2019-2020学年上海市浦东新区洋泾中学高一（上）期末数学试卷 （Word解析版）

2019-2020学年上海浦东新区洋泾中学高一（上）期末数学试卷
一、填空题（共10小题）.
1．设集合A＝{x|y＝}，B＝{x|y＝lgx}，则A∩B＝　 　．
2．与角终边重合的角的集合是　 　．
3．已知x＞﹣1，则的最小值为　 　．
4．幂函数y＝f（x）的图象经过点，则y＝f（x）的表达式为　 　．
5．函数f（x）＝x2﹣1（x＜0）的反函数f﹣1（x）＝　 　．
6．函数的单调递增区间是：　 　．
7．已知角α终边落在直线上，求值：＝　 　．
8．函数在[1，3]上恰有一个零点，则实数a的取值范围是　 　．
9．不等式（x+1）（x2﹣4x+3）＞0有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出y1＝x+1和y2＝x2﹣4x+3的图象然后进行求解，请类比求解以下问题：
设a，b∈Z，若对任意x≤0，都有（ax+2）（x2+2b）≤0，则a+b＝　 　．
10．研究函数（0＜a＜b＜c），得到如下命题：
①此函数图象关于y轴对称；②此函数存在反函数；
③此函数在（0，a）上为增函数；④此函数有最大值和最小值0；
你认为其中正确的是　 　（写出所有正确的编号）．
二.选择题（共4小题）.
11．若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（　　）
A．＞ B．＞ C．|a|＞|b| D．a2＞b2
12．“p＜2”是“关于x的实系数方程x2+px+1＝0没有实数根”的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．非充要条件
13．某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：
已知函数y＝f（x）的定义域为D，x1，x2∈D．
①若当f（x1）+f（x2）＝0时，都有x1+x2＝0，则函数y＝f（x）是D上的奇函数．
②若当f（x1）＜f（x2）时，都有x1＜x2，则函数y＝f（x）是D上的增函数．
下列判断正确的是（　　）
A．①和②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①和②都是假命题 D．①是假命题，②是真命题
14．现有下列四个结论中，其中正确结论的个数是（　　）
①幂函数y＝xk（k∈Q）的图象与函数的图象至少有两个交点；
②函数y＝k?3x（k＞0）（k为常数）的图象可由函数y＝3x的图象经过平移得到；
③函数（x≠0）是偶函数；
④函数无最大值，也无最小值；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三.解答题
15．解方程：log2x+log2（x﹣1）＝1．
16．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．
（1）若a＝3，求P；
（2）若Q?P，求a的取值范围．
17．某科技公司生产一种产品的固定成本是20000元，每生产一台产品需要增加投入100元．已知年总收益R（元）与年产量x（台）的关系式是R（x）＝
（1）把该科技公司的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；
（2）当年产量为多少台时，该科技公司所获得的年利润最大？最大年利润为多少元？（注：利润＝总收益﹣总成本）
18．定义：满足f（x）＝x的实数x称为函数f（x）的不动点，已知二次函数f（x）＝ax2+bx，且f（x+1）为偶函数，若函数f（x）有且仅有一个不动点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数，求函数g（x）在x∈[1，2]上的最小值．
19．已知指数函数f（x）＝3x．
（1）若函数，求函数g（x）值域，证明函数g（x）在定义域上单调递增；
（2）若函数h（x）＝af（x）+bf（﹣x）（a，b∈R），研究h（x）的奇偶性；
（3）若不等式f（2x）﹣（t+2）f（x）≥3﹣t在x∈[1，2]上恒成立，求实数t的取值范围．
参考答案
一.填空题（共10小题）.
1．设集合A＝{x|y＝}，B＝{x|y＝lgx}，则A∩B＝　（0，1]　．
【分析】利用函数的定义域求出集合A，B，由此能求出A∩B．
解：∵集合A＝{x|y＝}＝{x|x≤1}，
B＝{x|y＝lgx}＝{x|x＞0}，
故答案为：（3，1]．
2．与角终边重合的角的集合是　{α|α＝}　．
【分析】直接写出与终边相同的角的集合得答案．
解：与终边相同的角的集合为{α|α＝}．
故答案为：{α|α＝}．
3．已知x＞﹣1，则的最小值为　1　．
【分析】将原式变形为（x+1＞0），再使用基本不等式即可．
解：∵x＞﹣1，∴x+1＞0，
∴＝﹣1﹣1＝1，当且仅当，又x＞﹣3，即x＝0取等号．
故答案为小、1．
4．幂函数y＝f（x）的图象经过点，则y＝f（x）的表达式为　　．
【分析】由题意利用用待定系数法求出幂函数的解析式．
解：设幂函数y＝f（x）＝xα，
∵幂函数y＝f（x）的图象经过点，
则y＝f（x）的表达式为y＝，
故答案为：y＝．
5．函数f（x）＝x2﹣1（x＜0）的反函数f﹣1（x）＝　﹣（x＞﹣1）　．
【分析】求出值域值域为（﹣1，+∞），根据得出x＝，转化变量求解反函数即可．
解：∵函数f（x）＝x2﹣1（x＜0），
∴值域为（﹣1，+∞），
∴反函数f﹣3（x）＝﹣（x＞﹣1），
故答案为：﹣（x＞﹣1）
6．函数的单调递增区间是：　　．
【分析】令t＝，则 y＝，函数 y的增区间就是t的减区间，问题转化为求t的减区间．
解：令t＝＝＝，
∴y＝，≥t≥0，﹣1≤x≤2，
∴函数 y的增区间为[，2]．
7．已知角α终边落在直线上，求值：＝　2或　．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，分类讨论，分别求得sinα 和cosα 的值，可得要求式子的值．
解：当角α终边落在直线（x≥0）上，α为锐角，
sinα cosα均为正值，且tanα＝＝，
则＝＝7．
sinα cosα均为负值，且tanα＝＝，
则＝＝﹣，
故答案为：5或﹣．
8．函数在[1，3]上恰有一个零点，则实数a的取值范围是　　．
【分析】由＝0可得a＝x+在[1，3]上恰有一个零点，结合对勾函数的图象可求
解：由＝0可得a＝x+在[1，5]上恰有一个零点，
因为f（1）＝5，f（3）＝，f（2）＝4，
故答案为：{a|a＝4或}
9．不等式（x+1）（x2﹣4x+3）＞0有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出y1＝x+1和y2＝x2﹣4x+3的图象然后进行求解，请类比求解以下问题：
设a，b∈Z，若对任意x≤0，都有（ax+2）（x2+2b）≤0，则a+b＝　﹣1　．
【分析】若对任意x≤0，都有（ax+2）（x2+2b）≤0，则y1＝ax+2应为增函数，y2＝x2+2b的图象顶点应在x轴下方，且函数与x负半轴交于同一点，结合a，b∈Z，可得答案．
解：类比图象法解不等式的方法，在同一坐标系中，画出y1＝ax+2和y2＝x2+2b的图象，
若对任意x≤4，都有（ax+2）（x2+2b）≤0，则两个函数图象应如下图所示：
由a，b∈Z得：，
故答案为：﹣1
10．研究函数（0＜a＜b＜c），得到如下命题：
①此函数图象关于y轴对称；②此函数存在反函数；
③此函数在（0，a）上为增函数；④此函数有最大值和最小值0；
你认为其中正确的是　①④　（写出所有正确的编号）．
【分析】直接利用函数的定义域和函数的奇偶性判断①②，进一步利用函数的单调性和函数的对称轴的应用求出函数的最值和单调区间从而判定③④．
解：函数（0＜a＜b＜c），
由于a2﹣x2≥0，整理得﹣a≤x≤a．
则：．
由于函数为偶函数，函数的图象关于y轴对称，所以函数不存在反函数，存在反函数的函数的前提该函数具有单调性．故①正确②错误．
故③错误④正确．
故答案为：①④
二.选择题
11．若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（　　）
A．＞ B．＞ C．|a|＞|b| D．a2＞b2
【分析】由于a＜b＜0，利用函数单调性可以比较大小．
解：∵a＜b＜0，f（x）＝在（﹣∞，0）单调递减，所以＞成立；
∵a＜b＜0，7＞a﹣b＞a，f（x）＝在（﹣∞，0）单调递减，所以＜，故B不成立；
∵f（x）＝x2在（﹣∞，0）单调递减，所以a2＞b3成立；
故选：B．
12．“p＜2”是“关于x的实系数方程x2+px+1＝0没有实数根”的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．非充要条件
【分析】根据方程没有实数根，求出等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解：若关于x的实系数方程x2+px+1＝0没有实数根，
则判别式△＝p7﹣4＜0，得﹣2＜p＜2，
故选：A．
13．某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：
已知函数y＝f（x）的定义域为D，x1，x2∈D．
①若当f（x1）+f（x2）＝0时，都有x1+x2＝0，则函数y＝f（x）是D上的奇函数．
②若当f（x1）＜f（x2）时，都有x1＜x2，则函数y＝f（x）是D上的增函数．
下列判断正确的是（　　）
A．①和②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①和②都是假命题 D．①是假命题，②是真命题
【分析】由奇函数的定义，注意定义域关于原点对称，其次可考虑f（﹣x）＝﹣f（x），结合函数的奇偶性和单调性的定义即可判断①②．
解：函数y＝f（x）的定义域为D，x1，x2∈D．
①若当f（x1）+f（x2）＝4时，都有x1+x2＝0，这里x1，x2存在，不是任意的，
②若当f（x7）＜f（x2）时，都有x1＜x2，则函数y＝f（x）不一定是D上的增函数，
故②错误．
故选：C．
14．现有下列四个结论中，其中正确结论的个数是（　　）
①幂函数y＝xk（k∈Q）的图象与函数的图象至少有两个交点；
②函数y＝k?3x（k＞0）（k为常数）的图象可由函数y＝3x的图象经过平移得到；
③函数（x≠0）是偶函数；
④函数无最大值，也无最小值；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①举反例说明命题为假；
②应该是伸缩变换，可以判断出命题为假；
③由奇偶函数的定义判断处函数为偶函数，可得命题为真；
④将函数变形，由均值不等式的性质可得最小值，可得命题为假．
解：①取幂函数y＝x2，显然与y＝仅有一个交点，所以①不正确；
②函数y＝k?3x（k＞0）（k为常数）的图象可由函数y＝3x的图象经过伸缩得到，所以②不正确；
③设y＝f（x），由f（x）＝x（）＝，x≠0，
所以f（﹣x）＝＝，所以f（x）＝f（﹣x），
④函数＝lg（|x|+），
而y＝lgu在定义域上单调递增，所以函数有最小值无最大值，所以④不正确．
故选：A．
三.解答题
15．解方程：log2x+log2（x﹣1）＝1．
【分析】由已知结合对数的运算性质即可直接求解．
解：因为log2x+log2（x﹣1）＝log2（x2﹣x）＝8，且x＞1，
所以x2﹣x＝2，
故x＝4
16．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．
（1）若a＝3，求P；
（2）若Q?P，求a的取值范围．
【分析】（1）结合分式不等式的求解求出P，
（2）结合绝对值不等式的求解求出Q，然后结合集合之间的包含关系即可求解．
解：（1）当a＝3时，原不等式可转化为，
解可得，﹣1＜x≤3
（2）由|x﹣1|≤5可得0≤x≤2，即解集为Q＝[0，2]，
此时a≥3，
当a＜﹣1时，P＝[a，﹣1），此时不满足题意，
综上，a的范围[2，+∞）．
17．某科技公司生产一种产品的固定成本是20000元，每生产一台产品需要增加投入100元．已知年总收益R（元）与年产量x（台）的关系式是R（x）＝
（1）把该科技公司的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；
（2）当年产量为多少台时，该科技公司所获得的年利润最大？最大年利润为多少元？（注：利润＝总收益﹣总成本）
【分析】（1）由于年产量是x台，则总成本为（20000+100x）元，从而分段写出函数解析式即可；
（2）当0≤x≤500时，利用配方法y＝﹣（x﹣400）2+60000求最值，当x＞500时，利用单调性可得y＝105000﹣100x＜105000﹣100×500＝55000．从而解得．
解：（1）由于年产量是x台，则总成本为（20000+100x）元．
当0≤x≤500时，y＝500x﹣x2﹣（20000+100x），
当x＞500时，y＝125000﹣（20000+100x），
所以；
y＝﹣（x﹣400）2+60000，
当x＞500时，y＝105000﹣100x是减函数，
综上，当x＝400时，ymax＝60000．
最大年利润为60000元．
18．定义：满足f（x）＝x的实数x称为函数f（x）的不动点，已知二次函数f（x）＝ax2+bx，且f（x+1）为偶函数，若函数f（x）有且仅有一个不动点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数，求函数g（x）在x∈[1，2]上的最小值．
【分析】（1）由f（x+1）为偶函数，知f（x）关于x＝1对称，故＝1①；由函数f（x）有且仅有一个不动点，可推出（b﹣1）2＝0②；联立①②解出a和b的值即可；
（2）对g（x）求导得g'（x）＝，x∈[1，2]，然后分k≤1、1＜k＜4和k≥4讨论g'（x）与0的大小关系，推出函数g（x）的单调性后，即可求得相应的最小值．
解：（1）∵f（x+1）为偶函数，∴函数f（x）关于x＝1对称，
∴＝1①．
∴△＝（b﹣8）2＝0②．
∴f（x）的解析式为．
∵x∈[1，2]，
当1＜k＜4时，g（x）在[1，）上单调递减，在（，2]上单调递增，g（x）min＝g（）＝；
综上所述，
当1＜k＜4，最小值为；
当k≥4，最小值为．
19．已知指数函数f（x）＝3x．
（1）若函数，求函数g（x）值域，证明函数g（x）在定义域上单调递增；
（2）若函数h（x）＝af（x）+bf（﹣x）（a，b∈R），研究h（x）的奇偶性；
（3）若不等式f（2x）﹣（t+2）f（x）≥3﹣t在x∈[1，2]上恒成立，求实数t的取值范围．
【分析】（1）运用指数函数的值域和不等式的性质，可得g（x）的值域；再由单调性的定义，结合指数函数的单调性可证明g（x）的单调性；
（2）计算h（x），h（﹣x），结合奇偶性的定义，分别讨论a，b，即可得到h（x）的奇偶性；
（3）由题意可得32x﹣（t+2）?3x≥3﹣t在x∈[1，2]上恒成立，由参数分离和换元法、以及指数函数的单调性，不等式恒成立思想，可得所求范围．
解：（1）由f（x）＝3x，可得g（x）＝＝1﹣，
由3x＞0，可得3x+1＞1，则﹣2＜﹣＜0，
即g（x）的值域为（﹣1，1）；
g（x1）﹣g（x6）＝1﹣﹣1+＝8?，
又（3x1+1）（3x2+1）＞6，
故g（x）在R上单调递增；
h（﹣x）＝a?3﹣x+b?3x，
当a＝b＝0时，h（x）＝0，h（x）既是奇函数也是偶函数；
当a＝b≠0，h（﹣x）＝h（x），h（x）是偶函数；
（3）不等式f（7x）﹣（t+2）f（x）≥3﹣t在x∈[1，2]上恒成立，
即t（4x﹣1）≤32x﹣3?3x﹣3在x∈[1，2]上恒成立，
由y＝m和y＝﹣在2≤m≤8递增，可得y＝m﹣在2≤m≤8递增，
则t≤0，可得t的取值范围是（﹣∞，6]．