2019-2020学年江西省赣州市高二下学期期末数学试卷（文科） （Word解析版）

2019-2020学年江西省赣州市高二第二学期期末数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|y＝ln（1﹣x）}，则A∩B＝（　　）
A．[0，1] B．[0，1） C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）
2．i为虚数单位，若（1+i）z＝1﹣i，则复数z的共轭复数z虚部是（　　）
A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i
3．设a＝log410，b＝log827，c＝，则实数a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．a＜c＜b
4．若函数y＝x2﹣3x﹣4的区间（m﹣3，2m）上为减函数，则实数m的取值范围是（　　）
A．[，+∞） B．（﹣∞，] C．（﹣3，] D．[，+∞）
5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：
广告费x 3 4 5 6 7
销售额y 32 42 50 58 68
由表中可得回归方程为＝8.8x﹣，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（　　）
A．93.6 B．94.8 C．94.4 D．94
7．曲线y＝（2x﹣1）2+lnx在点（1，1）处的切线方程为（　　）
A．y＝5x﹣4 B．y＝3x﹣2 C．y＝13x﹣12 D．y＝9x﹣8
8．已知f（x）＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．{a|2≤a＜10} B．{a|1＜a≤2} C．{a|1＜a＜10} D．{a|﹣＜10}
9．对于一个数的三次方，我们可以分解为若干个数字的和如下所示：
13＝1，
23＝3+5，
33＝7+9+11，
43＝13+15+17+19，…
根据上述规律，183的分解式中，等号右边的所有数的个位数之和为（　　）
A．88 B．92 C．96 D．100
10．定义在R上的偶函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，且f（﹣2）＝2，则不等式f（logx）＞2的解集为（　　）
A．（﹣∞，）∪（4，+∞） B．（0，）∪（2，+∞）
C．（0，）∪（，+∞） D．（0，）∪（4，+∞）
11．已知函数f（x）＝kx，g（x）＝，若关于x的方程f（x）＝g（x）在区间[1，2]内有两个不同实数解，则实数k的取值范围是（　　）
A．[0，） B．（，] C．[，） D．[，）
12．已知函数f（x）（x∈R）满足f（3）＝4，且f（x）的导函数f′（x）＜1，则不等式f（x2﹣1）＜x2的解集为（　　）
A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣，） D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝3x2+2xf′（2），则f′（2）＝　 　．
14．若函数y＝f（x）的定义域是[，2]，则函数y＝f（2x）的定义域为　 　．
15．口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次仍取得红球的概率为　 　．
16．给出下列命题：
①命题“?x∈R，x2﹣x≤0”的非命题是“?x∈R，x2﹣x＞0”；
②命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”的逆否命题是真命题；
③命题“若a＝﹣1，则函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题是真命题；
④命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件；
⑤若n组数据（x1，y1），…，（xn，yn）的散点都在y＝﹣2x+1上，则相关系数γ＝﹣1．
其中是真命题的有　 　．（把你认为正确的命题序号都填上）
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤.）
17．设命题p：对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3＞m+2恒成立；
命题q：关于实数x的方程x2+ax+1＝0有两个不等的负根．
（1）若p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p或q”为真命题、“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
18．2020年江西省旅游产业发展大会于6月12日至6月13日在赣州顺利召开．为让广学生子解赣州旅游文化，赣州市旅游局在赣州市各中小学校开展“赣州市旅游知识网络竞赛”活动．为了更好地分析中学生和小学生对赣州市旅游知识掌握情况，将中学组和小学组的所有参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图．
（1）若将一般和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的2x2列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？
优秀 合格 合计
中学组


小学组


合计


注：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.005
k0 2.706 3.841 7.879
（2）若某县参赛选手共80人，用频率估计概率，试估计该县参赛选手中优秀等级的人数；
（3）如果在优秀等级的选手中取3名，在良好等级的选手中取2名，再从这5人中任选3人组成一个比赛团队，求所选团队中恰有2名选手的等级为优秀的概率．
19．已知函数f（x）＝（）x，函数g（x）＝log2x．
（1）若g（mx2+2x+m）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[﹣1，1]时，函数y＝[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值为1，求实数a的值．
20．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点P（﹣3，2），且倾斜角为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝4﹣4ρcosθ+2ρsinθ．
（1）写出直线l的参数方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且弦AB的中点为D，求PD的长度．
21．设函数f（x）＝|x﹣1|+2|x+1|．
（1）求不等式f（x）＜4的解集；
（2）若函数f（x）最小值为m，设a，b∈R，且a2+b2＝m，求的最小值．
22．已知函数g（x）＝，f（x）＝g（x）﹣ax．
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|y＝ln（1﹣x）}，则A∩B＝（　　）
A．[0，1] B．[0，1） C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）
【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．
解：∵集合A＝{x|y＝}＝{x|0≤x≤1}，
B＝{x|y＝ln（1﹣x）}＝{x|x＜1}，
故选：B．
2．i为虚数单位，若（1+i）z＝1﹣i，则复数z的共轭复数z虚部是（　　）
A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的共轭复数得答案．
解：由（1+i）z＝1﹣i，得z＝，
∴，
故选：A．
3．设a＝log410，b＝log827，c＝，则实数a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．a＜c＜b
【分析】根据换底公式可以得出，从而得出a＞b，而可以得出c＞2，a＜2，从而可得出a，b，c的大小关系．
解：，b＝log827＝log25；
∴a＞b；
∴b＜a＜c．
故选：C．
4．若函数y＝x2﹣3x﹣4的区间（m﹣3，2m）上为减函数，则实数m的取值范围是（　　）
A．[，+∞） B．（﹣∞，] C．（﹣3，] D．[，+∞）
【分析】利用函数的单调性和对称轴之间的关系，确定区间和对称轴的位置，从而建立不等式关系，进行求解即可．
解：f（x）＝x2﹣3x﹣4的对称轴为x＝，
函数f（x）在（﹣∞，]上单调递减，
则2m≤?m≤，m﹣3＜2m，m＞﹣3，
故选：C．
5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算累加并输出满足条件S≤0时的k值，模拟程序的运行结果，即可得到答案．
解：模拟程序的运行，可得
k＝0，S＝200
满足条件S＞0，执行循环体，S＝196，k＝2
满足条件S＞0，执行循环体，S＝160，k＝4
满足条件S＞0，执行循环体，S＝﹣164，k＝6
故选：B．
6．广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：
广告费x 3 4 5 6 7
销售额y 32 42 50 58 68
由表中可得回归方程为＝8.8x﹣，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（　　）
A．93.6 B．94.8 C．94.4 D．94
【分析】由表中数据计算、，代入回归方程求得的值，写出回归方程，利用回归方程计算x＝10时的值即可．
解：由表中数据，计算＝×（3+4+5+4+7）＝5，
＝×（32+42+50+58+68）＝50；
计算＝8.6×5﹣50＝﹣6，
当x＝10时，＝8.8×10+6＝94，
故选：D．
7．曲线y＝（2x﹣1）2+lnx在点（1，1）处的切线方程为（　　）
A．y＝5x﹣4 B．y＝3x﹣2 C．y＝13x﹣12 D．y＝9x﹣8
【分析】本题先求出曲线方程的导数，然后计算出f′（1）的值，即曲线在点（1，1）处的切线斜率，再根据切线方程进行计算即可得到正确选项．
解：由题意，可知
f′（x）＝4（2x﹣1）+，
∴曲线在点（1，8）处的切线方程为y﹣1＝5（x﹣1），即y＝5x﹣4．
故选：A．
8．已知f（x）＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．{a|2≤a＜10} B．{a|1＜a≤2} C．{a|1＜a＜10} D．{a|﹣＜10}
【分析】根据题意，由函数的单调性的定义分析可得，解可得a的取值范围，即可得答案．
解：根据题意，f（x）＝是R上的增函数，
必有，解可得2≤a＜10，
故选：A．
9．对于一个数的三次方，我们可以分解为若干个数字的和如下所示：
13＝1，
23＝3+5，
33＝7+9+11，
43＝13+15+17+19，…
根据上述规律，183的分解式中，等号右边的所有数的个位数之和为（　　）
A．88 B．92 C．96 D．100
【分析】观察可知，等号的右边为数列{2n﹣1}中的数，故在183之前，已经使用了＝153个数，故183＝307+309+…+341，计算可得所有数的个位数之和．
解：观察可知，等号的右边为数列{2n﹣1}中的数，
故在183之前，已经使用了＝153个数，
故183＝307+309+…+341，
故所有数的个位数之和为92．
故选：B．
10．定义在R上的偶函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，且f（﹣2）＝2，则不等式f（logx）＞2的解集为（　　）
A．（﹣∞，）∪（4，+∞） B．（0，）∪（2，+∞）
C．（0，）∪（，+∞） D．（0，）∪（4，+∞）
【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行等价转化，结合对数不等式的解法进行求解即可．
解：∵偶函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，且f（﹣2）＝2，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（2）＝2，
即|logx|＞2，得logx＞2或logx＜﹣2，
得log2x＜﹣2或log3x＞2，
即不等式的解集为（0，）∪（4，+∞），
故选：D．
11．已知函数f（x）＝kx，g（x）＝，若关于x的方程f（x）＝g（x）在区间[1，2]内有两个不同实数解，则实数k的取值范围是（　　）
A．[0，） B．（，] C．[，） D．[，）
【分析】令 ，x∈[1，2]，将题意转化为h（x）在[1，2]内的图象与直线 y＝k 有两个交点，利用导数求出函数h（x）的单调性及极值，进而画出函数h（x）的草图，再数形结合分析即可得答案．
解：由 f（x）＝g（x） 知 ，则 ，令 ，x∈[1，2]，
因为方程 f（x）＝g（x） 在区间[2，2]内有两个不同的实数解，
∴，
当 时，h（x） 取最大值 ，
因为h（5）＞h（1），
数形结合易知，当k∈时，h（x） 与直线 y＝k 有两个交点．
故选：C．
12．已知函数f（x）（x∈R）满足f（3）＝4，且f（x）的导函数f′（x）＜1，则不等式f（x2﹣1）＜x2的解集为（　　）
A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣，） D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）
【分析】构造函数g（x）＝f（x）﹣x，求导后可证得g（x）在R上单调递减；原不等式可转化为f（x2﹣1）﹣（x2﹣1）＜f（3）﹣3，即g（x2﹣1）＜g（3），于是有x2﹣1＞3，解之即可．
解：令g（x）＝f（x）﹣x，则g'（x）＝f'（x）﹣1＜0，
∴g（x）在R上单调递减．
∴不等式f（x2﹣6）＜x2可等价于f（x2﹣1）﹣（x2﹣1）＜1＝f（3）﹣3，
∴x2﹣1＞3，解得x＞2或x＜﹣2，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝3x2+2xf′（2），则f′（2）＝　﹣12　．
【分析】将f′（2）看出常数利用导数的运算法则求出f′（x），然后将x＝2代入即可．
解：f′（x）＝6x+2f′（2），
当x＝2得f′（2）＝12+5f′（2），
故答案为：﹣12．
14．若函数y＝f（x）的定义域是[，2]，则函数y＝f（2x）的定义域为　[﹣1，1]　．
【分析】根据复合函数定义域之间的关系，解不等式即可得到结论．
解：由≤2x≤2，解得﹣1≤x≤6，
故函数的定义域为[﹣1，1]；
故答案为：[﹣1，1]；
15．口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次仍取得红球的概率为　　．
【分析】甲从中不放回的逐一取球，设事件A表示“第一次取得红球”，事件B表示“第二次取得红球”，求出P（A）＝，P（AB）＝，由此能求出在第一次取得红球的条件下，第二次仍取得红球的概率．
解：口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，
甲从中不放回的逐一取球，
P（A）＝＝，P（AB）＝＝，
P（B|A）＝＝＝．
故答案为：．
16．给出下列命题：
①命题“?x∈R，x2﹣x≤0”的非命题是“?x∈R，x2﹣x＞0”；
②命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”的逆否命题是真命题；
③命题“若a＝﹣1，则函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题是真命题；
④命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件；
⑤若n组数据（x1，y1），…，（xn，yn）的散点都在y＝﹣2x+1上，则相关系数γ＝﹣1．
其中是真命题的有　①②⑤　．（把你认为正确的命题序号都填上）
【分析】根据四种命题的相互转化即真假判断
解：①命题“?x∈R，x2﹣x≤0”的非命题是“?x∈R，x6﹣x＞0”；正确
②命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠7”的逆否命题是”已知x，y∈R，若x＝2且y＝1，则x+y＝3“正确
③命题“若a＝﹣1，则函数f（x）＝ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题是“若函数f（x）＝ax8+2x﹣1只有一个零点，则a＝﹣1”a有可能是零，不正确
④命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件．不正确
⑤若n组数据（x7，y1），…，（xn，yn）的散点都在y＝﹣2x+1上，则x，y成负相关相关系数γ＝﹣1，正确
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤.）
17．设命题p：对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3＞m+2恒成立；
命题q：关于实数x的方程x2+ax+1＝0有两个不等的负根．
（1）若p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p或q”为真命题、“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
【分析】（1）求出m+2的最大值3，把不等式a2﹣5a﹣3＞m+2恒成立转化为关于a的一元二次不等式求解；
（2）求出方程x2+ax+1＝0有两个不等的负根的a的范围，再由题意可得p与q一真一假．分类取交集，再取并集得答案．
解：（1）命题p：对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3＞m+2恒成立，
∵m∈[﹣1，7]，∴m+2∈[1，3]．
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（6，+∞）；
若q为真，则，解得a＞2．
若p真q假，则，得a＜﹣1；
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，6]．
18．2020年江西省旅游产业发展大会于6月12日至6月13日在赣州顺利召开．为让广学生子解赣州旅游文化，赣州市旅游局在赣州市各中小学校开展“赣州市旅游知识网络竞赛”活动．为了更好地分析中学生和小学生对赣州市旅游知识掌握情况，将中学组和小学组的所有参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图．
（1）若将一般和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的2x2列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？
优秀 合格 合计
中学组


小学组


合计


注：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.005
k0 2.706 3.841 7.879
（2）若某县参赛选手共80人，用频率估计概率，试估计该县参赛选手中优秀等级的人数；
（3）如果在优秀等级的选手中取3名，在良好等级的选手中取2名，再从这5人中任选3人组成一个比赛团队，求所选团队中恰有2名选手的等级为优秀的概率．
【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．
（2）由已知条件估算出选手中成绩“优秀”的概率，从而得到80名参赛选手中，优秀等级的选手人数；
（3）由题意可知5人中任选3人有种选法，有2名选手的等级为优秀的选法有，再利用古典概型的概率公式即可算出结果．
解：（1）由条形图可知2×2列联表如下：
优秀 合格 合计
中学组 45 10 55
小学组 30 15 45
合计 75 25 100
所以K2＝≈6.030＜3.841，
所以没有95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关；
故选手中成绩“优秀”的概率为＝，
（2）在优秀等级的选手中取3名，在良好等级的选手中取2名，再从这5人中任选3人组成一个比赛团队，有种选法，
所以所选团队中恰有2名选手的等级为优秀的概率P＝＝，
19．已知函数f（x）＝（）x，函数g（x）＝log2x．
（1）若g（mx2+2x+m）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[﹣1，1]时，函数y＝[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值为1，求实数a的值．
【分析】（1）由mx2+2x+m恒成立，得关于m的不等式组，求解得答案；
（2）令t＝，t∈[，2]，可得y＝（t﹣a）2+3﹣a2，t∈[，2]，根据二次函数的定义域和对称轴的关系分类讨论求最小值，进一步求得实数a的值．
解：（1）g（mx2+2x+m）＝log2（mx2+2x+m），
∵g（mx2+2x+m）的定义域为R，
当m＝0时，不符合，
∴实数m的取值范围为（1，+∞）；
则函数y＝[f（x）]6﹣2af（x）+3化为y＝t2﹣2at+3＝（t﹣a）5+3﹣a2，t∈[，2]．
①当a＞2时，
可得当t＝7时y取最小值，且ymin＝y（2）＝7﹣4a，
②当≤a≤2时，
由3﹣a2＝1，得a＝﹣（舍）或a＝；
③a＜时，
可得当t＝时y取最小值，且ymin＝y（）＝，
综上，a＝．
20．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点P（﹣3，2），且倾斜角为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝4﹣4ρcosθ+2ρsinθ．
（1）写出直线l的参数方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且弦AB的中点为D，求PD的长度．
【分析】（1）由已知直接写出直线l的参数方程，由ρ2＝4﹣4ρcosθ+2ρsinθ，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程；
（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得到关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及参数t的几何意义求解PD的长度．
解：（1）∵直线l过点P（﹣3，2），且倾斜角为，
∴直线l的参数方程为，即（t为参数）．
得x2+y2＝4﹣4x+2y，
（3）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2＝﹣7，
由参数t的几何意义可得：|PD|＝||＝．
21．设函数f（x）＝|x﹣1|+2|x+1|．
（1）求不等式f（x）＜4的解集；
（2）若函数f（x）最小值为m，设a，b∈R，且a2+b2＝m，求的最小值．
【分析】（1）直接利用零点讨论法的应用求出分段函数的关系式，进一步求出不等式的解集．
（2）利用（1）的结论，进一步利用基本不等式和的应用求出结果．
解：函数f（x）＝|x﹣1|+2|x+1|．
所以f（x）＝，
①当x≤﹣1时，﹣5x﹣1＜4，解得x，故．
②当﹣1＜x＜1时，x+3＜4，解得x＜1，故﹣3＜x＜1．
③当x≥1时，3x+1＜4，解得x＜1，故为?．
（2）根据（6）得，当x＝﹣1时，f（x）min＝2，
所以＝＝＝，当且仅当b＝±2a时，等号成立．
22．已知函数g（x）＝，f（x）＝g（x）﹣ax．
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值．
【分析】（Ⅰ）由函数g′（x）＝，得当g′（x）＞0时，x＞e，当g′（x）＜0时，0＜x＜1，1＜x＜e，从而g（x）在（0，1），（1，e）递减，在（e，+∞）递增，
（Ⅱ）由f′（x）＝﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，得x∈（1，+∞）时，f′（x）max≤0，从而f′（x）＝﹣+﹣a，故当＝，即x＝e2时，f′（x）max＝﹣a，得﹣a≤0，于是a≥，故a的最小值为．
解：（Ⅰ）由已知函数g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），
且f（x）＝﹣ax（a＞0），定义域为（0，1）∪（2，+∞），
当g′（x）＞0时，x＞e，当g′（x）＜0时，0＜x＜1，7＜x＜e，
（Ⅱ）∵f（x）在（1，+∞）递减，
∴x∈（1，+∞）时，f′（x）max≤0，
∴当＝，即x＝e2时，f′（x）max＝﹣a，
故a的最小值为．