人教版八年级上册 数学 课件： 13.4 课题学习　最短路径问题(共25张PPT)

(共25张PPT)
13.4
课题学习　最短路径问题
　
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
　　从图中的A
地出发，到一条笔直的河边l
饮马，然后到B
地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
B
A
l
数学经典
导入新课
导入新课
复习引入
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
A
B
①
②
③
②最短，因为两点之间，线段最短
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
l
A
B
C
D
PC最短，因为垂线段最短
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？
三角形三边关系：两边之和大于第三边；
斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A
′
讲授新课
最短路径问题
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.
A
B
①
②
③
P
l
A
B
C
D
牧马人饮马问题
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
C
抽象成
A
B
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
实际问题
A
B
l
问题1
现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
A
l
B
C
根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.
连接AB,与直线l相交于一点C.
问题2
如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想：　对于问题2，如何将点B“移”到l
的另一侧B′处，满足直线l
上的任意一点C，都保持CB
与CB′的长度相等？
A
B
l
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
方法揭晓
作法：
（1）作点B
关于直线l
的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l
相交于点C．
则点C
即为所求．
A
B
l
B
′
C
问题3　你能用所学的知识证明AC
+BC最短吗？
证明：如图，在直线l
上任取一点C′（与点C
不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC
=B′C，BC′=B′C′．
∴　AC
+BC
=
AC
+B′C
=
AB′，
∴
AC′+BC′=
AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴　AC
+BC＜AC′+BC′．
　　即　AC
+BC
最短．
A
B
l
B
′
C
C
′
造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
B
A
A
B
N
M
1.如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
B
A
Ｍ
Ｎ
2.利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？
思维分析
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
思维火花
各抒己见
1.把A平移到岸边.
2.把B平移到岸边.
3.把桥平移到和A相连.
4.把桥平移到和B相连.
B
A
Ｍ
Ｎ
1.把A平移到岸边.
B
A
(Ｍ)
Ｎ
AM+MN+BN长度改变了
2.把B平移到岸边.
B
A
Ｍ
（Ｎ）
AM+MN+BN长度改变了
怎样调整呢？
把A或B分别向下或上平移一个桥长
那么怎样确定桥的位置呢?
B
A
问题解决
B
A
A1
M
N
如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.
理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１.
Ｎ１
Ｍ１
由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△A１N１B中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B.
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞
AM+MN+BN.
A·
B
M
N
E
C
D
证明：由平移的性质，得
BN∥EM
且BN=EM,
MN=CD,
BD∥CE,
BD=CE,所以A，B两地的距离：AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
即AC+CD+DB
＞AM+MN+BN，
所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短.
方法归纳
解决最短路径问题的方法
1.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.
2.当涉及含有固定线段“桥”的方法是构造平行四边形，从而将问题转化为平行四边形的问题解答.
当堂练习
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（
）
P
Q
l
A
M
P
Q
l
B
M
P
Q
l
C
M
P
Q
l
D
M
D
2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是
米.
A
C
B
D
河
1000
3.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD
′,EE
′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD
′E
′EB的路程最短？
A
D
D
′
C
C′
E
E′
B
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG
⊥CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E
′,D′.作DD′,EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D为平行四边形，于是AD=FD′,
同理，BE=GE′，
由两点之间线段最短可知，GF最小.
A
D
′
C
C′
E
E′
B
F
G
D
课堂小结
原理
线段公理和垂线段最短
牧马人饮马问题
解题方法
造桥选址问题
关键是将固定线段“桥”平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四形的问题
最短路径问题
轴对称知识+线段公理
解题方法
见《学练优》本课时练习
课后作业
谢
谢