(共24张PPT)
第1课时
角的平分线的性质
葫芦岛第六初级中学
如果没有角平分仪，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？
尺规作角平分线
做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.
提示：
(1)已知什么？求作什么？
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?
(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？
(4)为什么作出的射线是角平分线？
A
B
O
A
B
M
N
C
O
已知:∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
注意：作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握哦!
作法：
（1）以点O为圆心，适当
长为半径画弧，交OA于
点M，交OB于点N.
（2）分别以点M、N为圆心，大于
MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
已知：平角∠AOB.
求作：平角∠AOB的角平分线.
结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.
A
B
O
C
1.
操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE
⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
2.
观察测量结果，写出结论：__________.
PD
PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
p
D
E
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的
任意一点.
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质
【验证猜想】已知：如图，
∠AOC=
∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E.
求证：PD=PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴
∠PDO=
∠PEO=90
°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO=
∠PEO，
∠AOC=
∠BOC，
OP=
OP，
∴
△PDO
≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
★性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
▼应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
▼定理的作用：
证明线段相等.
▼应用格式：
∵OP
是∠AOB的平分线，
∴PD
=
PE.
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
判一判：（1）∵
如下左图，AD平分∠BAC（已知），
∴
=
，(
)
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD
CD
×
B
A
D
C
(2)∵
如上右图，
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）.
∴
=
,
(
)
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD
CD
×
B
A
D
C
已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,
DF⊥AC.垂足分别为E、F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
证明：
∵AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB,
DF⊥AC，
∴
DE=DF
,
∠DEB=∠DFC=90
°.
在Rt△BDE
和
Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴
Rt△BDE
≌
Rt△CDF(HL).
∴
EB=FC.
例1
如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
温馨提示：存在两条垂线段———直接应用
例2
A
B
C
P
【变式1】如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4,
AB=14.
（1）则点P到AB的距离为_______；
D
4
温馨提示：存在一条垂线段———构造应用
A
B
C
P
【变式2】如图，在Rt
△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.
（2）求△APB的面积；
D
（3）求?PDB的周长.
·AB·PD=28.
解：由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，
=
.
解：
1.应用角平分线性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
面积
周长
条件
利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解
1.△ABC中,
∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距是
.
A
B
C
D
3
2.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（
）
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
B
M
N
C
O
A
3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是( )
A．6
B．5
C．4
D．3
D
B
C
E
A
D
解析：过点D作DF⊥AC于点F.
∵AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，
∴DF＝DE＝2，
解得AC＝3.
F
方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．
E
D
C
B
A
6
8
10
4.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，则：
(1)哪条线段与DE相等？为什么？
(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE、AE的长和△AED的周长.
解：(1)DC=DE.理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.
（2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，
DC=DE，DB=DB，
∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，
∴BE＝BC=8.
∴
AE＝AB-BE=2.
∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8.
5.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与
∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于点E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
∵
AD∥BC，
∴
MN⊥BC.
∵
AP平分∠BAD,
PM⊥AD
,
PE⊥AB，
∴
PM=
PE.
同理，
PN=
PE.
∴
PM=
PN=
PE=3.
∴
MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
6.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与
∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
∵
AD∥BC，
∴
MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间
的距离.
∵
AP平分∠BAD,
PM⊥AD
,
PE⊥AB，
∴
PM=
PE.
同理，
PN=
PE.
∴
PM=
PN=
PE=3.
∴
MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
7.如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E、F.求证：CE＝CF.
证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF.
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
CD=CD,DE=DF,
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，
∴CE＝CF.
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
课堂总结(共23张PPT)
第2课时
角的平分线的判定
葫芦岛第六初级中学
P
A
O
B
C
D
E
思考该结论是否正确:
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
★性质：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
角平分线判定
1
如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB
的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO
中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP，
PD=
PE，
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°.
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（
HL）.
∴∠AOP=∠BOP
★判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
▼应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
▼定理的作用：判断点是否在角平分线上.
▼应用格式：
∵
PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P
在∠AOB的平分线上.
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，
离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20
000）？
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm
,D即为所求.
O
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
例1
【活动1】分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
【发现】三角形的三条角平分线相交于一点.
三角形的内角平分线
【活动2】分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
【发现】过交点作三角形三边的垂线段相等.
你能证明这个结论吗？
【证明结论】已知：如图，△ABC的角平分线BM，
CN相交于点P，
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD、PE，PF分别垂直于AB、BC，CA，垂足分别为D、E、F.
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
M
E
N
A
B
C
P
O
D
【变式1】如图，在直角△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP、BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4.
(1)求点O到△ABC三边的距离和；
温馨提示：不存在垂线段———构造应用.
12
解：连接OC.
M
E
N
A
B
C
P
O
D
【变式2】如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP、BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4.
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
1.应用三角形的角平分线性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2.联系三角形的角平分线性质：
距离
面积
周长
条件
如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
A
解析：由已知，O到三角形三边的距离
相等，所以O是三条角平分线的交点，
AO、BO、CO都是角平分线，
所以∠CBO＝∠ABO＝
∠ABC，
∠BCO＝∠ACO＝
∠ACB.
因为∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
所以∠OBC＋∠OCB＝70°，
所以∠BOC＝180°－70°＝110°.
例2
由已知，O
到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
角的平分线的性质
图形
已知
条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
1.
如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
小区C
P
A
O
B
M
N
2.
如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
3.已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN.
证明：∵OD平分线∠POQ，
∴∠AOD=∠BOD.
在△AOD与△BOD中，
OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD，
∴△AOD≌△BOD.
∴∠ADO=∠BDO.
∵CM⊥AD，CN⊥BD，
∴CM=CN.
4.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于点G，FH⊥AD于点H，FM⊥BC于点M.
∵点F在∠BCE的平分线上，
FG⊥AE，
FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，
FH⊥AD，
FM⊥BC，
∴FM＝FH，
∴FG＝FH.
∴点F在∠DAE的平分线上.
G
H
M
A
B
C
F
E
D
【拓展】如图,
直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路,
现要建一个货物中转站,
要求它到三条公路的距离相等,
可选择的地址有几处?
画出它的位置.
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
角平分线
的判定定理
内容
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
作用
判断一个点是否在角的平分线上
结论
三角形的角平分线相交于内部一点
课堂总结
