，但a＞b，C错误；D中：若a＜b＜0，c＜d＜0，则－a＞－b＞0，－c＞－d＞0，则根据不等式的性质可知ac＞bd＞0，故D正确．故选AD.
答案：AD
2．解析：∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c，∴bb>a>c.
答案：A
3．证明：∵c－d>0.又a>b>0，∴a－c>b－d>0，
则(a－c)2>(b－d)2>0，即<.
又e<0，∴>.