人教版八年级上册数学：14.2.1平方差公式 课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
14.2.1平方差公式
有一个狡猾的庄园主,把一边长为x米的
正方形土地租给王大爷种植.有一年他对
王大爷说:“我把这块地的一边增加5米,
另一边减少5米,继续租给你,你也没吃亏,
你看如何?”王大爷一听觉得没有吃亏,就
答应了.回到家中,就把这件事对邻居讲了,
邻居一听,说:“王大爷您吃亏了!”王大爷
非常吃惊,同学们,你能告诉王大爷这是
为什么吗?
5米
5米
x
米
(X-5)
(X+5)米
原来
现在
面积变了吗？
x2
(x+5)(x-5)
面积少了
计算下列各题:
(1)
(x+5)(x?5)
(2)
(x+1)(x?1)
(3)
(m+2)(m?2)
(4)
(2x+1)(2x?1)
=x2?25;
=x2?1
;
=m2?4
;
=4x2?1
.
观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？
=x2?52
=x2?12
=m2?22
=(2x)2?12
平方差公式
(a+b)(a-b)
=
a2?b2
这个公式叫做(乘法的)平方差公式。
即两个数的和乘以这两个数的差,等于这两个数的平方差。
边长为a的正方形纸缺了一个边长为b的正方形角，请你动手剪成两部分后再拼成一个长方形。
b
b
a
a
图形法验证公式
b
b
a
a
a-b
a-b
a
b
a-b
b
b
a
a
a-b
a-b
a
b
a
b
a-b
a-b
a
b
b
b
a
a
a-b
a-b
a
b
a
b
a-b
a-b
a
b
裁剪后的纸
的面积_______
裁剪前的纸
的面积_______
(a+b)(a-b)
a2-b2
(a+b)(a-b)=a2-b2
结论:
初识平方差公式
(a+b)(a?b)=a2?b2
(1)
左边两个二项式是：
两项的和与这两项差的乘积
(2)
(3)
公式中的a和b
可以代表数或式
｛
结构特征
小试牛刀、巩固应用
你能在下列式子中找出与公式“a”“b”对应的项吗？
小试牛刀、巩固应用
你能在下列式子中找出与公式“a”“b”对应的项吗？
注意：当“项”是数与字母的乘积时,要用括号把这个数整个括起来，再平方,最后的结果又要去掉括号。
运用平方差公式计算：
(?4a?1)(4a?1)．
方法一
利用加法交换律，
变成公式标准形式。
解
：(?4a?1)(4a?1)
原式=
=(?1)2
?(4a)2
=
1?16a2
方法二
提取
“?”号，
变成公式标准形式。
解：(?4a?1)(4a?1)
原式=
?(4a+1)
(?4a?1)
(4a?1)
=
(4a)2
?1
?[
]
=
1?16a2
(?1
?4a
)
(?1+
4a
)
我们再看看(
＋
)(
2a－b
)这一式子还能用这公式计算吗？
b
2a
(
＋
)(
2a－b
)
b
2a
巩固应用,探索公式
巩固应用,探索公式
将式子变为(b－2a)(2a－b)，还可以用这个公式吗？
(
＋
)(
2a－b
)
b
2a
(b＋2a)(2a－b)
(b－2a)(－2a－b)
(－b－2a)(2a－b)
(b－2a)(2a＋b)
=(2a
)
2
－b2
=(－2a
)
2
－b2
=(－b
)
2
－(2a)2
=(b
)
2
－(2a)2
我们再看看(
＋
)(
2a－b
)这一式子还能用这公式计算吗？
b
2a
(a+b)(a?b)=a2?b2
左边
相同项
相反项
相同项2
?
相反项2
右边
剖析公式，提示本质
填一填
(a+b)(a-b)
a
(相同项）
b
(相反项）
a2-b2
(x+3)(x-3)
(-x+2y)(-x-2y)
(m+2n)(2n-m)
模拟演练，初试锋芒
x
3
x2-32
(-x)2-(2y)2
(2n)2
-m2
-x
2n
2y
m
x
x
-x
-x
2n
2n
3
3
2y
2y
m
m
快乐游戏、巩固识别
下列式子中，哪两个式子相乘能运用“平方差公式”
进行计算.
①
②
③
④
⑤
⑥
(y+2)
(3x-2)
(-3+2a)
(-y+2)
(-3-2a)
(-3x+2)
（1）（x-2)(x+2)=x2-2
（2）(
+4xy)(
-4xy)=
-16x2y2
（3）(-3a-2)(3a-2)=9a2-4
（4）(4x+3b)(4x-3b)=16x2-9
(
)
(
)
√
×
×
×
如果有错，请改正过来。
(
)
(
)
精批细改，慧眼识珠
x2-4
4-9a2
16x2-9b2
(a+b)(a-b)=
a
2-
b
2
相反项b
相同项a
适当交换
合理加括号
平方差公式的灵活运用
先找
再找
(
)
(
)
(1)(y+2)(y-2)-(y
-1)(y+5).
解：原式=(y2－22)-(y2+5y-y-5)
=
y2－4－y2-5y+y+5
=-4y+1.
要看清式子的结构，哪部分可用公式，哪部分不可用.
灵活应变、能力提升
(2)
102×98.
解：原式=(100+2)(100-2)
=1002－22
=10
000－4
=9
996.
灵活应变、能力提升
当式子不能直接用公式时可对式子进行变形，使它符合公式的条件，再用公式解之．
(3)
(2a–b+1)(2a–b-1).
整体思想很重要.
灵活应变、能力提升
解：原式=〔(2a-b)+1〕〔(2a-b)-1〕
=(2a-b)2-12
=(2a-b)(2a-b)-1
=4a2-4ab+b2-1
(5)（2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
解：原式
=
(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=
(22-1)(22+1)(24+1)
(28+1)
=
(24-1)(24+1)
(28+1)
=
(28-1)
(28+1)
(4)
(x-3)(x+3)(x?+9)
解：原式=(x?-9)(x?+9)
将积式乘以（2-1）得：
=216-1
从例题和练习中，你认为运用公式解决问题时应
注意什么？
总结经验
（1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式
的结构特征；
（2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个
数或式相当于公式中的b；
（3）总结规律：一般地，“第一个数”a
的符号相同，
“第二个数”b
的符号相反；
从例题和练习中，你认为运用公式解决问题时应
注意什么？
总结经验
（4）公式中的字母a
,b
可以是具体的数、单项式、多
项式等；
（5）不能忘记写公式中的“平方”．
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
左边
右边
结构特征：
(a+b)(a?b)=a2?b2
相同项
相同项2
相反项
?
相反项2
回味无穷
反思提升
(a+b)(a?b)=a2?b2
数学思想：转化思想、数形结合思想
1.（1）
通过本节课的学习，你学到了哪些数学知识？
（2）你感悟到了哪些数学思想方法？
拓展深化，超越自我
1.填空：
①（2y+5x)(
)=25x2-4y2
②写出与(-a+b)相乘能利用平方差公式进行计算的因式
——————
。
5x-2y
(-a-b)或(a+b)
2.计算：(a+1)(a-1)(a2+1)(a4+1)……(a2012+1)
解：原式=
(a2+1)(a4+1)……(a2012+1)
(a4+1)……(a2012+1)
=(a2012-1)(a2012+1)
=a4024-1
(a2-1)
=(a4-1)
谢
谢