《抽屉原理》教学设计
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《抽屉原理》教学设计
【教学目标】
1．知识与能力目标：
经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，建立数学模型，发现规律。渗透“建模”思想。
2．过程与方法目标：
经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有依据、有条理地进行思考和推理的能力。
3．情感、态度与价值观目标：
通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。
【教学重点】
经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。
【教学难点】
理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
【教学准备】
多媒体课件、扑克牌、盒子、铅笔、书、练习纸。
【设计理念】
1．用具体的操作，将抽象变为直观。
“总有一个文具盒中至少放进2支铅笔”这句话对于学生而言，不仅说起来生涩拗口，而且抽象难以理解。怎样让学生理解这句话呢？我觉得要让学生充分的操作，一在具体操作中理解“总有”和“至少”，二在操作中理解“平均分”是保证“至少”的最好方法。通过操作，最直观地呈现“总有一个文具盒中至少放进2支铅笔”这种现象，让学生理解这句话。
2．充分发挥学生主动性，让学生在证明结论的过程中探究方法，总结规律。
学生是学习的主动者，特别是这种原理的初步认识，不应该是教师牵着学生手去认识，而是创造条件，让学生自己去探索，发现。所以我认为应该提出问题，让学生在具体的操作中来证明他们的结论是否正确，让学生初步经历“数学证明”的过程，逐步提高学生的逻辑思维能力。
3．适当把握教学要求。
我们的教学不同于民间的培优机构，因此在教学中不需要求学生说理的严密性，也不需要学生确定过于抽象的“抽屉”和“物体”。
【教学过程】
一、游戏激趣，初步体验。
在上课前，我们先热热身，一起玩抢椅子游戏好吗？谁愿意参加？请五位同学到前面来，这有四把椅子，老师说：开始！你们几个都要坐到椅子上。听明白了吗？好，开始。告诉老师他们坐下了吗？老师不用看，就知道一定有一把椅子上至少做了两名同学。对吗？假设请这五位同学再反复坐几次，老师还敢肯定地说，不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐了两个同学，你们相信吗？其实这里面蕴藏着一个非常有趣的数学原理——抽屉原理，这节课我们就一起来研究这个原理。
〖设计意图〗在课前进行的游戏激趣，使教师和学生进行自然的沟通交流，激发学生的兴趣，引起探究的愿望，为今天的探究埋下伏笔。
二、操作探究，发现规律。
（一）经历“抽屉原理”的探究过程，理解原理。
1．自主猜想，初步感知。（提出问题）
把4枝笔放进3个盒子中。不管怎么放，总有一个盒子里至少放进（ ）枝笔。让学生猜测“至少会是”几枝？
2．验证结论。
到底我们的猜测对不对呢？怎么样证明这种现象呢？下面，就需要自己动手去摆一摆，动脑去想一想，看看能不能证明我们这个猜想。把你们的验证结果和发现用自己喜欢的方式记录下来。学生以小组为单位进行操作和交流时，教师深入了解学生操作情况，找出列举所有情况的学生。
（1）第一种方法：列举法
学生汇报时，一说明列举的不同情况，二结合操作说明自己的结论。（教师枝据学生的回答板书所有的情况）
学生汇报完后，教师再利用枚举法的示意图，指出每种情况中都有几枝笔被放进了同一个盒子。
〖设计意图〗抽屉原理对于学生来说，比较抽象，特别是“总有一个盒子中至少放进2枝笔”这句话的理解。所以通过具体的操作，列举所有的情况后，引导学生直接关注到每种分法中数量最多的盒子，理解“总有一个盒子”以及“至少2枝”。让学生初步经历“数学证明”的过程，训练学生的逻辑思维能力。
第二种方法：假设法
不用一一列举，还有其它的方法来证明这个结论吗？
学生汇报了自己的方法后，教师围绕假设法，组织学生展开讨论：为什么每个盒子里都要放1枝笔呢？请相互之间讨论一下。
在讨论的基础上，教师小结：假如每个盒子放入一枝笔，剩下的一枝还要放进一个盒子里，无论放在哪个盒子里，一定能找到一个盒子里至少有2枝笔。只有平均分才能将笔尽可能的分散，保证“至少”的情况。
〖设计意图〗鼓励学生积极的自主探索，寻找不同的证明方法，在枚举法的基础上，学生意识到了要考虑最少的情况，从而引出假设法渗透平均分的思想。
（3）优化方法：初步观察规律。
教师继续提问：如果把 6枝笔放进5个盒子里，会怎么样呢？
（6枝笔放在5个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝笔。）
把7枝笔放进6个盒子里呢？
把8枝笔放进7个盒子里呢？
把9枝笔放进8个盒子里呢？……
……
100支铅笔放进99个文具盒呢？
教师引导学生进行比较：你发现什么？
（笔的枝数比盒子数多1，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝笔。）
师：你的发现和他一样吗？（一样）你们太了不起了！同桌互相说一遍。
〖设计意图〗：让学生在这个连续的过程中初步感知方法的优劣，发展了学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。
（二）进一步认识和理解“抽屉原理”。
1．数量积累，发现方法。
出示第70页做一做，让学生运用简单的抽屉原理解决问题。在说理的过程中重点关注“余下的2只鸽子”如何分配？让学生进行自主学习活动（独立思考 自主探究），然后汇报交流。
教师结合课件进行演示：
2．深入探究，寻找规律。
刚才是铅笔数比文具盒数多1枝的情况，现在鸽子数比鸽舍要多2只，为什么还是“至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里”？
〖设计意图〗：从余数1到余数2，让学生再次体会要保证“至少”必须尽量平均分，余下的数也要进行二次平均分。
3．发现规律，初步建模。
我们将笔、鸽子看做物体，盒子、鸽舍看做抽屉，观察物体数和抽屉数，你发现了什么规律？（学生用自己的语言描述，只要大概意思正确即可）
小结：只要物体数量比抽屉的数量多，总有一个抽屉至少放进2个物体。这就叫做抽屉原理。
〖设计意图〗：通过对不同具体情况的判断，初步建立“物体”、“抽屉”的模型，发现简单的抽屉原理。研究的问题来源于生活，还要还原到生活中去，所以请学生对课前的游戏的解释，也是一个建模的过程，让学生体会“抽屉”不一定是看得见，摸得着。
（三）应用“抽屉原理”，感受数学的魅力。
1．看有关抽屉原理资料，让学生感受古代数学文化。
“抽屉原理”又称“鸽巢原理”，最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”，这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。下面我们应用这一原理解决问题。
〖设计意图〗：让学生体会平常事中也有数学原理，有探究的成就感，激发对数学的热情。
2．抽屉原理的应用。
（1）出示71页的例2：把5本书放进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。如果一共有7本书呢？9本书呢？
（2）让学生独立思考、再小组内讨论：
A、该如何解决这个问题呢？
B、如何用一个式子表示呢？
C、你又发现了什么规律？
（3）汇报讨论结果，同时教师进行板书：
5÷2=2……1 2＋1=3（本）
7÷2=3……1 3＋1=4（本）
9÷2=4……1 4＋1=5（本）
（4）思考、讨论：总有一个抽屉至少放进的本数是“商＋1”还是“商＋余数”呢？为什么？
师让学生讨论得出正确的结论：总有一个抽屉至少放进的本数是“商＋1”。
〖设计意图〗：对规律的认识是循序渐进的。在初次发现规律的基础上，从“至少2个”得到“至少商+1个”的结论。
3．解决问题。
（1）如果我们用数学书的本数除以抽屉数，所得的余数不是1，该怎么办呢？请看下面的题目。教师出示课本71页的“做一做”：
8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么？
（2）在这道题中，可以把什么当作抽屉？可以把什么当作刚才的课本？让学生思考得出：
8只 8本
3个 3个
（3）学生独立完成解答。
〖设计意图〗：在这一环节的教学中教师抓住了假设法最核心的思路就是用“有余数除法”形式表示出来，使学生学生借助直观，很好的理解了如果把书尽量多地“平均分”给各个抽屉里，看每个抽屉里能分到多少本书，余下的书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里比平均分得的书的本数多1本。特别是对“某个抽屉至少有书的本数”是除法算式中的商加“1”，而不是商加“余数”，教师适时挑出针对性问题进行交流、讨论，使学生从本质上理解了“抽屉原理”。
（四）进一步应用原理解决问题。（游戏）
我这里有一副扑克牌，去掉了两张王牌，还剩52张，我请五位同学每人任意抽1张，听清要求，不要让别人看到你抽的是什么牌。请大家猜测一下，同种花色的至少有几张？为什么？（ 2张/因为5÷4=1……1）
教师可以先验证一下学生的猜测：举牌验证。
如有3张同花色的，符合你们的猜测吗？
如果9个人每一个人抽一张呢？（至少有3张牌是同一花色，因为9÷4=2…1）
〖设计意图〗：用游戏的形式激发学生的兴趣，用抽屉原理解决具体问题进行建模，让学生体会抽屉的形式是多种多样的。
三、巩固应用。
1．算一算。向东小学六年级共有370名学生，其中六（2）班有49名学生。请问下面两人说的对吗？为什么？
（1）六年级里至少有两人的生日是同一天。
（2）六（2）班中至少有5人是同一个月出生的。
2．说一说。张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？
〖设计意图〗：第1题是“抽屉原理”的典型例子。其中“370名学生中一定有两人的生日是同一天”与例1中的“抽屉原理”是一类，“49名学生中一定有5人的出生月份相同”则与例2的类型相同。教师要引导学生把“生日问题”转化成“抽屉问题”。因为一年中最多有366天，如果把这366天看作366个抽屉，把370个学生放进366个抽屉，人数大于抽屉数，因此总有一个抽屉里至少有两个人，即他们的生日是同一天。而一年中有12个月，如果把这12个月看作12个抽屉，把49个学生放进12个抽屉，49÷12＝4……1，因此，总有一个抽屉里至少有5（即4＋1）个人，也就是他们的生日在同一个月。
四、全课小结。
说一说：今天这节课，你有什么收获？
（师生共同对本节课的内容进行小结）
五、课外作业。
1．课本73页练习十二第2、4题。
2．课后思考：从1、2、3……100，这100个连续自然数中，任意取出51个不相同的数，其中必有两个数互质，这是为什么呢？
六、板书设计
数学广角——抽屉原理
物体数÷抽屉数=商……余数 至少数 =商＋1
5 ÷ 2 =2……1 3 =2＋1
7 ÷ 2 =3……1 4 =3＋1
9 ÷ 2 =4……1 5 =4＋1
8 ÷ 3 =2……2 3 =2＋1
370÷365 =1……5 2 =1＋1
49÷12 =4……1 5 =4＋1
〖设计意图〗：这样的板书设计是在教学过程中动态生成的，按讲思路来安
排的，力求简洁精练。这样设计便于学生对本课知识的理解与记忆，突出了的教学重点，使板书真正起到画龙点睛的作用。
【教学目标】
1．知识与能力目标：
经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，建立数学模型，发现规律。渗透“建模”思想。
2．过程与方法目标：
经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有依据、有条理地进行思考和推理的能力。
3．情感、态度与价值观目标：
通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。
【教学重点】
经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。
【教学难点】
理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
【教学准备】
多媒体课件、扑克牌、盒子、铅笔、书、练习纸。
【设计理念】
1．用具体的操作，将抽象变为直观。
“总有一个文具盒中至少放进2支铅笔”这句话对于学生而言，不仅说起来生涩拗口，而且抽象难以理解。怎样让学生理解这句话呢？我觉得要让学生充分的操作，一在具体操作中理解“总有”和“至少”，二在操作中理解“平均分”是保证“至少”的最好方法。通过操作，最直观地呈现“总有一个文具盒中至少放进2支铅笔”这种现象，让学生理解这句话。
2．充分发挥学生主动性，让学生在证明结论的过程中探究方法，总结规律。
学生是学习的主动者，特别是这种原理的初步认识，不应该是教师牵着学生手去认识，而是创造条件，让学生自己去探索，发现。所以我认为应该提出问题，让学生在具体的操作中来证明他们的结论是否正确，让学生初步经历“数学证明”的过程，逐步提高学生的逻辑思维能力。
3．适当把握教学要求。
我们的教学不同于民间的培优机构，因此在教学中不需要求学生说理的严密性，也不需要学生确定过于抽象的“抽屉”和“物体”。
【教学过程】
一、游戏激趣，初步体验。
在上课前，我们先热热身，一起玩抢椅子游戏好吗？谁愿意参加？请五位同学到前面来，这有四把椅子，老师说：开始！你们几个都要坐到椅子上。听明白了吗？好，开始。告诉老师他们坐下了吗？老师不用看，就知道一定有一把椅子上至少做了两名同学。对吗？假设请这五位同学再反复坐几次，老师还敢肯定地说，不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐了两个同学，你们相信吗？其实这里面蕴藏着一个非常有趣的数学原理——抽屉原理，这节课我们就一起来研究这个原理。
〖设计意图〗在课前进行的游戏激趣，使教师和学生进行自然的沟通交流，激发学生的兴趣，引起探究的愿望，为今天的探究埋下伏笔。
二、操作探究，发现规律。
（一）经历“抽屉原理”的探究过程，理解原理。
1．自主猜想，初步感知。（提出问题）
把4枝笔放进3个盒子中。不管怎么放，总有一个盒子里至少放进（ ）枝笔。让学生猜测“至少会是”几枝？
2．验证结论。
到底我们的猜测对不对呢？怎么样证明这种现象呢？下面，就需要自己动手去摆一摆，动脑去想一想，看看能不能证明我们这个猜想。把你们的验证结果和发现用自己喜欢的方式记录下来。学生以小组为单位进行操作和交流时，教师深入了解学生操作情况，找出列举所有情况的学生。
（1）第一种方法：列举法
学生汇报时，一说明列举的不同情况，二结合操作说明自己的结论。（教师枝据学生的回答板书所有的情况）
学生汇报完后，教师再利用枚举法的示意图，指出每种情况中都有几枝笔被放进了同一个盒子。
〖设计意图〗抽屉原理对于学生来说，比较抽象，特别是“总有一个盒子中至少放进2枝笔”这句话的理解。所以通过具体的操作，列举所有的情况后，引导学生直接关注到每种分法中数量最多的盒子，理解“总有一个盒子”以及“至少2枝”。让学生初步经历“数学证明”的过程，训练学生的逻辑思维能力。
第二种方法：假设法
不用一一列举，还有其它的方法来证明这个结论吗？
学生汇报了自己的方法后，教师围绕假设法，组织学生展开讨论：为什么每个盒子里都要放1枝笔呢？请相互之间讨论一下。
在讨论的基础上，教师小结：假如每个盒子放入一枝笔，剩下的一枝还要放进一个盒子里，无论放在哪个盒子里，一定能找到一个盒子里至少有2枝笔。只有平均分才能将笔尽可能的分散，保证“至少”的情况。
〖设计意图〗鼓励学生积极的自主探索，寻找不同的证明方法，在枚举法的基础上，学生意识到了要考虑最少的情况，从而引出假设法渗透平均分的思想。
（3）优化方法：初步观察规律。
教师继续提问：如果把 6枝笔放进5个盒子里，会怎么样呢？
（6枝笔放在5个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝笔。）
把7枝笔放进6个盒子里呢？
把8枝笔放进7个盒子里呢？
把9枝笔放进8个盒子里呢？……
……
100支铅笔放进99个文具盒呢？
教师引导学生进行比较：你发现什么？
（笔的枝数比盒子数多1，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝笔。）
师：你的发现和他一样吗？（一样）你们太了不起了！同桌互相说一遍。
〖设计意图〗：让学生在这个连续的过程中初步感知方法的优劣，发展了学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。
（二）进一步认识和理解“抽屉原理”。
1．数量积累，发现方法。
出示第70页做一做，让学生运用简单的抽屉原理解决问题。在说理的过程中重点关注“余下的2只鸽子”如何分配？让学生进行自主学习活动（独立思考 自主探究），然后汇报交流。
教师结合课件进行演示：
2．深入探究，寻找规律。
刚才是铅笔数比文具盒数多1枝的情况，现在鸽子数比鸽舍要多2只，为什么还是“至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里”？
〖设计意图〗：从余数1到余数2，让学生再次体会要保证“至少”必须尽量平均分，余下的数也要进行二次平均分。
3．发现规律，初步建模。
我们将笔、鸽子看做物体，盒子、鸽舍看做抽屉，观察物体数和抽屉数，你发现了什么规律？（学生用自己的语言描述，只要大概意思正确即可）
小结：只要物体数量比抽屉的数量多，总有一个抽屉至少放进2个物体。这就叫做抽屉原理。
〖设计意图〗：通过对不同具体情况的判断，初步建立“物体”、“抽屉”的模型，发现简单的抽屉原理。研究的问题来源于生活，还要还原到生活中去，所以请学生对课前的游戏的解释，也是一个建模的过程，让学生体会“抽屉”不一定是看得见，摸得着。
（三）应用“抽屉原理”，感受数学的魅力。
1．看有关抽屉原理资料，让学生感受古代数学文化。
“抽屉原理”又称“鸽巢原理”，最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”，这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。下面我们应用这一原理解决问题。
〖设计意图〗：让学生体会平常事中也有数学原理，有探究的成就感，激发对数学的热情。
2．抽屉原理的应用。
（1）出示71页的例2：把5本书放进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。如果一共有7本书呢？9本书呢？
（2）让学生独立思考、再小组内讨论：
A、该如何解决这个问题呢？
B、如何用一个式子表示呢？
C、你又发现了什么规律？
（3）汇报讨论结果，同时教师进行板书：
5÷2=2……1 2＋1=3（本）
7÷2=3……1 3＋1=4（本）
9÷2=4……1 4＋1=5（本）
（4）思考、讨论：总有一个抽屉至少放进的本数是“商＋1”还是“商＋余数”呢？为什么？
师让学生讨论得出正确的结论：总有一个抽屉至少放进的本数是“商＋1”。
〖设计意图〗：对规律的认识是循序渐进的。在初次发现规律的基础上，从“至少2个”得到“至少商+1个”的结论。
3．解决问题。
（1）如果我们用数学书的本数除以抽屉数，所得的余数不是1，该怎么办呢？请看下面的题目。教师出示课本71页的“做一做”：
8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么？
（2）在这道题中，可以把什么当作抽屉？可以把什么当作刚才的课本？让学生思考得出：
8只 8本
3个 3个
（3）学生独立完成解答。
〖设计意图〗：在这一环节的教学中教师抓住了假设法最核心的思路就是用“有余数除法”形式表示出来，使学生学生借助直观，很好的理解了如果把书尽量多地“平均分”给各个抽屉里，看每个抽屉里能分到多少本书，余下的书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里比平均分得的书的本数多1本。特别是对“某个抽屉至少有书的本数”是除法算式中的商加“1”，而不是商加“余数”，教师适时挑出针对性问题进行交流、讨论，使学生从本质上理解了“抽屉原理”。
（四）进一步应用原理解决问题。（游戏）
我这里有一副扑克牌，去掉了两张王牌，还剩52张，我请五位同学每人任意抽1张，听清要求，不要让别人看到你抽的是什么牌。请大家猜测一下，同种花色的至少有几张？为什么？（ 2张/因为5÷4=1……1）
教师可以先验证一下学生的猜测：举牌验证。
如有3张同花色的，符合你们的猜测吗？
如果9个人每一个人抽一张呢？（至少有3张牌是同一花色，因为9÷4=2…1）
〖设计意图〗：用游戏的形式激发学生的兴趣，用抽屉原理解决具体问题进行建模，让学生体会抽屉的形式是多种多样的。
三、巩固应用。
1．算一算。向东小学六年级共有370名学生，其中六（2）班有49名学生。请问下面两人说的对吗？为什么？
（1）六年级里至少有两人的生日是同一天。
（2）六（2）班中至少有5人是同一个月出生的。
2．说一说。张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？
〖设计意图〗：第1题是“抽屉原理”的典型例子。其中“370名学生中一定有两人的生日是同一天”与例1中的“抽屉原理”是一类，“49名学生中一定有5人的出生月份相同”则与例2的类型相同。教师要引导学生把“生日问题”转化成“抽屉问题”。因为一年中最多有366天，如果把这366天看作366个抽屉，把370个学生放进366个抽屉，人数大于抽屉数，因此总有一个抽屉里至少有两个人，即他们的生日是同一天。而一年中有12个月，如果把这12个月看作12个抽屉，把49个学生放进12个抽屉，49÷12＝4……1，因此，总有一个抽屉里至少有5（即4＋1）个人，也就是他们的生日在同一个月。
四、全课小结。
说一说：今天这节课，你有什么收获？
（师生共同对本节课的内容进行小结）
五、课外作业。
1．课本73页练习十二第2、4题。
2．课后思考：从1、2、3……100，这100个连续自然数中，任意取出51个不相同的数，其中必有两个数互质，这是为什么呢？
六、板书设计
数学广角——抽屉原理
物体数÷抽屉数=商……余数 至少数 =商＋1
5 ÷ 2 =2……1 3 =2＋1
7 ÷ 2 =3……1 4 =3＋1
9 ÷ 2 =4……1 5 =4＋1
8 ÷ 3 =2……2 3 =2＋1
370÷365 =1……5 2 =1＋1
49÷12 =4……1 5 =4＋1
〖设计意图〗：这样的板书设计是在教学过程中动态生成的，按讲思路来安
排的，力求简洁精练。这样设计便于学生对本课知识的理解与记忆，突出了的教学重点，使板书真正起到画龙点睛的作用。