北师大版数学九年级上册第三章第1节用树状图或表格求概率（第1课时）
【教学目标】
能运用画树状图和列表的方法计算一些简单事件的概率．
教学重点：画树状图和列表的方法计算一些简单事件的概率
教学难点：分清“放回型”和“不放回型”
【教学过程】
【问题情景】
小明、小颖和小凡都想去看周末的电影，但是只有一张电影票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影．游戏规则如下：
连续抛掷两枚质地均匀的硬币，若两枚都正面朝上，则小明获胜；若两枚都反面朝上，则小颖获胜；若一枚朝上、一枚朝下，则小凡获胜．
你认为这个游戏公平吗？
【议一议】
在上面抛掷硬币试验中，
（1）抛掷第一枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？
（2）抛掷第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？
（3）在第一枚硬币正面朝上的情况下，第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生可能性是否一样？如果第一枚硬币反面朝上呢？
【思考归纳】
由于硬币是均匀的，因此抛掷第一枚硬币出现“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同；无论抛掷第一枚硬币出现怎样的结果，抛掷第二枚硬币时出现“正面朝上”和“反面朝上”的概率也是相同的．所以，抛掷两枚均匀的硬币，出现的（正，正）（正，反）（反，正）（反，反）四种情况是等可能的。
我们通常用下面的树状图或表格表示所有可能出现的结果：
共有4种可能的结果，并且每种结果出现的可能性都是相同的．其中，
小明获胜的结果有一种：（正，正），所以小明获胜的概率是；
小颖获胜的结果有一种：（反，反），所以小颖获胜的概率也是；
小凡获胜的结果有两种：（正，反）（反，正），所以小凡获胜的概率是．
因此，这个游戏对三人是不公平的．
利用树状图或表格，我们可以不重复，不遗漏地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率．
【例题精讲】
例1
“放回型”
不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，求两次都摸出白球的概率．
例2
“不放回型”
某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品．
（1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为
；
（2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），请用“画树状图”或“列表”等方法求小芳获得2份奖品的概率．
【跟踪练习】
1．小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动．该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用A、B、C表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用D、E表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．用画树状图或列表的方法列出小明参加项目的所有等可能的结果，并求小明恰好抽中B、D两个项目的概率．
2．有两组相同的牌，每组两张且大小一样，两张牌的牌面数字分别是1和2，从每组牌中各摸出一张，称为一次实验．
（1）两张牌的牌面数字和为几的概率最大？
（2）两张牌的牌面数字和等于3的概率是多少？
3．一个盒子中有1个红球、1个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．求：
⑴两次都摸到红球的概率；
⑵两次摸到不同颜色的球的概率．
4．第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）若从第一盒中随机取出1个球，则取出的球是白球的概率是
．
（2）若分别从每个盒中随机取出1个球，请用列表或画树状图的方法求取出的两个球中恰好1个白球、1个黄球的概率．
【方法总结】
1．利用表格或树状图，我们可以不重复，不遗漏地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率．
2．利用表格求出某些事件发生的概率时，一定要特别分清是
“放回型”，还是
“不放回型”．
答案
例1解：分别用红、白1、白2表示三个球，列表如下：
第1个球
第2个球
红
白1
白2
红
(红，红)
(白，红)
(白，红)
白1
(红，白)
(白，白)
(白，白)
白2
(红，白)
(白，白)
(白，白)
共有9种等可能的结果，其中两次都摸出白球的结果有4种，所以两次都摸出白球的概率为．
例2解：（1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为；
（2）分别用红1、红2、白1、白2表示四个球，列表如下：
第1个球
第2个球
红1
红2
白1
白2
红1
(红，红)
(白，红)
(白，红)
红2
(红，红)
(白，红)
(白，红)
白1
(红，白)
(红，白)
(白，白)
白2
(红，白)
(红，白)
(白，白)
共有12种等可能的结果，其中小芳两次都摸到红球的结果有2种，所以小芳获得2份奖品的概率＝．
【跟踪练习】
1．
2．（1）和为“3”的概率最大；
（2）和为“3”的概率是；
3．（1）；（2）．
4．（1）；（2）．北师大版数学九年级上册第三章第1节用树状图或表格求概率（第2课时）
【教学目标】
能运用画树状图和列表的方法计算一些简单事件的概率．
教学重点：画树状图和列表的方法计算一些简单事件的概率
教学难点：分清“放回型”和“不放回型”
【教学过程】
例1
小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”的游戏游戏规则如下：由小明和小颖玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者.
假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，你认为这个游戏对三人公平吗？
请你利用树状图或列表法通过计算进行说明.
例2
“品中华诗词，寻文化基因”．某校举办了第二届“中华诗词大赛”，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制了如下不完整的频数分布统计表与频数分布直方图．
组别
成绩x（分）
人数
百分比
A
60≤x＜70
8
20%
B
70≤x＜80
16
m%
C
80≤x＜90
a
30%
D
90≤x≤100
4
10%
请观察图表，解答下列问题：
（1）表中a＝______，m＝______；
（2）补全频数分布直方图；
（3）D组的4名学生中，有1名男生和3名女生．现从中随机抽取2名学生参加市级竞赛，则抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为______．
【跟踪练习】
1．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④，随机地摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，
（1）求两次摸出的小球的标号相同的概率.
（2）求这两个小球的标号之和等于5的概率.
2．在一个不透明的袋子中，装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同．
(1)搅匀后从中随机摸出一球，请直接写触摸到红球的概率；
(2)如果第一次随机摸出一个小球（不放回），充分搅匀后，第二次再从剩余的两球中随机摸出一球，求两次都摸到红球的概率．(用树状图或列表法求解)
3．飞飞和欣欣两位同学到某文具专卖店购买文具，恰好赶上“店庆购物送礼”活动．该文具店设置了A、B、C、D四种型号的钢笔作为赠品，购物者可随机抽取一支抽到每种型号钢笔的可能性相同．
(1)飞飞购物后，获赠A型号钢笔的概率是多少？
(2)飞飞和欣欣购物后，两人获赠的钢笔型号相同的概率是多少？
4．如图，有四张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的图形，小明将这四张纸牌背面朝上洗匀后随机摸出一张，放回后洗匀再随机摸出一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌用A、B、C、D表示）；
（2）求两次摸牌的牌面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率．
5．为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数是多少人？
（2）求图2中α是多少度，并将图1条形统计图补充完整；
（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有多少人；
（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率．
【方法总结】
1．利用表格或树状图，我们可以不重复，不遗漏地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率．
2．利用表格求出某些事件发生的概率时，一定要特别分清是
“放回型”，还是
“不放回型”．
答案
例1解：因为小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，所以可以利用表格列出所有可能出现的结果：
小明
小颖
石头
剪刀
布
石头
(石头，石头)
(剪刀，红)
(布，红)
剪刀
(石头，剪刀)
(剪刀，剪刀)
(布，剪刀)
布
(石头，布)
(剪刀，布)
(布，布)
总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中，两人手势相同的结果有3种：(石头，石头)(剪刀，剪刀）(布，布），所以小凡获胜的概率为＝；
小明胜小额的结果有3种：(石头，剪刀)(剪刀，布）（布，石头)，所以小明获胜的概率为＝；
小颖胜小明的结果也有3种：(剪刀，石头)（布，剪刀）（石头，布），所以小颖获胜的概率为＝；
因此，这个游戏对三人是公平的．
例2解：（1）∵被调查的总人数为8÷20%＝40（人），∴a＝40×30%＝12．
∵m%＝1－(20%＋30%＋10%)＝40%，∴m＝40．
故答案为12，40．
（2）补全频数分布直方图如图．
（3）记3名女生分别为女1，女2，女3，从4名学生中随机抽取2名学生参加市级竞赛，所有等可能出现的结果列表表示如下：
第1人
第2人
女1
女2
女3
男
女1
(女，女)
(女，女)
(男，女)
女2
(女，女)
(女，女)
(男，女)
女3
(女，女)
(女，女)
(男，女)
男
(女，男)
(女，男)
(女，男)
共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有6种，所以恰好是一名男生和一名女生的概率＝．北师大版数学九年级上册第三章第1节用树状图或表格求概率（第3课时）
【教学目标】
能运用画树状图和列表的方法计算一些简单事件的概率．
教学重点：画树状图和列表的方法计算一些简单事件的概率
教学难点：分清“放回型”和“不放回型”
【教学过程】
例1
小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏:下面是两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成面积相等的几个扇形.游戏者同时转动两个转盘,如果转盘A转出了红色,转盘B转出了蓝色,那么他就赢了,因为红色和蓝色在一起配成了紫色.
(1)利用树状图或列表的方法表示游戏者所有可能出现的结果.
(2)游戏者获胜的概率是多少?
例2
如果把转盘变成如右图所示的转盘进行“配紫色”游戏.
(1)利用树状图或列表的方法表示游戏者所有可能出现的结果.
(2)游戏者获胜的概率是多少?
小颖画出了如下所示的树状图：
小颖据此求出游戏者获胜的概率为．
小颖的做法对吗？若果她的做法不对，请给出正确的做法．
小颖的做法是不正确的，因为A盘中红色区域和蓝色区域的面积不同，所以指针落在这两个区域的可能性是不同的．
在利用树状图或列表的方法求概率时，各种结果出现的可能性必须相同；若把可能性不相同的情况当成可能性相同的情况来处理，则是错误的．
例3
图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1、2、3、4，图②是一个正六边形棋盘．现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点；第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．
（1）随机掷一次骰子，则棋子第一次跳动到点C处的概率是__________；
（2）随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子第二次跳动到点C处的概率．
【跟踪练习】
1．图①是一个转盘，转盘被等分成三个区域，并分别标有数字2、3、7，图②是一个正五边形棋盘，现通过转动转盘的方式玩跳棋游戏．规则如下：将转盘转动后，看转盘指针指向的数字是几，就从图②中的A点开始在正五边形边上沿着顺时针方向连续跳过几个边（指针指向边界不计），第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．
（1）随机转动一次转盘，则棋子跳动到点C处的概率是 ；
（2）随机转动两次转盘，用画树状图或列表的方法．求棋子最终跳动到点A处的概率．
2．一个盒子里装有三个红球和两个白球，这些球除颜色外都相同.
(1)从中随机摸出一个球记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，求两次摸到相同颜色的球的概率.
(2)从中随机摸出一个球记下颜色后不放回,再从中随机摸出一个球,求两次摸到相同颜色球的概率.
3．某商场举行开业酬宾活动，设立了两个可以自由转动的转盘（如图所示，两个转盘均被等分），并规定：顾客购买满188元的商品，即可任选一个转盘转动一次，转盘停止后，指针所指区域内容即为优惠方式；若指针所指区域空白，则无优惠．已知小张在该商场消费300元．
（1）若他选择转动转盘1，则他能得到优惠的概率为多少？
（2）选择转动转盘1和转盘2，哪种方式对于小张更合算，请通过计算加以说明．
4.如图，小明和小颖用下面两个转盘做游戏:游戏者同时转动A、B两个转盘，转盘停止后，若一个转盘指针指向红色，另-一个转盘指针指向蓝色，则配成了紫色，小明获胜;若指针指向的是同种颜色，则小颖获胜.
.
(1)利用列表或画树状图的方法表示游戏所有可能出现的结果.
(2)此游戏对双方是否公平?为什么?
【方法总结】
1．利用表格或树状图，我们可以不重复，不遗漏地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率．
2．利用表格求出某些事件发生的概率时，一定要特别分清是
“放回型”，还是
“不放回型”．
3．在利用树状图或列表的方法求概率时，各种结果出现的可能性必须相同；若把可能性不相同的情况当成可能性相同的情况来处理，则是错误的．
答案
例1解：列表表示所有可能出现的结果：
A盘
B盘
红
白
黄
(红，黄)
(白，黄)
蓝
(红，蓝)
(白，蓝)
绿
(红，绿)
(白，绿)
共有6种等可能的结果，其中红色和蓝色在一起配成了紫色的结果有1种，∴配成了紫色的概率为．∴游戏者获胜的概率是．
例2解：先把左边转盘的红色区域等分成2份，分别记作“红色1”“红色2”，然后制作下表表示所有可能出现的结果：
共有6种等可能的结果，其中红色和蓝色在一起配成了紫色的结果有1种，∴配成了紫色的概率为．∴游戏者获胜的概率是．
例3解：（1）随机掷一次骰子，则棋子跳动到点C处的概率是；
（2）列表如下：
共有16种可能，和为14可以到达点C，有3种情形，所以棋子第二次跳动到点C处的概率为．
跟踪练习：
1．解：（1）随机转动一次转盘，则棋子跳动到点C处的概率＝；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中棋子最终跳动到点A处的结果数为4，
所以棋子最终跳动到点A处的概率＝．
2．（1）；（2）；
3．解：（1）∵整个圆被分成了12个扇形，其中有6个扇形能享受折扣，
∴P（得到优惠）＝＝；
（2）转盘1能获得的优惠为：＝25元，
转盘2能获得的优惠为：40×＝20元，
所以选择转动转盘1更优惠．
4．解：（1）由题意可得：
故所有的可能有8种；
（2）此游戏公平．
理由：配紫成功的可能有3种，
故小明获胜即配紫成功的概率为：，
指针指向的是小颖获胜同种颜色的可能有3种，
故小颖获胜的概率为：，
故此游戏公平．
