2019-2020学年上海市宝山区通河中学高二下学期期中数学试卷 （Word解析版）

2019-2020学年上海宝山区通河中学高二第二学期期中数学试卷
一、填空题（共12小题）.
1．已知虚数z满足2z﹣＝1+6i，则|z|＝　 　．
2．直线l1：（a+3）x+y﹣3＝0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4＝0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a＝　 　．
3．方程kx2+4y2＝4k表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是　 　．
4．直线l：y＝ax+2和A（1，4），B（3，1）两点，若直线l与线段AB相交，则实数a的取值范围为　 　．
5．过点A（﹣2，）与直线x﹣y+5＝0成的直线方程　 　．
6．圆x2+y2﹣2x﹣1＝0关于直线2x﹣y+3＝0对称的圆的方程是　 　．
7．设数列{an}的前n项和Sn，若a1＝﹣1，Sn＝0（n∈N*），则{an}的通项公式为　 　．
8．若直线l过点P（1，2）且与点A（﹣1，2），B（3，0）两点距离相等，则直线l方程为　 　．
9．若抛物线y2＝（m＞0）的焦点在圆x2+y2＝1外，则实数m的取值范围是　 　．
10．设无穷等比数列{an}的公比为q．若，则q＝　 　．
11．若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z|的取值范围为　 　．
12．已知平面向量、、满足，且，，则的最大值是　 　．
二．选择题（共4小题）.
13．椭圆上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O是椭圆中心，则|ON|的值是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．
14．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B．y＝±2x C． D．
15．在△ABC中，若M是线段BC的中点，点P在线段AM上，满足：|AM|＝1，，则等于（　　）
A． B． C． D．
16．点P是△ABC内一点且满足，则△PBC，△PAC，△PAB的面积比为（　　）
A．4：3：2 B．2：3：4 C．1：1：1 D．3：4：6
三．解答题
17．已知||＝1，?＝，（+）?（﹣）＝，求：
（1）与的夹角；
（2）+与﹣的夹角的余弦值．
18．（1）求以（1，2）为圆心，且与直线4x+3y﹣35＝0相切的圆的方程．
（2）经过直线2x﹣y+3＝0与圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的两个交点，且面积最小的圆的方程．
19．已知直线y＝kx+1与双曲线3x2﹣y2＝1有A、B两个不同的交点．
（1）如果以AB为直径的圆恰好过原点O，试求k的值；
（2）是否存在k，使得两个不同的交点A、B关于直线y＝2x对称？试述理由．
20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）设直线y＝kx+1与C交于A，B两点．k为何值时⊥？此时的值是多少？．
21．（18分）如图，在y轴的正半轴上依次有点A1，A2，…An，…，其中点A1（0，1）、A2（0，10）且|An﹣1An|＝3|AnAn+1|（n＝2，3，4，…），在射线y＝x（x≥0）上一次有点B1，B2，…Bn，…，点B1（3，3），且（n＝2，3，4，…）．
（1）求点An、Bn的坐标（用含n的式子表示）．
（2）设四边形AnBnBn+1An+1的面积为Sn，解答下列问题：
①求数列{Sn}的通项公式；
②问{Sn}中是否存在连续的三项Sn，Sn+1，Sn+2（n∈N*）恰好成等差数列？若存在，求出所有这样的三项；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．填空题（共12题，满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分．）
1．已知虚数z满足2z﹣＝1+6i，则|z|＝　　．
【分析】设出复数，写出复数对应的共轭复数的式子，把设出的结果代入等式中，合并同类项，写成复数的标准形式，利用复数的相等的充要条件，写出a和b的值，得到结果．
解：设z＝a+bi，则＝a﹣bi，
∵虚数z满足2z﹣＝1+6i，
∴a+2bi＝1+6i，
∴a＝1，b＝2，
故答案为：
2．直线l1：（a+3）x+y﹣3＝0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4＝0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a＝　﹣2　．
【分析】先分别求出两直线的方向向量，然后根据l1的方向向量是l2的法向量，则两直线的方向向量垂直，最后根据互相垂直的向量的数量积为0，从而求出所求．
解：∵直线l1：（a+3）x+y﹣3＝4与直线l2：5x+（a﹣3）y+4＝0，
∴直线l1的方向向量为＝（1，﹣（a+3）），
∵l4的方向向量是l2的法向量，
∴实数a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
3．方程kx2+4y2＝4k表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是　（0，4）　．
【分析】将方程化为标准方程，由焦点在x轴上可得k的取值范围．
解：方程化简为：+＝1，由于椭圆的焦点在x轴上，所以k∈（0，3），
故答案为：（0，4）．
4．直线l：y＝ax+2和A（1，4），B（3，1）两点，若直线l与线段AB相交，则实数a的取值范围为　　．
【分析】直线l：y＝ax+2过定点P（0，2），由题意画出图形，求出PA、PB所在直线当斜率，则实数a的取值范围可求．
解：直线l：y＝ax+2过定点P（0，2），A（1，4），B（8，1）．
如图：
，．
故答案为：[﹣，2]．
5．过点A（﹣2，）与直线x﹣y+5＝0成的直线方程　x+2＝0或x+y﹣1＝0　．
【分析】由已知直线的斜率为，知其倾斜角为，从而推出所求直线的斜率为﹣或不存在，然后分两种情形写出直线方程即可．
解：直线x﹣y+5＝0的斜率为，倾斜角为，
因为所求直线与该直线的夹角为，
当斜率为﹣时，直线方程为y﹣＝﹣（x+2），即x+y﹣1＝6；
所以所求直线的方程为x+2＝0或x+y﹣1＝4．
故答案为：x+2＝0或x+y﹣1＝6．
6．圆x2+y2﹣2x﹣1＝0关于直线2x﹣y+3＝0对称的圆的方程是　（x+3）2+（y﹣2）2＝2　．
【分析】圆x2+y2﹣2x﹣1＝0，化为标准方程，求出圆心与半径，求出已知圆的圆心关于直线2x﹣y+3＝0对称的圆的圆心，即可得到所求结果．
解：圆x2+y2﹣2x﹣1＝0，化为标准方程为（x﹣4）2+y2＝2，圆心为（1，0），半径为．
设（1，0）关于直线2x﹣y+3＝5对称的点为：（a，b）
因为圆的半径为：
故答案为：（x+3）5+（y﹣2）2＝2．
7．设数列{an}的前n项和Sn，若a1＝﹣1，Sn＝0（n∈N*），则{an}的通项公式为　an＝　．
【分析】n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，化为：an+1＝3an．n＝1时，﹣1＝a1＝a2，解得a2＝﹣2．不满足上式．利用等比数列的通项公式即可得出．
解：n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝an+1﹣，化为：an+1＝3an．
n＝1时，﹣1＝a1＝a2，解得a2＝﹣2．不满足上式．
∴n≥7时，an＝﹣2×3n﹣2．
故答案为：an＝．
8．若直线l过点P（1，2）且与点A（﹣1，2），B（3，0）两点距离相等，则直线l方程为　x＝1，x+2y﹣5＝0　．
【分析】根据题意，分2种情况讨论，①直线l与直线AB平行，②直线l经过AB的中点，分别求出直线l的方程，综合即可得答案．
解：根据题意，符合题意的直线l有2种情况，
①直线l与直线AB平行，kAB＝＝﹣，则直线l的斜率k＝﹣，此时直线l的方程为y﹣2＝﹣（x﹣2），变形可得x+2y﹣5＝0，
②直线l经过AB的中点，点A（﹣1，2），B（3，3），则AB的中点坐标为（1，1），直线l又经过点P（1，2），此时直线l的方程为x＝1；
故直线l的方程为x＝1，x+3y﹣5＝0；
故答案为：x＝1，x+2y﹣4＝0
9．若抛物线y2＝（m＞0）的焦点在圆x2+y2＝1外，则实数m的取值范围是　（0，1）　．
【分析】求出抛物线y2＝（m＞0）的焦点F坐标为（，0），由F在圆x2+y2＝1外，可得：＞1，进而可得实数m的取值范围．
解：抛物线y2＝（m＞0）的焦点F坐标为（，0），
若F在圆x2+y2＝1外，
解得m∈（0，1），
故答案为：（7，1）
10．设无穷等比数列{an}的公比为q．若，则q＝　　．
【分析】由题意可得公比q满足|q|＜1，＝a1，由通项公式可得关于q的方程，解方程可得．
解：由题意可得公比q满足|q|＜1，
∵，
整理可得q2+q﹣1＝3，
故答案为：
11．若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z|的取值范围为　[3，7]　．
【分析】|z+3+4i|≤2的几何意义为复平面内动点Z到定点A（﹣3，﹣4）的距离小于等于2的点的集合，画出图形，数形结合得答案．
解：|z+3+4i|≤2的几何意义为复平面内动点Z到定点A（﹣3，﹣4）的距离小于等于5的点的集合，
如图所示：
∵|OA|＝，
∴|z|的取值范围为[3，4]．
故答案为：[3，7]．
12．已知平面向量、、满足，且，，则的最大值是　3　．
【分析】建立平面直角坐标系，设出A，B，C坐标，表示出的坐标，得出数量积的表达式，求出最值．
解：∵，∴，设A（1，0），B（0，），C（cosθ，sinθ），
∴＝（1﹣cosθ，﹣sinθ），＝（﹣cosθ，﹣sinθ），
∴当sin（θ+）＝﹣1时，取得最大值3．
故答案为：4．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．
13．椭圆上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O是椭圆中心，则|ON|的值是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．
【分析】|MF2|＝10﹣2＝8，ON是△MF1F2的中位线，由此能求出|ON|的值．
解：∵|MF2|＝10﹣2＝8，
ON是△MF1F5的中位线，
故选：B．
14．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B．y＝±2x C． D．
【分析】由题意知，因为双曲线的焦点在x轴上，由此可知渐近线方程为．
解：由已知得到，
因为双曲线的焦点在x轴上，
故选：C．
15．在△ABC中，若M是线段BC的中点，点P在线段AM上，满足：|AM|＝1，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】由，M是线段BC的中点，可得点P是△ABC的重心．利用重心的性质、向量的平行四边形法则、数量积运算即可得出．
解：∵，M是线段BC的中点，
∴点P是△ABC的重心．
∴＝2＝＝＝﹣．
故选：D．
16．点P是△ABC内一点且满足，则△PBC，△PAC，△PAB的面积比为（　　）
A．4：3：2 B．2：3：4 C．1：1：1 D．3：4：6
【分析】如图所示，过点C作CD∥PA交BP的延长线于点D，AC与PD交于点E．由于，可得．得到，．利用相似三角形的性质可得，同理．即可得出．
解：如图所示，
过点C作CD∥PA交BP的延长线于点D，AC与PD交于点E．
∴，．
∴S△PBC：S△PAC：S△PAB＝2：3：2．
故选：A．
三．解答题
17．已知||＝1，?＝，（+）?（﹣）＝，求：
（1）与的夹角；
（2）+与﹣的夹角的余弦值．
【分析】（1）（2）利用向量数量积运算和向量夹角公式即可得出．
解：（1）∵，
∵＝1，∴＝．
则cosθ＝＝＝，
∴θ＝．
∴＝．
∴＝，
则cosα＝＝＝．
18．（1）求以（1，2）为圆心，且与直线4x+3y﹣35＝0相切的圆的方程．
（2）经过直线2x﹣y+3＝0与圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的两个交点，且面积最小的圆的方程．
【分析】（1）由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，可得半径，即可求得圆的方程；
（2）依题意可知，弦长为直径的圆的面积最小，联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系求得圆心坐标，由弦长公式求出圆的半径，则圆的方程可求．
解：（1）∵（1，2）到直线4x+3y﹣35＝0的距离d＝，
∴以（1，3）为圆心，且与直线4x+3y﹣35＝0相切的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25；
设直线2x﹣y+2＝0与圆x2+y2+2x﹣4y+3＝0的两个交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
∴|AB|＝＝＝．
可得y＝．
∴最小圆的方程为（x+）2+（y﹣）2＝．
即5x2+8y2+6x﹣18y﹣8＝0．
19．已知直线y＝kx+1与双曲线3x2﹣y2＝1有A、B两个不同的交点．
（1）如果以AB为直径的圆恰好过原点O，试求k的值；
（2）是否存在k，使得两个不同的交点A、B关于直线y＝2x对称？试述理由．
【分析】（1）因为以AB为直径的圆恰好过原点O，所以AO⊥BO，把直线y＝kx+1代入双曲线3x2﹣y2＝1，利用向量垂直的充要条件去解．即可求出k的值．
（2）先假设存在k，使得两个不同的交点A、B关于直线y＝2x对称，根据两点关于直线对称的方法，找到关于k的方程，解k，若能解出，则存在，如解不出，则不存在．
解：（1）设A（x1，kx1+1），B（x8，kx2+1），则以AB为直径的圆恰好过原点O的充要条件是AO⊥BO，
∴x1x2+（kx1+4）（kx2+1）＝0，即（k2+1）x1x6+k（x1+x2）+1＝0…①
将其代入①得，解得k＝1或k＝﹣1．
当k＝﹣1时，方程②为x2+x﹣1＝7，有两个不等实根．
（2）若A（x1，kx1+1），B（x2，kx6+1）关于直线y＝2x对称，
将④整理得（k﹣2）（x1+x2）+3＝0．
故不存在这样的k，使两点A、B关于直线y＝2x对称．
20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）设直线y＝kx+1与C交于A，B两点．k为何值时⊥？此时的值是多少？．
【分析】（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是椭圆．从而写出其方程即可；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系及向量垂直的条件，求出k值即可，最后通牒利用弦长公式即可求得此时的值，从而解决问题．
解：
（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，
故曲线C的方程为．
消去y并整理得（k2+4）x2+2kx﹣3＝5，
，即x1x2+y1y2＝2．而y1y2＝k2x1x5+k（x1+x2）+1，
所以时，x1x2+y1y2＝2，故．
而（x2﹣x1）2＝（x2+x6）2﹣4x1x2＝，
所以．
21．（18分）如图，在y轴的正半轴上依次有点A1，A2，…An，…，其中点A1（0，1）、A2（0，10）且|An﹣1An|＝3|AnAn+1|（n＝2，3，4，…），在射线y＝x（x≥0）上一次有点B1，B2，…Bn，…，点B1（3，3），且（n＝2，3，4，…）．
（1）求点An、Bn的坐标（用含n的式子表示）．
（2）设四边形AnBnBn+1An+1的面积为Sn，解答下列问题：
①求数列{Sn}的通项公式；
②问{Sn}中是否存在连续的三项Sn，Sn+1，Sn+2（n∈N*）恰好成等差数列？若存在，求出所有这样的三项；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用|An﹣1An|＝3|AnAn+1|，及|A1A2|＝9，结合等比数列的通项公式求得|AnAn+1|，结合等比数列的求和公式，可得|A1A2|+|A2A3|+…+|An﹣1An|，从而得出An的坐标；确定{|OBn|}是以3为首项，2为公差的等差数列，可求Bn的坐标；
（2）①连接AnBn+1，设四边形AnBnBn+1An+1的面积为Sn，则Sn＝；
②对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在不同的三项Sn，Sn+1，Sn+2（n∈N*）恰好成等差数列，代入求出结果，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
解：（1）|An﹣1An|＝3|AnAn+1|，且|A1A2|＝10﹣1＝9，
∴|AnAn+3|＝|A1A2|＝9×＝．
∴An的坐标（0，），
∴{|OBn|}是以3为首项，2为公差的等差数列
∴Bn的坐标为（2n+3，2n+1）．
则Sn＝＝?（）n﹣5×（2n+3）+?4[﹣]?＝+．
②由Sn，Sn+1，Sn+2（n∈N*）恰好成等差数列，可得2（）＝+++
∴18（n+1）＝27n+3（n+2），∴n＝1，
∴存在连续的三项S8，S2，S3恰好成等差数列．