2020年人教版八年级上数学课件 11.2.2 三角形的外角(共30张PPT)

(共30张PPT)
11.2.2
三角形的外角
葫芦岛第六初级中学
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
A
D
概念
如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
E
C
B
A
D
∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.
如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD
与∠BCE为对顶角，∠ACD
=∠BCE；
E
C
B
A
D
A
B
C
画出△ABC的所有外角，共有几个呢?
每一个三角形都有6个外角．
每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
★三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角，
C
B
A
D
每一个三角形都有6个外角．
F
A
B
C
D
E
练一练：如图,∠
BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角.
∠AEC是△BEC的外角.
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
三角形的外角的性质
如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
∠BCD与∠ACB互补.
如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A、∠B)有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A+∠B+∠ACB=180°∠BCD+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=∠BCD.
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
D
证明：过C作CE∥AB，
A
B
C
1
2
∴∠1=
∠B，
（两直线平行，同位角相等）
∠2=
∠A
，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD=
∠1+
∠2=
∠A+
∠B.
E
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
★三角形内角和定理的推论
A
B
C
D
(
(
(
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
▼应用格式：
∵
∠ACD是△ABC的一个外角
∴
∠ACD=
∠A+
∠B.
练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
B
C
D
(
(
(
80
°
60
°
(
2
1
(1)
A
B
C
(
(
(
(
2
1
50
°
32
°
(2)
∠1=40
°,
∠2=140
°
∠1=18
°,
∠2=130
°
如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.
∵
∠BEC是△AEC的一个外角，
∴
∠BEC=
∠A+
∠ACE，
∵∠A=42°
，∠ACE=18°，
∴
∠BEC=60°.
∵
∠BFC是△BEF的一个外角，
∴
∠BFC=
∠ABD+
∠BEF，
∵
∠ABD=28°，
∠BEC=60°，
∴
∠BFC=88°.
解：
F
A
C
D
E
B
例1
如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，
∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
解析：延长BP交AC于点E，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
E
例2
解：延长BP交AC于点E，
则∠BPC、∠PEC分别为△PCE、△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
【变式题】
(一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，
∠C=30°，求∠BDC的度数.
A
B
C
D
(
(
(
51
°
20
°
30
°
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
A
B
C
D
(
(
20
°
30
°
解法一：连接AD并延长至点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51°
+20°+30°=101°.
E
)
)
1
2
)
3
)
4
你发现了什么结论？
A
B
C
D
(
(
(
51
°
20
°
30
°
E
)
1
解法二：延长BD交AC于点E.
∠1=∠ABE+∠BAE，
∠BDC=∠1+∠ECD.
∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51°
+20°+30°=101°.
解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.
)
2
F
总结：解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.
如图
，试比较∠3
、∠2、
∠1的大小.
如图
，试比较∠2
、∠1的大小；
1
2
图1
图2
解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
解：∵∠2=∠1+∠B,
∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
三角形的外角大于与它不相邻的内角.
三角形的外角和
如图，
∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE=
∠2+
∠3，
∠CBF=
∠1+
∠3,
∠ACD=
∠1+
∠2.
又知∠1+
∠2+
∠3=180
°，
所以∠BAE+
∠CBF+
∠ACD
=2(∠1+
∠2+
∠3)=360
°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你还有其他解法吗？
例3
解法二：如图，∠BAE+∠1=180
°，
①
∠CBF
+∠2=180
°
，②
∠ACD
+∠3=180
°
.③
又知∠1+
∠2+
∠3=180
°，
①+
②+
③得
∠BAE+
∠CBF+
∠ACD+
(∠1+
∠2+
∠3)=540
°，
所以∠BAE+
∠CBF+
∠ACD=540
°-180°=360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
解法三：过A作AM平行于BC，
所以∠3＝
∠4
B
C
1
2
3
4
A
∠2＝
∠BAM，
所以
∠1＋
∠2＋
∠3＝
∠1＋
∠4＋
∠BAM=360°.
M
所以∠2＋
∠
3＝
∠
4＋∠BAM，
结论：三角形的外角和等于360°.
？思考：你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？
D
E
F
1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.
（
）
（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍.
（
）
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和.
（
）
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（
）
（5）三角形的一个外角大于任何一个内角.
（
）
（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（
）
2.如图，AB//CD，∠A＝37°,
∠C＝63°，那么∠F等于
（
）
F
A
B
E
C
D
A.26°
B.63°
C.37°
D.60°
A
3.（1）如图，∠BDC是________
的外角,也是
的外角；
(2)若∠B=45
°，
∠BAE=36
°,
∠BCE=20
°,试求∠AEC的度数.
A
B
C
D
E
△ADE
△ADC
解：根据三角形外角的性质有
∠ADC=
∠B+
∠BCE,
∠AEC=
∠ADC+
∠BAE.
所以∠AEC=
∠B+∠BCE+
∠BAE
=45
°+20
°+36
°=101
°.
解：因为∠ADC是△ABD的外角，
4
.如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD,
∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：
（1）∠B
的度数；（2）∠C的度数.
在△ABC中，
∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠C=180?-40?-70?=70°.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
A
B
C
D
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+
∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中,
∠C+∠1+∠2=180?,
∴∠A+
∠
B+∠C+
∠
D+∠E
=
180?.
如图，求∠A+
∠B+
∠C+
∠D+
∠E的度数.
拓展1
1
2
3
B
A
C
P
N
M
D
E
F
如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F
=________.
360°
拓展2
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360
°
课堂总结